Giáo án Đại số và giải tích 11 - Chương V - Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA 
CỦA ĐẠO HÀM
4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo 
hàm và tính liên tục của hàm số
* Định lí 1
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại !"
thì nó liên tục tại điểm đó. 
* Chú ý
+ Nếu hàm số y = f(x) gián đoạn tại !"
thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. 
Nếu hàm số liên 
tục tại một điểm 
thì có đạo hàm tại 
điểm đó không?+ Nếu hàm số liên tục tại một điểm có 
thể không có đạo hàm tại điểm đó.
Ví dụ 1: 
Cho hàm số:! " = $−"& 'ế) " ≥ +" 'ế) " < +
a) Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0
b) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0
* Tính liên tục:!"#$→&' ( $ = !"#$→&' −$+ = &!"#$→&, ( $ = !"#$→&, $ = &⇒ !"#$→&' ( $ = !"#$→&, ( $ = &!"#$→& ( $ = & = ((&)
Vậy f(x) liên tục tại x = 0
* Tính đạo hàm
Nhắc lại:!" #$ = &'(#→#$ ! # − !(#$)# − #$ (-)
Nếu giới hạn viết ở VP (1) không tồn 
tại hoặc bằng vô cực thì f(x) không có 
đạo hàm tại điểm #$
&'(#→$. ! # − !($)# − $ = &'(#→$. −#/# = &'(#→$.(−#) = $&'(#→$0 ! # − !($)# − $ = &'(#→$0 ##= &'(#→$0 - = -
Vậy không tồn tại&'(#→$ ! # 1!($)#1$
Vậy f(x) không có đạo hàm tại x = 0
f(x)=-x^2
f(x)=x
f(x)=0
x(t)=0, y(t)=t
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
x
y
y = -x2
y = x
O
yxO
M
T
(C)
xX0
f(x0)
f(x)
M0
5. Ý nghĩa hình học của 
đạo hàm
a) Tiếp tuyến của đường 
cong phẳng
Cho hàm số y = f(x) có 
đồ thị (C)!" #"; %(#") ∈ ())! #; %(#) là một điểm di chuyển trên 
(C); khác !"
Đường thẳng !"! *à một cát tuyến của (C)
K i x → #" thì điểm 
M di chuyển trên (C) 
tới điểm !"
Giả sử cát tuyến !"! có vị trí giới hạn 
là !", thì !", được gọi là tiếp tuyến 
của (C) tại !".!" được gọi là tiếp điểm.
a) Vẽ đồ thị của hàm số f(x) = !""
b) Tính 
f’(1)=? 
c) Tìm đường 
thẳng đi qua 
điểm M (1 ; #" )
và có hệ số góc 
f’(1) ?
Giả sử ∆" là số gia của đối số tại "# = 1.
Ta có:∆' = ( "# + ∆" − ( "#= 1 + ∆" +2 − 12= 1 + 2∆" + ∆" + − 12= 2∆" + ∆" +2 = ∆" 2 + ∆"2⇒ Δ'Δ" = ∆" 2 + ∆"2∆" = ∆" 2 + ∆"2∆" = 2 + ∆"2lim∆2→#Δ'Δ" = lim∆2→# 2 + ∆"2 = 1
Vậy (4 1 = 1
Đường thẳng d có dạng y = ax + b 
Vì hệ số góc bằng f’(1) = 1 nên a = 1
=> d: y = x + b
M( 1 ; !" ) ∈ $ nên !" = 1 + b => b = %!"
Vậy đường thẳng cần tìm là y = x - !"
f(x)=x^2/2
f(x)=x-1/2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
x
y
y = x - !"f(x) = #""
b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm
* Định lí 2:
Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm !" là hệ số góc của tiếp tuyến #"T 
của (C) tại điểm #"(!" ; f(!" )). $ = &'()*)
Ví dụ 2:
Cho hàm số y = f(x) = – !" + 3x – 2. Tính hệ số góc của 
tiếp tuyến tại điểm có hoành độ !# = 1.
Theo định lí 2, tính hệ số góc của 
tiếp tuyến tại điểm có hoành độ !# = 1; tức là tính gì ?
Giải:
Giả sử ∆! là số gia của đối số tại !# = 1. 
Ta có: ∆% = f(1 + ∆!) – f(1) 
= −(( + ∆!)" + 3(1 + ∆!) − 2 – 0
= −( 1 + 2∆! + ∆!") + 3 + 3∆! − "
= −∆!" + ∆! = − ∆! (∆! − 1)∆%∆! = − (∆! − 1)+,-∆!→# ∆%∆! = +,-∆!→# [− (∆! − 1)] = 1
=> f’(1) = 1
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là 1
c) Phương trình tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị 
(C) của hàm số y = f(x) tại điểm !"(#"; $(#")) là:% - %" = $&(#")( x − #"),
trong đó %" = $(#") Muốn viết 
phương trình 
tiếp tuyến ta 
cần biết những 
yếu tố nào ?
Phương trình đường thẳng qua 
Mo(xo ; yo) và có hệ số góc k
y – yo = k.(x – xo)
Theo định lý 2 k = f’(xo)
y – yo = f’(xo).(x – xo)
Ví dụ 3:
Cho parabol y = f(x) = – !" + 3x – 2.
Viết phương trình tiếp tuyến của parabol 
tại điểm có hoành độ !# = 1?
Giải:
Hệ số góc của tiếp tuyến là f’(1)= 1 (Ví dụ 2)
Vậy phương trình tiếp tuyến của 
parabol tại điểm có hoành độ !# = 1 là:$ − # = '. ! − '
hay $ = ! − '
Ngoài ra ta có: f(1) = 0
6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
!(#$) = '((#$)
) #$ = *((#$)Vận tốc tức thời:
Cường độ tức thời:
Ví dụ 4 : 
Một chất điểm chuyển động có phương trình s(t) = +,,
( t được tính bằng giây, s tính bằng mét ). Vận tốc của 
chất điểm tại thời điểm +-= 1 ( giây) là ?
A) 1 m/s
B) 2 m/s
C) 3 m/s
D) 4 m/s
A) 1 m/s .(+-) 
= .′(0) 
= ?
II. Đạo hàm trên một khoảng
Bằng định nghĩa, hãy tính đạo hàm của hàm số: ! " = "$ tại điểm "% bất kì.
Giải:
Giả sử ∆' là số gia của đối số tại '( bất kỳ, ta có:∆) = * '( + ∆' − * '(= '( + ∆' - − '(-= '(- + 2'(∆' + ∆' - − '(-= 2'(∆' + ∆' -⟹ ∆)∆' = 2'(∆' + ∆' -∆' = ∆' 2'( + ∆'∆' = 2'( + ∆'lim∆3→( ∆)∆' = lim∆3→( 2'( + ∆' = 2'( ⟹ )5 '( = 2'(
* Định nghĩa:
Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo
hàm trên khoảng (a ; b) nếu nó có đạo
hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.
Ví dụ 5: 
Hàm số 6 = "$ có đạo hàm 65 = $" trên −∞;+∞ .
Bài tập 2: Tính ∆" và #$#% của các hàm số sau theo & 'à ∆&:
a) y = 2& − 5 c) y = 2&/
Giải
Ta có:∆" = 0 & + ∆& − 0 &= 2 & + ∆& − 5 − 2& − 5= 2& + 2∆& − 5 − 2& + 5= 2∆&⇒ Δ"Δ& = 2∆&∆& = 2
Giải
Ta có:∆" = 0 & + ∆& − 0 &= 2 & + ∆& / − 2&/= 2 &/ + 3&5∆& + 3& ∆& 5 + ∆& / − 2&/= 2&/ + 6&5∆& + 6& ∆& 5 + 2 ∆& / −2&/= 6&5∆& + 6& ∆& 5 + 2 ∆& /= ∆& 6&5 + 6&∆& + 2 ∆& 5
⇒ Δ"Δ& = ∆& 6&5 + 6&∆& + 2 ∆& 5∆&= 6&5 + 6&∆& + 2 ∆& 5
Bài tập 3: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số 
tại các điểm đã chỉ ra: 
a) y = #$ + x tại #* = 1
Giải⟹ lim/→1 2 # − 2 1# − 1 00( ) ( )limox x f x f xx x® --2 # = #$ + x2 1 = 1$ + 1 = 2
= lim/→1#$ + x − 2# − 1= lim/→1 # − 1 # + 2# − 1= lim/→1 # + 2 = 1 + 2 = 3
Vậy 26 1 = 3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x) 
tại điểm !"(#"; $(#")) là:% - %" = $&(#")( x − #") => % = $&(#")( x − #")+ %"
trong đó %" = $(#") %" =? #"=? $&(#")=?
Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol + = ,-
a) Tại điểm ,. ; 2 ;
b) Tại điểm có hoành độ bằng -1;
c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng ,1 .
Xét giới hạn:
0
0
( ) ( )lim
ox x
f x f x
x x®
-
-
Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm ,. ; 2 là+ = −4 4 − 12 + 2 = −44 + 4
Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol ! = #$
a) Tại điểm #% ; 2 ;
b) Tại điểm có hoành độ bằng -1;
c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng #( .
Ta có: !* −1 = −1, ! −1 = −1
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng -1 là:! = − . + 1 − 1 = −. − 2
Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol ! = #$
a) Tại điểm #% ; 2 ;
b) Tại điểm có hoành độ bằng -1;
c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng #( .
Gọi *+ là hoành độ tiếp điểm. Ta có:
Với *+ = 2 ta có ! 2 = #%, phương trình tiếp tuyến là:! = −14 * − 2 + 12 = −14* + 1
Với *+ = −2 ta có ! −2 = −#%, phương trình tiếp tuyến là:! = −14 * − 2 − 12 = −14* − 1
Củng cố
2) Hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm 
thuộc đồ thị: ! = #′(&')
3) Phương trình tiếp tuyến tại một 
điểm của đồ thị hàm số: ( - (' = #)(&')( x − &')
1) Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại &'
thì nó liên tục tại điểm đó.