Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 11 - Định nghĩa đạo hàm

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
	· Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 Î (a; b):
 	 = 	(Dx = x – x0, Dy = f(x0 + Dx) – f(x0))
	· Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Đạo hàm bên trái, bên phải
. .
Hệ quả : Hàm có đạo hàm tại và đồng thời .
3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
 Hàm số có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc 
 Hàm số có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc đồng thời tồn tại đạo hàm trái và đạo hàm phải .
4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
 Nếu hàm số có đạo hàm tại thì liên tục tại .
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm nhưng hàm đó không có đạo hàm tại .
B – BÀI TẬP
Câu 1. Giới hạn (nếu tồn tại) nào sau đây dùng để định nghĩa đạo hàm của hàm số tại?
A. .	B. .
C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm thì biểu thức ở đáp án C đúng.
Chọn C. 
Câu 2. Cho hàm số liên tục tại . Đạo hàm của tại là
A. .
B. .
C. (nếu tồn tại giới hạn).
D. (nếu tồn tại giới hạn).
Hướng dẫn giải:
Chọn C. 
Định nghĩa hay (nếu tồn tại giới hạn).
Câu 3. Cho hàm số có đạo hàm tại là . Khẳng định nào sau đây sai?
A. 	B. 
C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn D
A. Đúng (theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm).
B. Đúng vì 
C. Đúng vì 
Đặt 
Câu 4. Số gia của hàm số ứng với và bằng bao nhiêu?
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C. 
Ta có .
Với và thì .
Câu 5. Tỉ số của hàm số theo x và là
A. 	B. 
C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Câu 6. Số gia của hàm số ứng với số gia của đối số x tại là
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Với số gia của đối số x tại Ta có
Câu 7. Cho hàm số , đạo hàm của hàm số ứng với số gia của đối số x tại x0 là
A. 	B. 
C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có :
Nên 
Vậy 
Câu 8. Cho hàm số . Xét hai mệnh đề sau:
(I) .	
(II) Hàm số không có đạo hàm tại .
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (I).	B. Chỉ (II).	C. Cả hai đều sai.	D. Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Gọi là số gia của đối số tại 0 sao cho .
Ta có .
Nên hàm số không có đạo hàm tại 0.
Câu 9. tại điểm .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Vậy .
Câu 10. tại .
	A. 	B. 	C. 	D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có 
Dẫn tới hàm số không liên tục tại nên hàm số không có đạo hàm tại .
Câu 11. Cho hàm số . Khi đó là kết quả nào sau đây?
A. 	B. 	C. 	D. Không tồn tại.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có 
Câu 12. Cho hàm số . Khi đó là kết quả nào sau đây?
A. Không tồn tại.	B. 	C. 1.	D. 2.
Hướng dẫn giải:
Chọn A. 
Ta có nên .
Do nên không tồn tại.
Câu 13. Cho hàm số . Để hàm số này có đạo hàm tại thì giá trị của b là
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có
 có đạo hàm tại khi và chỉ khi liên tục tại 
Câu 14. Số gia của hàm số ứng với x và là
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có
Câu 15. Xét ba mệnh đề sau:
	(1) Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì liên tục tại điểm đó.
	(2) Nếu hàm số liên tục tại điểm thì có đạo hàm tại điểm đó.
	(3) Nếu gián đoạn tại thì chắc chắn không có đạo hàm tại điểm đó.
	Trong ba câu trên:
A. Có hai câu đúng và một câu sai.	B. Có một câu đúng và hai câu sai.
C. Cả ba đều đúng.	D. Cả ba đều sai.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
(1) Nếu hàm số có đạo hàm tại điểm thì liên tục tại điểm đó. Đây là mệnh đề đúng.
(2) Nếu hàm số liên tục tại điểm thì có đạo hàm tại điểm đó.
Phản ví dụ 
Lấy hàm ta có nên hàm số liên tục trên .
Nhưng ta có 
Nên hàm số không có đạo hàm tại .
Vậy mệnh đề (2) là mệnh đề sai.
(3) Nếu gián đoạn tại thì chắc chắn không có đạo hàm tại điểm đó.
Vì (1) là mệnh đề đúng nên ta có không liên tục tại thì có đạo hàm tại điểm đó.
Vậy (3) là mệnh đề đúng.
Câu 16. Xét hai câu sau: 
(1) Hàm số liên tục tại 	
(2) Hàm số có đạo hàm tại 
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (2) đúng.	B. Chỉ có (1) đúng.	C. Cả hai đều đúng.	D. Cả hai đều sai.
Hướng dẫn giải:
Chọn B
Ta có : . Vậy hàm số liên tục tại 
Ta có : (với )
Do đó : 
Vì giới hạn hai bên khác nhau nên không tồn tại giới hạn của khi .
Vậy hàm số không có đạo hàm tại 
Câu 17. Cho hàm số . Xét hai câu sau:
(1). Hàm số trên có đạo hàm tại .
(2). Hàm số trên liên tục tại .
Trong hai câu trên:
A. Chỉ có (1) đúng.	B. Chỉ có (2) đúng.	C. Cả hai đều đúng.	D. Cả hai đều sai.
Hướng dẫn giải:
Chọn B. 
Ta có 
+) .
+) .
+) .
. Vậy hàm số liên tục tại . 
Mặt khác:
+) .
+) . 
. Vậy hàm số không có đạo hàm tại .
Câu 18. Tìm để hàm số có đạo hàm tại .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có:; 
Hàm có đạo hàm tại thì hàm liên tục tại (1)
(Do)
Hàm có đạo hàm tại .
Câu 19. Cho hàm số . Với giá trị nào sau đây của a, b thì hàm số có đạo hàm tại ?
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Hàm số liên tục tại nên Ta có 
Hàm số có đạo hàm tại nên giới hạn 2 bên của bằng nhau và Ta có
Vậy 
Câu20 . tại .
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có: 
Vậy .
Câu 21. tại 
	A. 1	B. 2	C. 3	D. 5
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Ta có 
 nên hàm số liên tục tại 
 và 
Vậy .
Câu 22. tại .
	A. 2	B. 0	C. 3	D. đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Ta có hàm số liên tục tại và 
Nên 
Do đó 
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm .
Nhận xét: Hàm số có đạo hàm tại thì phải liên tục tại điểm đó.
Câu 23. Tìm a,b để hàm số có đạo hàm trên . 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta thấy với thì luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên khi và chỉ khi hàm có đạo hàm tại.
Ta có: liên tục tại.
 Khi đó: 
.
Vậy là những giá trị cần tìm.