Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 11 - Chủ đề 7.3: Khoảng cách. Góc

Chủ đề 7.3. KHOẢNG CÁCH – GÓC
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CỔ ĐIỂN
KIẾN THỨC CƠ BẢN
①	Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là , với là hình chiếu của trên đường thẳng .
Kí hiệu: .
②	Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là , với là hình chiếu của trên mặt phẳng .
Kí hiệu: .
③	Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia.
④	Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với nhau là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường đến mặt phẳng :
⑤	Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
⑥	Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Đường thẳng c cắt hai đường thẳng và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi là đường vuông góc chung của . gọi là đoạn vuông góc chung của .
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. 

KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng
a. Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng cho trước
Các bước thực hiện:
Bước 1.	Trong mặt phẳng hạ với .
Bước 2.	Thực hiện việc xác định độ dài dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác, đường tròn,  
@ Chú ý:
Nếu tồn tại đường thẳng qua và song song với thì: .
Nếu , thì: .
b. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Các bước thực hiện:
Bước 1.	Tìm hình chiếu của lên .
Tìm mặt phẳng qua O và vuông góc với .
Tìm .
Trong mặt phẳng , kẻ tại H.
Þ H là hình chiếu vuông góc của O lên .
Bước 2.	Khi đó là khoảng cách từ O đến .
@ Chú ý:
Chọn mặt phẳng sao cho dễ tìm giao tuyến với.
Nếu đã có đường thẳng thì kẻ cắt tại H.
Nếu thì: .
Nếu cắt tại I thì: 
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 
Trường hợp a ^ b:
Dựng mặt phẳng chứa a và vuông góc với b tại B.
Trong dựng BA ^ a tại A.
Þ	 là đoạn vuông góc chung.
Trường hợp a và b không vuông góc với nhau.
Cách 1: (Hình a)	
Dựng mp chứa a và song song với b.
Lấy điểm M tùy ý trên b dựng MM¢ ^ (a) tại M¢
Từ M¢ dựng b¢// b cắt a tại A.
Từ A dựng cắt b tại B.
Þ	AB là đoạn vuông góc chung.
Cách 2: (Hình b)	
Dựng mặt phẳng tại O, cắt b tại I
Dựng hình chiếu vuông góc b¢ của b lên 
Trong mp, vẽ OH ^ b¢ tại H.
Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B
Từ B dựng đường thẳng song song với cắt a tại A.
Þ	AB là đoạn vuông góc chung.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 
Cách 1.	Dùng đường vuông góc chung:
Tìm đoạn vuông góc chung AB của .
Cách 2.	Dựng mặt phẳng chứa a và song song với b. Khi đó:
Cách 3.	Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b. Khi đó: 
3. Phương pháp tọa độ trong không gian
a) Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm :
+ Mặt phẳng đi qua điểm có vtpt có dạng:
+ Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng : 
Công thức tính nhanh: 
b) Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau là: 
c) Góc giữa hai đường thẳng theo công thức: 
d) Góc giữa hai mặt phẳng và :
 có vecto pháp tuyến ; có vtpt , khi đó: 
e) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
 Tính và có vtpt , thì: 
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
KHỐI CHÓP ĐỀU (Thầy Bùi Anh Tuấn)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
A .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Góc giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng . Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC và SA bằng:
A. 	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
A. .	B. 	C. .	D. 
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, . M là trung điểm của cạnh BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc, và diện tích tam giác SBC bằng . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
A. . 	B. .	C. 	D. 
Cho hình chóp tam giác có vuông góc với mặt đáy, tam giác vuông cân tại B, , góc giữa với bằng . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng với .
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng , góc ABO bằng và . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai đường thẳng CM và OA.
A. .	B. .	B. .	D. .
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, góc OCB bằng , góc ABO bằng và . Điểm M nằm trên cạnh AB sao cho AM = 2 BM. Tính góc giữa hai mặt phẳng (OCM) và (ABC).
A. 	B. 	C. 	D. 
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng AC và mp(OBC) bằng , , . Gọi M là trung điểm của cạnh OB. Góc giữa đường thẳng OA với mặt phẳng (ACM bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho tứ diện có đôi một vuông góc. Góc giữa đường thẳng và bằng , , . Gọi là trung điểm của cạnh . Tính góc giữa hai mặt phẳng và bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI MẶT ĐÁY
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ABCD vuông tại A và B. Biết , . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, gọi M là trung điểm của AD. Tính khoảng cách h từ M đến mặt phẳng .
A..	B. .	C. .	D. .
Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, . Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng (OBC), , gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM.
A. .	B. .	C..	D. .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng , . Gọi F là trung điểm SC, tính góc giữa hai đường thẳng BF và AC.
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt đáy và . Gọi M là trung điểm của SC. Tính côsin của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và . Tính góc giữa hai mặt phẳng và .
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, góc . Các mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm SD, thể tích khối chóp S.ABCD là . Hãy tính khoảng cách h từ M tới mặt phẳng theo a.
A..	B..	C..	D..
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 2a, góc . Các mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD là . Hãy tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.
A. .	B..	C. .	D. .
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, . Hai mặt phẳng và cùng vuông góc với mặt đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng là . Tính góc tạo bởi hai đường thẳng SB và AC.
A. .	B. .	C. .	D. .
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 3.5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
C
A
A
B
D
A
B
C
B
D
A
A
C
B
A
B
A
B
D
C




















21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
A
D
C
A
C
A
A
D
A
A
C
A
B
A
B
D
B
A
D
B




















41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
A
A
C
D
B
A
A
A
B
C
A
D
C
A
B
A
C
A
C
A




















61
62
63

















A
D
C


















II –HƯỚNG DẪN GIẢI
KHỐI CHÓP ĐỀU (Thầy Bùi Anh Tuấn)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng:
A .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
 [Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, suy ra G là hình chiếu 
của S trên mặt phẳng (ABC). Gọi I là trung điểm của BC
suy ra góc giữa (SBC) với (ABC) là góc SIG.
Tam giác ABC đều cạnh bằng a nên 
Theo bài , suy ra
 .
Vì nên . 
Gọi H là hình chiếu của G trên (SBC) ( H thuộc đoạn thẳng SI). Suy ra , suy ra .
[Cách 2] Phương pháp thể tích.
Ta có: , , suy ra .
Vậy .
[Cách 3] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với ,
(Hình vẽ). 
Khi đó, ,
;, suy ra
,
, suy ra .
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Góc giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng . Khoảng cách giữa hai đường thẳng GC và SA bằng:
A. 	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và BC. Gọi H là hình chiếu của G lên đường thẳng đi qua A và song song với CG. GK là đường cao của tam giác GHS.
Khi đó, . Ta có: ;
 , suy ra
[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với , (Hình vẽ). 
Khi đó, , ;, suy ra ,,
 suy ra 	
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với mặt phẳng (ABCD) bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi M là trung điểm CD, kẻ GK song song với SO và 
cắt OM tại K, suy ra K là hình chiếu của G trên mp(ABCD), 
suy ra .
Ta có: , , , 
vì nên , suy ra . 
.
[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với . Khi đó, ,
;.
Suy ra , .
.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:
A. .	B. 	C. .	D. 
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi M là trung điểm CD. Gọi , suy ra . Suy ra .
Vì G, E lần lượt là trọng tâm tam giác SCD và ACD nên . 
Kẻ GK song song với SO và cắt OM tại K,
suy ra K là hình chiếu của G trên mp(ABCD)
Ta có: , , . .
Vì nên , suy ra . 
Xét tam giác , có ,
, ,
suy ra . 
[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz,
với . 
Khi đó, 
;
, , 
suy ra , . Suy ra .
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, . M là trung điểm của cạnh BC. Góc giữa hai mặt phẳng (SDM) với (SBC) bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, Gọi suy ra E là trọng tâm tam giác BCD. Gọi I là hình chiếu của O lên mặt phẳng (SBC), I thuộc đường thẳng SM, suy ra hình chiếu H của E lên mặt phẳng (SBC) nằm trên đoạn thẳng CI và .
Kẻ tại K , khi đó 
Ta có: , . 
 Suy ra 
 [Cách 2] Phương pháp thể tích.
Đặt suy ra .
Ta có , 
Tam giác SDM có , 
và , suy ra , 
suy ra 
suy ra 
.
[Cách 3]Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với . 
Khi đó, ,
;, 
suy ra , 
; 
, và . Suy ra