520 Bài tập trắc nghiệm môn Toán Lớp 11 - Định nghĩa đạo hàm (có đáp án)

1. ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM
Câu 1: Cho hàm số 
3 4 khi 04( ) 1 khi 04
x x
f x
x
     
. Khi đó  0f  là kết quả nào sau đây? 
A. 1 .4 B.
1 .16 C.
1 .32 D. Không tồn tại.
Hướng dẫn giải: 
Đáp án B 
Ta có    
0 0 0
3 4 1
0 2 44 4lim lim lim0 4x x x
x
f x f x
x x x  
     
        0 0 0
2 4 2 4 1 1lim lim lim .164 2 4 4 2 4 4 2 4x x x
x x x
x x x x x  
            
Câu 2: Cho hàm số 
2
2
khi 2
( ) 6 khi 22
x x
f x x bx x
     
. Để hàm số này có đạo hàm tại 2x  thì giá 
trị của b là 
A. 3.b  B. 6.b  C. 1.b  D. 6.b  
Hướng dẫn giải 
Đáp án B 
Ta có 
 
 
 
2
2 2
2
2 2
2 4
lim lim 4
lim lim 6 2 82
x x
x x
f
f x x
xf x bx b
 
 
 
 
 
  
         
 f x có đạo hàm tại 2x  khi và chỉ khi  f x liên tục tại 2x  
     2 2lim lim 2 2 8 4 6.x xf x f x f b b          
Câu 3: Số gia của hàm số   2 4 1f x x x   ứng với x và x là 
A.  2 4 .x x x    B. 2 .x x  C.  . 2 4 .x x x   D. 2 4 .x x 
Hướng dẫn giải 
Đáp án A 
Ta có 
520 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐẠO HÀM
*****
   
     
 
2 2
2 2 2 2
4 1 4 1
2 . 4 4 1 4 1 2 . 4
2 4
y f x x f x
x x x x x x
x x x x x x x x x x x x
x x x
    
         
                 
    
Câu 4: Cho hàm số ( )y f x có đạo hàm tại 0x là 0'( )f x . Khẳng định nào sau đây sai? 
A. 
0
0
0
0
( ) ( )( ) lim .
x x
f x f xf x
x x
   B. 
0 0
0 0
( ) ( )( ) lim .
x
f x x f xf x
x 
    
C. 0 00 0
( ) ( )( ) lim .
h
f x h f xf x
h
   D. 
0
0 0
0
0
( ) ( )( ) lim .
x x
f x x f xf x
x x
   
Hướng dẫn giải 
Đáp án D 
A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm).
B. Đúng vì
    
       
0
0 0
0 0
0 0 0 00
0
0 0 0
( ) ( )( ) lim
x x
x x x x x x
y f x x f x
f x x f x f x x f xf x f xf x
x x x x x x
      
    
            
C. Đúng vì
Đặt 0 0 ,h x x x x h x          0 0y f x x f x    
       
0
0 0 0 00
0
0 0 0
( ) ( )( ) lim
x x
f x h f x f x h f xf x f xf x
x x h x x h
        
Vậy D là đáp án sai. 
Câu 5: Xét ba mệnh đề sau: 
(1) Nếu hàm số  f x có đạo hàm tại điểm 0x x thì  f x liên tục tại điểm đó. 
(2) Nếu hàm số  f x liên tục tại điểm 0x x thì  f x có đạo hàm tại điểm đó. 
(3) Nếu  f x gián đoạn tại 0x x thì chắc chắn  f x không có đạo hàm tại điểm đó. 
Trong ba câu trên: 
A. Có hai câu đúng và một câu sai. B. Có một câu đúng và hai câu sai.
C. Cả ba đều đúng. D. Cả ba đều sai.
Hướng dẫn giải 
Đáp án A 
(1) Nếu hàm số  f x có đạo hàm tại điểm 0x x thì  f x liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng. 
(2) Nếu hàm số  f x liên tục tại điểm 0x x thì  f x có đạo hàm tại điểm đó. 
Phản ví dụ
Lấy hàm  f x x ta có D   nên hàm số  f x liên tục trên  . 
Nhưng ta có 
   
   
0 0 0
0 0 0
00 0lim lim lim 10 0 0
00 0lim lim lim 10 0 0
x x x
x x x
xf x f x
x x x
xf x f x
x x x
  
  
  
  
                
Nên hàm số không có đạo hàm tại 0x  . 
Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai. 
(3) Nếu  f x gián đoạn tại 0x x thì chắc chắn  f x không có đạo hàm tại điểm đó. 
Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có  f x không liên tục tại 0x x thì  f x có đạo hàm tại điểm đó. 
Vậy (3) là mệnh đề đúng. 
Câu 6: Xét hai câu sau: 
(1) Hàm số 1
x
y
x
  liên tục tại 0x  
(2) Hàm số 1
x
y
x
  có đạo hàm tại 0x  
Trong hai câu trên: 
A. Chỉ có (2) đúng. B. Chỉ có (1) đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. 
Hướng dẫn giải 
Đáp án B 
Ta có : 
 
 0 0lim 0 lim 01 10 0
x
x
x
x
fx
xf


     
. Vậy hàm số 1
x
y
x
  liên tục tại 0x  
Ta có :      
00 1
0 1
x
xf x f x
x x x x
    (với 0x  ) 
Do đó : 
   
 
   
 
0 0 0
0 0 0
0 1lim lim lim 10 1 1
0 1lim lim lim 10 1 1
x x x
x x x
xf x f
x x x x
xf x f
x x x x
  
  
  
  
               
Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của    00
f x f
x

 khi 0x  . 
Vậy hàm số 1
x
y
x
  không có đạo hàm tại 0x  
Câu 7: Cho hàm số 
2
 khi 1( ) 2
 khi 1
x xf x
ax b x
    
. Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm số có đạo 
hàm tại 1x  ? 
A. 11; .2a b   B. 
1 1; .2 2a b  C. 
1 1; .2 2a b   D. 
11; .2a b  
Hướng dẫn giải 
Đáp án A 
Hàm số liên tục tại 1x  nên Ta có 12a b  
Hàm số có đạo hàm tại 1x  nên giới hạn 2 bên của    11
f x f
x

 bằng nhau và Ta có 
       
1 1 1 1
1 .1 1lim lim lim lim1 1 1x x x x
f x f ax b a b a x
a a
x x x      
          
       
 
 
2
1 1 1 1
1
1 1 1 12 2lim lim lim lim 11 1 2 1 2x x x x
x
f x f x x x
x x x      
         
Vậy 11; 2a b   
Câu 8: Số gia của hàm số   22
xf x  ứng với số gia x của đối số x tại 0 1x   là 
A.  21 .2 x x  B.  
21 .2 x x    C.  
21 .2 x x     D.  
21 .2 x x   
Hướng dẫn giải 
Đáp án A 
Với số gia x của đối số x tại 0 1x   Ta có 
     
2 2
21 1 21 1 1
2 2 2 2 2
x x x
y x x
              
Câu 9: Tỉ số y
x

 của hàm số    2 1f x x x  theo x và x là 
A. 4 2 2.x x   B.  24 2 2.x x   
C. 4 2 2.x x   D.  24 2 2 .x x x x     
Hướng dẫn giải 
Đáp án C 
       
     
0 0 0
0 0
0 0 0
0
0
2 1 2 1
2 2 2 2 2 4 2 2
f x f x x x x xy
x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x
       
          
Câu 10: Cho hàm số   2f x x x  , đạo hàm của hàm số ứng với số gia x của đối số x tại x0 là 
A.   20lim 2 .x x x x x      B.  0lim 2 1 .x x x     
C.  0lim 2 1 .x x x     D.   20lim 2 .x x x x x       
Hướng dẫn giải 
Đáp án B 
Ta có : 
     
 
 
2 2
0 0 0 0
22 2
0 0 0 0 0
2
0
2
2
y x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
        
         
     
Nên      
2
0
0 00 0 0
2' lim lim lim 2 1
x x x
x x x xyf x x x
x x     
           
Vậy    0' lim 2 1xf x x x     
Câu 11: Cho hàm số   2f x xx  . Xét hai câu sau: 
(1). Hàm số trên có đạo hàm tại 0x  . 
(2). Hàm số trên liên tục tại 0x  . 
Trong hai câu trên: 
A. Chỉ có (1) đúng. B. Chỉ có (2) đúng. C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. 
Hướng dẫn giải 
Ta có 
+)    20 0lim lim 0x xf x x x     . 
+)    20 0lim lim 0x xf x x x     . 
+)  0 0f  . 
     0 0lim lim 0x xf x f x f     . Vậy hàm số liên tục tại 0x  . 
Mặt khác: 
+)        20 0 000 lim lim lim 1 10x x xf x f x xf xx x            . 
+)        20 0 000 lim lim lim 1 10x x xf x f x xf xx x             . 
   0 0f f    . Vậy hàm số không có đạo hàm tại 0x  . 
Đáp án B. 
Câu 12: Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số ( )y f x tại 0 1x  ? 
A. 0
0
( ) ( )lim
x
f x x f x
x 
  
 . B. 
0
00
( ) ( )lim
x
f x f x
x x

 . 
C. 0
00
( ) ( )lim
x x
f x f x
x x

 . D. 
0
0
( ) ( )lim
x
f x x f x
x 
  
 . 
Hướng dẫn giải 
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng. 
Đáp án C. 
Câu 13: Số gia của hàm số   3f x x ứng với 0 2x  và 1x  bằng bao nhiêu? 
A. 19 . B. 7 . C. 19 . D. 7 . 
Hướng dẫn giải 
Ta có          3 33 30 0 0 0 0 02 3 8y f x x f x x x x x x x x x                 . 
Với 0 2x  và 1x  thì 19y  . 
Đáp án C. 
2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM ĐA THỨC – HỮU TỈ-CĂN THỨC 
Câu 14: Cho hàm số 
2 2 3
2
x xy
x
  
 . Đạo hàm y của hàm số là biểu thức nào sau đây? 
A. 231 ( 2)x   . B. 2
31 ( 2)x  . C. 2
31 ( 2)x   . D. 2
31 ( 2)x  . 
Hướng dẫn giải 
Ta có        
2 2
2
2 3 2 2 3 2
2
x x x x x x
y
x
            . 
    
     
2 2
2 2 2
2 2 2 2 3 .1 4 1 312 2 2
x x x x x x
x x x
                . 
Đáp án C. 
Câu 15: Cho hàm số 2
1
1y x  . Đạo hàm y
 của hàm số là biểu thức nào sau đây? 
A. 2 2( 1) 1
x
x x  . B. 2 2( 1) 1
x
x x
   . C. 2 22( 1) 1
x
x x  . D. 
2
2
( 1)
1
x x
x
  . 
Hướng dẫn giải 
   
   
2 2
22 2 2 2 2
1 11
11 2 1 1 1 1
x x xy
xx x x x x
                  
. 
Đáp án B. 
Câu 16: Cho hàm số   3f x x . Giá trị  8f  bằng: 
A. 16 . B. 
1
12 . C. -
1
6 . D. 
1
12 . 
Hướng dẫn giải 
Với 0x  
   1 2 2 23 3 31 1 1 18 .8 23 3 3 12f x x x f
 

         
. 
Đáp án B. 
Câu 17: Cho hàm số   11 1f x x x    . Để tính f  , hai học sinh lập luận theo hai cách: 
(I)      
2'1 2 1 1
x xf x f x
x x x
     . 
(II)      
1 1 2
2 1 2 1 1 2 1 1
xf x
x x x x x
       . 
Cách nào đúng? 
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II) C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng. 
Hướng dẫn giải 
11 1 1
xx
x x
    . 
Lại có  
1 22 1
11 2 1 1
xx
x xx
xx x x
           nên cả hai đều đúng. 
Đáp án D. 
Câu 18: Cho hàm số 31y x  . Để 0y  thì x nhận các giá trị thuộc tập nào sau đây? 
A. 1. B. 3. C.  . D.  . 
Hướng dẫn giải 
Tập xác định  \ 1D R . 
 2
3 01y x Dx
     . Chọn C. 
Câu 19: Cho hàm số   1f x x  . Đạo hàm của hàm số tại 1x  là 
A. 12 . B. 1 . C. 0 D. Không tồn tại. 
Hướng dẫn giải 
Đáp án D. 
Ta có   1' 2 1f x x  
Câu 20: Cho hàm số 
2 2 3
2
x xy
x
   . Đạo hàm y của hàm số là 
A. 1+ 23( 2)x  . B. 
2
2
6 7
( 2)
x x
x
 
 . C. 
2
2
4 5
( 2)
x x
x
 
 . D. 
2
2
8 1
( 2)
x x
x
 
 . 
Hướng dẫn gải 
       
 
    
 
2 2 2
2 2
2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 3
2 2
x x x x x x x x x x
y
x x
                
    
     
2 2
2 2 2
2 2 2 2 3 4 7 312 2 2
x x x x x x
x x x
           . 
Đáp án A. 
Câu 21: Cho hàm số 
21 3( ) 1
x xf x
x
   . Tập nghiệm của bất phương trình ( ) 0f x  là 
A.  \ 1 . B. . C.  1; . D. . 
Hướng dẫn giải 
Đáp án A 
      
 
    
   
 
 
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
1 3( ) 1
1 3 1 1 3 1
1
3 2 1 1 3 2 2
1 1
1 1 0, 11
x xf x
x
x x x x x x
x
x x x x x x
x x
x
x
x
      
        
         
    
Câu 22: Đạo hàm của hàm số 4 23 1y x x x    là 
A. 3 2' 4 6 1.y x x   B. 3 2' 4 6 .y x x x   C. 3 2' 4 3 .y x x x   D. 3 2' 4 3 1.y x x   
Hướng dẫn giải 
Đáp án A 
Áp dụng công thức 
Câu 23: Hàm số nào sau đây có 21' 2y x x  ? 
A. 
3 1xy
x
 B. 
2
3
3( )x xy
x
 C. 
3 5 1x xy
x
  D. 
22 1x xy
x
  ...  x x
x
    
Chọn B 
Câu 505: Cho hàm số   21sin 2y f x x  . Xét hai câu: 
(I)   34cos 2sin 2
xf x
x
  (II) Hàm số  g x mà    'g x f x thì   2cot 2g x x  
Chọn câu đúng: 
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. 
Hướng dẫn giải 
     22 4 3sin 21 4cos 2' (I)Truesin 2 sin 2 sin 2
x xy f x y f x
x x x
        
    242cot 2 (II) Falsesin 2g x x g x x     
Chọn A 
Câu 506: Cho hàm số   2f x x có đồ thị (P) và hàm số   3g x x có đồ thị (C). Xét hai câu sau: 
(I) Những điểm khác nhau ( )M P và ( )N C sao cho tại những điểm đó, tiếp tuyến song 
song với nhau là những điểm có tọa độ 2 4; ( )3 9M P
    và 
2 8; ( )3 27N C
    . 
(II)    3g x f x  
Chọn câu đúng. 
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. 
Hướng dẫn giải 
   
   
2
3 2
2 42 3 3 (I)True2 43 3 3
f x x f x x f
g x x g x x g
                     
   23 3 (II)Trueg x x f x    
Chọn C 
Câu 507: Cho hàm số   3 3 2y f x x x    có đồ thị ( )C . Tiếp tuyến với ( )C đi qua điểm  0;2A là 
A. 2 3y x  . B. 2 3y x   . C. 3 2y x   . D. 3 2y x   . 
Hướng dẫn giải 
   
 
   
3
2
ph-¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) t¹i A
: y = 3x - 2
3 2; 0;2
V×
3 3 0 3
y f x x x A
A
y f x x
C
PTTT
f
   
  

   
  
Chọn D 
Câu 508: Cho hàm số   2cosy f x x  với  f x là hàm số liên tục trên  . Nếu ' 2 cos 2 4y x
     
thì  f x bằng: 
A. 1 sin 22 x . B. 
1 sin 22 x . C. sin 2x . D. cos 2x . 
Hướng dẫn giải 
   
 
2cos sin 2x
 ' 2 cos 2 cos2x - sin2x cos2x4
1 sin 2 cos2x rue 2
y f x x y f x
Theo gt y x f x
x AT
     
        
     
Chọn A 
Câu 509: Cho hàm số   21' sinf x x . Hàm số  f x bằng: 
A. 1sin x . B. 
1
sin x . C. cot x . D. cot x . 
Hướng dẫn giải 
 
 
2
2
2
2
1 cos A Falsesin sin x
1 cos BFalsesin sin x
1cot C Falsesin x
1cot DTruesin x
x
x
x
x
x
x
      
     
  
  
Chọn D 
Câu 510: Nếu   32sin'' cos
xf x
x
 thì  f x bằng: 
A. tan x . B. cot x . C. 1cos x . D. 2
1
cos x . 
Hướng dẫn giải 
   
   
3
3
3
2 3 2 4
2
2
2 2
2
2 2
1 2sinxtan tan A Truecos cos
1 2cosxcot cot B Falsesin cos
1 sinx 1 cos 2sin C Falsecos cos cos cos
1 2sinx 1 2cos 6sin D Facos cos cos cos
x x
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x
x x x x
    
     
                
               lse
Chọn A 
Câu 511: Cho hàm số   cos 2f x x . Xét hàm số       
', : '
f x u x
u v
v x f x
 
. Chọn câu đúng. 
A. 
 
 
2cos 2
1 cos 22
u x x
v x x
  
. B. 
 
 
2cos 2
1 cos 22
u x x
v x x
  
. C. 
 
 
2sin 2
1 sin 22
u x x
v x x
  
. D. 
 
 
2sin 2
1 sin 22
u x x
v x x
  
. 
Hướng dẫn giải 
Vì   cos 2f x x nên  v x phải là hàm chứa sin 2x , do đó, loại đáp án A, B. 
Kiểm tra hai đáp án còn lại bằng cách đạo hàm  v v , ta có 
 1 1sin 2 2 cos 2 cos 22 2x x x x
      . Do đó, chọn đáp án C . 
Hơn nữa, chúng ta có thể áp dụng công thức đạo hàm  cos sinu u u   để kiểm tra ý còn lại, 
tức là    2 sin 2 2sin 2f x x x x     . 
Chọn C 
Câu 512: Xét hai mệnh đề: 
(I)    2 31 2sin'cos cos
xf x f x
x x
   ; (II)     21 sin'cos cos
xg x g x
x x
    
Mệnh đề nào sai? 
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả hai đều sai. D. Cả hai đều đúng. 
Hướng dẫn giải 
Kiểm tra các mệnh đề (I), (II) bằng cách áp dụng các công thức đạo hàm 21 uu u
       , 
  1n nu nu u   ,  cos sinx x   , ta có 
      22 4 4 4 3cos 2 cos cos 2 sin cos1 2sincos cos cos cos cos
x x x x x x
x x x x x
              (I) sai 
    2 2 2cos sin1 sincos cos cos cos
x x x
x x x x
           (II) sai 
Chọn C 
Câu 513: Xét hai mệnh đề: 
(I)    3 41' sin sin4f x x f x x   ; (II)    3 4
1' sin cos sin4g x x x g x x   . 
Mệnh đề nào đúng? 
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. 
Hướng dẫn giải 
 Kiểm tra mệnh đề (I): Ta có    4 4 3 31 1 1sin sin .4. sin sin cos .sin4 4 4x x x x x x
        . Do đó 
(I) sai. 
 Kiểm tra mệnh đề (II): Từ ý trên, rõ ràng (II) đúng. 
Chọn B 
Câu 514: Cho hàm số   1 tan1 tan
xf x
x
  . Để tính  'f x , ta lập luận theo hai cách: 
(I)    
2
1tan '4 cos 4
f x x f x
x
           
(II)    
2
2 cos 14 cot 42 sin sin4 4
x
f x x f x
x x 
                      
Cách nào đúng? 
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. 
Hướng dẫn giải 
 Kiểm tra mệnh đề (I): Biến đổi  
2 sincos sin 4 tancos sin 42 cos 4
x
x xf x x
x x x



               
. Áp dụng 
công thức  tan ' tanu u u  , ta có 
 
2 2
1 1.4 cos cos4 4
f x x
x x

 
                   
Do đó (I) sai. 
 Kiểm tra mệnh đề (II): Biến đổi   cot 4f x x
     . Áp dụng công thức đạo hàm 
  2'cot sin
uu
u
   , ta có  
2 2
14
sin sin4 4
x
f x
x x

 
                 
. Do đó, (II) sai 
Chọn D 
Câu 515: Cho hàm số   tan 1tan 1
xf x
x
  . Xét hai mệnh đề: 
(I)     
2
2
2 1 tan' 1 tan
x
f x
x
  ; (II) ' 14f
     
Mệnh đề nào đúng? 
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. 
Hướng dẫn giải 
 Kiểm tra mệnh đề (I): Áp dụng công thức 2' 'u u v uvv v
      , ta có 
         
     
 
  
 
 
 
2
2 2
2
2 2
2 2
tan 1 tan 1 tan 1 tan 1
1 tan
tan 1 tan 1 tan 1 1 tan
1 tan
tan 1 tan 1 tan 1 2 1 tan
1 tan 1 tan
x x x x
f x
x
x x x x
x
x x x x
x x
       
     
      
Do đó (I) đúng. 
 Kiểm tra mệnh đề (II): Áp dụng kết quả mệnh đề (I), ta có 
 
 
2
2 2
2 1 tan 2 1 14' 14 1 11 tan 4
f



              
Do đó (II) đúng. 
Chọn C 
Câu 516: Cho hàm số   sin cosy f x x x   . Khẳng định nào sai? 
A. 04f
     . B. ' 02f
     . C. 4
1' 4 2f
     . D.  ' 0f không tồn tại. 
Hướng dẫn giải 
Với 0, 2x
    , ta có 
cos sin' 2 sin 2 cos
x xy
x x
  , ta kiểm tra từng đáp án như sau 
 2 2sin cos 04 4 4 2 2f
           nên A đúng. 
 4 4 4 4 4
2 2
1 1 12 2
4 2 2 2 2 2 2 22. 2.2 2
f          nên C đúng. 
 Không tồn tại    
0
0lim 0x
f x f
x

 nên không tồn tại  0f  nên D đúng. 
 Không tồn tại 
 
2
2lim
2x
f x f
x


    

 nên không tồn tại 2f
    nên B sai. 
Chọn B 
Câu 517: Cho hàm số   1 1tan cotf x x x  . Xét hai phép lập luận: 
(I)     2 2 21 1 4cos 2cot tan ' sin cos sin 2
xf x x x f x
x x x
       
(II)     2cos sin 2 4cos 2'sin cos sin 2 sin 2
x x xf x f x
x x x x
     
Phép lập luận nào đúng? 
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. 
Hướng dẫn giải 
 Kiểm tra phép lập luận (I): 
        2 22 2 2 2 21 1 sin cos 4cos 2cot tan cot tan sin cos sin cos sin 2
x x xf x x x x x
x x x x x
             
Do đó, lập luận (I) đúng. 
 Kiểm tra phép lập luận (II): 
  2 2cos sin cos sin 1 21sin cos sin cos sin 2sin 22
x x x xf x
x x x x xx
     
     2 2 22 sin 2 2 2 cos 2 4cos 2sin 2 sin 2 sin 2
x x x xf x
x x x
 
       
Do đó, lập luận (II) đúng. 
Chọn C 
Câu 518: Cho hàm số   cot 2 4f x x
     . Hãy chọn câu sai: 
A.  0 1f   . B. 08f
     . C.  ' 0 4f   . D. ' 28f
      . 
Hướng dẫn giải 
Ta có  
2 2
2 24
sin 2 sin 24 4
x
f x
x x

 
                 
Do đó 
  0 cot 14f
     nên A sai 
 cot 2. cot 08 8 4 2f
                nên B đúng 
  
2
20 4
sin 4
f        
 nên C đúng 
 
2
2 28 sin 2. 8 4
f   
            
 nên D đúng 
Chọn A 
Câu 519: Tính đạo hàm của hàm số   6 6 2 2sin cos 3sin cosy f x x x x x    theo 4 bước sau đây. Biết 
rằng cách tính cho kết quả sai, hỏi cách tính sai ở bước nào? 
A.    6 6 2 2 2 2sin cos 3sin cos sin cosy f x x x x x x x     . 
B.    32 2sin cosf x x x  . 
C.   31 1f x   . 
D.  ' 1f x  . 
Hướng dẫn giải 
Kiểm tra từng bước, ta có 
 Bước A đúng vì 2 2sin cos 1x x  nên  2 2 2 2 2 23sin cos 3sin cos sin cosx x x x x x  
 Áp dụng hằng đẳng thức    3 3 3 3a b a b ab a b     nên bước B đúng. 
 Lại áp dụng 2 2sin cos 1x x  nên bước C đúng. 
 Sử dụng sai công thức đạo hàm lẽ ra   0c   nên D sai. 
Chọn D 
Câu 520: Xét hàm số  y f x với 0 , 2x y
  cho bởi: 2sin cos (1)y x . Để tính đạo hàm 'f của 
f , ta lập luận qua hai bước: 
(I) Lấy vi phân hai vế của (1): 
2sin coscos 2cos .sin ' cos
dy x xydy x xdx y
dx y
     
(II)   2 2 22 2
2sin cos 2sin cos 2sin cos 2cos' 1 sin | sin | 1 cos 1 cos1 cos 1 cos
x x x x x x xy
y x x xx x
         
Hãy chọn bước đúng? 
A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả hai đều đúng. D. Cả hai đều sai. 
Hướng dẫn giải 
 Kiểm tra bước (I): 
Áp dụng công thức vi phân  dy f x dx (với  y f x ) cho hai vế của (1), ta có 
     2sin cos cos 2 cos cos cos 2sin cos
2cos sin' cos
y dy x dx ydy x xdx ydy x xdx
dy x xy
dx y
      
  
Do đó, bước (I) đúng. 
 Kiểm tra bước (II): với điều kiện 0 , 2x y
  từng bước lập luận ở bước (II) dã chặt chẽ. 
Chọn C 
BẢNG ĐÁP ÁN. 
301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 
D A C B C D A B C A B C B C A D A A A B 
321 322 323 324 325 326 326 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 
A A A C A B C B A C B A B A D C D C C D 
341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 
C D C D A B D A C C A B C A B A D C D A 
401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 
D A A B C B C D B A D D C C B D A A B A 
421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 
C D A A B B C B A A D B B D D C C A B B 
441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 
C D C D A B D B C C A B C A B D C D C A 
461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 
D D B A C B D A B A C B C B D C B D A D 
481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 
D B A B A C C D B D A B D A D B A C C 
501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 
A B C B A C D A D A C C B D C B C A D C