Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 11 - Đường thẳng và mặt phẳng

ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
A. CHUẨN KIẾN THỨC
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Cho đường thẳng và mặt phẳng , ta có ba vị trí tương đối giữa chúng là:
 và cắt nhau tại điểm , kí hiêu hoặc để đơn giản ta kí hiệu (h1)
 song song với , kí hiệu hoặc ( h2)
 nằm trong , kí hiệu (h3)
2. Các định lí và tính chất.
Nếu đường thẳng không nằm trong mặt phẳng và song song với đường thẳng nằn trong thì song song với .
Vậy 
Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Nếu mặt phẳng đi qua và cắt theo giao tuyến thì .
Vậy . 
Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng ( nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.
Vậy .
 4. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP.
Bài toán 01: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG.
Phương pháp:
Để chứng minh đường thẳng songsong với mặt phẳng ta chứng minh song song với một đường thẳng nằm trong .
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành và không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là và .
a) Chứng minh song song với các mặt phẳng và .
b) Gọi lần lượt là hai điểm trên các cạnh sao cho . Chứng minh song song với .
Lời giải.
a) Ta có là đường trung bình của tam giác ứng với cạnh nên , 
.
Tương tự, là đường trung bình của tam giác ứng với cạnh nên , .
b) Trong , gọi 
Do nên .
Lại có . Mà .
Ví dụ 2. Cho hình chóp có đáy là một hình bình hành. Gọi là trọng tâm tam giác , là trung điểm của và là điểm trên cạnh sao cho .
a) Đường thẳng đi qua và song song với cắt tại . Chứng minh .
b) Chứng minh .
Lời giải.
a) Ta có ,
, 
mà 
.
b) Gọi là giao điểm của và 
Ta có 
, .
Bài toán 02: DỰNG THIẾT DIỆN SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG.
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa và các tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
Trong phần này ta sẽ xét thiết diện của mặt phẳng đi qua một điểm song song với hai đường thẳng chéo nhau hoặc chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng; để xác định thiết diện loại này ta sử dụng tính chất: 
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho hình chóp , và là hai điểm thuộc cạnh và , là mặt phẳng qua và song song với .
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi.
b) Tìm điều kiện của để thiết diện là một hình thang.
Lời giải.
a) Ta có 
.
Trong gọi 
Vậy 
Từ đó ta có .
Thiết diện là tứ giác .
b) Tứ giác là một hình thang khi hoặc .
Trường hợp 1:
Nếu thì ta có 
Mà (vô lí).
Trường hợp 2: 
Nếu thì ta có các mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là nên .
Đảo lại nếu thì 
 nên tứ giác là hình thang.
Vậy để tứ giác là hình thang thì điều kiện là .
Ví dụ 2. Cho hình chóp , có đáy là hình vuông cạnh và tam giác đều. Một điểm thuộc cạnh sao cho , mặt phẳng đi qua song song với và .
a) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi .
b) Tính diện tích thiết diện theo và .
Lời giải.
a) Ta có 
.
Tương tự 
Trong gọi , thì ta có 
.
Thiết diện là tứ giác .
b) Do 
Lại có . Từ và suy ra 
Mà .
Ba mặt phẳng và đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là với .
Vậy là hình thang.
Ta có , mà . Do đó là hình thang cân.
Từ ,
,
Gọi là trung điểm của thì 
.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
31.Cho hình chóp . Gọi lần lượt là trung điểm của và ; tương ứng là trọng tâm các tam giác .
a) Chứng minh .
b) .
c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .
32. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Trên các cạnh lần lượt lấy các điểm sao cho .
a) Chứng minh .
b) .
c) .
33. Cho hình chóp có đáy là một tứ giác lồi. Gọi là giao điểm của hai đường chéo và . Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng qua , song song với và .
34. Cho hình chóp có đáy là một hình bình hành . Gọi là trung điểm của cạnh . Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng qua , song song với và .
35. Cho hình chóp . Gọi là hai điểm bất kì trên hai cạnh và , là mặt phẳng đi qua và song song với .
Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi .
36. Cho tứ diện . Gọi lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác và . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để 
a) là .
b) và là và .
37. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành . Gọi là trung điểm của ; là mặt phẳng qua và song song với .
a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi .
b) Gọi lần lượt là giao điểm của với các cạnh . Tính các tỉ số .
c) Gọi . Chứng minh nằm trên một đường thẳng song song với .
38. Cho hình chóp có đáy là hình thang với đáy lớn . Gọi theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác và .
a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng : và ; và .
b) Chứng minh .
c) Gọi là giao tuyến của và còn lần lượt là các giao điểm của với . Chứng minh .
d) Tìm các giao điểm của với , với . Chứng minh thẳng hàng.
39. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm . là một điểm di động trên cạnh , là mặt phẳng qua và song song với .
a) Chứng minh luôn chứa một đường thẳng cố định.
b) Tìm các giao điểm của với . Chứng minh có giá trị không đổi.
b) Thiết diện của hình chóp với có thể là hình thang được không?
40. Cho tứ diện có với. Một mặt phẳng song song với hai đường thẳng và cắt các cạnh của của tứ diện theo một thiết diện là hình thoi. Tính diện tích của thiết diện.
41. Cho tứ diện đều cạnh . và là hai điểm di động trên các cạnh và , sao cho . Một mặt phẳng qua song song với cắt tứ diện theo một thiết diện.
a) Chứng minh thiết diện là hình thang cân.
b) Tìm để diện tích thiết diện nhỏ nhất.
42. Cho hình chóp có đáy là một hình bình hành. Một mặt phẳng thay đổi đi qua và cắt tại .
a) Tứ giác là hình gì?
b) Chứng minh giao điểm của và luôn thuộc một đường thẳng cố định.
c) Chứng minh giao điểm của và luôn thuộc một đường thẳng cố định và không đổi.
43. Cho hình lăng trụ . Gọi là trung điểm của cạnh .
a) Chứng minh .
b) là một điểm thuộc cạnh , . Chứng minh . Tìm vị trí của để .
44. Cho hình lăng trụ . lần lượt là trọng tâm các tam giác , và .Chứng minh
a) .
b) .
45. Cho tứ diện đều cạnh . là trung điểm của cạnh , là điểm tuộc cạnh sao cho . là một điểm di động trong tam giác sao cho .
a) Tìm tập hợp điểm .