Ôn tập Đại số & Giải tích Lớp 11 - Chương II: Tổ hợp. Xác suất

Chủ đề 2. TỔ HỢP – XÁC SUẤT
§1. QUY TẮC ĐẾM
A. LÝ THUYẾT
1. Qui tắc cộng
	Một công việc nào đó có thể được thực hiện theo một trong hai phương án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
2. Qui tắc nhân
	Một công việc nào đó có thể bao gồm hai công đoạn A và B. Nếu công đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thực hiện.
B. BÀI TẬP
1. Từ thành phố A đến thành phố B có 3 con đường, từ thành phố A đến thành phố C có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố D có 2 con đường, từ thành phố C đến thành phố D có 3 con đường. Không có con đường nào nối thành phố B với thành phố C. 	Hỏi có tất cả bao nhiêu đường đi từ thành phố A đến thành phố D?
	ĐS:	 có 12 cách.
2. Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 2.108, chia hết cho 3, có thể được viết bởi các chữ số 0, 1, 2?
	ĐS: Có 	2.37 – 1 = 4374 – 1 = 4373 (số)
3. Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn:
	a) gồm 6 chữ số.
	b) gồm 6 chữ số khác nhau.
	c) gồm 6 chữ số khác nhau và chia hết cho 2.
	ĐS:	a) 66	b) 6!	c) 3.5! = 360
4. Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp. Cứ 2 đội phải đấu với nhau 2 trận (đi và về). Hỏi có bao nhiêu trận đấu?
	ĐS:	có 25.24 = 600 trận
5. Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được trình diễn 1 vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trình biểu diễn, biết rằng chất lượng các vở kịch, điệu múa, các bài hát là như nhau?
	ĐS: 36.
6. Một người có 7 cái áo trong đó có 3 áo trắng và 5 cái cà vạt trong đó có hai cà vạt màu vàng. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn áo – cà vạt nếu:
	a/ Chọn áo nào cũng được và cà vạt nào cũng được?
	b/ Đã chọn áo trắng thì không chọn cà vạt màu vàng?
	ĐS: a/ 35. 	b/ 29.
§2. HOÁN VỊ
A. LÝ THUYẾT
1. Giai thừa:
	n! = 1.2.3n	Qui ước: 0! = 1
	n! = (n–1)!n
	= (p+1).(p+2)n	(với n>p)
	= (n–p+1).(n–p+2)n	(với n>p)
2. Định ngĩa Hoán vị (không lặp):
	Một tập hợp gồm n phần tử (n ³ 1). Mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử.
	Số các hoán vị của n phần tử là:	Pn = n!
3. Hoán vị vòng quanh:
	Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử.
	Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là:	Qn = (n – 1)!
B. BÀI TẬP
1. Giải các phương trình:
	a) P2.x2 – P3.x = 8	b) 
	ĐS:	a) x = –1; x = 4	b) x = 2; x = 3
2. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số:
	a) Bắt đầu bằng chữ số 5?	b) Không bắt đầu bằng chữ số 1?
	c) Bắt đầu bằng 23?	d) Không bắt đầu bằng 345?
	ĐS:	a) 4!	b) 5! – 4!	c) 3!	d) 5! – 2!
3. Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số:
	a/ Bắt đầu bởi chữ số 9?	b/ Không bắt đầu bởi chữ số 1?
	c/ Bắt đầu bởi 19?	d/ Không bắt đầu bởi 135?
 	ĐS:	 a/ 24. 	b/ 96. c/ 6 	d/ 118.
4. Với mỗi hoán vị của các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta được một số tự nhiên. Tìm tổng tất cả các số tự nhiên có được từ các hoán vị của 7 phần tử trên?
	ĐS: Với mọi i, j Î , số các số mà chữ số j ở hàng thứ i là 6!.
	Þ Tổng tất cả các số là: (6!1++6!7) + (6!1++6!7).10 ++ (6!1++6!7).106= 6! (1+2++7).(1+10++106)
5. Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:
	a) Một cách tuỳ ý?	b) Theo từng môn?
	c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?
	ĐS:	a) P12	b) 3!(5!4!3!)	c) 2!(5!4!3!)
6. Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào một chiếc ghế dài sao cho:
	a/ Bạn C ngồi chính giữa?
	b/ Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?
	ĐS: a/ 24. 	b/ 12. 
7. Sắp xếp 10 người vào một dãy ghế. Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
	a/ Có 5 người trong nhóm muốn ngồi kề nhau?
	b/ Có 2 người trong nhóm không muốn ngồi kề nhau?
	ĐS: a/ 86400. 	b/ 2903040.
8. Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
	a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau?
	b/ Chỉ có nữ ngồi kề nhau?
	ĐS: a/ 34560. 	b/ 120960.
9. Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành 1 hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đó phải có 5 em định trước đứng kề nhau?
	ĐS: 4838400.
10. Có 2 đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi được phát cho 10 học sinh khối 11 và 10 học sinh khối 12. Có bao nhiêu cách sắp xếp 20 học sinh trên vào 1 phòng thi có 5 dãy ghế sao cho hai em ngồi cạnh nhau có đề khác nhau, còn các em ngồi nối đuôi nhau có cùng một đề?
	ĐS: 26336378880000.
11. Có 3 viên bi đen (khác nhau), 4 viên bi đỏ (khác nhau), 5 viên bi vàng (khác nhau), 6 viên bi xanh (khác nhau). Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
	ĐS: 298598400.
12. Trên giá sách có 30 tập sách. Có thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để có:
	a/ Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau?
	b/ Tập 5 và tập 6 không đứng cạnh nhau?
	ĐS: a/ 2.29!. 	b/ 28.29!.
13. Với 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt đúng 3 lần, chữ số 2 có mặt đúng 2 lần và mỗi chữ số còn lại có mặt đúng một lần?
	ĐS: 3360.
14. Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số, trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
	ĐS: 5880.
15. Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế nếu:
	a/ 5 chữ số 1 được xếp kề nhau?
	b/ Các chữ số được xếp tuỳ ý?
	ĐS: a/ 120.	b/ 3024.
§2. CHỈNH HỢP
A. LÝ THUYẾT
1. Chỉnh hợp 
	Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 £ k £ n) theo một thứ tự nào đóđược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.
	Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:	
	· Công thức trên cũng đúng cho trường hợp k = 0 hoặc k = n.
	· Khi k = n thì = Pn = n!
B. BÀI TẬP
1. Giải các phương trình sau:
	a) 	b) = 2(n + 15)	c) 
	ĐS:	a) n = 6	b) n = 3	c) n = 6
2. Tìm n Î N sao cho:
	a) 	b) 2() = Pn+1	c) 
	ĐS:	a) n = 5	b) n = 4	c) n = 2; 3
3. Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
	ĐS:	Có cách
4. Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ – không. Hỏi có thể có được bao nhiêu vectơ?
	ĐS: = 12 vectơ
5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu:
	a) Số gồm 5 chữ số khác nhau?
	b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau?
	c) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5?
	ĐS:	a) 6.	b) 
	c) Số gồm 5 chữ số có dạng: 
	· Nếu a = 5 thì có số
	· Nếu a ¹ 5 thì a có 5 cách chọn. Số 5 có thể đặt vào 1 trong các vị trí b, c, d, e Þ có 4 cách chọn vị trí cho số 5. 3 vị trí còn lại có thể chọn từ 5 chữ số còn lại Þ có cách chọn.
	Þ Có = 1560 số
6. Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư ký. Hỏi có mấy cách chọn?
	ĐS: 6840.
7. Huấn luyện viên một đội bóng muốn chọn 5 cầu thủ để đá quả luân lưu 11 mét. Có bao nhiêu cách chọn nếu:
	a/ Cả 11 cầu thủ có khả năng như nhau? (kể cả thủ môn).
	b/ Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá quả số 4.
	ĐS: a/ 55440.	b/ 120.
8. Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí. Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
	a/ Người đó có 6 pho tượng khác nhau?
	b/ Người đó có 4 pho tượng khác nhau?
	c/	Người đó có 8 pho tượng khác nhau?
	ĐS: a/ 6!.	b/ 360.	c/ 20160.
9. Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và thoả:
	a/ Số chẵn.	b/ Bắt đầu bằng số 24.	c/ Bắt đầu bằng số 345.
	d/ Bắt đầu bằng số 1? Từ đó suy ra các số không bắt đầu bằng số 1?
	ĐS: a/ 312.	b/ 24.	c/ 6.	d/ 120 ; 480.
Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ X trong mỗi trường hợp sau:
	a/ n là số chẵn?
	b/ Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1?
	(ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2)
	ĐS: a/ 3000.	b/ 2280.
a/ Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
	b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và số 1.
(HVCN Bưu chính Viễn thông, 1999)
	c/ Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
	ĐS: a/ 18.	b/ 42000.	c/ 13320.
a/ Tính tổng của tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một được tạo thành từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
	b/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Tính tổng của các số này.
	ĐS: a/ 37332960.	b/ 96 ; 259980.
a/ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0).
	(ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1)
	b/ Cho 10 chữ số 0, 1, 2, ..., 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600000 xây dựng từ 10 chữ số đã cho.
(ĐH Y khoa Hà Nội, 1997)
	ĐS: a/ 3024.	b/ 36960.
§3. TỔ HỢP
A. LÝ THUYẾT
1. Tổ hợp 
	Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 £ k £ n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
	Số các tổ hợp chập k của n phần tử:	
	· Qui ước: = 1
	Tính chất: 
2. Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:
	· Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức:	
	· Chỉnh hợp: có thứ tự. 	Tổ hợp: không có thứ tự.
	Þ Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử –> chỉnh hợp
	Ngược lại, là tổ hợp.
	· Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k £ n):
	+ Không thứ tự 	
	+ Có thứ tự	
B. BÀI TẬP
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, giải phương trình hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
1. Tính:	A = 	B = 
	ĐS: 	A = – 165,B = 4
2. Rút gọn các biểu thức sau:
	S = 	P = 
	Q = 
	ĐS:	S = 	P = (n+1)(n+2) + 1	Q = 
3. Chứng minh các hệ thức sau:
a) (k £ p £ n)	b) 
4. Chứng minh các hệ thức sau:
a) 	b) (3 £ k £ n)
ĐS: Sử dụng tính chất:	
5. Chứng minh các hệ thức sau:
	a) 	
b) 
	c) 
	d) 
	ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x)r.(1+x)q = (1+x)r+q. So sánh hệ số của xp ở 2 vế.
	b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n
	c) Sử dụng (x+y)2p và (x–y)2p 
	d) Sử dụng , với r lẻ thì nhân 2 vế với –1.
6. Giải các phương trình sau:
	a) 	b) 	c) 
	ĐS: a) n = 5	b) x = 2	c) x = 10
7. Giải các phương trình và bất phương trình:
	a/ 	b/ 
	c/	d/ 
	e/	f/ .
	g/	h/ 
	ĐS: 	a/ x = 5.	b/ x = 5.	c/ x = 8.	d/ x = 7.	
 	e/ 	f/ 	g/ x = 2.	h/ x = 3, x = 4.
Dạng 2. Bài tập về số tổ hợp, chỉnh hợp
8. Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm 3 câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 bài tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề thi?
	ĐS: 	· Đề gồm 2 câu lý thuyết và 1 bài tập:	
	· Đề gồm 1 câu lý thuyết và 2 bài tập:	
	Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi.
9. Một lớp học có 40 học sinh, trong đó gồm 25 nam và 15 nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:
	a) Gồm 4 học sinh tuỳ ý.	b) Có 1 nam và 3 nữ.
c) Có 2 nam và 2 nữ.	d) Có ít nhất 1 nam.	
e) Có ít nhất 1 nam và 1 nữ.
	ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 
	e) 
10. Cho 5 điểm trong mặt phẳng và không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu vectơ tạo thành từ 5 điểm ấy? Có bao nhiêu đoạn thẳng tạo thành từ 5 điểm ấy?
	ĐS: 20 ; 10.
11. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy?
	ĐS: 1200.
12. Một túi chứa 6 viên bi trắng và 5 viên bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó, có bao nhiêu cách lấy được:
 	a/ 4 viên bi cùng màu? 	b/ 2 viên bi trắng, 2 viên bi xanh?
	ĐS: a/ 20.	b/ 150.
13. Từ 20 người, chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thư ký và 3 ủy viên. Hỏi có mấy cách chọn?
	ĐS: 4651200.
14. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó:
 	a/ Có đúng 1 bông hồng đỏ?
 	b/ Có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ?
	ĐS: a/ 112	b/ 150.
15. Từ 8 số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8 chữ số trên, trong đó chữ số 6 có mặt đúng 3 lần, chữ số khác có mặt đúng 1 lần.
	ĐS: 544320.	(HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999)
16. Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được bao nhiêu số:
 	a/ Chẵn gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một và chữ số đứng đầu là chữ số 2?
 	b/ Gồm 5 chữ số khác nhau từng đôi một sao cho 5 chữ số đó có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ?
	ĐS: a/ 360.	b/ 2448.	(ĐH Cần Thơ, 2001)
17. Người ta viết các số có 6 chữ số bằng các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 như sau: Trong mỗi số được viết có một chữ số xuất hiện hai lần còn các chữ số còn lại xuất hiện một lần. Hỏi có bao nhiêu số như vậy?
	ĐS: 1800.	(ĐH Sư phạm Vinh, 1998)
18. Từ một tập thể 14 người gồm 6 năm và 8 nữ trong đó có An và Bình, người ta muốn chọn một tổ công tác gồm có 6 người. Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:
 	a/ Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ?
 	b/ Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ?
	ĐS: a/ 2974.	b/ 15048.	(ĐH Kinh tế, Tp.HCM, 2001)
Dạng 3. Bài tập hình học
19. Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có 3 đường nào đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?
	ĐS: 	· Số giao điểm:	· Số tam giác:	
20. Cho 10 điểm trong không gian, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
	a) Có bao nhiêu đường thẳng đi qua từng cặp điểm?
	b) Có bao nhiêu vectơ nối từng cặp điểm?
	c) Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là 3 trong 10 điểm trên?
	d) Nếu trong 10 điểm trên không có 4 điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện được tạo thành?
	ĐS: a) 	b) 	c) 	d) 
21. Cho đa giác lồi có n cạnh (n ³ 4)
	a) Tìm n để đa giác có số đường chéo bằng số cạnh?
	b) Giả sử 3 đường chéo cùng đi qua 1 đỉnh thì không đồng qui. Hãy tính số giao điểm (không phải là đỉnh) của các đường chéo ấy?
	ĐS: a) Û n = 5
	b) Giao điểm của 2 đường chéo của 1 đa giác lồi (không phải là đỉnh) chính là giao điểm của 2 đường chéo một tứ giác mà 4 đỉnh của nó là 4 đỉnh của đa giác. Vậy số giao điểm phải tìm bằng số tứ giác với 4 đỉnh thuộc n đỉnh của đa giác: 
22. Cho một đa giác lồi có n-cạnh .
 	a/ Tìm số đường chéo của đa giác. Hãy chỉ ra 1 đa giác có số cạnh bằng số đường chéo?
 	b/ Có bao nhiêu tam giác có đỉnh trùng với đỉnh của đa giác?
 	c/ Có bao nhiêu giao điểm giữa các đường chéo?
	ĐS: a/ 	 b/ 	 c/ . 
23. Tìm số giao điểm tối đa của:
 	a/ 10 đường thẳng phân biệt? 	b/ 10 đường tròn phân biệt?
 	c/ 10 đường thẳng và 10 đường tròn trên?
	ĐS: a/ 45.	b/ 90.	c/ 335.
24. Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2). Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, trên (d2) lấy 20 điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong số 37 điểm đã chọn trên (d1) và (d2).
	ĐS: 5950.	(ĐH SP Quy Nhơn, 1997)
25. Cho mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh. Xét các tam giác có ba đỉnh được lấy từ các đỉnh của H.
 	a/ Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy? Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của H?
 	b/ Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh là cạnh của H? Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của H?
	ĐS: a/ 1140; 20.	 	b/ 320 ; 80.	(HVNH, 2000, khối D)
26. Có 10 điểm A, B, C, ... trên mặt phẳng trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
 	a/ Nối chúng lại ta được bao nhiêu đường thẳng? Trong đó có bao nhiêu đường không đi qua A hay B?
 	b/ Có bao nhiêu tam giác đỉnh bởi các điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB?
	ĐS: a/ 45; 28.	b/ 120 ; 36 ; 8.
§4. NHỊ THỨC NEWTON
A. LÝ THUYẾT
1. Công thức khai triển nhị thức Newton:
 Với mọi nÎN và với mọi cặp số a, b ta có:
2. Tính chất:
	1) Số các số hạng của khai triển bằng n + 1
	2) Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
	3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = ( k =0, 1, 2, , n)
	4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau: 
	5) ,	
	* Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì ta sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn:
	(1+x)n = 	Þ	
	(x–1)n = 	Þ	
B. BÀI TẬP
Dạng 1. Xác định hệ số trong khai triển nhị thức Newton
1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:	
	a) 	b) 	c) 	d) 
	ĐS: a) 45	b) 495	c) –10	d) 15
2. 	a/ Tìm hệ số của trong khai triển 
	b/ 	Tìm các số hạng giữa của khai triển 
	ĐS: a) 	b) 
3. Khai triển và rút gọn các đơn thức đồng dạng đa thức:
	ta sẽ được đa thức: Hãy xác định hệ số a9?
	ĐS: 
4. Cho đa thức 
	được viết dưới dạng: 	Tìm hệ số a15?
	ĐS: 
5. Tìm số hạng không chứa căn thức trong khai triển của nhị thức: 
ĐS: a) 
6. Tìm số hạng thứ 6 của khai triển 
 	Dạng 2. Áp dụng nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp
1. Tính các tổng sau:
 	a/ 	
b/ 
 	c/ 	
d/ 
 	e/ 	
	ĐS: 	a/ 2n.	b/ 2n-1.	c/ 2n-1.	
d/ 3n.	e/ .	
2. Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển thị thức (x2 + 1)n bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax12 trong khai triển đó.
	ĐS: a = 210.	(HV hành chính QG, 2000)
3. Tính tổng sau:
 	a/ 	(ĐHQG Hà Nội, 97, Khối D)
 	b/ 	(ĐHBK Hà Nội, 98)
	ĐS: a/ 1024.	b/ 216.
4. Chứng minh các hệ thức sau:
 	a/	
5. Tổng hệ số chẵn bằng tổng hệ số lẻ có đúng không?
 	b/	
 	c/	 (ĐH Hàng Hải, 2001)
6. Tính giá trị các biểu thức:	
 	A = 	B = 
	ĐS : Ta có : (2x+1)2n = . Thay x = 1 ta được A + B = 32n = 9n
	Mặt khác, (2x–1)2n = . Thay x = 1 ta được A – B = 1
	Từ đó suy ra: A = ,	B = 
7. Chứng minh các đẳng thức sau:
	a) 	b) 
	ĐS: a) Khai triển (1+x)n = ; thay x = 6
	b) Khai triển (3x+4)17; thay x = 1
§5. XÁC SUẤT
A. LÝ THUYẾT
1. Biến cố 
	· Không gian mẫu W: là tập các kết quả có thể xảy ra của một phép thử.
	· Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A. A Ì W.
	· Biến cố không: Æ	· Biến cố chắc chắn: W
	· Biến cố đối của A: 
	· Hợp hai biến cố: A È B	· Giao hai biến cố: A Ç B (hoặc A.B)
	· Hai biến cố xung khắc: A Ç B = Æ
	· Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.
2. Xác suất
	· Xác suất của biến cố: P(A) = 	
	· 0 £ P(A) £ 1;	P(W) = 1;	P(Æ) = 0
	· Qui tắc cộng: Nếu A Ç B = Æ thì P(A È B) = P(A) + P(B)
	Mở rộng: A, B bất kì: P(A È B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
	· P() = 1 – P(A)
	· Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B)
B. BÀI TẬP
1. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất của biến cố:
	a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 8.
	b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ.
	c) Tích hai mặt xuất hiện là số chẵn.
	ĐS: a) n(W) = 36. n(A) = 5 Þ P(A) = 	b) 	c) 
2. Một lớp học có 25 học sinh, trong đó có 15 em học khá môn Toán, 16 em học khá môn Văn.
a) Tính xác suất để chọn được 2 em học khá cả 2 môn.
b) Tính xác suất để chọn được 3 em học khá môn Toán nhưng không khá môn Văn.
	ĐS: a) n(AÇB) = n(A) + n(B) – n(AÈB) = 15 +15 – 25 = 17 Þ P(AÇB) 	b) 
3. Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:
a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7.
b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau.
ĐS: a) 	b) 
4. Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi xanh.
ĐS: 
5. Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh.
ĐS: 
6. Hai người đi săn độc lập với nhau và cùng bắn một con thú. Xác suất bắn trúng của người thứ nhất là , của người thứ hai là . Tính xác suất để con thú bị bắn trúng.
ĐS: 
7. Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.Tính xác suất để lấy được:
ít nhất 2 bóng tốt	b) ít nhất 1 bóng tốt.
8. Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 6 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn và 4 học sinh giỏi cả 2 môn. GVCN chọn ra 2 em. Tính xác suất để 2 em đó là học sinh giỏi.
9. Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 3 quả. Tính xác suất để trong 3 quả chọn ra có ít nhất một quả màu đen.
10. Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. GVCN chọn ra 2 em đi thi văn nghệ. Tính xác suất để 2 em đó khác phái.
11. Một lớp có 30 học sinh, trong đó có 8 em giỏi, 15 em khá và 7 em trung bình. Chọn ngẫu nhiên 3 em đi dự đại hội. Tính xác suất để :
a) Cả 3 em đều là học sinh giỏi	b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi
c) Không có học sinh trung bình.
12. Cho 7 số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác nhau lấy từ 7 số trên. Lấy ngẫu nhiên 1 số thuộc X. Tính xác suất để:
a. Số đó là số lẻ.
b. Số đó chia hết cho 5
c. Số đó chia hết cho 9.