Giáo án môn Toán học 11 - Chương II: Tổ hợp – xác suất

Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Đại Số 11 – Chương II 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn ,... – Trang 21 
I. Qui tắc đếm 
1. Qui tắc cộng: 
 Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu 
phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì 
cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện. 
2. Qui tắc nhân: 
 Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách 
thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n 
cách thực hiện. 
Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 
con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D 
có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. Hỏi có tất 
cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D? 
 ĐS: có 12 cách. 
Bài 2: Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 2.108, chia hết cho 3, có thể được viết bởi 
các chữ số 0, 1, 2? 
 ĐS: Có 2.3
7
 – 1 = 4374 – 1 = 4373 (số) 
Bài 3: Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả: 
 a) gồm 6 chữ số. 
 b) gồm 6 chữ số khác nhau. 
 c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2. 
 ĐS: a) 6
6
 b) 6! c) 3.5! = 360 
Bài 4: Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi 
có bao nhiêu trận đấu? 
 ĐS: có 25.24 = 600 trận 
Bài 5: Có bao nhiêu số palindrom gồm 5 chữ số (số palindrom là số mà nếu ta viết các chữ số 
theo thứ tự ngược lại thì giá trị của nó không thay đổi). 
 ĐS: Số cần tìm có dạng: abcba  có 9.10.10 = 900 (số) 
Bài 6: a/ Một bó hoa gồm có: 5 bông hồng trắng, 6 bông hồng đỏ và 7 bông hồng vàng. Hỏi có 
mấy cách chọn lấy 1 bông hoa? 
 b/ Từ các chữ số 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau? 
 ĐS: a/ 18. b/ 15. 
Bài 7: a/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số? 
 b/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số? 
 c/ Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà cả hai chữ số đều là số chẵn? 
A. TỔ HỢP 
CHƯƠNG II 
TỔ HỢP – XÁC SUẤT 
 Lý Thuyết & Bài Tập Đại số 11 www.toantrunghoc.com 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn ,... – Trang 22 
 d/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong đó các chữ số cách đều chữ số đứng giữa thì 
giống nhau? 
 e/ Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số và chia hết cho 5? 
 ĐS: a/ 3125. b/ 168. c/ 20 d/ 900. e/ 180000. 
Bài 8: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội 
chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu 
cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là 
như nhau? 
 ĐS: 36. 
Bài 9: Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu 
vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu: 
 a/ Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được? 
 b/ Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng? 
 ĐS: a/ 35. b/ 29. 
Bài 10: Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) biết rằng: 
 a/ ,x A y A  b/ { , }x y A c/ , 6x A y A và x y    . 
 ĐS: a/ 25. b/ 20. c/ 5 cặp. 
Bài 11: Cho tập hợp A = {1, 2, 3,  , n} trong đó n là số nguyên dương lớn hơn 1. Có bao nhiêu 
cặp sắp thứ tự (x, y), biết rằng: , ,x A y A x y   . 
 ĐS: 
( 1)
.
2
n n 
Bài 12: Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số: 
 a/ Gồm 2 chữ số? b/ Gồm 2 chữ số khác nhau? c/ Số lẻ gồm 2 chữ số? 
 d/ Số chẵn gồm 2 chữ số khác nhau? e/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại? 
 f/ Gồm 5 chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5? 
 ĐS: a/ 25. b/ 20. c/ 15 d/ 8. e/ 120. f/ 24. 
Bài 13: Từ 6 số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số: 
 a/ Khác nhau? 
 b/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lớn hơn 300? 
 c/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? 
 d/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chẵn? 
 e/ Khác nhau, trong đó có bao nhiêu số lẻ? 
 ĐS: a/ 100. b/ 60. c/ 36 d/ 52. e/ 48. 
Bài 14: a/ Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ 
hơn 400? 
 b/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong 
khoảng (300 , 500). 
 ĐS: a/ 35. b/ 24. 
Bài 15: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin và 18 học sinh chuyên toán. Thành lập 
một đoàn gồm hai người sao cho có một học sinh chuyên toán và một học sinh chuyên tin. 
Hỏi có bao nhiêu cách lập một đoàn như trên? 
Bài 16: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 người đàn ông và 2 người đàn bà ngồi trên một chiếc ghế 
dài sao cho 2 người cùng phái phải ngồi gần nhau. 
Bài 17: Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ và 8 viên bi đen xếp thành một dãy sao cho hai 
viên bi cùng màu không được ở gần nhau. 
Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Đại Số 11 – Chương II 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn ,... – Trang 23 
II. Hoán vị 
1. Giai thừa: 
 n! = 1.2.3n Qui ước: 0! = 1 
 n! = (n–1)!n 
!
!
n
p
= (p+1).(p+2)n (với n>p) 
!
( )!
n
n p
= (n–p+1).(n–p+2)n (với n>p) 
2. Hoán vị (không lặp): 
 Một tập hợp gồm n phần tử (n  1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó 
được gọi là một hoán vị của n phần tử. 
 Số các hoán vị của n phần tử là: Pn = n! 
3. Hoán vị lặp: 
 Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, , ak. Một cách sắp xếp n phần tử trong đó gồm n1 phần tử 
a1, n2 phần tử a2, , nk phần tử ak (n1+n2+ + nk = n) theo một thứ tự nào đó được gọi là một 
hoán vị lặp cấp n và kiểu (n1, n2, , nk) của k phần tử. 
 Số các hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, , nk) của k phần tử là: 
Pn(n1, n2, , nk) = 
1 2
!
! !... !
k
n
n n n
4. Hoán vị vòng quanh: 
 Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi 
là một hoán vị vòng quanh của n phần tử. 
 Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Qn = (n – 1)! 
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: 
 A = 
6! 1 ( 1)! .( 1)!
. .
( 2)( 3) ( 1)( 4) ( 5)!5! 12.( 4)!3!
m m m
m m m m m m
  
 
      
 (với m  5) 
 B = 
7!4! 8! 9!
10! 3!5! 2!7!
 
 
 
 C = 
5! ( 1)!
.
( 1) ( 1)!3!
m
m m m

 
 ĐS: A = – 4(m–1)m; B = 
2
3
; C = 20 
Bài 2: Chứng minh rằng: 
a) Pn – Pn–1 = (n–1)Pn–1 b) 
1 2 2 1
( 1) ( 2) ... 2 1
n n n
P n P n P P P         
c) 
1 1 1 1
1 ... 3
1! 2! 3! !n
      d) 
2
1 1
! ( 1)! ( 2)!
n
n n n
 
 
Bài 3: Giải phương trình: 
! ( 1)! 1
( 1)! 6
x x
x
 


 ĐS: x = 2; x = 3 
Bài 4: Giải bất phương trình: 
1 5 ( 1)! .( 1)!
. 5
2 1 ( 3)!4! 12( 3).( 4)!2!
n n n
n n n n n
  
  
     
 (1) 
 ĐS: (1)  
( 1)
5
6
n n
  n = 4, n = 5, n = 6 
 Lý Thuyết & Bài Tập Đại số 11 www.toantrunghoc.com 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn ,... – Trang 24 
Bài 5: Giải các phương trình: 
 a) P2.x
2
 – P3.x = 8 b) 1
1
1
6
x x
x
P P
P



 
 ĐS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3 
Bài 6: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các 
số đó có bao nhiêu số: 
 a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không bắt đầu bằng chữ số 1? 
 c) Bắt đầu bằng 23? d) Không bắt đầu bằng 345? 
 ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2! 
Bài 7: Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các 
số đó có bao nhiêu số: 
 a/ Bắt đầu bởi chữ số 9? b/ Không bắt đầu bởi chữ số 1? 
 c/ Bắt đầu bởi 19? d/ Không bắt đầu bởi 135? 
 ĐS: a/ 24. b/ 96. c/ 6 d/ 118. 
Bài 8: Với mỗi hoán vị của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất cả các 
số tự nhiên có được từ các hoán vị của 7 phần tử trên? 
 ĐS: Với mọi i, j   1,2,3,4,5,6,7 , số các số mà chữ số j ở hàng thứ i là 6!. 
  Tổng tất cả các số là: (6!1++6!7) + (6!1++6!7).10 ++ (6!1++6!7).106 
 = 6! (1+2++7).(1+10++106) 
Bài 9: Tìm tổng S của tất cả các số tự nhiên, mỗi số được tạo thành bởi hoán vị của 6 chữ số 1, 
2, 3, 4, 5, 6. 
 ĐS: 279999720. 
Bài 10: Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển 
sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên: 
 a) Một cách tuỳ ý? b) Theo từng môn? 
 c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa? 
 ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!) 
Bài 11: Có 5 học sinh nam là A1, A2, A3, A4, A5 và 3 học sinh nữ B1, B2, B3 được xếp ngồi 
xung quanh một bàn tròn. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu: 
 a) Một cách tuỳ ý? b) A1 không ngồi cạnh B1? 
 c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau? 
 ĐS: a) Q8 = 7! b) Q7 = 6! c) Có 4!5.4.3 cách sắp xếp 
Bài 12: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ 
số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần? 
 ĐS: 
8! 7
3! 3!
 
Bài 13: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số 
này bằng 9. 
 ĐS: 18. 
Bài 14: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các 
số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? 
 ĐS: 480. 
Bài 15: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 học sinh A, B, C,D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho: 
 a/ Bạn C ngồi chính giữa? 
 b/ Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế? 
 ĐS: a/ 24. b/ 12. 
Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Đại Số 11 – Chương II 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn ,... – Trang 25 
Bài 16: Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn của các nước: Mỹ 5 người, Nga 5 người, Anh 4 
 ... i triển 
2 1
,
n
x
x
 
 
 
 tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ 
ba là 46. Tìm hạng tử khôn g chứa x. 
 c/ Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển 
2 2
3
n
x
 
 
 
 là 97. Tìm 
hạng tử của khai triển chứa x
4
. 
 ĐS: a/ n = 11 b/ n = 9 ; 84. c/ n = 8; 1120x
4
. 
 Lý Thuyết & Bài Tập Đại số 11 www.toantrunghoc.com 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn ,... – Trang 40 
Dạng 2 : Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp 
Bài 1: Tính các tổng sau: 
 a/ 
0 1 2
1
... .
n
n n n n
S C C C C     b/ 0 2 4
2
...
n n n
S C C C    
 c/ 
1 3 5
3
...
n n n
S C C C    d/ 0 1 2 2
4
2 2 ... 2 ... 2 .
k k n n
n n n n n
S C C C C C       
 e/ 
0 2 2 4 4
5
2 2 ...
n
n n
S C C C    
 ĐS: a/ 2
n
. b/ 2
n-1
. c/ 2
n-1
. d/ 3
n
. e/ 
3 ( 1)
2
n n 
. 
Bài 2: Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển thị thức (x2 + 1)n bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a 
là số tự nhiên) của số hạng ax
12
 trong khai triển đó. 
 ĐS: a = 210. (HV hành chính QG, 2000) 
Bài 3: Tính tổng sau: 
 a/ 
6 7 8 9 10 11
1 11 11 11 11 11 11
.S C C C C C C      (ĐHQG Hà Nội, 97, Khối D) 
 b/ 
16 0 15 1 14 2 16
2 16 16 16 16
3 3 3 ... .S C C C C     (ĐHBK Hà Nội, 98) 
 ĐS: a/ 1024. b/ 2
16
. 
Bài 4: Chứng minh các hệ thức sau: 
 a/ 
0 2 4 2 1 3 5 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2
... ...
n n
n n n n n n n n
C C C C C C C C
         
 Tổng hệ số chẵn bằng tổng hệ số lẻ có đúng không? 
 b/ 
1 2 2 3 3 2 1 2 1 2
2 2 2 2
1 10. 10 . 10 . ... 10 10 81 .
n n n n
n n n n
C C C C
        
 c/ 
0 2 2 4 4 2 2 2 1 2
2 2 2 2
3 3 ... 3 2 .(2 1)
n n n n
n n n n
C C C C
      (ĐH Hàng Hải, 2001) 
Bài 5: Dùng đẳng thức (1 ) .(1 ) (1 )m n m nx x x     , chứng minh rằng: 
 a/ 
0 1 1 2 2
. . . ... . , .
k k k m k m k
m n m n m n m n m n
C C C C C C C C C m k n
  
       
 (Hệ thức Van der mon de (Van đec mon)). 
 b/ 
0 2 1 2 2 2 2
2
( ) ( ) ( ) ... ( ) .
n n
n n n n n
C C C C C     
 c/ 
0 1 1 2 2 (2 )!
. . . ... .
( )!( )!
k k k n k n
n n n n n n n n
n
C C C C C C C C
n k n k
      
 
Bài 6: Tính giá trị các biểu thức: 
 A = 
2 0 2 2 2 0 2
2 2 2
2 2 ... 2
n n n
n n n
C C C
   B = 2 1 1 2 3 3 1 2 1
2 2 2
2 2 ... 2
n n n
n n n
C C C
     
 ĐS : Ta có : (2x+1)
2n
 =  
2
2
2
0
. 2
n k
n
k
n
k
C x


 . Thay x = 1 ta được A + B = 3
2n
 = 9
n
 Mặt khác, (2x–1)2n =    
2
2
2
0
. 2 . 1
n
n k k
k
n
k
C x


 . Thay x = 1 ta được A – B = 1 
 Từ đó suy ra: A =  1 9 1
2
n  , B =  1 9 1
2
n  
Bài 7: Chứng minh các đẳng thức sau: 
 a) 
0 1 2 2
6 6 ... 6 7
n n n
n n n n
C C C C     b) 17 0 1 16 1 17 17 17
17 17 17
3 4 .3 . ... 4 7C C C    
 ĐS: a) Khai triển (1+x)
n
 = 
0 1 2 2
...
n n
n n n n
C C x C x C x    ; thay x = 6 
 b) Khai triển (3x+4)
17
; thay x = 1 
Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Đại Số 11 – Chương II 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn ,... – Trang 41 
Dạng 3: Toán chia hết 
Nếu a chia cho b có số dư là r thì a = bq + r 
 nên a
n
 = (bq + r)
n
 = b
n
q
n
 + nb
n–1
q
n–1r +  + nbqrn–1 + rn 
 Do đó a
n
 và r
n
 có cùng số dư khi chia cho b. Tức là: a
n
  rn(mod b) 
 Vậy nếu a r (mod b) thì an  rn (mod b) 
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với n  Z+, ta có: 
 a) 4
n
 + 15n – 1 9 b) 16n – 15n – 1 225 
 HD: a) Ta có 4
n
 = (3+1)
n
 = 3
n
 + n.3
n–1
 +  + 3n + 1  3n + 1 (mod 9) 
 (vì 3
k
 9 , k  2) 
 4
n
 + 15n – 1  3n + 1 + 15n – 1 (mod 9) = 18n (mod 9) 
 Vậy 4
n
 + 15n – 1 9 
 b) 16
n
 = (1 + 15)
n
 = 1 + n.15 + 
2( 1)
.15
2
n n
+  + n.15n–1 + 15n 
  1 + 15n (mod 152) 
 Do đó: 16
n
 – 15n – 1  1 + 15n – 15n – 1  0 (mod 225) 
 Vậy 16
n
 – 15n – 1 225 
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với n  Z+, ta có: 26n+1 + 36n+1 + 56n + 1 7 
 HD: 2
6n+1
 + 3
6n+1
 + 5
6n+1
 + 1 = 2(2
6
)
n
 + 3(3
6
)
n
 + (5
6
)
n
 + 1 
 = 2.64
n
 + 3.729
n
 + 15625
n
 + 1 
 = 2[(7.9 + 1)
n
 – 1] + 3[(7.104 + 1)n – 1] + [(7.2232 + 1)n – 1] + 7 
 Do đó với mọi số tự nhiên p và q thì: 
 (7p+1)
q
 – 1 = [(7p+1)–1].[(7p+1)q–1+  + (7p+1) + 1] 
 nên biểu thức đã cho luôn chia hết cho 7. 
 Lý Thuyết & Bài Tập Đại số 11 www.toantrunghoc.com 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn ,... – Trang 42 
I. Biến cố và xác suất 
1. Biến cố 
  Không gian mẫu : là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử. 
  Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A  . 
  Biến cố không:   Biến cố chắc chắn:  
  Biến cố đối của A: \A A 
  Hợp hai biến cố: A  B  Giao hai biến cố: A  B (hoặc A.B) 
  Hai biến cố xung khắc: A  B =  
  Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố 
kia. 
2. Xác suất 
  Xác suất của biến cố: P(A) = 
( )
( )
n A
n 
  0  P(A)  1; P() = 1; P() = 0 
  Qui tắc cộng: Nếu A  B =  thì P(A  B) = P(A) + P(B) 
 Mở rộng: A, B bất kì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A.B) 
  P( A ) = 1 – P(A) 
  Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B) 
Bài 1: Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố: 
 a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8. 
 b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ. 
 c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn. 
 ĐS: a) n() = 36. n(A) = 5  P(A) = 
5
36
 b) 
1
4
 c) 
3
4
Bài 2: Một lớp học có 25 học sinh, trong đó có 15 em học khá môn Toán, 16 em học khá môn 
Văn. 
a) Tính xác suất để chọn được 2 em học khá cả 2 môn. 
b) Tính xác suất để chọn được 3 em học khá môn Toán nhưng không khá môn Văn. 
 ĐS: a) n(AB) = n(A) + n(B) – n(AB) = 15 +15 – 25 = 17  P(AB) 
2
7
25
C
 b) 
3
8
25
C
Bài 3: Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố: 
a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7. 
b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau. 
ĐS: a) 
1
6
 b) 
1
6
Bài 4: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 
một viên bi, rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi 
xanh. 
ĐS: 
5
8
B. XÁC SUẤT 
Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Đại Số 11 – Chương II 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn ,... – Trang 43 
Bài 5: Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 4 
viên bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh. 
ĐS: 
1
2
Bài 6: Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú. Xác suất bắn trúng của người 
thứ nhất là 
3
5
, của người thứ hai là 
1
2
. Tính xác suất để con thú bị bắn trúng. 
ĐS: 
4
5
Bài 7: Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của các biến 
cố sau: 
a) Lần thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm. 
b) Lần thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm. 
c) Ít nhất một lần xuất hiện mặt 6 chấm. 
d) Không lần nào xuất hiện mặt 6 chấm. 
ĐS: a) 
1
6
 b) 
1
6
 c) 
11
36
 d) 
25
36
Bài 8: Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố: 
a) Cả 4 đồng xu đều ngửa. 
b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa. 
c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa. 
ĐS: a) 
1
16
 b) 
1
4
 c) 
11
16
Bài 9: Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.Tính xác 
suất để lấy được: 
a) ít nhất 2 bóng tốt b) ít nhất 1 bóng tốt. 
Bài 10: Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 6 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn và 4 
học sinh giỏi cả 2 môn. GVCN chọn ra 2 em. Tính xác suất để 2 em đó là học sinh giỏi. 
Bài 11: Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy 
ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả màu đen. 
Bài 12: Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. GVCN chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính 
xác suất để 2 em đó khác phái. 
Bài 13: Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn ngẫu 
nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất để : 
a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi 
c) Không có học sinh trung bình. 
Bài 14: Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số 
trên. Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X. Tính xác suất để: 
a) Số đó là số lẻ. 
b) Số đó chia hết cho 5 
c) Số đó chia hết cho 9. 
 Lý Thuyết & Bài Tập Đại số 11 www.toantrunghoc.com 
www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn ,... – Trang 44 
II. Biến ngẫu nhiên rời rạc 
1. Biến ngẫu nhiên rời rạc 
  X = {x1, x2, ,xn} 
  P(X=xk) = pk p1 + p2 +  + pn = 1 
2. Kì vọng (giá trị trung bình) 
   = E(X) = 
1
n
i i
i
x p

 
3. Phương sai và độ lệch chuẩn 
  V(X) = 2
1
( )
n
i i
i
x p

  = 2 2
1
n
i i
i
x p

   (X) = ( )V X 
Bài 1: Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền. Mỗi người đá một lần với xác suất làm bàn của người 
thứ nhất là 0,8. Tính xác suất làm bàn của người thứ hai, biết rằng xác suất để cả hai người 
cùng làm bàn là 0,56 và xác suất để bị thủng lưới ít nhất một lần là 0,94. 
Bài 2: Một cặp vợ chồng có 3 người con. Gọi X là số lần sinh con trai. Lập bảng phân phối xác 
suất của biến ngẫu nhiên X. 
Bài 3: Một hộp đựng 6 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Chọn ngẫu nhiên 3 viên bi. Gọi X là số lần 
lấy được bi đỏ. Lập bảng phân phối của biến ngẫu nhiên X. 
Bài 4: Cho bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X: 
X 1 2 3 
P 0,3 0,5 0,2 
 Tìm kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X. 
Bài 5: Một hộp đựng 5 viên bi đỏ và 3 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 3 viên. Gọi X là số bi đỏ 
lấy ra. Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X. 
Bài 6: Hai xạ thủ độc lập cùng bắn vào 1 bia. Mỗi người bắn 1 viên đạn. Xác suất để xạ thủ thứ 
nhất bắn trúng bia là 0,7. Xác suất để xạ thủ thứ hai bắn trúng bia là 0,8. Gọi X là số đạn bắn 
trúng bia. Tính kỳ vọng, phương sai của X.