Toán học 11 - Chuyên đề Giới hạn của hàm số

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
 1 
GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
 A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Các định nghĩa: 
+ 

L)x(flim
0xx
L)x(flimxxlim;xx:)x( n0n0nn  
+ Tương tự ta có các định nghĩa: 
L)x(flim
0xx


; L)x(flim
x


; 

)x(flim
0xx
; 

)x(flim
x
2. Một số định lý về giới hạn của hàm số: 
a) Định lý 1: Nếu các giới hạn: L)x(flim
0xx


; M)x(glim
0xx


 thì: 
+) )x(glim)x(flim)]x(g)x(f[lim
000 xxxxxx 
 
+ ) )x(glim).x(flim)x(g).x(flim
000 xxxxxx 
 
+) 
)x(glim
)x(flim
)x(g
)x(flim
0
0
0
xx
xx
xx



 (với 0M)x(glim
0xx


) 
+) )x(flim)x(flim
00 xxxx 
 
+) 3
xx
3
xx
)x(flim)x(flim
00 
 
+) )x(flim)x(flim
00 xxxx 
 (với 0)x(f  ) 
b) Định lý 2: (Nguyên lý kẹp giữa) 
Cho f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng K chứa điểm 0x (có thể trừ 
điểm 0x ). Nếu 
 







L)x(hlim)x(glim
x\Kx);x(h)x(f)x(g
00 xxxx
0
 thì L)x(flim
0xx


c) Định lý 3.  L)x(flim
0xx


 L)x(flim)x(flim
00 xxxx

 
d) Định lý 4. Nếu 

)x(flim
0xx
 thì 0
)x(f
1lim
0xx


3) Các giới hạn cơ bản 
+) CClim
0xx


; CClim
0xx


; CClim
x


+) k0
k
xx
xxlim
0


; k0
k
xx
x.ax.alim
0


 (với a  0) 
+) 

k
x
xlim ; 

k2
x
xlim ; 

1k2
x
xlim 
+ ) 0
x
1lim kx  ; 0x
1lim kx  
+) 
 k0x x
1lim ; 
 k20x x
1lim ;   1k20x x
1lim và 1
x
xsinlim
0x


CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
 2 
II) CÁC DẠNG TOÁN GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ. 
▲DẠNG 1. )x(flim
0xx
 (với f(x) xác định tại x0) 
◘ Phương pháp: 
+ Nếu f(x) cho bởi một công thức thì )x(f)x(flim 0xx 0


+ Nếu f(x) cho bởi đa công thức thì ta tính )x(flim
0xx

 )x(flim
0xx
 ■ 
►BÀI 1.1. Tính các giới hạn sau: 
1) )1x3x2(lim 3
1x


 3)
x3x
1xxlim 2
3
3x 


2) )2x7x(lim
2x


 4)
xx
12x.55x2lim 3
3
1x 


►BÀI 1.2. Cho hàm số sau: 






2x..khi...x
2x..khi...x34
)x(f
3
2
Tính )x(flim
2x 
; )x(flim
2x 
; )x(flim
2x 
. 
►BÀI 1.3. Cho hàm số sau: 












1x..khi.......x
1x0..khi...
x1
x
0x..khi...xcosx
)x(f
3
2
a) Tính )x(flim
0x
 b) Tính )x(flim
1x
▲DẠNG 2. )x(g).x(flim
0xx
   )(L  với L 0 
◘ Phương pháp: 
L)x(flim
0xx


 

)x(glim
0xx
 )x(g).x(flim
0xx
L>0   
L>0   
L<0   
L<0   
►BÀI 2.1. Tính các giới hạn sau: 
1) 







 3x2
1x2.
)1x(
1lim 21x 2) 






 x4
x4.
)2x(
3lim 22x 
3) 







 x7
x6.
)3x(
1lim 33x 
4) )5x3x(lim 2
x


5) )1x5x2(lim 23
x


 6) )1x..xx(lim 1kk
x
 

, k *N 
7) 3 32
x
x2x3lim 

 8) 4x3x2lim 2
x


CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
 3 
9)
3 23x xx2
1lim

 10) 
1xx2
2lim
24x 


▲DẠNG 3. 
)x(g
)x(flim
0xx
  



0
L với L 0 
◘ Phương pháp: 
L)x(flim
0xx


 0)x(glim
0xx


)x(g
)x(flim
0xx
L > 0 g(x) > 0  
L > 0 g(x) < 0  
L 0  
L < 0 g(x) < 0  
►BÀI 3.1. Tính các giới hạn sau: 
1) 
3x
3xxlim
2
3x 


 2) 
3x
3x2xlim
2
3x 


3) 22x )2x(
1x2lim



 4) 71x )1x(
5x4lim



5) 
)8x)(2x(
1x3lim 32x 


 6)
)3x4x)(3x(
1xlim 23x 


7) 
x121x
3x2lim
1x 


▲DẠNG 4. 
)x(g
)x(flim
0xx
  




 
◘ Phương pháp: 
+ Chia cả tử và mẫu cho xk (với k thích hợp) 
+ Áp dụng 0
x
1lim kx  ; 0x
1lim kx  ■ 
+ Chú ý: 
BABA 2 với A0; B0 
BABA 2 với A0; B0 
►BÀI 4.1. Tính các giới hạn sau: 
1) 
5x3x2
1x2x3lim 2
2
x 


 2) 
1xx
9x2x4lim 2
3
x 


3)
1x3x10
xxx5lim 5
24
x 


 4) 
1xx3
)x1)(5x2(lim 3
2
x 


5) 
)1x3)(1x(
x3xxlim 3
24
x 


 6)
3xx4
1x2.xlim 23x 


CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
 4 
7) 
1xx
1x).x41(lim 23x 



 8) 2
2
x x5x
3x)1x2(lim



9) 
2xx
1x2).x1(lim 3x 



 10) 
x32
1xx4x
lim
2
x 


11) 
1x2
x3x2xlim 2
26
x 


 12) 
2x
x21xxlim 2
24
x 


▲DẠNG 5. 
)x(g
)x(flim
0xx
  



0
0 
◘ Phương pháp: 
+ Phân tích tử và mẫu về dạng tích để rút gọn thừa số chung 
+ Nhân thêm đại lượng liên hợp với  BA  và  33 BA  ■ 
►BÀI 5.1. Tính các giới hạn sau: 
1) 2
3
3x x218
27xlim



 2) 
2x)12(x
4xlim
2
4
2x 


3) 
4x4xx
8x2xlim 23
24
2x 


 4) 
x26
3xlim
3x 


5) 
x3
x27lim
3
3x 


 6) 2
3
2x xx2
8xlim



7) 
x121x
x1xlim
1x 


 7) 2
3
3x x3
33xlim



►BÀI 5.2. Tính các giới hạn sau: 
1) 
1x
23xlim 21x 


 2) 
37x
22xlim
2x 


3) 
x1x1
x1x1lim
2
0x 


 [ĐHĐĐ.00] 4) 
3x4x
6x2x6x2xlim 2
22
3x 


5) 
18x7x
22x3lim 22x 


 6) 2
3
2x xx2
8xlim



7) 
x121x
x1xlim
1x 


 8) 
xx
x12xxlim 4
2
1x 


►BÀI 5.3. Tính các giới hạn sau: 
1) 
9x
25xlim 2
3
3x 


 2) 
x2x
x32xlim 2
3
2x 


3)
13x4
1xlim
3
1x 


 4) 2
3
0x x
x31x21lim 

[ĐHTL.2001] 
5) 
x
1x1x2lim
3 2
0x


 [ĐHQG.01] 6)
1x
7xx5lim 2
3 2
1x 


[ĐHTCKT.01] 
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
 5 
7) 
1x
x57xlim
23
1x 


[ĐHSPHN.01] 8) 
1x
2x1x2lim
54
1x 


 [ĐHSPII.00] 
9) 
x
x8x12lim
3
0x


[ĐHQG.97] 10) 
1x
17x2x3lim
1x 


11) 
1x
5x93xlim
3
1x 


[ĐHQG.97] 12) 
x
13x81x4lim
3
0x


▲DẠNG 6. )x(g).x(flim
0xx
   )(0  
◘ Phương pháp: 
+ Ta viết 




 0
0
)x(g
1
)x(flim)x(g).x(flim
00 xxxx
+ Ta viết 







)x(f
1
)x(glim)x(g).x(flim
00 xxxx
 ■ 
►BÀI 6.1. Tính các giới hạn sau: 
1) 
9x
x)3x(lim 23x 


 2) 35x )5x(
1
5
1
x
1lim






 

3)  1xx3
3x.x
1x2lim 2
22x




 4) 3x4x
1x5
3x2lim 22x 


▲DẠNG 7.  )x(g)x(flim
0xx


    
◘ Phương pháp: 
+ Rút gọn tổng [f(x) + g(x)] để đưa về dạng  ).(L  hoặc dạng 



0
L ■ 
+ Chú ý: 
BABA 2 với A0; B0 
BABA 2 với A0; B0 
►BÀI 7.1. Tính các giới hạn sau: 
1) 





 1x
3
1x
1lim 31x 2) 





 6x5x
1
3x4x
1lim 223x 
3)  1x23xlim 2
x


 4)  1x31xxlim 2
x


5)  3 323
x
x81.x4x5lim 

 6) 


 
 x
7x2x3x64lim 3 3
x
7) 


 
 20x x
3
x
1lim 
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
 6 
▲DẠNG 8.  )x(g)x(flim
0xx


     
◘ Phương pháp: 
+ Nhân thêm đại lượng liên hợp để đưa về dạng quen thuộc ■ 
►BÀI 8.1. Tính các giới hạn sau: 
1)  x3xxlim 2
x


 2)  1xx1xxlim 22
x


3)  3x4xx3lim 2
x


 4)  5x4xx5lim 2
x


5)  3 33 23
x
x8xx5xlim 

 6)  xxxlim 3 32
x


7)  x1xxlim 3 3
x
2 

▲DẠNG 9. 1
x
xsinlim
0x


 (giới hạn của các hàm số lượng giác) 
◘ Phương pháp: 
+ Sử dụng các công thức lượng giác: asin2acos1 2 , để đưa về giới hạn 
dạng: 1
x
xsinlim
0x


 hoặc 1
)x(f
)x(fsinlim
0)x(f


 ■ 
►BÀI 9.1. Tính các giới hạn sau: 
1) 
x
x3sinlim
0x
 2) 
x3sin
x5sinlim
0x
3) 
x4sin
x3tanlim
0x
 4) 20x x
x5cos1lim 

5) 20x x
x5cosxcoslim 

 6) 
xsin
x3cosxcoslim 20x


7) 30x x
xsinxtanlim 

 8) 20x x
x2cosxcos1lim 

9) 20x x
x3cosx2cosxcos1lim 

 10) 20x x
nxcos...x2cosxcos1lim 

; *Nn 
11) 
xcosxsin1
xcosxsin1lim
0x 


 [CĐBN.98] 12) 
x11sin
x7cos1lim 20x


 [ĐHĐĐ.00] 
13)
)1xsin(
1xlim
3
1x 


►BÀI 9.2. Tính các giới hạn sau: 
1) 20x x
xcos1lim 

 2) 
1x1
1x2coslim
20x 


3) 
 20x x11
xcos1lim



 [ĐHQG.96] 4) 20x x
xcos12lim 

 [CĐBN.99] 
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 
 7 
5) 2
2
0x x
xcosx1lim 

 [ĐHTM.99] 6) 20x x
x1x2x2coslim 

7) 30x x
xsin1xtan1lim 

 8) 
xsin
1x1x2lim
3 2
0x


 [ĐHLN.00] 
9) 
xcos1
1x31x2lim
3 22
0x 


 10) 2
3
0x x
x2cos1lim 

11) 20x x
x2cos.xcos1lim 

 12) 2
3
0x x
x2cos.xcos1lim 

13) 
xcosxsinx1
xlim
2
0x 
 14) 
xcos1
)xcos(1lim
2
0x 


►BÀI 9.3. Tính các giới hạn sau (bằng phương pháp đổi biến) 
1)  
x
1sin3xlim
x


 2) xtanx2
lim
2
x





 



3) 










 



x
4
tanx2tanlim
4
x
 4) 





 



4
xsin
xcos22lim
4
x
5) 




 


xtan
xcos
1lim
2
x
 6) 





 


6
xcos
x3sinlim
3
x
7)* 
 xtancos
xcos
2
cos
lim
0x





 

 8)* 2
3
0x x
x3cos.x2cosxcos1lim 

9)* 
xx
x2cos2coslim 21x 


 10) 
x
2xsin.
1xx
1xlim
2
2x




11) 
1xx
xcos4xsin3lim 2x 


 12) 
xsinx
xsinxlim
x 


 [HVBCVT.99] 
======================================================