Tài liệu Toán Lớp 11 - Tóm tắt kiến thức và phương pháp giải toán

Điều chỉnh, bổ sung năm 2011 
Lưu hành nội bộ 
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN  1  : 0987. 503.911 
MỤC LỤC 
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC .................................................................... 4 
1. Độ và radian .......................................................................................... 4 
2. Các hệ thức cơ bản ................................................................................. 4 
3. Các hệ quả cần nhớ ................................................................................ 4 
4. Các cung liên kết ................................................................................... 5 
5. Các công thức biến đổi ........................................................................... 6 
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ............................................................................ 8 
1. Các hàm số lượng giác ........................................................................... 8 
2. Tập xác định của hàm số ........................................................................ 9 
3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số ..................................... 9 
4. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số ................................................................... 9 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ........................................................... 10 
1. Phương trình lượng giác cơ bản............................................................ 10 
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác ............................ 12 
3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx ........................................... 12 
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx .............................. 13 
5. Phương trình đối xứng, phản đối xứng ................................................. 13 
6. Phương trình lượng giác khác............................................................... 13 
ĐẠI SỐ TỔ HỢP ....................................................................................... 14 
1. Phép đếm ............................................................................................. 14 
2. Hoán vị ................................................................................................ 14 
3. Chỉnh hợp ............................................................................................ 14 
4. Tổ hợp ................................................................................................. 15 
5. Cách phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp ...................................................... 15 
NHỊ THỨC NEWTON .............................................................................. 15 
1. Khai triển nhị thức Newton .................................................................. 15 
2. Tam giác Pascal ................................................................................... 15 
3. Giải phương trình ................................................................................. 16 
XÁC SUẤT ................................................................................................. 16 
DÃY SỐ ...................................................................................................... 17 
1. Tính đơn điệu của dãy số ..................................................................... 17 
2. Tính bị chặn của dãy số ........................................................................ 17 
CẤP SỐ CỘNG .......................................................................................... 18 
1. Định nghĩa ........................................................................................... 18 
2. Tính chất.............................................................................................. 18 
3. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng .............................................. 18 
CẤP SỐ NHÂN .......................................................................................... 18 
1. Định nghĩa ........................................................................................... 18 
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN  2  : 0987. 503.911 
2. Tính chất.............................................................................................. 18 
3. Tổng n số hạng đầu tiên ....................................................................... 18 
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ ......................................................................... 19 
1. Định nghĩa ........................................................................................... 19 
2. Tính chất.............................................................................................. 19 
3. Một số giới hạn cơ bản ......................................................................... 19 
4. Cách tìm giới hạn ................................................................................. 19 
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ ........................................................................ 20 
HÀM SỐ LIÊN TỤC ................................................................................. 22 
1. Xét tính liên tục của hàm số ( )y f x tại 0x ........................................ 22 
2. Tìm m để hàm số ( )y f x liên tục tại điểm đã chỉ ra .......................... 22 
3. Chứng minh phương trình có nghiệm ................................................... 22 
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ ........................................................................ 22 
1. Bảng các đạo hàm ................................................................................ 22 
2. Các qui tắc tính đạo hàm ...................................................................... 23 
3. Đạo hàm cấp cao .................................................................................. 23 
TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ........................................................ 23 
CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG .................................... 26 
I. Các phép biến hình ............................................................................... 26 
II. Vẽ ảnh của một hình qua phép biến hình ............................................. 27 
III. Tìm phương trình của ảnh .................................................................. 27 
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG........................................................ 28 
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ........................................................ 28 
2. Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) ............................. 28 
3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng ............................................................ 28 
4. Tìm thiết diện ...................................................................................... 29 
QUAN HỆ SONG SONG ........................................................................... 29 
I. Các định nghĩa...................................................................................... 29 
II. Các tính chất ....................................................................................... 29 
III. Chứng minh hai đường thẳng song song ............................................. 30 
IV. Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng ................................. 30 
V. Chứng minh hai mặt phẳng song song ................................................. 31 
VI. Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau ............................................ 31 
QUAN HỆ VUÔNG GÓC.......................................................................... 31 
I. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc ............................................... 31 
II. Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng .................................. 32 
III. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ............................................... 32 
GÓC ........................................................................................................... 33 
1. Góc  giữa hai đường thẳng a, b ......................................................... 33 
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN  3  : 0987. 503.911 
2. Góc  giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)........................................ 33 
3. Góc  giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)................................................... 33 
KHOẢNG CÁCH ...................................................................................... 33 
1. Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a .......................................... 33 
2. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P)........................................... 33 
3. Khoảng cách giữa đường thẳng a // (P) ................................................. 34 
4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) // (Q) ........................................... 34 
5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ...................................... 34 
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ............................................... 34 
1. Định lí cô sin ....................................................................................... 34 
2. Định lí sin ............................................................................................ 35 
3. Công thức tính diện tích tam giác ......................................................... 35 
4. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông .............................................. 36 
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN  4  : 0987. 503.911 
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 
1. Độ và radian: 
 0180 ( )rad ; 01
180

 (rad); 
0
1801( )rad

 
  
 
2. Các hệ thức cơ bản: 
 *  sintan cos 0
cos

 

  ; *  coscot sin 0
sin

 

  
* 2 2sin cos 1,     ; 
* 2
2
1
1 tan ,
2cos
k k

  

 
     
 
Z 
* 2
2
11 cot ( , )
sin
k k  

   Z 
* tan .cot 1 ,
2
k
k

  
 
   
 
Z . 
3. Các hệ quả cần nhớ: 
 * 4 4 21sin cos 1 sin 2
2
x x x   
 * 6 6 23sin cos 1 sin 2
4
x x x   
sin( 2 ) sin ; cos( 2 ) cos
tan( ) tan ; cot( ) cot
k k
k k
     
     
   
   
tan xác định khi ,
2
k k Z    
cot xác định khi ,k k Z   
1 sin 1
1 cos 1


  
  
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN  5  : 0987. 503.911 
Dấu các giá trị lượng giác: 
 Góc phần tư 
 GTLG I II III IV 
 sin + + – – 
 cos + – – + 
 tan + – + – 
 cot + – + – 
4. Các cung liên kết: 
 a. Cung đối:  và  
 b. Cung bù:  và   
 c. Cung phụ:  và 
2

 
 d. Cung hơn kém nhau  :  và   
 e. Cung hơn kém nhau 
2
 :  và 
2

 
sin( ) sin ; cos( ) cos
tan( ) tan ; cot( ) cot
     
     
    
     
cos( ) cos ; sin( ) sin
tan( ) tan ; cot( ) cot
   
   
    
     
sin cos ; cos sin
2 2
tan cot ; cot tan
2 2
 
   
 
   
   
      
   
   
      
   
tan( ) tan ; cot( ) cot
sin( ) sin ; cos( ) cos
 ... .911 
 /( , )
' ( )
( )
' ( )I k
x a k x a
V M M
y b k y b
   
  
  
Chú ý: 
/
/ / /( ) ( ) ( )
( )
F
F
M M
H H M H
M H
 

  
 
II. Vẽ ảnh của một hình qua phép biến hình: 
1. Vẽ ảnh của một điểm: 
a) Qua phép tịnh tiến: Lấy /M sao cho /MM v
 
b) Qua phép Đối xứng trục d: Lấy /M sao cho d là đường trung trực của 
/MM 
c) Qua phép Đối xứng tâm I: Lấy /M sao cho I là trung điểm /MM 
d) Qua phép Vị tự ( , )I kV : Trên đường thẳng IM lấy 
/M sao cho đoạn 
/ .IM k OM 
 * /,M M cùng phía đối với I nếu 0k  
 * /,M M khác phía đối với I nếu 0k  
2. Vẽ ảnh của tam giác: Lần lượt vẽ ảnh của các đỉnh. 
3. Vẽ ảnh của đường thẳng d: Trên d lấy hai điểm A, B; vẽ ảnh / /,A B 
của A,B. Ảnh của d là đường thẳng / /A B 
4. Vẽ ảnh của một đường tròn: 
 * Vẽ /I là ảnh của tâm I qua phép biến hình. 
 * Vẽ đường tròn tâm /I có bán kính bằng R (nếu là phép tịnh tiến, phép 
đối xứng trục, đối xứng tâm, phép quay), bán kính bằng k .R (nếu là phép 
vị tự) 
III. Tìm phương trình của ảnh: 
 Phương pháp: 
 Cho hình (H) có phương trình ( ; ) 0f x y  , viết phương trình /( )H là ảnh 
của (H) qua phép biến hình F có biểu thức tọa độ 
' ( )
' ( )
x u x
y v y
 


 Cách giải: 
 * Gọi /( ; ), ( '; ') ( )M x y M x y F M 
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN  28  : 0987. 503.911 
 * Khi đó: 
' ( )
' ( )
x u x
y v y
 


 tính x theo x’, y theo y’ 
 * ( ; ) ( ) ( ; ) 0M x y H f x y   thay x,y vừa tìm được vào phương trình 
( ; ) 0f x y  ta được phương trình ( '; ') 0g x y  . / /( '; ') ( )M x y H nên phương 
trình của /( )H là ( '; ') 0g x y  . 
 
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: 
 a) Cách 1: Để tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (P) và (Q) ta tìm hai điểm 
chung phân biệt A,B. Giao tuyến là đường thẳng AB. 
 * ( ), ( )A P A Q   A là điểm chung thứ nhất. 
 * ( ), ( )B P B Q  A là điểm chung thứ hai. 
 Vậy ( ) ( )P Q AB  
 b) Cách 2: (Khi đã học xong chương quan hệ song song) 
 * Tìm một điểm chung S của (P) và (Q) ( ) ( )P Q Sx   
 * Chứng minh Sx song song với 1 đường thẳng cho trước. 
 Chú ý: 
( ),( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
A d d P A P
A d a A d vaø A a
A d P A d vaø A P
d P Q d P vaø d Q
    

    

    
     
2. Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P): 
 a) Cách 1: 
 * Tìm một mặt phẳng phụ (Q) chứa d 
 * Tìm giao tuyến a của (P) và (Q). 
 * Trong mặt phẳng (Q) tìm M a d  . Suy ra ( )M d P  
 b) Cách 2: Tìm trong mặt phẳng (P) đường thẳng a mà a d M  
, ( )
( )
M a M P
M d P
M d
  
   

3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: 
 Ta chứng minh 3 điểm đó cùng thuộc 2 mặt phẳng phân biệt nào đó. 
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN  29  : 0987. 503.911 
( ), ( )
( ), ( ) , ,
( ), ( )
A P A Q
B P B Q A B C
C P C Q
  

  
  
 thẳng hàng. 
4. Tìm thiết diện: 
 Để tìm thiết diện tạo bởi một mặt phẳng với một khối đa diện ta tìm các 
giao điểm của mặt phẳng đó với các cạnh của khối đa diện (nếu có). Các giao 
điểm đó chính là đỉnh của thiết diện. Ta cũng có thể tìm các đoạn giao tuyến 
của mặt phẳng đó với các mặt của đa diện. 
 
QUAN HỆ SONG SONG 
I. Các định nghĩa: 
1. Hai đường thẳng song song: a // b  a, b cùng nằm trong một mặt 
phẳng và không có điểm chung. 
2. Đường thẳng song song với mặt phẳng: a // ( ) ( )P a P   
3. Hai mặt phẳng song song: ( )P // ( ) ( ) ( )Q P Q   
II. Các tính chất: 
1. 
a c
a b
b c



 

2. 
;( ) ( )
( ); ( )
a c P Q b
a b c
a P c Q
  

 
   
3. Ba mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt thì 3 giao tuyến đó 
song song hoặc đồng qui. 
4. 
; ( )
( )
( )
a b a P
a P
b P
 


  
5. 
( ); ( )
( ) ( )
a P a Q
a b
P Q b
 

 
  
6. 
( ), ( )
( ) ( )
a P a Q
a b
P Q b


 
   
7. 
( )
( )
( ) ( )
a Q
a P
Q P
 




 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN  30  : 0987. 503.911 
8. Trong mặt phẳng (P) có hai đường thẳng a, b cắt nhau cùng song song 
mặt phẳng (Q) thì ( ) ( )P Q 
9. 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
P R
P Q
Q R



 

10. 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
P Q
P R a a b
Q R b


  
  

 
III. Chứng minh hai đường thẳng song song: 
 Để chứng minh hai đường thẳng a, b song song ta có thể áp dụng một trong 
các phương pháp sau: 
1. 
a c
a b
b c



 

2. 
( ), ( )
( ) ( )
a P a Q
a b
P Q b
 

 
  
3. 
( ), ( )
,( ) ( )
a P c Q
a b
a c P Q b
  

 


4. 
( ), ( )
( ) ( )
a P a Q
a b
P Q b


 
   
5. 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
P Q
P R a a b
Q R b


  
  

 
6. Chứng minh ba mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt và 3giao 
tuyến không đồng qui thì chúng song song nhau. 
7. Sử dụng các tính chất hình học phẳng: Đường trung bình, định lí Ta lét, 
tính chất hình bình hành,.. 
8. Chứng minh 
( )
( )
a P
a b
b P
 


 
IV. Chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng: 
1. ( )
( )
a b
a P
b P



  
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN  31  : 0987. 503.911 
2. 
( )
( )
( ) ( )
a Q
a P
Q P
 




3. ( ) ( )
( )
a b
b P a P
a P
 

 
 
 
4. 
( )
( ) ( ) ( )
( )
a Q
P Q a P
a Q
 

 
 
 
V. Chứng minh hai mặt phẳng song song: 
1. 
, ( ),
( ) ( )
( ). ( )
a b P a b I
P Q
a Q b Q
   



 
2. 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
P R
P Q
Q R



 

3. 
( )
( ) ( )
( )
P a
P Q
Q a
 


 
VI. Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau: 
 Chứng minh bằng phương pháp phản chứng: 
 Giả sử a, b không chéo nhau suy ra a và b cùng nằm trong mặt phẳng. Từ 
các điều kiện đã cho dẫn đến điều trái với giả thiết. 
 
QUAN HỆ VUÔNG GÓC 
I. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: 
1. Sử dụng các phương pháp của Hình học phẳng: Góc nột tiếp, định lí 
Pitago 
2. a b  góc giữa 2 đường thẳng a, b bằng 090 
3. . 0a b a b  
 
4. 
a c
a b
b c

 


 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN  32  : 0987. 503.911 
5. 
( )
( )
a P
a b
b P
 
 

6. 
( )
( )
a P
a b
b P

 


7. Áp dụng định lí 3 đường vuông góc: /a là hình chiếu của a lên ( )P , 
/( ),b P a b b a    
II. Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng: 
1. 
,
, ( ) ( )
a b a c
b c P a P
b c I
  

  
  
2. 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Q P
R P a P
Q R a
 

  
  
3. 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ),
P Q
P Q b a P
a Q a b
 

   
  
4. ( )
( )
a b
a P
b P

 


5. 
( )
( )
( ) ( )
a Q
a P
Q P
 
 
 
III. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: 
1. 
( )
( ) ( )
( )
a P
P Q
a Q
 
 

2. 
( )
( ) ( ) ( )
a P
b Q P Q
a b
 

  
 
3. Chứng minh góc giữa (P) và (Q) bằng 090 . 
 
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN  33  : 0987. 503.911 
GÓC 
1. Góc  giữa hai đường thẳng a, b: 
 Từ một điểm O tùy ý dựng / /,a a b b  (thường chọn O trên a hoặc b) thì 
 bằng góc giữa hai đường thẳng /a và /b . 
2. Góc  giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P): 
 * Nếu a vuông góc với (P) thì 090  
 * Nếu a không vuông góc với (P) thì   góc giữa a và /a ; trong đó /a là 
hình chiếu của a lên (P) (Tìm ( )M a P  , trên a lấy điểm A khác M, H là 
hình chiếu của A lên (P) thì AMH  ) 
3. Góc  giữa hai mặt phẳng (P) và (Q): 
 a) 
( )
( )
a P
b Q

 
 

góc giữa hai đường thẳng a, b. 
 b) 0
( ) ( )
0
( ) ( )
P Q
P Q


 


 c) Khi ( ) ( )P Q d  , trong (P) dựng a d , trong (Q) dựng b d thì  = 
góc giữa hai đường thẳng a, b. 
Chú ý: 
 * Với  là góc giữa a và b, a và (P), (P) và (Q) thì 0 00 90  
 * Cho hình chóp S.ABCD có SH là đường cao thì ta có: 
 - SAH là góc giữa cạnh bên SA với (ABCD). 
 - M là hình chiếu của S lên AB ta có MH AB nên SMH là góc giữa 
(SAB) và (ABCD). 
 
KHOẢNG CÁCH 
1. Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a: 
 H là hình chiếu của O lên đường thẳng a thì ( , )d O a OH 
2. Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (P): 
 H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (P) thì ( ,( ))d O P OH 
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN  34  : 0987. 503.911 
3. Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song nhau: 
    ( ) ,( ) ,( )a P d a P d O P
O a

 


4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P), (Q) song song nhau: 
    ( ) ( ) ( ),( ) ,( )
( )
P Q
d P Q d O P
O Q

 


5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
 a) Đường vuông góc chung: của hai đường thẳng a, b là đường thẳng c 
vuông góc với a, b và cắt a, b tại hai điểm A, B. AB gọi là đoạn vuông góc 
chung của a, b.  ,d a b AB . 
 b) Cách dựng: 
 * Dựng (P) chứa b và (P) song song a. 
 * Dựng /a là hình chiếu của a lên (P). 
 * Dựng /B b a  . Qua B dựng c vuông góc với (P), c cắt a tại A. 
 Chú ý:    , ,( )d a b d a P 
 Đặc biệt: Khi a b 
 * Qua b dựng ( )P a , dựng ( )A a P  , trong (P) dựng c qua A và 
c b , c cắt b tại B. 
 
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 
c b
a
ma
M
A
B C
1. Định lí cô sin: 
Trong tam giác ABC bất kì với BC a, CA b, AB c   , ta có: 
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN  35  : 0987. 503.911 
Hệ quả: 
2 2 2
cos
2
b c aA
bc
 
 ;
2 2 2
cos
2
a c bB
ac
 
 ;
2 2 2
cos
2
a b cC
ab
 
 
@ Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác. 
 Cho tam giác ABC có các cạnh BC=a, CA=b, AB=c. Gọi , ,a b cm m m lần 
lượt là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam 
giác. Ta có: 
2. Định lí sin: Trong tam giác ABC bất kì với BC=a, CA=b, AB=c và R là 
bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có: 2
sin sin sin
a b c R
A B C
   
3. Công thức tính diện tích tam giác: 
 2 2 2 2 . .cosa b c b c A   
 2 2 2 2 . .cosb a c a c B   
 2 2 2 2 . .cosc a b a b C   
 
2 2 2
2 2( )
4a
b c am   
 
2 2 2
2 2( )
4b
a c bm   
 
2 2 2
2 2( )
4c
a b cm   
 1 1 1. . .
2 2 2a b c
S a h b h c h   
 1 1 1sin sin sin
2 2 2
S ab C bc A ca B   
 
4
abcS
R
 
 S pr 
 ( )( )( )S p p a p b p c    (Hê – rông) 
với 
2
a b cp   
 GIÁO KHOA & PP GIẢI TOÁN 11 
 GV: NGUYỄN THANH NHÀN  36  : 0987. 503.911 
4. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông 
MHB
A
C
* Các hệ thức lượng giác: 
sin cos ACB C
BC
  cos sin ABB C
BC
  
tan cot ACB C
AB
  cot tan ABC C
AC
  
* Các hệ thức về cạnh, đường cao, hình chiếu: 
 2 2 2AB AC BC  (Pi ta go) . . 2. ABCAB AC BC AH S 
2 2 2
1 1 1
AB AC AH
  2 .AB BH BC 
 2 .AC CH BC 2 .AH HB HC MA MB MC R   
