Giáo án môn Đại số 11 - Chương 2: Bất đẳng thức, các phương pháp chứng minh

Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 31 
Chương 2 : 
Các phương pháp chứng minh 
 Chứng minh bất ñẳng thức ñòi hỏi kỹ năng và kinh nghiệm. Không thể khơi khơi mà ta 
ñâm ñầu vào chứng minh khi gặp một bài bất ñẳng thức. Ta sẽ xem xét nó thuộc dạng bài 
nào, nên dùng phương pháp nào ñể chứng minh. Lúc ñó việc chứng minh bất ñẳng thức 
mới thành công ñược. 
 Như vậy, ñể có thể ñương ñầu với các bất ñẳng thức lượng giác, bạn ñọc cần nắm vững 
các phương pháp chứng minh. ðó sẽ là kim chỉ nam cho các bài bất ñẳng thức. Những 
phương pháp ñó cũng rất phong phú và ña dạng : tổng hợp, phân tích, quy ước ñúng, ước 
lượng non già, ñổi biến, chọn phần tử cực trị  Nhưng theo ý kiến chủ quan của mình, 
những phương pháp thật sự cần thiết và thông dụng sẽ ñược tác giả giới thiệu trong 
chương 2 : “Các phương pháp chứng minh”. 
 Mục lục : 
 2.1. Biến ñổi lượng giác tương ñương ... 32 
 2.2. Sử dụng các bước ñầu cơ sở ... 38 
 2.3. ðưa về vector và tích vô hướng .. 46 
 2.4. Kết hợp các bất ñẳng thức cổ ñiển .. 48 
 2.5. Tận dụng tính ñơn diệu của hàm số  57 
 2.6. Bài tập . 64 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 32 
2.1. Biến ñổi lượng giác tương ñương : 
 Có thể nói phương pháp này là một phương pháp “xưa như Trái ðất”. Nó sử dụng các 
công thức lượng giác và sự biến ñổi qua lại giữa các bất ñẳng thức. ðể có thể sử dụng 
tốt phương pháp này bạn ñọc cần trang bị cho mình những kiến thức cần thiết về biến ñổi 
lượng giác (bạn ñọc có thể tham khảo thêm phần 1.2. Các ñẳng thức,bất ñẳng thức 
trong tam giác). 
 Thông thường thì với phương pháp này, ta sẽ ñưa bất ñẳng thức cần chứng minh về 
dạng bất ñẳng thức ñúng hay quen thuộc. Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng hai kết quả 
quen thuộc 1cos;1sin ≤≤ xx . 
Ví dụ 2.1.1. 
 CMR : 
7
cos3
14
sin2
14
sin1
pi
pi
pi
>
−
Lời giải : 
 Ta có : 
( )1
7
3
cos
7
2
cos
7
cos
14
sin2
14
sin1
7
3
cos
7
2
cos
7
cos
14
sin2
14
5
sin
14
7
sin
14
3
sin
14
5
sin
14
sin
14
3
sin
14
sin1
pipipi
pi
pi
pipipipi
pipipipipipipi
++=
−
⇒






++=
−+−+−=−
 Mặt khác ta có : 
( )2
7
cos
7
3
cos
7
3
cos
7
2
cos
7
2
cos
7
cos
7
2
cos
7
4
cos
7
cos
7
5
cos
7
3
cos
7
cos
2
1
7
cos
pipipipipipi
pipipipipipipi
++=






+++++=
 ðặt 
7
3
cos;
7
2
cos;
7
cos
pipipi
=== zyx 
 Khi ñó từ ( ) ( )2,1 ta có bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
( ) ( )33 zxyzxyzyx ++>++ 
 mà 0,, >zyx nên : 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )403 222 >−+−+−⇔ xzzyyx 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 33 
 Vì zyx ,, ñôi một khác nhau nên ( )4 ñúng ⇒ñpcm. 
 Như vậy, với các bất ñẳng thức như trên thì việc biến ñổi lượng giác là quyết ñịnh 
sống còn với việc chứng minh bất ñẳng thức. Sau khi sử dụng các biến ñổi thì việc giải 
quyết bất ñẳng thức trở nên dễ dàng thậm chí là hiển nhiên (!). 
Ví dụ 2.1.2. 
 CMR : ( )xbcxcaxabcba sin2cos3sin2222 −+≥++ 
Lời giải : 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) 0cos2sinsin2cos
0coscos2sin22sin
sin22cos2sin2cos2sin2cos
sin22cos2
cos2sin2cossin2cossin2cos2sin
22
2222
22222
2222222
≥−+−−⇔
≥+−+
+−−++⇔
−+
++≥++++
xbxacxbxa
xbxxabxa
xbcxcaxxabcxbxa
xbcxca
xxxxabcxxbxxa
 Bất ñẳng thức cuối cùng luôn ñúng nên ta có ñpcm. 
Ví dụ 2.1.3. 
 CMR với ABC∆ bất kỳ ta có : 
4
9
sinsinsin 222 ≤++ CBA 
Lời giải : 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
( )
( )
( ) ( ) 0sin
4
1
2
cos
cos
0
4
1
coscoscos
0
4
12cos2cos
2
1
cos
4
9
2
2cos1
2
2cos1
cos1
2
2
2
2
2
≥−+




 −
−⇔
≥+−−⇔
≥+++⇔
≤−+−+−
CBCBA
CBAA
CBA
CBA
 ⇒ñpcm. 
 ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ ñều. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 34 
Ví dụ 2.1.4. 
 Cho ( )Zkk ∈+≠ pipiγβα
2
,, là ba góc thỏa 1sinsinsin 222 =++ γβα . CMR : 
 γβααγγββα 222
2
tantantan21
3
tantantantantantan
−≤




 ++
Lời giải : 
 Ta có : 
γβααγγββα
γβα
γβα
γβα
222222222
222
222
222
tantantan21tantantantantantan
2
tan1
1
tan1
1
tan1
1
2coscoscos
1sinsinsin
−=++⇔
=
+
+
+
+
+
⇔
=++⇔
=++
 Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
( ) ( ) ( ) 0tantantantantantantantantantantantan
tantantantantantan
3
tantantantantantan
222
222222
2
≥−+−+−⇔
++≤




 ++
βααγαγγβγββα
αγγββααγγββα
 ⇒ñpcm. 
 ðẳng thức xảy ra γβα
βααγ
αγγβ
γββα
tantantan
tantantantan
tantantantan
tantantantan
==⇔





=
=
=
⇔ 
Ví dụ 2.1.5. 
 CMR trong ABC∆ bất kỳ ta có : 
 





++≥++
2
tan
2
tan
2
tan3
2
cot
2
cot
2
cot
CBACBA
Lời giải : 
 Ta có : 
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
CBACBA
=++ 
 ðặt 
2
cot;
2
cot;
2
cot
C
z
ByAx === thì 



=++
>
xyzzyx
zyx 0,,
 Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 35 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0
3
3
1113
222
2
≥−+−+−⇔
++≥++⇔
++≥++⇔






++≥++
xzzyyx
zxyzxyzyx
xyz
zxyzxy
zyx
zyx
zyx
 ⇒ñpcm. 
 ðẳng thức xảy ra CBA cotcotcot ==⇔ 
 CBA ==⇔ 
 ABC∆⇔ ñều. 
Ví dụ 2.1.6. 
 CMR : 
xxx cos2
2
sin3
1
sin3
1
+
≤
−
+
+
Lời giải : 
 Vì 1sin1 ≤≤− x và 1cos −≥x nên : 
 0sin3;0sin3 >−>+ xx và 0cos2 >+ 
 Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
( ) ( )
( )
( )( ) 02cos1cos
04cos6cos2
cos1218cos612
sin92cos26
2
2
2
≥−−⇔
≥+−⇔
−−≤+⇔
−≤+
xx
xx
xx
xx
 do 1cos ≤x nên bất ñẳng thức cuối cùng luôn ñúng ⇒ñpcm. 
Ví dụ 2.1.7. 
 CMR 
2
;
3
piβαpi <≤∀ ta có : 
 





−





−≤−
+
1
cos
11
cos
11
coscos
2
βαβα 
Lời giải : 
 Từ 
2
1
cos;cos0
2
;
3
≤<⇒<≤∀ βαpiβαpi 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 36 
 do ñó 




≤<
≤+<
4
1
coscos0
1coscos0
βα
βα
 ðặt βαβα coscos;coscos =+= ba 
 Bất ñẳng thức ñã cho trở thành : 
 ( ) ( )
( )( ) 041
044
12
12
12
2
23
22
2
≤−−⇔
≤+−−⇔
+−≤−⇔
+−≤




 −
⇔
+−≤−
baa
babaa
baaba
b
ba
a
a
b
ba
a
a
 Bất ñẳng thức cuối cùng ñúng vì 1≤a và ( ) ⇒≥−=− 0coscos4 22 βαba ñpcm. 
Ví dụ 2.1.8. 
 Cho các góc nhọn a và b thỏa 1sinsin 22 <+ ba . CMR : 
 ( )baba +<+ 222 sinsinsin 
Lời giải : 
 Ta có : 1
2
sinsin 22 =





−+ aa
pi
 nên từ ñiều kiện 1sinsin 22 <+ ba suy ra : 
2
0;
2
pipi
<+<−< baab 
 Mặt khác ta có : 
 ( ) babaabbaba coscossinsin2cossincossinsin 22222 ++=+ 
 nên thay bb 22 sin1cos −= vào thì bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
( )ba
baba
bababa
+<⇔
<⇔
<
cos0
coscossinsin
coscossinsin2sinsin2 22
 (ñể ý 0sinsin2 >ba nên có thể chia hai vế cho ba sinsin2 ) 
 Bất ñẳng thức sau cùng hiển nhiên ñúng do ⇒<+<
2
0 piba ñpcm. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 37 
Ví dụ 2.1.9. 
 Cho ABC∆ không vuông. CMR : ( ) ACCBBACBACBA 222222222222 tantantantantantan9tantantan5tantantan3 +++≤++−
Lời giải : 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : ( ) ( )( )( )
( )
( ) ( )
( )
( )( ) ( ) 0sincoscos2
01coscos4cos4
01cos4coscos2
01cos42cos2cos2
4
3
cos
2
2cos1
2
2cos1
4
3
coscoscos
coscoscos
1
coscos
1
coscos
1
coscos
1
coscoscos
4
coscoscos
183
cos
1
cos
1
cos
141
cos
11
cos
11
cos
14
tan1tan1tan18tantantan4tantantan4
22
2
2
2
2
222
222222222222
222222222
222222222
≥−+−−⇔
≥+−−⇔
≥++−+⇔
≥+++⇔
≥++++⇔
≥++⇔
≤





++−⇔
≤−





−++−





−





−





−⇔
+++≤−++−
BABAC
BACC
CBABA
CBA
CBA
CBA
CBAACCBBACBA
CBACBACBA
CBACBACBA
 ⇒ñpcm. 
 Ví dụ sau ñây, theo ý kiến chủ quan của tác giả, thì lời giải của nó xứng ñáng là bậc 
thầy về biến ñổi lượng giác. Những biến ñổi thật sự lắt léo kết hợp cùng bất ñẳng thức 
một cách hợp lý ñúng chỗ ñã mang ñến cho chúng ta một bài toán thật sự ñặc sắc !!! 
Ví dụ 2.1.10. 
 Cho nửa ñường tròn bán kính R , C là một ñiểm tùy ý trên nửa ñường tròn. Trong hai 
hình quạt nội tiếp hai ñường tròn, gọi M và N là hai tiếp ñiểm của hai ñường tròn với 
ñường kính của nửa ñường tròn ñã cho. CMR : ( )122 −≥ RMN 
Lời giải : 
 Gọi 21 ,OO là tâm của hai ñường tròn. ðặt α2=∠CON (như vậy 20
pi
α << ) 
 và 2211 ; ROOROO == 
 Ta có : 
α
pi
α
−=∠
=∠
21
2
OMO
ONO
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 38 
NM O
O1
O2
C
 Vậy : 
 αααα
pi
cottancot
2
cot 2121 RRRRONMOMN +=+





−=+= 
 Trong ∆ vuông MOO1 có : 
( )
( )
α
α
αα
αα
pi
cos1
cos
coscos1
cos
2
sin
11
111
+
=⇒=+
−=





−=
RRRR
RROOR
 Tương tự : 
 ( )
α
α
αα
sin1
sin
sinsin 2222 +
=⇒−==
RRRROOR 
 Do ñó : 
( )( )
1cossin
2
2
cos
2
sin
2
cos
1
2
cos2.
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
cos2
cos1sin1
1cossin
sin1
cos
cos1
sin
sin
cos
sin1
sin
cos
sin
cos1
cos
2
2
++
=






+
=






+






+
=
++
++
=
+
+
+
=
⋅
+
+⋅
+
=
αα
ααα
ααα
ααα
αα
αα
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
α
R
R
R
R
RR
RRMN
 mà ( )⇒−=
+
≥⇒≤





−≤+ 122
12
22
4
2cossin RRMNpiααα ñpcm. 
 ðẳng thức xảy ra MNOC ⊥⇔=⇔
4
pi
α . 
2.2. Sử dụng các bước ñầu cơ sở : 
 Các bước ñầu cơ sở mà tác giả muốn nhắc ñến ở ñây là phần 1.2. Các ñẳng thức, bất 
ñẳng thức trong tam giác. Ta sẽ ñưa các bất ñẳng thức cần chứng minh về các bất ñẳng 
thức cơ bản bắng cách biến ñổi và sử dụng các ñẳng thức cơ bản. Ngoài ra, khi tham gia 
các kỳ thi, tác giả khuyên bạn ñọc nên chứng minh các ñẳng thức, bất ñẳng thức cơ bản 
sử dụng như một bổ ñề cho bài toán. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 39 
C1
C
B1
B
A1
A
Ví dụ 2.2.1. 
 Cho ABC∆ . ðường phân giác trong các góc CBA ,, cắt ñường tròn ngoại tiếp ABC∆ 
lần lượt tại 111 ,, CBA . CMR : 
111 CBAABC SS ≤ 
Lời giải : 
 Gọi R là bán kính ñường tròn ngoại tiếp ABC∆ thì nó cũng là bán kính ñường tròn 
ngoại tiếp 111 CBA∆ . 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
( )1sinsinsin2sinsinsin2 11122 CBARCBAR ≤ 
 Do 
2
;
2
;
2 111
BACACBCBA +=+= ... 
+





+
Tương tự : 
( )
( )3cotcotcot4
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2cotcotcot4
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
2
ACBCBBA
CBABAAC
≥





+





+
≥





+





+
 Từ ( )( )( )321 suy ra : 
( )4
2
cot
2
cot
2
cot12
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
3 222
CBABAAC
BAACBAAC
≥





+





++
+





+





++





+





+
 Mặt khác ta có : ( )527
2
cot
2
cot
2
cot33
2
cot
2
cot
2
cot 222 ≥⇒≥ CBACBA 
 Từ ( )( )54 suy ra : ( )6363.12
2
cot
2
cot
2
cot123 222 =≥CBA 
 Từ ( )( )64 suy ra ñpcm. 
2.5. Tận dụng tính ñơn ñiệu của hàm số : 
 Chương này khi ñọc thì bạn ñọc cần có kiến thức cơ bản về ñạo hàm, khảo sát hàm số 
của chương trình 12 THPT. Phương pháp này thực sự có hiệu quả trong các bài bất ñẳng 
thức lượng giác. ðể có thể sử dụng tốt phương pháp này thì bạn ñọc cần ñến những kinh 
nghiệm giải toán ở các phương pháp ñã nêu ở các phân trước. 
Ví dụ 2.5.1. 
 CMR : 
pi
x
x
2
sin > với 





∈
2
;0 pix 
Lời giải : 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 58 
 Xét ( )
pi
2sin
−=
x
x
xf với 





∈
2
;0 pix 
 ( ) 2 sincos' x
xxx
xf −=⇒ 
 Xét ( ) xxxxg sincos −= với 





∈
2
;0 pix 
 ( ) ( )xgxxxxg ⇒





∈∀<−=⇒
2
;00sin' pi nghịch biến trên khoảng ñó. 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=





>⇒<⇒=<⇒ 0
2
0'00 pifxfxfgxg ñpcm. 
Ví dụ 2.5.2. 
 CMR : x
x
x
cos
sin 3
>





 với 





2
;0 pi 
Lời giải : 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
( )
( ) 0cossin
cos
sin
3
1
3
1
>−⇔
>
−
xx
x
x
 Xét ( ) ( ) xxxxf −= −31cossin với 





∈
2
;0 pix 
 Ta có : ( ) ( ) ( ) 1cossin
3
1
cos' 3
4
23
2
−−=
−
xxxxf 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 





∈∀>+−= −−
2
;00cossin
9
4
sin1cos
3
2
'' 4
7
33
1 pi
xxxxxxf 
 ( )xf '⇒ ñồng biến trong khoảng ñó ( ) ( ) 00'' =>⇒ fxf 
 ( )xf⇒ cũng ñồng biến trong khoảng ñó ( ) ( ) ⇒=>⇒ 00fxf ñpcm. 
Ví dụ 2.5.3. 
 CMR nếu a là góc nhọn hay 0=a thì ta có : 
1tansin 222 +≥+ aaa 
Lời giải : 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 59 
 Áp dụng AM – GM cho hai số dương asin2 và atan2 ta có : 
aaaaaa tansintansintansin 2222222 +=≥+ 
 Như vậy ta chỉ cần chứng minh : aaa 2tansin >+ với 
2
0 pi<< a 
 Xét ( ) xxxxf 2tansin −+= với 





∈
2
;0 pix 
 Ta có : 
( ) ( ) ( )[ ] 





∈∀>−+−=+−=−+=
2
;00
cos
cos1cos1cos1
cos
1cos2cos2
cos
1
cos' 22
23
2
pi
x
x
xxx
x
xx
x
xxf
( )xf⇒ ñồng biến trên khoảng ñó ( ) ( )0faf >⇒ với aaaa 2tansin
2
;0 >+⇒





∈
pi
12tansin 22222 ++ =≥⇒ aaaa 
1tansin 222 +≥+⇒ aaa (khi 0=a ta có dấu ñẳng thức xảy ra). 
Ví dụ 2.5.4. 
 CMR trong mọi tam giác ta ñều có : 
( ) CBACBABABABA coscoscoscoscoscos
12
13
coscoscoscoscoscos1 +++≤+++ 
Lời giải : 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
( ) ( )CBABABABACBA coscoscos
6
131coscoscoscoscoscos2coscoscos21 ++≥++++−
( ) ( )CBABABABACBA coscoscos
6
131coscoscoscoscoscos2coscoscos 222 ++≥++++++⇔
( ) ( )CBACBA coscoscos
6
131coscoscos 2 ++≤+++⇔
6
13
coscoscos
1
coscoscos ≤
++
+++⇔
CBA
CBA 
 ðặt 
2
31coscoscos ≤<⇒++= tCBAt 
 Xét hàm ñặc trưng : ( )
t
ttf 1+= với 




∈
2
3
;1t 
 Ta có : ( ) ( )xft
x
xf ⇒




∈∀>−=
2
3
;1011' 2 ñồng biến trên khoảng ñó. 
 ( ) ⇒=




≤⇒
6
13
2
3fxf ñpcm. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 60 
Ví dụ 2.5.5. 
 Cho ABC∆ có chu vi bằng 3. CMR : 
 ( ) 2222 4
13
sinsinsin8sinsinsin3
R
CBARCBA ≥+++ 
Lời giải : 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
( )( )( ) 13sin2sin2sin24sin4.3sin4.3sin4.3 222222 ≥+++ CRBRARCRBRAR 
 134333 222 ≥+++⇔ abccba 
 Do vai trò của cba ,, là như nhau nên ta có thể giả sử cba ≤≤ 
 Theo giả thiết : 
2
3133 −⇒>+⇒=++ ccccbacba 
 Ta biến ñổi : 
( )
( )[ ]
( )
( ) ( )
( ) ( )cabcc
cabcc
ababccc
abccabba
abccba
abccbaT
232333
322333
64333
4323
433
4333
22
22
22
22
222
222
−−+−=
−++−=
−++−=
++−+=
+++=
+++=
 vì 023032
2
3
>−⇒<−⇒< ccc 
 và 
222
2
322
2
3
2





 −
−≥−⇒




 −
=




 +≤ cabcbaab 
 Do ñó : ( ) ( )ccccT 23
2
32333
2
22
−




 −
−+−≥ 
 ( )cfcc =+−=
2
27
2
3 23
 Xét ( )
2
27
2
3 23 +−= cccf với 
2
31 <≤ c 
 ( ) ( )cfccccf ⇒




∈∀≥−=⇒
2
3
;1033' 2 ñồng biến trên khoảng ñó. 
 ( ) ( ) ⇒=≥⇒ 131fcf ñpcm. 
Ví dụ 2.5.6. 
 Cho ABC∆ bất kỳ. CMR : 
33
282 ≥+
r
p
S
r
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 61 
Lời giải : 
 Ta có : 
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
p
cp
p
bp
p
apCBA
cpp
bpapC
bpp
apcpB
app
cpbpA
−
⋅
−
⋅
−
=⇒










−
−−
=
−
−−
=
−
−−
=
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
 và 
( )( )( )
p
cp
p
bp
p
ap
p
cpbpapp
p
S
S
r −
⋅
−
⋅
−
=
−−−
== 22
2
 Do ñó : 
2
tan
2
tan
2
tan
2 CBA
S
r
= 
 Mặt khác : 
( ) ( )
( )
( )
2
cot
2
cot
2
cot
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
tansinsinsin2
sinsinsin2
2
tan
2
tan2
CBA
A
A
CBA
CBA
AACBR
CBAR
A
acb
cba
A
ap
cba
r
p
==
−+
++
=
−+
++
=
−
++
=
 Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
33
28
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot
1
33
28
2
cot
2
cot
2
cot
2
tan
2
tan
2
tan
≥+⇔
≥+
CBA
CBA
CBACBA
 ðặt 33
2
cot
2
cot
2
cot ≥⇒= tCBAt 
 Xét ( )
t
ttf 1+= với 33≥t 
 ( ) 33011' 2 ≥∀>−=⇒ tttf 
 ( ) ( ) ⇒=+==⇒
33
28
33
13333min ftf ñpcm. 
Ví dụ 2.5.7. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 62 
 CMR với mọi ABC∆ ta có : 
 ( )( )( ) 2
33
38222 eRcRbRaR <+++ 
Lời giải : 
 Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 
( )( )( ) 2
33
2
33
2
33
sin1sin1sin1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
eCBA
e
R
c
R
b
R
a
e
R
cR
R
bR
R
aR
<+++⇔
<





+





+





+⇔
<
+
⋅
+
⋅
+
 Xét ( ) ( ) xxxf −+= 1ln với 10 << x 
 ( ) ( )1;00
1
1
1
1
' ∈∀<
+
−=−
+
=⇒ x
x
x
x
xf 
 ( )xf⇒ nghịch biến trên khoảng ñó ( ) ( ) 00 =<⇒ fxf 
 ( ) xx <+⇒ 1ln 
 Lần lượt thay { }CBAx sin,sin,sin= vào bất ñẳng thức trên rồi cộng lại ta ñược : 
( ) ( ) ( )
( )( )( )[ ]
( )( )( ) CBAeCBA
CBACBA
CBACBA
sinsinsinsin1sin1sin1
sinsinsinsin1sin1sin1ln
sinsinsinsin1lnsin1lnsin1ln
++<+++⇔
++<+++⇔
++<+++++
 mà ( )( )( ) ⇒<+++⇒≤++ 2
33
sin1sin1sin1
2
33
sinsinsin eCBACBA ñpcm. 
Ví dụ 2.5.8. 
 Cho ABC∆ . CMR : 
 ( )( )( )
16
125
cos1cos1cos1 222 ≥+++ CBA 
Lời giải : 
 Không mất tổng quát giả sử { }CBAC ,,min= .Ta có : 
 ( )( ) 




 +
+




 +
+=++
2
2cos11
2
2cos11cos1cos1 22 BABA 
 Xét ( )( ) ( )( )BABAP 2cos32cos3cos1cos14 22 ++=++= 
( ) BABAP 2cos2cos2cos2cos39 +++=⇒ 
 ( ) ( ) ( ) ( )[ ]BABABABA 22cos22cos
2
1
coscos69 −+++−++= 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 63 
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) 1coscoscoscos69
2cos2cos2
2
1
coscos69
22
22
−+++−−=
−++++−−=
BACBAC
BABABAC
 do ( ) 1cos ≤− BA 
 ( )22 cos3coscos69 CCCP −=+−≥⇒ 
 mà 0cos >C 
 ( ) ( ) ( )CCCP 222 cos1cos3cos1 +−≥+⇒ 
 Mặt khác ta có : 
2
1
cos600 0 ≥⇒≤< CC 
 Xét ( ) ( ) ( )22 13 xxxf +−= với 




∈ 1;
2
1
x 
 ( ) ( )( )( ) 




∈∀≥−−−=⇒ 1;
2
1012132' xxxxxf 
 ( )xf⇒ ñồng biến trên khoảng ñó. 
 ( ) ( )( )( ) ⇒≥+++⇒=




≥⇒
16
125
cos1cos1cos1
16
125
2
1 222 CBAfxf ñpcm. 
Ví dụ 2.5.9. 
 Cho ABC∆ bất kỳ. CMR : 
 ( ) 32cotcot
sin
1
sin
12 ≤+−





+ CB
CB
Lời giải : 
 Xét ( ) x
x
xf cot
sin
2
−= với ( )pi;0∈x 
 ( ) ( )
3
0'
sin
cos21
sin
1
sin
cos2
' 222
pi
=⇔=⇒
−
=+−=⇒ xxf
x
x
xx
x
xf 
 ( ) 3cot
sin
23
3
max ≤−⇒=





=⇒ x
x
fxf pi 
 Thay x bởi CB, trong bất ñẳng thức trên ta ñược : 
 ⇒






≤−
≤−
3cot
sin
2
3cot
sin
2
C
C
B
B ñpcm. 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 64 
Ví dụ 2.5.10. 
 CMR : 
20
720sin
3
1 0 << 
Lời giải : 
 ðặt 
2
1030sin020sin 00 <<⇒<<⇒= aaa 
 Ta có : 
2
34320sin420sin320.3sin60sin
2
3 303000
=−⇒−=== aa 
 aaa ⇒=+−⇒ 0
2
334 3 là nghiệm của phương trình : 0
2
334 3 =+− xx 
 Xét ña thức : ( )
2
334 3 +−= xxxf 
 Ta có : ( ) 0
2
23
2
311 <−=+−=−f 
( ) ( ) ( ) 0010
2
30 = fff Bởi vì ( )xf liên tục trên toàn trục số .Do ñó ña thức 
( )xf có một nghiệm thực trên khoảng ( )0;1− 
 Lại có : 0
20
7
3
1
0
2000
175731000
20
7
0
54
46327
3
1
<











⇒







<
−
=





>
−
=





ff
f
f
⇒ ña thức ( )xf có một nghiệm thực trên khoảng 





20
7
;
3
1
 Lại có : 0
2
23
2
1
<
−
=




f và ( ) ( ) 01
2
10
2
231 <





⇒>
+
= fff 
⇒ ña thức ( )xf có một nghiệm thực trên khoảng 




 1;
2
1
 Bởi vì aa ⇒





∈
2
1
;0 là nghiệm thực trên khoảng ⇒





20
7
;
3
1
ñpcm. 
2.6. Bài tập : 
 Cho ABC∆ . CMR : 
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác 
 Chương 2 Các phương pháp chứng minh 
The Inequalities Trigonometry 65 
2.6.1. ( )
2
5
cos2cos2cos3 ≤+− BCA 
2.6.2. 42cos322cos22cos3 −≥++ CBA 
2.6.3. ( )( ) ( ) 542cos532cos2cos15 +≤+−++ CBA 
2.6.4. 34
2
tan
2
tan
2
tan −≥++ CBA với ABC∆ có một góc 
3
2pi≥ 
2.6.5. 2222 4
1111
rcba
≤++ 
2.6.6. 
cba r
c
r
b
r
a
r
abc 333
++≥ 
2.6.7. ( )( )( ) 2
3
<
+++
+
+
+
+
+
+ accbba
abc
ba
c
ac
b
cb
a
2.6.8. CBA
CBA
tantantan
2
1
2
3
2sin
1
2sin
1
2sin
1
+≥++ 
2.6.9. 
32
tan
2
tan
2
tan
cbaC
c
BbAa ++≥++ 
2.6.10. ( ) 36
1
sinsinsin
sinsinsin
2 ≤++ CBA
CBA
2.6.11. 
2
sin
2
sin
2
sin9coscoscos1 CBACBA ≥+ 
2.6.12. rRmmm cba +≤++ 4 
2.6.13. 2phhhhhh accbba ≤++ 
2.6.14. ( )( ) ( )( ) ( )( ) 22222 Rpbpapcapcpbcpbpa ≤−−+−−+−− 
2.6.15. ( )( )( ) CBACBA coscoscoscos1cos1cos1 ≥−−−