Toán học - Phương pháp giải đối với một lớp tích phân đặc biệt

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
ĐỐI VỚI MỘT LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT
TRẦN XUÂN ĐƯỜNG
(GV Trường sĩ quan Tăng thiết giáp, Tam Dương, Vĩnh Phúc)
Trong bài viết này tôi xin được trao đổi về phương pháp giải đối với một lớp tích phân đặc biệt, nhưng thường xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng. 
	Tích phân tổng quát có dạng: 
 trong đó .
( Đối với các trường hợp đặc biệt khi hoặc tích phân trên suy biến thành các tích phân đơn giản. Chúng ta dễ dàng tính được băng cách dùng bảng nguyên hàm ) 
	Tùy thuộc vào tính chất và mối quan hệ qua lại của các lũy thừa m,n,p mà chúng ta sử dụng phép đổi biến tương ứng.
Dạng 1: Nếu , thì gọi q là mẫu số chung nhỏ nhất của các phân số tối giản biểu thị bởi m và n, khi đó đặt .
Thật vậy: Trước hết ta xét tích phân tổng quát sau đây 
 trong đó .
Gọi q là bội số chung nhỏ nhất của khi đó 
Đặt .
Khi Từ đó ta có
Do nên tích phân (1) là tích phân của hàm hữu tỉ, và dĩ nhiên việc tính tích phân mới này đơn giản hơn so với tích phân ban đầu.
Thí dụ 1. Tính tích phân .
Lời giải. 
Ta có: 
Đặt 
Khi Từ đó
Dạng 2: Nếu , khi đó gọi r là mẫu số của p và đặt .
Xét tích phân tổng quát trong trường hợp này:
 trong đó 
Từ điều kiện 
Đặt 
Khi Từ đó ta có
Do nên tích phân (2) là tích phân của hàm hữu tỉ.
Thí dụ 2. ( Đề thi Đại học Ngoại thương, 1996)
Tính tích phân .
Lời giải. 
Ta có: 
Đặt 
Khi Từ đó
Nhận xét. Trong trường hợp đặc biệt khi và phép đặt ẩn phụ trong tích phân trên có dạng ta xét thí dụ sau đây:
Thí dụ 3. ( Đề thi Đại học Kinh tế quốc dân,1997)
Tính tích phân .
Lời giải. Ta có do vậy 
Đặt 
Khi Từ đó
Dạng 3: Nếu , khi đó gọi r là mẫu số của p và đặt .
Xét tích phân tổng quát trong trường hợp này 
 trong đó 
Từ điều kiện 
Đặt 
Khi Từ đó 
Do nên tích phân (3) là tích phân của hàm hữu tỉ.
Thí dụ 4. Tính tích phân .
Lời giải. 
Ta có: 
Đặt 
Khi Từ đó
Để kết thúc bài viết mời các bạn hãy thử tính các tích phân sau: