Bài tập Toán khối 11 - Trường THPT Hùng Vương

PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN
Hai cung đối nhau: -x và x
2. Hai cung bù nhau: và x
3. Hai cung phụ nhau: và x
4. Hai cung hơn kém nhau Pi: và x
5. Các hằng đẳng thức lượng giác
6. Công thức cộng lượng giác
7. Công thức nhân đôi
8. Công thức nhân ba:
9. Công thức hạ bậc:
10. Công thức biến đổi tích thành tổng
11 . Công thức biến đổi tổng thành tích
A. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
I/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
Cho 
Cho 5cosa + 4 = 0 .Tính sina , tana, cota.
Cho 
Tính biết Tính biết tanx = -2
	Tính biết cotx = -3
Chứng minh: 
	(sử dụng như 1 công thức) 
Chứng minh các đẳng thức sau: 
* Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: 
II/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT
 * Biết 1 HSLG khác:
Cho sinx = - 0,96 với 
	a/ Tính cosx ; b/ Tính 
 Tính:
Đơn giản biểu thức:
Đơn giản biểu thức:
Đơn giản biểu thức:
Chứng minh:
 Cho tam giác ABC.Chứng minh:
III/. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 
Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 
Tính biết 
Cho 2 góc nhọn có . a/ Tính b/ Tính 
Cho 2 góc nhọn x và y thoả : 
	a/ Tính b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y.
Tính biết và 
Tính theo . Áp dụng: Tính tg15o
 Tính: 
Tính:
Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x:
Chứng minh:
 Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác 
 Cho tam giác ABC.Chứng minh:
( học thuộc kết quả )
Công thức biến đổi: 
BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG	 
BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 
	 Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau : 
	( tiếp theo Loại 5- Trang 8)
Chứng minh vuông nếu: 
Chứng minh cân nếu: 
Chứng minh đều nếu: 
Chứng minh cân hoặc vuông nếu:
Hãy nhận dạng biết:
B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác 
Chú ý : 1) có nghĩa khi B (A có nghĩa) ; có nghĩa khi A
	2) 
3) 
4) 
5) Hàm số y = tanx xác định khi 
 Hàm số y = cotx xác định khi 
Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau 
1) y = cosx + sinx	2) y = cos	3) y = sin
4) y = cos	5) y = 	6) y = 
7) y = 	8) y = tan(x + )	9) y = cot(2x - 
10) y = 
II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác 
Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx 
	sin2(-x) = = (-sinx)2 = sin2x 
Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXĐ ; Kiểm tra 
	 	 Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng
Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 
1) y = -2cosx	2) y = sinx + x	3) y = sin2x + 2 
4) y = tan2x 	5) y = sin + x2	6) y = cos
III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác 
Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng 
	 Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng 
	 Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng 
	 Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng 
	 Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng 
	 Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng 
Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số
1) y = sinx trên 	2) y = cosx trên khoảng 
3) y = cotx trên khoảng 	4) y = cosx trên đoạn 
5) y = tanx trên đoạn 	6) y = sin2x trên đoạn 
7) y = tan3x trên khoảng 	8) y =sin(x + ) trên đoạn 
Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số
Hàm số
 Khoảng 
y = sinx
y = cosx
y = tanx
y = cotx
Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K y = A.f(x) +B 
Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số
1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn 
2) y = -2cos trên đoạn 
IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Chú ý : ; 0 sin2 x 1 ; A2 + B B
Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 
1) y = 2sin(x-) + 3	2) y = 3 – cos2x	3) y = -1 - 
4) y = - 2	5) y = 	6) y = 5cos
7) y = 	8) y = 
Chú ý : 
Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn thì 
Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn thì 
Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 
1) y = sinx trên đoạn 	2) y = cosx trên đoạn 
3) y = sinx trên đoạn 	4) y = cosx trên đoạn 
C.PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC.
I:LÍ THUYEÁT .
1/Phöông trình löôïng giaùc cô baûn .
sin u = sin v Û ( k Î Z )
cos u = cos v Û u = ± v + k2p. ( k Î Z )
tanu = tanv Û u = v + kp ( k Î Z )
cotu = cotv Û u = v + kp ( k Î Z )
2/ Phöông trình ñaëc bieät :
 sinx = 0 Û x = kp , sinx = 1 Û x = + k2p ,sinx = -1 Û x = - + k2p 
 cosx = 0 Û x = + k p , cosx = 1 Û x = k2p , cosx = -1 Û x = p + k2p .
 3/ Phöông trình baäc nhaát ñoái vôùi sinx vaø cosx . 
 Laø phöông trình coù daïng : acosx + bsinx = c (1) trong ñoù a2 + b2 ¹ 0 
 Caùch 1: acosx + bsinx = c Û = c vôùi
 asinx +bcosx = c Û = c vôùi .
Caùch 2 : 
 Xeùt phöông trình vôùi x = p + kp , k Î Z
 Vôùi x ¹ p + kp ñaët t = tan ta ñöôïc phöông trình baäc hai theo t :
 (c + b)t2 – 2at + c – a = 0 
Chuù yù : pt(1) hoaëc pt( 2) coù nghieäm Û a2 + b2 - c2 ³ 0 .
Baøi taäp :Giaûi caùc phöông trình sau:
1. , 2. 
3. , 4. 
5. , 6. 
7. 	8. 	 	
 4/ Phöông trình chæ chöùa moät haøm soá löôïng giaùc :
Phöông trình chæ chöùa moät haøm soá löôïng giaùc laø phöông trình coù daïng : f[u(x)] = 0
 vôùi u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx.
 Ñaët t = u(x) ta ñöôïc phöông trình f(t) = 0 .
Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình sau:
1. 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 	2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 
3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1
5. sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6. 
7. 	8. 5tan x -2cotx - 3 = 0
9. 	10. 
5/ Phöông trình ñaúng caáp theo sinx vaø cosx :
 a/ Phöông trình ñaúng caáp baäc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = 0 .
 Caùch 1 : 
Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
Xeùt chia hai veá cuûa phöông trình cho cos2x roài ñaët t = tanx.
Caùch 2: Thay sin2x = (1 – cos 2x ), cos2x = (1+ cos 2x) , 
 sinxcosx = sin2x ta ñöôïc phöông trình baäc nhaát theo sin2x vaø cos2x .
 b/ Phöông trình ñaúng caáp baäc cao : Duøng phöông phaùp ñaët aån phuï t = tanx sau khi ñaõ xeùt phöông trình trong tröôøng hôïp cos x = 0 hay x = + kp ,kÎZ.
Baøi taäp :
2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2 
 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 - 9)cos2x = 0
4sin2x +3 sin2x – 2cos2x = 4
6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx.
6/ Phöông trình daïng : a( cosx sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
 Ñaët t = cosx + sinx , ñieàu kieän khi ñoù sinxcosx = 
 Ta ñöa phöong trình ñaõ cho veà phöông trình baäc hai theo t .
 Chuù yù : neáu phöông trình coù daïng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0 
 Ñaët t = cosx - sinx , ñieàu kieän khi ñoù sinxcosx = 
Baøi taäp : Giaûi caùc phöông trình sau :
3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0
sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 
2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 
sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0
cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0
7. Caùc phöông trình löôïng giaùc khaùc.
Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau :
 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0,
 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg2x + 3 = , 6/ 4sin4 +12cos2x = 7
Baøi 2 : Giaûi caùc phöông trình sau :
 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : ñaët t =sinx 
 2/ ÑS : x = k3p , x= ± +k3p , x = ± +k3p 
 3/ 1+ sinsinx - cos sin2x = 2cos2 ( ) ÑS: sinx =1 v sin = 1 
 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : ñaët t = tanx , ÑS : x = - + k p 
 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = ÑS : x = k2p , x = ± +k2p 
 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x ÑS : cosx = 0 , cos 2x = 
 7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x 
 8/ cos 3x – cos 2x = 2
 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :ñaët t = tan 
 10/ sin2x+ 2tanx = 3
 11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :ñaët t =cos 2x 
 12/ tan3( x - ) = tanx - 1 ÑS : x = kp v x = + kp 
 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Ñöa veà PT baäc hai theo sinx.
 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ÑS : x = + kp 
 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 
 II. PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP BAÄC n THEO SINX ,COSX.
 Giaûi caùc phöông trình sau :
 1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0 .
 2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx.
 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x
 4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ÑS : x= + 
 5/ sin3(x - ) = sinx ÑS : x = +kp 
 6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 0 ÑS :x = ± + kp v x= + 
 7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0 .
 8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx
 III. PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG – PT PHAÛN ÑOÁI XÖÙNG .
 Giaûi caùc phöông trình sau :
 1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0 
 3/ 1 + sin3x + cos3x = sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0
 5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/ 
 7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 6
 8/ + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0
 9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 1 
 11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ). 
IV.PHÖÔNG TRÌNH TÍCH VAØ PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC KHAÙC .
 Giaûi caùc phöông trình sau:
 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx	 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 
3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + 
5/ sin4 + cos4 = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0
7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 8/ sin4x + cos4x – cos2x = 1 – 2sin2x cos2x 
9/ 3sin3x - cos 9x = 1 + 4sin3x. 10/ 
11/ sin2tan2x – cos2 = 0 12/ cotx – tanx + 4sinx = 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x ) 
15/ 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/ 
 19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan) 
 20/ cotx – 1 =
 21/ 3 –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx = 
D. TOÅ HÔÏP
Tóm tắt giáo khoa
I. Quy tắc đếm
1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách.
2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách.
II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Hoán vị:
a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A.
b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3n
2. Chỉnh hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số mà . Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là: .
3. Tổ hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số mà . Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu là: 
c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
III. Khai triển nhị thức Newton
Nhận xét:
Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng.
Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.
Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.
Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu Tk+1 thì: 
Chú ý:
 là khai triển theo số mũ của a giảm dần.
 là khai triển theo số mũ của a tăng dần.
Các Dạng bài toán cơ bản
Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm
Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân.
Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách  ... GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG a 
Giả sử phải tìm giao điểm d Ç a = ? 
 Phương pháp 1: 
 Tìm a Ì a 
 Chỉ ra được a ,d nằm trong cùng mặt phẳng và 
 chúng cắt nhau tại M 	” d ÇÈ a = M ( hình vẽ )
 Phương pháp 2: 
 Tìm b chứa d thích hợp 
 Giải bài toán tìm giao tuyến a của a và b 
 Trong b : a ÈÇ d = M ” d È a = M ( hình vẽ b)
4. 1: Cho tứ diện SABC; M ; N lần lượt là các điểm nằm trong DSAB ; DSBC. MN cắt (ABC) tại P. Xác định giao điểm P
4. 2: Cho tứ diện ABCD ; M là trung điểm AB; N và P lần lượt là các điểm nằm trên AC; AD sao cho AN : AC = 3 : 4 ; AP : AD = 2 : 3. Tìm giao điểm :
a) MN với (BCD)	b) BD với (MNP)	
c) Gọi Q là trung điểm NP.Tìm giao điểm của MQ với (BCD)
4. 3: A; B ; C ; D là bốn điểm không đồng phẳng. M; N lần lượt là trung điểm của AC; BC. Trên đoạn BD lấy P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của :
a) CD với (MNP)	b) AD với (MNP)
4. 4: Cho hình chóp SABC ; O là điểm trong DABC ; D và E là các điểm năm trên SB ; SC.Tìm giao điểm của a) DE với (SAO)	b) SO với (ADE)
4. 5: Cho tứ diện SABC. I ; H lần lượt là trung điểm SA; AB. Trên đoạn SC lấy điểm K sao cho CK = 3KS.
a)Tìm giao điểm của đường thẳng BC với (IHK) ?
b)Gọi M là trung điểm HI. Tìm giao điểm của đường thẳng KM với (ABC) ?
4. 6: Cho hình chóp SABCD đáy là hình thang ABCD đáy lớn AB. I; J; K là ba điểm trên SA; SB; SC .Tìm giao điểm IK và (SBD); giao điểm (ỊJK) và SD; SC
4. 7: Gọi I ; J lần lượt là hai điểm nằm trong DABC; DABD của tứ diện ABCD. M là điểm tuỳ ý trên CD. Tìm giao điểm IJ và mặt phẳng (AMB) 
4. 8: Hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD. M là trung điểm SD
a)Tìm giao điểm I của BM và (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ?
b)Tìm giao điểm J của của SA và (BCM) ? Chứng minh J là trung điểm SA ?
c) N là điểm tuỳ ý trên BC. Tìm giao điểm của MN với (SAC) ?
Vấn đề 5: 	THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG a VỚI KHỐI ĐA DIỆN
Lần lượt xét giao tuyến của a với các 
mặt của khối đa diện đồng thời xét giao điểm của 
các cạnh của đa diện với mặt phẳng a 
	Khi các đoạn giao tuyến tìm được khép
kín thành đa giác ta được thiết diện phải tìm.
 	Việc chứng minh tiết diện có hình 
dạng đặc biệt như hình bình hành; hình thang ; 
. . . trong mặt phẳng a cũng nhờ vào quá trình 
đi tìm giao tuyến và giao điểm ở trên 
 	Trong phần này ta chỉ xét hai cách làm cơ bản :
I. Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến 
II.Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ 
5. 1: 1) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm AA’ ; AD ; DC . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M; N; P với hình lập phương ?
 	 2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm DC ; AD ; BB’. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình hộp và giao tuyến của (MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’)
5. 2: 1)Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành . Gọi E; F; K lần lượt là trung điểm của SA ; AB ; BC. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng đi qua ba điểm E; F ; K
 	 2) Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’ ; B’ ; C’ lần lượt là các điểm nằm trên SA ; SB; SC. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp
*5. 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm trên BD và ở ngoài BD sao cho ID = 3IB; M ; N là hai điểm thuộc cạnh AD ; DC sao cho MA = MD ; ND = NC
a)Tìm giao tuyến PQ của (IMN) với (ABC) ?
b)Xác dịnh thiết diện tạo bởi (IMN) với tứ diện ?
c)Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ?
*5. 4: 1)Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J lần lượt là trọng tâm DABC ; DDBC ; M là trung điểm AD. Tìm tiết diện tạo bởi (MJI) và tứ diện ?
 	 2) Cho hình chóp S.ABCDE. Lấy ba điểm M ; N ; K trên SA ; BC ; SD. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNK) với hình chóp 
5. 5: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy . Gọi M ; N là trung điểm SB ; SC .
a)Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) ?
b)Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AMN) ?
c)Tìm tiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình chóp 
*5. 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm SC 
a)Tìm giao điểm I của AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM 
b)Tìm giao điểm F của SD với (AMB) ? Chứng minh F là trung điểm SD ?
c)Xác định hình dạng tiết diện tạo bởi (AMB) với hình chóp 
d)Gọi N là một điểm trên cạnh AB .Tìm giao điểm của MN với (SBD) ?
*5.7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm SB ; SD ; OC
a) Tìm giao tuyến của (MNP) với (SAC) ?	
b) Dựng thiết diện của (MNP) với hình chóp ?
c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ?	ĐS: c) 3 : 1 ; 1 : 1 ; 1 : 1
5.8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; gọi M là trung điểm SB ; G là trọng tâm DSAD
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) ?	
b) Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD ?
c) Chứng minh (CGM) đi qua trung điểm SA ?
d) Dựng tiết diện của (CGM) với hình chóp ?
*5.9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; I ; J là trọng tâm DSAB ; DSAD
a) Tìm giao điểm của JI với (SAC) ?	
b) Dựng thiết diện tạo bởi (JIO) với hình chóp 
5.10. Cho hình chóp SABCD. Gọi I ; M ; N là ba điểm trên SA ; AB ; CD 
a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) ?
b) Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp 
BÀI TẬP TỔNG HỢP 
1: Cho tứ diện ABCD ; I là điểm nằm ngoài đoạn BD. Mặt phẳng a qua I cắt AB; BC; CD; DA tại M; N; P; Q. 
a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng và ba điểm I ; N ; P cũng thẳng hàng ?
b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ?
2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành . M là trung điểm 
SD; E là điểm trên cạnh BC
a) Tìm giao điểm N của SC với (AME) ?
b) Tìm giao tuyến của (AME) với (SAC) ?
c) Tìm giao điểm của K của SA với (MBC) ? Chứng minh K là trung điểm SA
3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .F là trung điểm CD; E là điểm trên cạnh SC sao cho SE = 2EC .Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình 
4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .I là trung điểm SD; E là điểm trên cạnh SB sao cho SE = 3EB .
a) Tìm giao điểm F của CD với mặt phẳng (AIE) ?
b) Tìm giao tuyến d của (AIE) với (SBC) ?
c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ?
5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi .F là trung điểm SC; E là điểm trên cạnh BC sao cho BE = 2EC .
a)Tìm tiết diện tạo bởi (AEF) với hình chóp ?
b) Tìm giao điểm của SB với (AEF) ?
6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; M là trung điểm SB; G là trọng tâm DSAD
a) Tìm giao điểm I của GM với (ABCD) và chứng minh I nằm trên đường thẳng CD và IC = 2ID ?
b) Tìm giao điểm J của (OMG) với AD ? Tính tỉ số 
c)Tìm giao điểm K của (OMG) với SA ? Tính 	HD: b) 2 c) 2
7: Cho tứ diện ABCD; trên AD lấy N sao cho 
AN = 2ND ; M là trung điểm AC ; trên BC lấy Q sao cho BQ = BC
a) Tìm giao điểm I của MN với (BCD) ? Tính IC:ID
b) Tìm giao điểm J của BD với (MNP) ? Tính JB:JD
8 Cho tứ diện ABCD. Gọi I ; J là hai điểm cố định nằm trên AB ; AC và ỊJ không song song với BC. Mặt phẳng a quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD tại M ; N
a) Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định ?
b) Tìm tập hợp giao điểm của IN và JM ?
c)Tìm tập hợp giao điểm của IM và JN ?
9. Cho hình chóp SABC. Gọi A’ ; B’ ; C’ là các điểm di động trên SA ; SB ; SC thoả : 	
SA’ = SA ; SB’ = SB ; SC’ = SC
a) Chứng minh A’B’ đi qua một điểm cố định I và A’C’ đi qua điểm cố định J khi n thay đổi ?
b) Chứng minh (A’B’C’) chừa một đường thẳng cố định 
HD: a) dùng định lí menelaus b) đường IJ 
Vấn đề 6 	HAI ĐT SONG SONG
Phương pháp :
Có thể dùng một trong các cách sau :
- Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo của định lý Ta-lét ...)
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ 3.
- Áp dụng định lý về giao tuyến .
6.1 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng . Trên hai đường thẳng chéo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho 
AM : AC = BN : BF = 1: 3 . Chứng minh MN //< DE
6.2 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong mặt phẳng . Trên hai đường thẳng chéo nhau AC và BF lần lượt lấy hai điểm M ; N sao cho 
AM : AC = BN : BF = 5 . Dựng MM' < AB với M' trên AD; NN' < AB với N' trên AF. Chứng minh : a) MM' và NN' //< CD	b) M’N<// DF
Vấn đề 7: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
1. Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P
Phương pháp :
Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a chứa trong (P) .
Ghi chú : Nếu a không có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến của (P) và (Q) .
7.1 Cho tứ diện ABCD . Trên cạnh AD lấy trung điểm M ; trên BC lấy điểm N bất kì.Gọi ( a )a a là mặt phẳng chứa đường thẳng MN và song song với CD .
a)Tìm tiết diện của tứ diện ABCD với ( a )a a ?
b)Xác định vị trí của N trên BC sao cho tiết diện là hình bình hành ?
7.2 Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AB.( a )a là mặt phẳng qua M và song song AD và SD.
a)Mặt phẳng ( a )a a cắt SABCD theo tiết diện là hình gì ?	 b)Chứng minh SA // a 
7.3 Cho hình chóp SABCD. có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng ( a )a a di 
động luôn luôn song song BC và đồng thời đi qua trung điểm C’ của SC . 
a)Mặt phẳng ( a )a a cắt cac cạnh SA ; SB ; SD lần lượt tại A’ ; B’ ; D’ tiết diện A’B’C’D’ là hình gì ?
b)Chứng minh rằng ( a )a a khi chuyển động luôn luôn chứa một đường thẳng cố định 
c)Gọi M là giao điểm của A’C’ và B’D’ .Chứng minh khi ( a )a a di động thì M di động trên đường thẳng cố định 
7.4 Cho hình chóp S.ABCD đáy là bình hành.Gọi M là điểm di động trên cạnh SC; mặt phẳng (µ)a chứa AM và < BD 
a)Chứng minh (µ)a luôn luôn đi qua một đường thẳng cố định khi M chuyển động trên cạnh SC 
b) (µ)a cắt SB và SD tại E ; F .Trình bày cách dựng E và F ?
c)Gọi I là giao điểm của ME và CB; J là giao điểm của MF và CD . Chứng minh ba điểm I ; J ; A thẳng hàng
Vấn ñề 8: MAËT PHAÚNG SONG SONG
1. Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp :
* Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia .
8.1 Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình bình haønh. Goïi H,I,K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SA,SB,SC.
	a) Chöùng minh (HIK)// (ABCD).
	b) Goïi M laø giao ñieåm cuûa AI vaø KD, N laø giao ñieåm cuûa DH vaø CI .Chöùng minh (SMN) //(HIK).
8.2 Cho hình hoäp ABCD.AÙB’C’D’. 
	a) Chöùng minh (BA’D) // (B’D’C).
b) Chöùng minh AC’ qua troïng taâm G vaø G’ cuûa tam giaùc A’BD vaø CB’D’
8.3 Cho hình choùp S.ABCD, ñaùy laø hình bình haønh taâm O. Goïi M,N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa SA ,CD.
	a) Cm: (OMN) //(SBC).
	b) Giaû söû tam giaùc SAD, ABC ñeàu caân taïi A. Goïi AE,A F laø caùc ñöôøng phaân giaùc trong cuûa tam giaùc ACD vaø SAB . Cm: E F //(SAD).
8.4 Cho hai hình vuoâng ABCD, ABE F khoâng cuøng naèm trong moät maët phaúng . Treân caùc ñöôøng cheùo AC,BF laàn löôït laáy caùc ñieåm M,N sao cho AM=BN . Caùc döôøng thaúng // AB veõ töø M,N laàn löôït caét AD, A F taïi M’,N’.
	a)Cm: (CBE) //(AD F).
	b) Cm: (DE F)//(MNN’M’).