Bài tập môn Toán Lớp 11 - Bài 1: Hàm số lượng giác

Giải SBT Toán 11 bài 1: Hàm số lượng giác
Bài 1.1 trang 12 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Tìm tập xác định của các hàm số.
a) y=cos.2x/x−1
b) y=tan.x/3
c) y=cot2x
d) y=sin.1/x2−1
Giải:
a) D=R∖{1}
b) cosx/3≠0⇔x/3≠π/2+kπ⇔x≠3π/2+k3π,k∈Z
Vậy D=R∖{3π/2+k3π,k∈Z}
c) sin2x≠0⇔2x≠kπ⇔x≠k.π/2,k∈Z
Vậy D=R∖{k.π/2,k∈Z}
d) D=R∖{−1;1}
Bài 1.2 trang 12 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Tìm tập xác định của các hàm số.
a) y=
b) y=3/sin2x−cos2x
c) y=2/cosx−cos3x
d) y=tanx+cotxy=tan⁡x+cot⁡x
Giải:
a) cosx+1≥0,∀x∈R. Vậy D = R
b) sin2x−cos2x=−cos2x≠0⇔2x≠π/2+kπ, k∈Z⇔x≠π/4+k.π/2, k∈Z
Vậy D=R∖{π/4+k.π/2,k∈Z}
c) cosx−cos3x=−2sin2xsin(−x)=4sin2xcosx
⇒cosx−cos3x≠0⇔sinx≠0 và cosx≠0
⇔x≠kπ và x≠π/2+kπ,k∈Z
Vậy D=R∖{k.π/2,k∈Z}
d) tan x và cos x có nghĩa khi sin x ≠ 0 và cos x ≠ 0
Vậy D=R∖{kπ/2,k∈Z}
Bài 1.3 trang 12 Sách bài tập (SBT) 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số
a) y=3−2|sinx|
b) y=cosx+cos(x−π3)
c) y=cos2x+2cos2x
d) y=
Giải:
a) 0≤|sinx|≤1nn−2≤−2|sinx|≤0
Vậy giá trị lớn nhất của y = 3 - 2|sin x| là 3, đạt được khi sin x = 0; giá trị nhỏ nhất của y là 1, đạt được khi sin x = ± 1
b) cosx+cos(x−π/3)
=2cos(x−π/6)cosπ/6
=√3cos(x−π/6)
Vậy giá trị nhỏ nhất của y là -√3 đạt được chẳng hạn, tại x=7π/6; giá trị lớn nhất của y là √3, đạt được chẳng hạn tại x=π/6
c) Ta có:
cos2x+2cos2x
=1+cos2x/2+2cos2x
=1+5cos2x/2
Vì -1 ≤ cos2x ≤ 1 nên giá trị lớn nhất của y là 3, đạt được khi x = 0, giá trị nhỏ nhất của y là -2, đạt được khi x=π/2
d) 5−2cos2xsin2x=5−1/2sin22x
Vì 0≤sin22x≤1nn−1/2≤−1/2sin22x≤0
⇒3√2/2≤y≤√5
Suy ra giá trị lớn nhất của y = √5 tại x=k.π/2, giá trị nhỏ nhất là 3√2/2 tại x=π/4+k.π/2
Bài 1.4 trang 13 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Với những giá trị nào của x, ta có mỗi đẳng thức sau?
a) 1/tanx=cotx
b) 1/1+tan2x=cos2x
c) 1/sin2x=1+cot2x
d) tanx+cotx=2/sin2x
Giải
a) Đẳng thức xảy ra khi các biểu thức ở hai vế có nghĩa tức là sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0. Vậy đẳng thức xảy ra khi x≠k.π/2, k ∈ Z
b) Đẳng thức xảy ra khi cosx ≠ 0, tức là khi x≠π/2++kπ k ∈ Z
c) Đẳng thức xảy ra khi sinx ≠ 0, tức là x≠kπ, k ∈ Z
d) Đẳng thức xảy ra khi sinx ≠ 0 và cosx ≠ 0, tức là x≠k.π/2, k ∈ Z
Bài 1.5 trang 13 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Xác định tính chẵn lẻ của các hàm số
a) y=cos2x/x
b) y=x−sinx
c) y=√1−cosx
d) y=1+cosxsin(3π/2−2x)
Giải
a) y=cos2x/x là hàm số lẻ
b) y=x−sinx là hàm số lẻ
c) y=√1−cosx là hàm số chẵn
d) y=1+cosxsin(3π/2−2x) là hàm số chắn
Bài 1.6 trang 13 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
a) Chứng minh rằng cos2(x+kπ)=cos2x,k∈Z. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y = cos 2x
b) Từ đồ thị hàm số y = cos 2x, hãy vẽ đồ thị hàm số y = |cos 2x|
Giải:
a) cos2(x+kπ)=cos(2x+k2π)=cos2x,k∈Z. Vậy hàm số y = cos 2x là hàm số chẵn, tuần hoàn, có chu kì là π.
Đồ thị hàm số y = cos 2x
b) Đồ thị hàm số y = |cos 2x|
Bài 1.7 trang 13 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Hãy vẽ đồ thị của các hàm số
a) y = 1 + sin x
b) y = cos x - 1
c) y=sin(x−π/3)
d) y=cos(x+π/6)
Giải:
a) Đồ thị hàm số y = 1 + sin x thu được từ đồ thị hàm số y = sinx bằng cách tịnh tiến song song với trục tung lên phía trên một đơn vị.
b) Đồ thị hàm số y = cos x - 1 thu được từ đồ thị hàm số y = cosx bằng cách tịnh tiến song song với trục tung xuống phía dưới một đơn vị.
c) Đồ thị hàm số y=sin(x−π/3) thu được từ đồ thị hàm số y = sinx bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang phải một đoạn bằng π/3.
d) Đồ thị hàm số y=cos(x+π/6) thu được từ đồ thị hàm số y = cosx bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang trái một đoạn bằng π/6.
Bài 1.8 trang 13 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11
Hãy vẽ đồ thị của các hàm số
a) y=tan(x+π/4)
b) y=cot(x−π/6)
Giải:
a) Đồ thị hàm số y=tan(x+π/4) thu được từ đồ thị hàm số y = tanx bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang trái một đoạn bằng π/4.
b) Đồ thị hàm số y=cot(x−π/6) thu được từ đồ thị hàm số y = cotx bằng cách tịnh tiến song song với trục hoành sang phải một đoạn bằng π/6.