Phương pháp giải toán Đại số 9

CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA
I. CĂN BẬC HAI - CĂN THỨC BẬC HAI
1. Căn bậc hai số học
	· Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho .
	· Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là , số âm kí 	hiệu là .
	· Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết .
	· Với số dương a, số là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng là căn bậc hai số học của 0
	· Với hai số không âm a, b, ta có: a < b Û .
2. Căn thức bậc hai
	· Với A là một biểu thức đại số, ta gọi là căn thức bậc hai của A.
	 xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.
	· 
DẠNG 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ CÓ NGHĨA
Phương pháp:
	· có nghĩa Û 	· có nghĩa Û A > 0 
	· f(x)g(x) có nghĩa khi g(x)≠ 0 · f(x)g(x) có nghĩa khi f(x)g(x) ≥0 và g(x)≠ 0 
	· Chú ý: Nếu bài yêu cầu tìm TXĐ thì sau khi tìm được điều kiện x, các em biểu diễn dưới dạng tập hợp.
	· Nếu |f(x)| ≥ a thì f(x) ≥ a hoặc f(x) ≤ -a. ( với a>0)
	· Nếu |f(x)| ≤ a thì -a ≤ f(x) ≤ a. ( với a>0)
Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa: a) 	b) 	c) d) 	e) 	f) 
HD:
a) Biểu thức có nghĩa khi: -3x ≥ 0 ó. Các câu khác làm tương tự:
b) x≤ 2	c) x ≤2/3	d) x≥ -1/3	e) x≥2/9	f) x ≥1/6.
Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa: a) 	b) 	c) d) 	e) 	f) 
HD:
a) Biểu thức có nghĩa khi: x-2≠0x-2≥0=> x≠2x≥2 ó
b) Biểu thức có nghĩa khi: x+2≠0x-2≥0=> x≠-2x≥2 =>x≥2 
c) Biểu thức có nghĩa khi : x2-4≠0x-2≥0=> x≠±2x≥2 =>x>2 
 d) 	e) 	
f) Biểu thức có nghĩa khi: x+1<0 ó 
Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa: a) 	b) 	c) d) 	e) 	f) 
HD:
a) Biểu thức có nghĩa khi :x2+1≥ 0 (luôn đúng) Suy ra: 
b) 	c) 	d) 	e) 	
f) Vì -2x2-1 <0 với mọi x nên không có giá trị nào của x để biểu thức có nghĩa
Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa: a) 	b) 	c) d) 	e) 	f) 
HD:
a) 	 	b) 	c) 	d) hoặc 	
e) hoặc 	f) hoặc 
Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa: a) 	b) 	c) d) 	e) 	f) 
HD:
a) 	b) hoặc 	c) 	d) 	e) 	f) 
DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Phương pháp: Các em dùng hằng đẳng thức 1 và 2 trong 7 hằng đẳng thức, biến đổi biểu thức trong căn đưa về dạng A2 rồi áp dụng công thức:	
Thực hiện các phép tính sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 	
Thực hiện các phép tính sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
Thực hiện các phép tính sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Thực hiện các phép tính sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 
ĐÁP SỐ
Bài 1:
	a)-0,8(-0,125)2 = -0,8|-0,125|=-0,8.0,125= 	
	b) 8	c) 	d) 	e) 	f) 
Bài 2:
	a)3-222+3+222=3-22+3+22=3-22+3+22=6
	b) 	 c) 1	d) 4	e) 	f) 
Bài 3:
	 a) (3+2)2-(3-2)2=3+2-3-2=	
	b)-22 Chú ý: 7-210=(5-2)2 
	c) 23	 Chú ý: 4-23=(3-1)2 
	d) 35 Chú ý: 24+85=(2+25)2; 9-45=(5-2)2
	e) 4 Chú ý: 17-122=(3-22)2 ; 9+42=(1+22)2.
	f) 22 Chú ý: 6-42=(2-2)2 ; 22-122=(32-2)2 
Bài 4: Ta thực hiện từ trong ra ngoài:
5-3-29-125=5-3-(25-3)2=5-3-|25-3|
	=5-6-25=5-(5-1)2=5-|5-1|=1.
13+302+9+42=13+302+22+12=13+303+22=13+302+12 =13+302+1= 43+302=32+52=
32+5.
(3-2) (3+2)2 = (3-2).3+2=1.
5-23+12+3+23+12=4-23+4+23= (3-1)2+(3+1)2=23 
2+3+2-3
DẠNG 3: SO SÁNH CĂN BẬC 2
Phương pháp:
So sánh với số ).
Bình phương hai vế .
Đưa vào (đưa ra ) ngoài dấu căn.
Dựa vào tính chất: nếu a>b≥0 thì a>b
BÀI TẬP: So sánh:
Bài 1: 22 và 27 ; 11 và 121 ; 7 và50 ; 6 và 33 ; 
 	Bài 2:
 a) 2 và b) -3 và - 5 c) 21, 2 , 15 , - 
 	d) 2 và e) 2 - 1 và 2 f) 6 và g) và 1 h) - và - 2 
i) - 1 và 3 j) 2 - 5 và 1 k) và 
l) 6 , 4 , - , 2 , 
 	 m) - 2 và - n) 2 - 2 và 3 o) 28, , 2, 36 
 	 q) và - r) - 7 và 4 p) - 27, 4, 16 , 21 
DẠNG 4: RÚT GỌN BIỂU THỨC
Phương pháp: Các em dùng hằng đẳng thức 1 và 2 trong 7 hằng đẳng thức, biến đổi biểu thức trong căn đưa về dạng A2 rồi áp dụng công thức:	
	Chú ý: Xét các trường hợp A ≥ 0, A < 0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Rút gọn các biểu thức sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
* Rút gọn các biểu thức sau:
a) A= 	b)B= c)C=
d)D=	 e) E= f)F= 
Cho biểu thức .
	a) Với giá trị nào của x thì A có nghĩa?
	b) Tính A nếu .
Cho 3 số dương thoả điều kiện: . Tính:
ĐÁP SỐ
Bài 1:
a) x+3+x-32 = x+3+|x-3|=x+3-(x-3)=6	(vì x≤ 3 nên |x-3|=-(x-3) )	
b) 2	c) 1	d) 
Bài 2:
a) A= 1-2a2 -2a =|1-2a|-2a.
Nếu 1-2a ≥ 0 ó a ≤ 1/2 thì A=(1-2a)-2a=1-4a
Nếu 1-2a1/2 thì A=-(1-2a)-2a=-1.
b)B=x-2y-|x-2y|: B=0 nếu x≥ 2y; B=2x nếu x<2y.
c)C=x2+|x2-4|: C=2x2-4 nếu |x|≥ 2; C=4 nếu |x|≤2.
d)D=2x-1- |x-5|x-5 : Nếu x>5 thì D=2x-2; Nếu x<5 thì D=2x.
e) E= | x2-2|x2-2; Nếu x2>2 hay |x|>2 thì E=1. Nếu x2<2 hay |x|<2 thì E=-1.
f) F= |x-4| + x-4|x-4|; Nếu x>4 thì F= x-3; Nếu x<4 thì F=3-x.
Bài 3: a) hoặc 	b) 
Bài 4: . Chú ý: , 
	, 
Nên A=x(y+z)+z(x+y)+y(x+z)=2(xy+yz+zx)=2.
DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
	Phương pháp:	
	·;	 · 
	· 	· 
	· 	· 
	· 	 · 
	· Chú ý: A2=B ó |A|=B ; |A|=A khi A ≥ 0; |a|=-A khi A≤ 0.
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	
ĐÁP SỐ
	Bài 1:
a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Bài 2:
a) 	b) 	c) 	d) vô nghiệm	e) 	f) vô nghiệm
Bài 3:
a) 	b) 	c) vô nghiệm	d) 	e) f) vô nghiệm
Bài 4: 
a) 	b) vô nghiệm	c) 	d) vô nghiệm	e) 
	f) 
Bài 5:
 a) 	b) 	c) 	d) 
Bài 6:
a) 	b) vô nghiệm	c) 	d) 
II. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP KHAI PHƯƠNG VÀ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA 
Phương pháp:	
· Khai phương một tích: 	 
	 Nhân các căn bậc hai: 	
· Khai phương một thương:	
	 Chia hai căn bậc hai:	
DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
Thực hiện các phép tính sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	
	f) 
Thực hiện các phép tính sau:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 	
	e) 	f) 
Thực hiện các phép tính sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Thực hiện các phép tính sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
Thực hiện các phép tính sau:
	a) 	b) 
	c) 	
ĐÁP SỐ
Bài 1:
 	a) 	 b) 	c) 	d) 	e) 	f) 211- 4
Bài 2:
 Chú ý: 
	a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Bài 3:
 a) 	b) 	c) 0	d) 2	e) 	f) 14
Bài 4: 
a) –2	b) 	c) 4	d) 1
Bài 5:
 Chứng tỏ . Tính Þ ; , 
DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC
Rút gọn các biểu thức:
	a) 	 b) 	c) 
	d) 	 e) 	f) 
Rút gọn các biểu thức sau:
	a) 	b) 	
	c) 
Rút gọn và tính:
	a) với 	b) với 
	c) với 	d)với 
ĐÁP SỐ
Bài 1:
 a) 	b) 	c) 	d) . Tách 
	e) 	f) 
Bài 2:
 a) 	b) 	c) nếu và nếu 
Bài 3: a) 	b) 	c) 	d) 2
DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 
	ĐS: a) 	b) vô nghiệm	c) 	d) 	e) 
DẠNG 4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
So sánh các số:
	a) và 1	 b) và 	c) và 
Cho các số không âm a, b, c. Chứng minh:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	
Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
	a) 	b) 	c) 
ĐÁP SỐ
Bài 1: 
Bài 2:
Bài 3:
 a) 	b) 	c) 
III. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
	· Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì 	+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì 
	· Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì 	+ Với A < 0 và B ≥ 0 thì 
	· Với A.B ≥ 0 và B ¹ 0 thì 	+ Với B > 0 thì 
	· Với A ≥ 0 và thì 
	· Với A ≥ 0, B ≥ 0 và A ¹ B thì 
DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
Thực hiện các phép tính sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
Thực hiện các phép tính sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	f) 
ĐÁP SỐ:
Bài 1:
a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 
Bài 2:
a) 	b) 	c) 	d) 	e) 	f) 1
DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC
Phương pháp: Đơn giản biểu thức rồi thay số.
Rút gọn và tính giá trị biểu thức:
	a) , 	b) , 
	c) , 	d) , 
	e) , 	 f) , 
	ĐS: a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 
	c) 	d) 
	e) 	 
	ĐS: a) 	b) 290	c) vô nghiệm	d) 	e) 
DẠNG 4: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Cho biểu thức: 	 (với n nguyên dương).
	a) Tính .
	b) Chứng minh rằng: Với mọi m, n nguyên dương và , ta có: 
	c) Tính .
Cho biểu thức:	 (với n nguyên dương).
	a) Chứng minh rằng:	b) Tính . 
Cho biểu thức:	(với n nguyên dương).
	a) Chứng minh rằng:	b) Tính . 
ĐÁP SỐ:
Bài 1:
a) 	b) Chứng minh 	c) 
Bài 2:
a) Sử dụng hằng đẳng thức 	b) 
Bài 3:
a) Sử dụng hằng đẳng thức . Chứng minh .
b) .
IV. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
	Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp các phép biến đổi đơn giản như: đưa thừa số ra ngoài dấu căn, đưa thừa số vào trong dấu căn, khử căn ở mẫu và trục căn thức ở mẫu để làm xuất hiện các căn thức bậc hai có cùng một biểu thức dưới dấu căn.
	Trong tất cả các bài toán rút gọn, nếu bài chưa cho điều kiện của x thì các em phải đi tìm điều kiện trước khi thực hiện rút gọn.
	Chú ý: Sau khi rút gọn biểu thức A, ta thường có các câu hỏi đi kèm sau:
Tính giá trị của A tại x= x0: Thông thường các em phải biến đổi x0 rồi mới thay vào A.
Tìm x để A=a; A>a; A<a: Với bài toán này, ta cho A=a ; A<arồi tìm x, các em chú ý phải so sánh x với điều kiện trước khi kết luận.
Tìm GTLN, GTNN: 
Chứng minh A>a; A<a ( hoặc so sánh A với a): Các em biến đổi tương đương để đưa về biểu thức đúng.
Tìm x nguyên để A nguyên: 
Cho biểu thức:	.
	a) Tìm x để biểu thức A có nghĩa.	b) Rút gọn biểu thức A.	c) Tìm x để .
	ĐS: a) 	b) 	c) 
Cho biểu thức:	.
	a) Rút gọn A nếu .	b) Tìm x để A dương	c) Tìm giá trị lớn nhất của A.
	ĐS: a) 	b) 	c) .
Cho biểu thức:	.
	a) Rút gọn A.	b) Tìm x để .
	ĐS: a) 	b) .
Cho biểu thức:	.
	a) Rút gọn A.	b) Tìm a để 	c) Tìm a để .
	ĐS: a) 	b) 	c) .
Cho biểu thức:	.
	a) Rút gọn A.	b) Tìm x để .
	ĐS: a) 	b) .
Cho biểu thức:	.
	a) Rút gọn A.	b) Tìm x để .
	ĐS: a) 	b) .
Cho biểu thức:	.
	a) Rút gọn A.	b) Tìm a để .	c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
	ĐS: a) 	b) 	c) .
Cho biểu thức:	.
	a) Rút gọn A.	b) Tìm a để .	c) Tìm a để .
	ĐS: a) 	b) 	c) .
Cho biểu thức:	.
	a) Rút gọn A.	b) Tìm a để .	c) Chứng minh rằng .
	ĐS: 
Cho biểu thức:	.
	a) Rút gọn A.	b) Tìm x để .
	ĐS: a) 	b) .
Cho biểu thức:	.
	a) Rút gọn A.	b) Tìm a để .
	ĐS: a) 	b) .
Cho biểu thức:	.
	a) Rút gọn A.	b) Tính giá trị của A khi .	c) Tìm x để .
	ĐS: a) 	b) 	c) .
 Cho biểu thức:	.
	a) Rút gọn B.	b) Tính giá trị của B khi .
	ĐS: a) 	b) .
 Cho biểu thức:	.
	a) Rút gọn B.	b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để và .
	ĐS: a) 	b) .
Cho biểu thức:	.
	a) Rút gọn B.	b) Cho . Xác định x, y để B có giá trị nhỏ nhất.
	ĐS: 
Cho biểu thức:	 
	a) Rút gọn B.	b) Tính B khi .
	ĐS: 
Cho biểu thức:	.
	a) Rút gọn B.	b) Chứng minh .
	ĐS: 
Cho biểu thức:	.
	a) Rút gọn B.	b) Tính giá trị của B nếu và .
	c) Tìm giá trị nhỏ nhất của B nếu .
	ĐS: 
V. CĂN BẬC BA
	· Căn bậc ba của một số a là số x sao cho .
	· Mọi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.
	· 	· 	· Với B ¹ 0 ta có: 
DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
	Phương pháp: Áp dụng công thức: 	;	
	 và các hằng đẳng thức: ,	
	,	
Thực hiện các phép tính sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	
Thực hiện các phép tính sau:
	a) 	b) 	
	c) 	d) 
ĐÁP SỐ:
Bài 1:
	a) 	b) 	c) 	d) 	e) 5.
Bài 2:
 a) . Chú ý: 	
b) . Chú ý: 
c) . Chú ý: 
d) . Đặt , Þ . Tính .
DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
Chứng minh rằng, nếu: và 
	thì 	 .
Chứng minh đẳng thức:
ĐÁP SỐ:
Bài 1:
Đặt Þ . Chứng tỏ 
Bài 2: Khai triển và rút gọn ta được vế trái
DẠNG 3: SO SÁNH HAI SỐ
	Phương pháp: 	
So sánh:
	a) và  ... hải có 2 nghiệm phân biệt khác 1. Suy ra:
	a≠0∆'>0f(1)≠0 ó m2-m-12>01-2m.1+m+12≠0 ó m>4 hoặc m<-3m≠13
 Tìm m để các phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
	a) 	b) 
	ĐS: 
 Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 
	ĐS: 
 Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	ĐS: a) 	b)	c) 
 Giải các hệ phương trình sau: (Đưa về Dạng )
	a) 	b) 	
	ĐS: 
a, Nhân 2 phương trình với 2 rồi trừ cho nhau ta được:
2x2+2y2+2z2-2xy-2xz-2zy=0; suy ra (x-y)2+(x-z)2+(z-y)2=0 ó x=y=z. Thay vào x2+y2+z2=27 ta được: 3x2=27 ó x=y=z =± 3
b, Nhân (x+y+z)=6 với 2 ta được: 2x+2y+2z=12 rồi lấy x2+y2+z2=12 trừ theo vế ta được: 
x2+y2+z2-(2x+2y+2z)=12-12
ó( x2-2x+1)+(y2-2y+1)+(z2-2z+1)=0
IV. GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Bước 1: Lập phương trình
	a) Chọn ẩn số và nêu điều kiện thích hợp của ẩn số.
	b) Biểu thị các dữ kiện chưa biết qua ẩn số.
	c) Lập phương trình biểu thị tương quan giữa ẩn số và các dữ kiện đã biết.
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: Đối chiếu nghiệm của phương trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số để trả lời.
Dạng 1: Toán về quan hệ giữa các số
Tìm hai số biết rằng hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là 9 và hiệu các bình phương của chúng bằng 119.
	ĐS: 
Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.
	ĐS: 
Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư là 3.
	ĐS: 
Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng . Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng . Tìm phân số đó.
	ĐS: 
Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. Nếu bớt 1 vào cả tử và mẫu thì phân số tăng . Tìm phân số đó.
	ĐS: 
Dạng 2: Toán chuyển động
Một canô đi xuôi dòng 45 km, rồi ngược dòng 18 km. Biết rằng thời gian đi xuôi dòng lâu hơn thời gian đi ngược dòng là 1 giờ và vận tốc đi xuôi lớn hơn vận tốc đi ngược là 6 km/h. Tính vận tốc canô lúc đi ngược dòng.
	ĐS: 
Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu.
	ĐS: 
Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trước. Sau khi được quãng đường AB, người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Tìm vận tốc dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút.
	ĐS: 
Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngược từ B trở về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêng của canô lúc xuôi và lúc ngược bằng nhau.
	ĐS: 
Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngược về 36 km. Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngược dòng là 6 km/h. Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngược dòng.
	ĐS: 
Dạng 3: Toán làm chung công việc
Hai đội cùng đào một con mương. Nếu mỗi đội làm một mình cả con mương thì thời gian tổng cộng hai đội phải làm là 25 giờ. Nếu hai đội cùng làm chung thì công việc hoàn thành trong 6 giờ. Tính xem mỗi đội làm một mình xong cả con mương trong bao lâu?
	ĐS: 10 giờ và 15 giờ.
Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người chỉ làm được công việc. Hỏi một người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong?
	ĐS: 
Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?
	ĐS: 5 giờ và 7 giờ.
Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì được hồ. Nếu vòi A chảy trong 3 giờ và vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì được hồ. Hỏi nếu chảy một mình mỗI vòi chảy trong bao lâu mới đầy hồ (giả thiết hồ ban đầu không có nước0.
	ĐS: 
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể?
	ĐS: 
Dạng 4: Toán có nội dung hình học
Một đa giác lồi có tất cả 170 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
	ĐS: 20 cạnh. Số đường chéo của n-giác là .
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Người ta làm lối đi xung quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 2 m. Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256 .
	ĐS: 
Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích tăng 500 . Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 . Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.
	ĐS: 
Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam giác tăng 50 . Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 . Tính hai cạnh góc vuông.
	ĐS: 
Dạng 5: Các Dạng khác
Trong một phòng có 80 người họp, được sắp xếp ngồi đều trên các dãy ghế. Nếu bớt đi hai dãy ghế thì mỗi dãy ghế còn lại phải xếp thêm hai người mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dãy ghế và mỗi dãy ghế được xếp bao nhiêu người ngồi?
	ĐS: 10 dãy ghế và mỗi dãy ghế xếp 8 người.
Một phòng học có một số dãy ghế tổng cộng 40 chỗ ngồi. Do phải xếp 55 chỗ nên người ta kê thêm 1 dãy ghế và mỗi dãy ghế thêm 1 chỗ. Hỏi lúc đầu trong phòng có mấy dãy ghế?
	ĐS: .
Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?
	ĐS: 
Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4.045.000 người. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay?
	ĐS: 
V. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI	(*)
Dạng 1: Hệ bậc hai giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số
	· Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia.
	· Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn.
	· Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này.
Giải các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) e) 	f) 
	g) 	h) 	i) 	
	ĐS: 
Giải các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 
	ĐS: 
Giải các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	ĐS: 
Dạng 2: Hệ đối xứng loại 1
	Hệ có Dạng:	(I) 	(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).
	(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).
	· Đặt S = x + y, P = xy.
	· Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P.
	· Giải hệ (II) ta tìm được S và P.
	· Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: .
Giải các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	ĐS: 
Giải các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	ĐS: 
Giải các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 
	ĐS: 
Dạng 3: Hệ đối xứng loại 2
	Hệ có Dạng:	(I) 
	(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
	· Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
	(I) Û 
	· Biến đổi (3) về phương trình tích:	
	(3) Û Û .
	· Như vậy, 	(I) Û .
	· Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).
Giải các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	ĐS: 
Giải các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	 
	ĐS: 
Giải các hệ phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	
	ĐS: 
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV
Cho phương trình:	.
	a) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm trái dấu.
	b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
	c) Chứng minh biểu thức M = không phụ thuộc vào m.
	ĐS: 
Tìm m để phương trình:
	a) có hai nghiệm dương phân biệt.
	b) có hai nghiệm âm phân biệt.
	c) có hai nghiệm trái dấu.
	ĐS: 
Cho phương trình:	.
	a) Chứng minh rằng với mọi a, phương trình trên có 2 nghiệm trái dấu.
	b) Gọi hai nghiệm của phương trình là . Tìm giá trị của a để đạt giá trị nhỏ nhất
	ĐS: 
Cho phương trình:	.
	a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm.
	b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm thoả mãn .
	ĐS: 
Cho phương trình:	.
	a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm .
	b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm , hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa mà không phụ thuộc vào m.
	c) Tìm giá trị của m để biểu thức A = đạt giá trị nhỏ nhất.
	ĐS: 
Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:
	a) 	b) 	c) 
	ĐS: 
Cho parabol (P): và đường thẳng (d): .
	a) Vẽ parabol (P).
	b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.
	c) Xác định phương trình đường thẳng (d¢) song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại điểm có tung độ bằng –4.
	ĐS: 
Cho parabol (P): và điểm M (1; –2).
	a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m.
	b) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi.
	c) Gọi lần lượt là hoành độ của A và B . Xác định m để đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó.
	ĐS: 
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 
	g) 	h) 	
	ĐS: 
Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	
	ĐS: 
 Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B. 
	ĐS: 
 Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h . Khi đi từ B về A người ấy đi đường khác dài hơn 6 km, với vận tốc 12km/h, nên thời gian ít hơn thời gian khi đi là 20 phút. Tính quãng đường AB?
	ĐS: 
 Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 1 giờ 40 phút. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nước) và vận tốc dòng nước là 3 km/h.
	ĐS: 
 Có hai thùng đựng dầu. Thùng thứ nhất có 120 lít, thùng thứ hai có 90 lít. Sau khi lấy ra ở thùng thứ nhát một lượng dầu gấp ba lượng dầu lấy ra ở thùng thứ hai, thì lượng dầu còn lại trong thùng thứ hai gấp đôi lượng dầu còn lại trong thùng thứ nhất. Hỏi đã lấy ra bao nhiêu lít dầu ở mỗi thùng?
	ĐS: 
 Hai trường A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS đã trúng tuyển. Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trường A đạt 80%, trường B đạt 90%. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu HS lớp 9 dự thi vào lớp 10.
	ĐS: 
 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể.
	ĐS: 
 Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ. Nếu tổ một làm trong 5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì được 30% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành trong bao lâu.
	ĐS: