Bài tập ðại Số Tuyến Tính

Bài tập ðại Số Tuyến Tính 
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân - Dương Minh Thành - GV Khoa Vật Lý – ðHSP Tp.HCM 
1 
Bài tập SỐ PHỨC 
LÝ THUYẾT:Cần làm rõ các vấn ñề sau 
1. Số phức là gì? Thế nào là liên hợp của một số phức? Khi nào hai số phức bằng nhau? 
2. Các phép toán của số phức và số phức liên hợp? Modun của số phức? 
3. a. Các dạng biểu diễn của số phức? 
b. Có thể viết dạng lượng giác của số phức là cosu – isinu; sinu ± icosu? 
c. Khi nào thì sử dụng dạng ñại số của số phức; khi nào sử dụng dạng lượng giác? 
d. Nâng số phức lên lũy thừa và khai căn số phức? Có thể tìm lũy thừa p của z với p 
bất kỳ? 
4. Hàm số mũ với số mũ phức? Tính chất? Công thức Euler? 
BÀI TẬP 
Bài 1. Tính: 
1. (-3 + i)(14 + 2i) ð/s -40 + 20i 2. 
i
i
41
32
−
+
 ð/s: 
17
1110 i+−
 3. ( )
i
i
−
+
1
21 2
ð/s: 
2
7 i+−
4. ( ) ( )( ) ( )23
32
223
121
ii
ii
+−+
−−+
 ð/s 5. ( )( )7
9
1
1
i
i
−
+
 ð/s: 2 6. i43 − ð/s: ± ( 2 – i) 
7. ( )34421 i− ð/s: -21721 i 8. 2 2
1 1
i i i
i i
+ −
+ +
− +
 ð/s: 32
2
i+
 9. ( ) ( )93 3131 ii +++ 
Bài 2. Biểu diễn các số phức sau dưới dạng ñại số x + iy; x, y ∈ R. 
a. (1 + i)12 ð/s: -64 b. 1 + (1 + i) + (1 + i)2 +  + (1 + i)99. ð/s(1 + 250)i 
c. 
6
2
1 −





 − i
ð/s: –i d. cos z. Từ ñó suy ra cos (1 – 2i) e. sin z. Từ ñó suy ra sini. 
Bài 3. Cho ( )4sin4cos2 pipi iz += và ( )6sin6cos3 pipi iw += 
Tìm dạng lượng giác của: 
a. zw; b. z/w; c. w/z ; d. z5/w2 . 
Bài 4. Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác: 
a. z = 322 i+− ð/s: 





+=
3
2
sin
3
2
cos4 pipi iz b. 
i
i
+
−
1
1
 ð/s: 
2
3
sin
2
3
cos
pipi
i+ 
Bài tập ðại Số Tuyến Tính 
Biên soạn: Nguyễn Vũ Thụ Nhân - Dương Minh Thành - GV Khoa Vật Lý – ðHSP Tp.HCM 
2 
c. 
7
sin
7
cos
pipi
i+− ð/s: 
7
6
sin
7
6
cos
pipi
i+ d. 
3
cos
3
sin pipi i+ ð/s: 
3
2
sin
3
2
cos
pipi
i+ 
e. 
7
sin
7
cos1 pipi i++ ð/s: f. z = (1 + i)(1 + i 3 )( 3 - i) ð/S: ( )125sin125cos2 pipi i+ 
f. z = ( ) ( )( )4
55
3
311
i
ii
+
−+
 ð/s: ( )1211sin1211cos2 27 pipi i+ 
g. z = cos 450 + isin 300 ð/s
2
3 (cosα + isinα) ; cosα = 
3
2
, sinα = 
3
1
Bài 5. Tìm z nếu: 
a. 
( )
( )( )ii
i
7261
1 4
−+
+ ; b. 
3
31
62








+
+−
i
i
 c. 
( )( )( )
( )( )iii
iii
++
−−++
543
231
Bài 6: Tìm modun và argument chính của các số phức: 
a. 4 + 3i, -4 + 3i, -4 – 3i, 4 – 3i b.4 + i ð/s: ( )41;17 arctg 
c. 
2
3 i−−





 +− 3
1;2
10: arctgÑs pi d.. 
17
1
3








+
+
i
i
ð/s: (217/2; 7pi/12) 
Bài 7. Tìm z thoả: 
1. z2 = 1 + i 2. iz + (2 - 10i)z = 3z + 2i. ð/s: z = -941 - 
i
41 
2. z2 = -8 - 6i ð/s: z = ±(1 - 3i) 4. z2 - (3 + i)z + 4 + 3i = 0.ð/s: z = 2 - i; 1 + 2i 
5. iziz 2521 −−=−− ð/S: (x–19/3)2 + (y–7/3)2 = 68/9 
6. zz =2 ð/s: z = 0; 1; 
2
3
2
1 ±− 7. cosz = 2 ð/s: z = - i ln(2 ± 3 ) 
Bài 8. Tìm các giá trị của căn những số phức sau: 3 i , 4 1 , i−1 , i43 + 
Bài 9. Chứng minh | |z1 + z2 ≤ | |z1 +| |z2 . Giải thích khi nào có dấu ñẳng thức? 
Bài 10. Chứng minh 





z| |z -1 ≤ | |arg z & giải thích ý nghĩa hình học. 
Bài 11.Chứng minh  1 - z1 z2 
2
 - | |z1 - z2 2 = (1 - | |z1 2 )(1 - | |z2 2 ). 
Bài 12. Với mọi z ∈ C, chứng minh rằng: Re Im 2z z z+ ≤