Giáo án Đại số và giải tích 11 - Bài 1: Giới hạn của dãy số

Biên soạn: Nông Công Kiên Tài liệu miễn phí 
https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ 
"Nếu bạn muốn lên chỗ cao nhất, thì bạn phải bắt đầu từ chỗ thấp nhất" 
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 
 Cách giải: Chia các hạng tử của cả tử và mẫu cho lũy 
thừa của n có số mũ cao nhất trong dãy nu sau đó áp 
dụng công thức dưới đây 
 Công thức: 
 limC = C( với C là hằng số); lim 1
n
 = 0; lim
k
1
n
= 0 
 n n
nn
linu a ulim 0
vlimv +






 
 
 
n
n
n
n
n
linu a
ulimv 0 lim
v
V 0, n 0








  
  
(dấu của a) 
CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN 
Dạng toán 1: Giới hạn của dãy số n
f(n)u
g(n)
 trong đó f(n) 
và g(n) là những đa thức ẩn n 
Biên soạn: Nông Công Kiên Tài liệu miễn phí 
https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ 
"Nếu bạn muốn lên chỗ cao nhất, thì bạn phải bắt đầu từ chỗ thấp nhất" 
Bài tập 1. Tính các giới hạn sau: 
2
7na nlim
5n 2
. 

 2nim
2
b. 1l
n


2
2
c. 7n nlim
n 4


3
3
n 3n 1lim
2
d
n n
.  

2
2
3n 2n 5lim
7
e.
n n 2
 
 
3
3 2
3n 7n 1lim
4
f
n n
.
3 2
 
 
Bài tập 2. Tính các giới hạn sau: 
4
3
2
2nlim
n
a
+3n
.
2
3
2n 2b n 4lim
7n 2n
.
9
 
 
7 6
38
c 3n 8n 3lim
5n n
.
+n 2
 

5 4
56
d 3n 2n 7lim
6n -n n+
.
2 3
 
 3
2
2
2n 3n 1lim
n
e.
2n n 1
 
  
3 9
24 n 3nlim
7
f
n
.
n 8
 
 
Bài tập 3. Tính các giới hạn sau: 
8
6 2
4n 12n 1lim
5n n
a.
6n
 
 
6 4
3 9
6n 2n 7lim
7 n
b.
n 8
 
 
2 12
3 9
4 n 3nlim
7
c
n 8n
.  
 
5
2
3n 2n 4lim
6
d.
n 4n 3
  
 
4
3
n 2e n 4lim
7n 2n
.
3
 
 
5
3
6n 3n 1lim
7 3
f
n 2
.
n
 
 
Biên soạn: Nông Công Kiên Tài liệu miễn phí 
https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ 
"Nếu bạn muốn lên chỗ cao nhất, thì bạn phải bắt đầu từ chỗ thấp nhất" 
Nhận xét: Với dãy số n
f(n)
u
g(n)
 trong đó f(n) và g(n) là những đa 
thức ẩn n, ta có 
 Nếu bậc của f(n) bằng bậc của g(n) thì n
a
limu
b
 (hằng số 
khác 0). Trong đó a là hệ số của n có số mũ cao nhất trong 
f(n) và b là hệ số của n có số mũ cao nhất trong g(n) 
 Nếu bậc của f(n) nhỏ hơn bậc của g(n) thì nlimu 0 
 Nếu bậc của f(n) lớn hơn bậc của g(n) thì nlimu  
 Cách giải: Chia các hạng tử của cả tử và mẫu cho lũy thừa 
có cơ số cao nhất trong dãy nu sau đó áp dụng công thức 
dưới đây 
 Công thức: 
 
nn
n
a a
b b
 
 
 
 ;  
n
n na .b = a.b ; m+n m na =a .a ; 
m
m n
n
aa = .
a
 
 nlimq 0 ( q 1 ) 
 n n
nn
linu a ulim 0
vlimv +






 
 
 ; 
 
n
n
n
n
n
linu a
ulimv 0 lim
v
V 0, n 0








  
  
(dấu của a) 
Dạng toán 2: Giới hạn của dãy số n
f(n)u
g(n)
 trong đó f(n) 
và g(n) là những đa thức ẩn n nằm ở mũ 
Biên soạn: Nông Công Kiên Tài liệu miễn phí 
https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ 
"Nếu bạn muốn lên chỗ cao nhất, thì bạn phải bắt đầu từ chỗ thấp nhất" 
Bài tập 2. Tính các giới hạn sau: 
n 1 n 1
n
a 3.2 2.. 3lim
4 3
 

nn 1
n 1 n 2
2 5lib m
2 5
.

 


n 2
n
n 1
n
5 7lim
2
c.
.3 4.9
 

n n
n 1 n 1
52 3lim
2
d.
3 1 

 
n 1 n 1
n 1 n 1
3.2 5.7lim
4 3.5
e.
 
 


n 1
n 1
n 1
n 2
f 3 4 1lim
2.
.
4 2




 

Bài tập 1. Tính các giới hạn sau: 
n
n n
a 2 5li. m
4 6.5


n
n n
3.2 4lim
4.3
b
4
.
5.


n n
n
2 4.3lim
5
c
3
.
7.


n
n n
d 3 5.7lim
4.5
.
5.6


n n
n n
3.2 5.7lim
4
e
5
.
3.


nn
n n
f 3 4 1lim
2.4 2
.  

Biên soạn: Nông Công Kiên Tài liệu miễn phí 
https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ 
"Nếu bạn muốn lên chỗ cao nhất, thì bạn phải bắt đầu từ chỗ thấp nhất" 
 Chú ý: 
 
1
2a a ;  
nm
mn a a 
 Biểu thức n ma có bậc là m
n
 Cách giải: Chia cả tử và mẫu của dãy số cho n có bậc cao 
nhất 
Dạng toán 3: Giới hạn của dãy số n
f(n)u
g(n)
 trong đó f(n) 
và g(n) là những biểu thức chứa căn 
Bài tập 1. Tính các giới hạn sau: 
2
2
2a 3lim
3 2 1
. n n n
n
  
 
2
2
4b 3lim
5 2 6
. n n n
n
  
 
32 3 2lim
1 4
.
3
c n n n
n n
  
 
33 3lim
6 2 3
d. n n n
n n
   
 
Bài tập 2. Tính các giới hạn sau: 
3 7
2
3 2 1lim
3 7
a. n n
n n
  
 
43
b. 2 1lim
2 3
n
n
 

3
2
3 4 2lim
2 3
c.
1
n n
n n
 
 
2 3
2
4 2lim
4 3 1
d. n n
n n
  
 
Biên soạn: Nông Công Kiên Tài liệu miễn phí 
https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ 
"Nếu bạn muốn lên chỗ cao nhất, thì bạn phải bắt đầu từ chỗ thấp nhất" 
 Cách giải: Ta sử dụng phép biến đổi dùng biểu thức liên 
hợp sau, rồi đưa về dạng toán 3 
 
a b
a b
a b

 

 
a b
a b
a b

 

 3 3
2 2
a b
a b
a ab b

 
 
 3 3
2 2
a b
a b
a ab b

 
 
Bài tập 3. Tính các giới hạn sau: 
2
2
1lim
3 2
.
1
a
7
n n n
n n
 
 
2 1b 4lim
3 2
. n n
n
 

3 62
4 2
1. im
1
c l n n
n n
 

2 23 1limd. 1n n
n
   
Dạng toán 4: Giới hạn của dãy số ( ) ( )n f x g xu  trong 
đó f(n) và g(n) là những đa thức ẩn số n 
Biên soạn: Nông Công Kiên Tài liệu miễn phí 
https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ 
"Nếu bạn muốn lên chỗ cao nhất, thì bạn phải bắt đầu từ chỗ thấp nhất" 
Bài tập 1. Tính các giới hạn sau: 
  2lim 4 2 2a. n n n    2 2lim 2b. 1n n  
  2.lim 7c n n n    2.lim 3d n n n  
  2lim 2 2e. n n n    2lim 3 1 3f. 2n n n   
 Bài tập 2. Tính các giới hạn sau: 
  2 2.lim 3a n n n    3 3 2d im.l n n n 
  1.limb n n   3 3 2e im.l 2n n n 
  2lim 3 1 7c. 6n n n    3 3 2lim 2 1f. n n n   
Biên soạn: Nông Công Kiên Tài liệu miễn phí 
https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ 
"Nếu bạn muốn lên chỗ cao nhất, thì bạn phải bắt đầu từ chỗ thấp nhất" 
 Công thức: 
 n n
nn
linu a ulim 0
vlimv +






 
 
 
n
n
n
n
n
linu a
ulimv 0 lim
v
V 0, n 0








  
  
(dấu của a) 
 Hướng dẫn: 
2 lim lim2 3 2
l
1
a. im
3 lim lim3 3 3 6
nn
n n
u u
u u
   
  
   
Dạng toán 5: Sử dụng các định lý về giới hạn 
Bài tập. Cho các dãy ,vn nu thỏa mãn 
lim 3
lim
n
n
u
v



 và 
0, 3, .
nn
v u n N    Hãy tính các giới hạn sau 
2
.lim
3
a n
n
u
u


2
lim
3
b. n
n
u
u
5
.lim
2 3
c n
n
v
v


Biên soạn: Nông Công Kiên Tài liệu miễn phí 
https://www.facebook.com/groups/lophoctoanthaykien/ 
"Nếu bạn muốn lên chỗ cao nhất, thì bạn phải bắt đầu từ chỗ thấp nhất" 
b. Ta có 
 lim2 lim2.lim 2.( 3 6 0)
n n
u u    
  lim 3 lim3 lim 3 ( 3) 0n nu u       
 Vì 3
n
u  nên 3 0
n
u   
 Suy ra 
2
lim
3
n
n
u
u


 
5 5
1
5 1 0
lim lim
2 3 22 0 3
33
1
c.
3
n
n n nn
nn
nn n
v
v v v v
lin
v v
vv v
 
 
   
 

