Giáo án Đại số và giải tích 11 - Bài học 01: Giới hạn của dãy số

Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 
1 
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! 
CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN 
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
Định nghĩa 1 (Giới hạn bằng 0 ). Ta nói dãy số  nu có giới hạn là 0 nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý 
cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số 
dương đó. Khi đó ta viết lim 0n
n
u

 hay lim 0nu  hay 0nu  khi n  . 
Định nghĩa 2 (Giới hạn bằng a ). Ta nói dãy số  nu có giới hạn là số thực a nếu  lim 0nu a  . Khi 
đó ta viết lim n
n
u a

 hay lim nu a hay nu a khi n  . Dãy số có giới hạn là số a hữu hạn gọi là 
dãy số có giới hạn hữu hạn. 
Định nghĩa 3 (Giới hạn vô cực). 
1. Ta nói dãy số  nu có giới hạn là  khi n  nếu nu có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, 
kể từ một số hạng nào đó trở đi. 
Ký hiệu: lim nu   hay nu  khi n  . 
2. Dãy số  nu có giới hạn là  khi n  nếu  lim nu   . 
Ký hiệu: lim nu   hay nu  khi n  . 
GIỚI HẠN HỮU HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC 
Các giới hạn đặc biệt 
  *
1
lim 0,
k
k
n
  . 
  lim 0, 1nq q  . 
  lim ,C C C  
Các giới hạn đặc biệt 
  *lim ,kn k   . 
  lim 0, 1nq q  . 
Định lí 1. Nếu lim nu a và lim nv b thì 
  lim n nu v a b   . 
  lim n nu v a b   . 
  lim 0n
n
u a
b
v b
  . 
 Nếu 0,nu n  và lim nu a thì 0a  
và lim nu a . 
Định lí 2. 
 Nếu lim nu a và lim nv   thì 
lim 0n
n
u
v
 . 
 Nếu lim 0nu a  và lim 0nv  và 
0,nv n  thì lim
n
n
u
v
  . 
 Nếu lim nu   và lim 0nv a  thì 
 lim n nu v   . 
Định lí 3 (Nguyên lý kẹp). Cho ba dãy số      , ,n n nu v w . Lúc đó, nếu ,n n nu v w n   và 
 lim lim ,n nu w a a   thì lim nv a . 
Định nghĩa 4. Cấp số nhân  nu có công bội q được gọi kà cấp số nhân lùi vô hạn nếu 1q  . 
Nhận xét. Cho cấp số nhân lùi vô hạn  nu có công bội q . Với mỗi 
*n , đặt 1 2 ... nS u u u    . Lúc 
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 
2 
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! 
đó:  1lim 4.1
1
n
u
S
q


Định nghĩa 5. Giới hạn  4.1 được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn  nu và được ký hiệu là 
1 2 ... nS u u u    
Như vậy: 
 1S lim , 1
1
n
u
S q
q
  

B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 
Dạng 1. Tính giới hạn 
 
 
lim
P n
L
Q n
 với    ,P n Q n là các đa thức. 
Phương pháp giải: 
Rút lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu, rồi sử dụng các công thức: 
  *lim 0, ,k
c
k c
n
   . 
  
lim
lim
lim 0
n
n n
n
u
u v
v a
 
   
 
. 
  
lim
lim
lim 0
n
n n
n
u
u v
v a
 
   
 
. 
  *lim kn k   . 
  
lim
lim
lim 0
n
n n
n
u
u v
v a
 
   
 
. 
  
lim
lim
lim 0
n
n n
n
u
u v
v a
 
   
 
. 
 VÍ DỤ 
Ví dụ 1. Tính giới hạn 
2
2
4 1
lim
3 2
n n
L
n
 . ĐS: 2L  
Lời giải 
Ta có 
2
2 2
2
22
1 1 1 14 4
4 0 0
lim lim 2
33 0 2
22
n
n n n nL
n
nn
 
          
   
 
. 
Nhận xét: Nếu bậc tử  P n bằng bậc mẫu  Q n thì 
 
 
lim
P n
Q n
 (Hệ số bậc cao nhất của tử)
 (Hệ số bậc cao nhất của mẫu). 
Ví dụ 2. Tính giới hạn 
5 42
4
6 2
2 4 1
lim
20 2 1
n n n
L
n n n
. 
ĐS: 
128
5
L  
Lời giải 
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 
3 
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! 
Ta có 
5 4
2
4
6 2
2
1 2
2 4
lim
3 1
20 2
n n
n n
L
n n
n n
      
       
      
  
   
  
   
 
5 4 5 4
10 4
5 4
4 4 4
6 8
2 2
1 2 1 2
2 4 2 4
2 0 4 0 128
lim lim lim
520 2 0 03 1 3 1
20 2 20 2
n n
n n n n
n n
n n n n
       
                      
    
      
   
Nhận xét: Với bài toán có lũy thừa bậc cao, ta thường rút bậc cao trong từng dấu ngoặc, sau 
đó áp dụng công thức  . .
n n na b a b và tính toán như các bài trước. 
Ví dụ 3. Tính giới hạn 
2
3
3
lim
2
n n
L
n n
 


.
ĐS: 0L  
Lời giải 
Ta có 
2
2 2
3
22
1 3 1 31 1
1 1 0 0
lim lim . 0. 0
22 1 0
11
n
n n n nL
n
n
nn
                
       
Nhận xét: Nếu bậc tử  P n nhỏ hơn bậc mẫu  Q n thì 
(n)
lim 0
(n)
P
L
Q
  
Ví dụ 4. Tính giới hạn 
3
2
2 11 1
lim
2
n n
L
n
 


. ĐS: L   
Lời giải 
3
3 3
2
22
11 1 11 12 2
lim lim .
22
11
n
n n n nL n
n
nn
              
       
(vì limn   và 
3
2
11 1
2
lim 2 0
2
1
n n
n
 
  
  
 
 
). 
Nhận xét: - Nếu bậc tử  P n lớn hơn bậc mẫu  Q n
thì 
(n)
lim
(n)
P
L
Q
   . 
- Để biết là  hay  ta dựa vào dấu của giới hạn trong tích theo quy tắc “cùng 
dấu thì tích dương, trái dấu thì tích âm”. Thông thường, sẽ để dấu  và xét dấu 
sẽ điền vào sau. 
- Về trắc nghiệm, đó chính là tích của hệ số bậc cao nhất của tử và mẫu. 
Ví dụ 5. Tính giới hạn 
2
1 3 5 7 (2 1)
lim
3 4
n
L
n
    


.
ĐS: 
1
3
L  
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 
4 
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! 
Lời giải 
Xét cấp số cộng 1,3,5,7,9,...,2 1n có số hạng đầu tiên 1 1u  công sai 2d  và số hạng cuối 
cùng là 2 1mu n  ta có: 
1 ( 1) 2 1 1 2( 1) 2 1 1.u m d n m n m n            
Vậy cấp số cộng có 1n số hạng. Suy ra tổng 
2
1
1
1 3 5 7 2 1 ( ) (1 2 1) 2 1
2 2
m
m n
S n u u n n n

               
Vì thế 
2
2 2 2
2
2
22
2 1 2 11 1
2 1 1 0 0 1
lim lim lim
443 4 3 0 3
33
n
n n n n n nL
n
n
nn
. 
Nhận xét: Cần nhớ công thức cấp số cộng: 
1k ku u d   , với d là công sai. 
 1 1nu u n d   , với d là công sai. 
1 1 2 , 2k k ku u u k . 
1 2 1
2
n n n
n
S u u u u u . 
Ví dụ 6. Tính giới hạn 
 
1 1 1 1 1
lim .
1.2 2.3 3.4 4.5 1
L
n n
 
      
  
ĐS: 1L  
Lời giải 
Số hạng tổng quát  
1 1 1
; 1,2,...,
(k 1) 1
k n
k k k
   
 
 do đó 
1 1 1 1 1 1 1 1
lim 1
2 2 3 3 4 4 1
L
n n
 
          
 
1 1 1
lim 1 lim lim 1
11 1 1 0
1
n
n n
n
   
        
      
Nhận xét: Phân tích 
 
1
1 1
a b
k k k k
 
 
 với 
0 1
1 1
1; 1
1 k k
a b
k k 
    

. 
 BÀI TẬP ÁP DỤNG 
Bài 1. Tính giới hạn sau: 
 a) 
2
2
3 5
lim
2 1
n n
L
n
; b) 
3
3 3
3
lim
2 3 1
n n
L
n n
; 
 c) 
3
3 2
6 2 1
lim
5 1
n n
L
n n n n
; d) 
2 94
17
2 1 2
lim
1
n n
L
n
; 
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 
5 
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! 
e) 
2 3
3 2
2 1 3 4
lim
4 2 2
n n
L
n n
; f) 
3 22
4 3 2
3 1 2 5 9 4
lim
2 4 2 1 2 7
n n n
L
n n n
; 
g) 
32
2
2
2 1
lim
1 2 3
n n
L
n n
 . 
Bài 2. Tính giới hạn sau: 
 a) 
3 2
4 3
7 2 1
lim
5
n n
L
n n n
 

 
; b) 
2 3
7 3
lim
2 3 4
n
L
n n


 
; 
 c) 
2
3 2
4 5
lim
3 7
n n
L
n n
 

 
; d) 
3 2
4 3
2 3 4
lim
4
n n
L
n n n
  

 
; 
e) 
2
4
2 2
lim
3 5
n n
L
n
  


. 
Bài 3. Tính giới hạn sau: 
 a) 
3
2
5 3
lim
3 1
n n
L
n n
 

 
; b) 
4 3 2
2 3
5 5 3
lim
3 1
n n n
L
n n
  

 
; 
 c) 
4 2
3
3 2 1
lim
2 9
n n
L
n n
 

 
; d) 
5 4
4 3 2
3 2 2 7
lim
6 2 1
n n n
L
n n n
  

   
; 
Bài 4. Tính giới hạn sau: 
 a) 
2
1 2 3 ...
lim
3 1
n
L
n
   


; b) 
 
2
1 3 5 7 ... 2 1
lim
3 1
n
L
n n
     

 
; 
 c) 
2
1 2 3 ...
lim
2 9
n
L
n n
   

 
; d) 
 
2
5 9 13 ... 4 3
lim
3 5 1
n
L
n n
    

 
; 
e) 
 1 2 3 4 ... 2 1 2
lim
2 1
n n
L
n
      


; f) 
 
1 1 1 1
lim ...
1.3 2.4 3.5 2
[ ]L
n n
    

; 
g) 
  
1 1 1 1
lim ...
1.3 3.5 5.7 2 1 2 1
[ ]L
n n
    
 
; 
h) 
  
1 1 1 1
lim ...
1.3 3.5 5.7 2 1 2 1
[ ]L
n n
    
 
. 
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 
6 
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! 
 LỜI GIẢI 
Bài 1. a) 
2
2 2 2
2
2
22
1 5 1 53 3
3 5 3 0 0 3
lim lim lim
112 1 2 0 2
22
n
n n n n n nL
n
n
nn
. 
b) 
3
3 2 3
2 3
3
3
1 3
1
3
lim lim
2 12 3 1
3
n
n n n n
L
n n
n
n n
2 3
3
1 3
1
1
lim
2 1 3
3
n n
n n
. 
c) 
3
3 3 2 3 2 3
3 23 2
3
22
2 1 2 16 6
6 2 1 6 2 1 3
lim lim lim lim
1 11 14 25 1 44
n
n n n n n n n nL
n n nn n n n
n
n nn n
. 
d) 
2 9 2 9
8 92 94
4 4
17
17
17 17
1 2 1 2
2 1 2 1
2 1 2
lim lim lim
1 11
1 1
n n
n n n n n n
L
n
n
n n
2 9(2 0) .(1 0)
lim 4
1 0
 
 

. 
e) 
   
   
2 2
2 3
2 3
3 3
3 2 3 2 3 2
3 2
1 3 1 3
2 4 2 4
2 1 3 4
lim lim lim
4 2 2 2 1 2 1
4 2 4 2
n n
n n n n n n
L
n n
n n
n n n n
       
                     
         
          
       
2
3 2
2 0 0 4 1
lim
44 0 2 0
. 
f) 
     
    
3 22
4 3 2
3 1 2 5 9 4
lim
2 4 2 1 2 7
n n n
L
n n n
  

  
3 2
2
2
4
4 3 2
3 2
1 5 4
3 2 9
lim
4 1 7
2 2 2
n n n
n n n
L
n n n
n n n
        
          
        
     
       
     
3 2
2
4
3 2
1 5 4
3 2 9
lim
4 1 7
2 2 2
n n n
n n n
     
       
     
    
      
    
3 2
4
3 0 2 0 9 0 243
lim
162 0 2 0 2 0
. 
g) 
  
  
3 3
2 3
32
2 2
2 2 2
2
4
2 2
2 1 2 1
1 1 1 1
2 1
lim lim lim
1 3 1 31 2 3
1 2 1 2
n n
n n n n n n
L
n n
n n
n n n n
      
                   
       
         
      
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 
7 
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! 
3
2
1 0 1 0 1
lim
41 0 2 0
. 
Bài 2. a) 
3
3 2 3
4 3
4
3
2 1
7
7 2 1
lim lim
5 15
1
n
n n n n
L
n n n
n
n n
 
      
   
  
 
3
3
2 1
7
1
lim . 0
5 1
1
n n
n
n n
 
  
  
  
 
(Vì 
1
lim 0;
n
 và 
3
3
2 1
7
lim 7
5 1
1
n n
n n
). 
b) 
2 3
7 3
lim
2 3 4
n
L
n n 23
33
3 37 7
1
lim lim . 0
2 42 4
33
n
n n
n
n
n nn n
(Vì 
2
1
lim 0
n
và 
3
3
7
7
lim
2 4 3
3
n
n n
). 
c) 
2
2 2
3 2
3
3
4 5
1
4 5
lim lim
1 73 7
3
n
n n n n
L
n n
n
n n
 
      
   
  
 
2
3
4 5
1
1
lim . 0
1 7
3
n n
n
n n
 
  
  
  
  
(Vì 
1
lim ... c giới hạn sau: 
 a) 
29 1
lim
4 2
n n
L
n
. ĐS: 
3
4
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 
16 
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! 
b) 
2
2
4 1
lim
9 3
n n n
L
n n
. ĐS: 
1
3
 c) 
4
2
2 3 2
lim
2 3
n n
L
n n
. ĐS: 
2
2
d) 
2 1 3
lim
4 5
n n
L
n
. ĐS: 
2 1
2
e) 
2 3 23
2 44
4 1 8 2 3
lim
16 4 1 
n n n
L
n n n
. ĐS: 
4
3
L 
f) 
6 33 7 5 8 
lim
2
n n n
L
n
. ĐS: L 
g) 
 
2 4
1 4 7 3 1 
2 2 1
lim
n
L
n n n
   

  
. ĐS: 0L  
Bài 2. Tính các giới hạn sau: 
a) 2lim 4 1 9L n n n . ĐS: 
b) 2 2lim 9 2 1 4 1L n n n . ĐS: 
c) 2 2lim 4 4 2L n n n . ĐS: 
1
4
d) 2lim 1 10L n n n ĐS: 
21
2
e) 2lim 3 5 25L n n n . ĐS: 
53
2
f) 2 4lim 2019 3 1L n n n . ĐS: 2019L 
 g) 2lim 3 5 9 1L n n . ĐS: 5L 
h) 2 2 lim 1 2L n n n . ĐS: 
1
2
L 
Bài 3. Tính các giới hạn sau: 
a) 3 3lim 4 1 L n n . ĐS: 0L 
b) 3 23lim 8 3 4 2 6L n n n . ĐS: 
25
4
L 
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 
17 
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! 
c) 3 3lim 2 1L n n n . ĐS: 1L 
d) 3 3lim 2L n n n . ĐS: 2L 
e) 3 3 2lim 2 1L n n n . ĐS: 
5
3
L 
f) 4 2 63lim 1L n n n . ĐS: 
1
2
L 
g) 2 3 23lim 1L n n n n . ĐS: 
1
6
L 
Bài 4. Tính các giới hạn sau: 
f) 4 2 63lim 1L n n n . ĐS: 
1
2
L 
g) 2 3 23lim 1L n n n n . ĐS: 
1
6
L 
 LỜI GIẢI 
Bài 1. a) 
2
22 2
1 1 1 19 9
9 1
lim lim lim
2 24 2
4 4
n n
n nn n n n
L
n
n n
n n
 
    
   
  
    
    
   
2
1 1
9
lim
2
4
n n
n
9 0 0
4 0
3
4
. 
 b) 
2
2
4 1
lim
9 3
n n n
L
n n
  


2
1 1
4 1
lim
3
9
n n
n
  


4 0 0 1
9 0
  


1
3
 . 
 c) 
4
2
2 3 2
lim
2 3
n n
L
n n
 

 
2
3 4
2
2
3 2
2
lim
1 3
2
n
n n
n
n n
 

 
  
 
3 4
2
3 2
2
lim
1 3
2
n n
n n
 

 
2 0 0 2
2 0 0 2
 
 
 
. 
 d) 
1 3 1 32 1 2 1
2 1 3 2 1
lim lim lim
24 5 5 5
. 4 4
n
n nn n n n
L
n
n
n n
 
      
       

 
. 
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 
18 
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! 
e) 
2 3
3
2 332 3 2
2 44
2 4
4
4
1 2 3
4 8 
4 1 8 2 3
lim lim
4 116 4 1 
16 1 
n n
n n nn n n
L
n n n
n n
n n
   
      
       
 
      
     
   
3 3
2 3 2 3
4 4
4 4
1 2 3 1 2 3
4 8 4 8 
lim lim
4 1 4 1
16 1 16 1 
n n
n n n n n n
n n
n n n n
       
 
     
2 2 4
4 1 3

 

. 
f) 
3 5 6
6
3
3 6 3
7 5 8
1 
7 5 8 
lim lim
2 2
n
n n nn n n
L
n n

 
   
  





2
3
3 5 6
7 5 8
. 1 
 lim 
2
. 1
n
n n n
n
n
  

 
 
 
3
3 5 6
7 5 8
1 
.
2
1
n n n
n
n
  


 lim   (Vì limn   và 
3
3 5 6
7 5 8
1 
1
2
1
n n n
n
  


lim ). 
 g) 
    
 2 4 2 4
1 4 7 3 1 1 3 2
2 2 1 2 2 2 1 
n n n
L
n n n n n n
     
 
     
lim lim 
2
2 4
3 5 2
2 2 2 2 1 
lim
n n
n n n
 

  
4
2 3
2
3
4
4
4
3 5 2
2 1
2 2 2 1 
n
n n n
n n
n n
 
  
 


 
 
 
 
lim 
4
2
2 3 2 3
2
3 4 3
2
4
4
3 5 2 3 5 2
0
lim lim 0
2 1 2 1 3 2
2 2 2 1 2 2 2 1 
n
n n n n n n
n n
n n n n
. 
Bài 2. a)  2 2 2 21 1 1 1lim 4 1 9 lim 4 9 lim 4 9L n n n n n n nn n n n
    
                      
2
1 1
lim . 4 9n
n n
 
    
 
(Vì lim n   và 
2
1 1
lim 4 9 7 0
n n
 
       
 
). 
 b)  2 2 2 22 1 1lim 9 2 1 4 1 lim 9 4L n n n n n n n
 
             
 
 (Vì lim n   và 
2 2
2 1 1
lim 9 4 1 0
n n n
 
       
 
). 
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 
19 
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! 
 c)  2 2lim 4 4 2L n n n       
2 2
2 2
4 4 2
lim
4 4 2
n n n
n n n
  

   2 2
2
lim
4 4 2
n
n n n


  
2
2
1
lim
1 2
4 4
n
n n


  
1 0 1
44 0 4 0

 
  
. 
 d) 2lim 1 10L n n n 2lim10 lim 1n n n 
2
1
10 lim
1
n
n n n
2
1
1
10 lim
1 1
1 1
n
n n
1 0 1
10 10
21 0 0 1
21
2
. 
e) 2lim 3 5 25L n n n 2lim25 lim 3 5n n n 
2 2
2
3 5
25 lim
3 5
n n n
n n n
2
25 lim
5
3 5
3n n n
n
2
3
25 lim
3 5
5
1 1
n
n n
3 0 53
25
21 0 0 1
. 
f) 2 4lim 2019 3 1L n n n 2 4lim2019 lim 3 1n n n
4 4
2 4
3 1
2019 lim
 3 1
n n n
n n n
2 4
3 1
2019 lim
 3 1
n
n n n
2
3 4
3 1
2019 lim
3 1
1 1
n n
n n
0 0 
2019
1 1 0 0
2019 0 2019 . 
g) 2lim 3 5 9 1L n n 2lim 3 9 1 lim5n n 
2 2
2
9 9 1
lim lim5
3 9 1
n n
n n 2
1 
lim lim5
3 9 1n n
0 5 5 . 
h) 2 2 lim 1 2L n n n 
2 2
2 2
1 2
lim
1 2
n n n
n n 2 2
lim
1 2
n
n n
2 2
1 1
lim 
21 2
1 1
n n
. 
Bài 3. a)  3 3lim 4 1 L n n   
       
2 2
3 33
3
 4 4 . 1 1 
lim
n n n n

     
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 
20 
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! 
2 2
2 2 2
3 33
3
4 4 1 1
. 1 . 1 . 1 . 1 
lim
n n n
n n n n

       
            
       
2 2
3 2
3 33
3
0
4 4 1 1
 1 1 . 1 1 
lim
n
n n n n
 
 
                    
        
 
. 
b) 3 23lim 8 3 4 2 6L n n n 3 23lim 8 3 4 2 6n n n
3 236 lim 8 3 4 2n n n
2
2
3 2 3 2 233
3 4 
6 lim
8 3 4 2 . 8 3 4 4
n
n n n n n n
2
2
3 3
3 3
4
3 
6 lim 
3 4 3 4
8 2. 8 4
n
n n n n
1 25
6 
4 4
. 
c)  3 3lim 2 1L n n n     3 3lim 2 1n n n     3 31 2  lim n n n    
 
2
33 3 23
2 
 1 lim
 2 2 2
n
n n n n n n
 
   
2
3 3
2 2
2
1
2 2
 1 1 1
n
n n
  
 
    
 
  lim 1 0 1    . 
d) 3 3lim 2L n n n 3 3lim 2n n n 3 32 lim n n n
2
33 3 23
2 lim
 . 
n
n n n n n n
2
3 3
2 2
1
2 lim
1 1
 1 1 1
n
n n
2 0 2 . 
e) 3 3 2lim 2 1L n n n 3 3 2lim 2 1n n n 3 3 21 lim 2 n n n
2
2
33 2 3 2 23
2
 1 lim
 2 . 2 2
n
n n n n n n
2
3 3
2
 1 lim 
2 2
1 1 1
n n
2 5
1
3 3
. 
Bài 4. a) 4 2 63lim 1L n n n 4 2 2 6 23lim 1n n n n n
 4 2 2 6 23lim lim 1n n n n n
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 
21 
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! 
4 2 4 6 6
4 2 2 2
6 2 6 433
1
lim lim
1 1
n n n n n
n n n n n n n
2
4 2 2 2
6 2 6 433
1
lim lim
1 1
n
n n n n n n n
2
1 1
lim 0
21
1 1
n
. 
b) 2 3 23lim 1L n n n n 2 3 23lim 1n n n n n n
3 3 22 2
22
2 3 2 3 23 3
1
lim
1
n n nn n n
n n n n n n n n n
2
22
2 3 2 3 23 3
1
lim
1
n n
n n n n n n n n n
2
3 32
1
1
1
lim
1 1 1 11 1 1 1 1
n
n n n n
1 1 1
2 3 6
. 
C. CÂU TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1. Tính các giới hạn sau: 
1) 
2
2
2 3 1
lim
5 3
n n
n
 

. ĐS: 
2
5
. 2) 
2
2
5 3
lim
2 3 1
n n
n n
 
 
. ĐS: 
5
2
. 
3) 
3
2 3
3
lim
2 3 1
n n
n n
 
 
. ĐS: 
1
3
. 4) 
3 2
2 3
8 2 1
lim
1 3 2
n n
n n
 
 
. ĐS: 4 . 
5) 
 
3
3 2
6 2 1
lim
2 1
n n
n n n n
 
  
. ĐS: 6 . 6) 
  
  
2 3
2
2 3 2
lim
3 2 5
n n n
n n
  
 
. ĐS: 
1
3
 . 
7) 
   
   
2 3
3 2
2 1 3 4
lim
4 2 2
n n
n n
 
 
. ĐS: 
1
4
 . 8) 
   
2 94
17
2 1 2
lim
1
n n
n
 

. ĐS: 4 . 
9) 
  
  
22
3
2 1
lim
1 2 3
n n
n n
 
 
. ĐS: 
1
8
. 10) 
   
4 2
2
4 1
lim
2 1 3 2
n n
n n n
 
  
. ĐS: 2 . 
11) 
   
  
3
22
2 3
lim
3 2 5
n n
n n
 
 
. ĐS: 
1
3
 . 12) 
   
   
3 5
3 22
2 3
lim
3 2 1 5
n n
n n n
 
  
. ĐS: 
1
27
 . 
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 
22 
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! 
13) 
2 2
1 1
lim
2 2 3n n n
 
 
  
. ĐS: 0 . 14) 
3 2
2
lim
2 1 2 1
n n
n n
 
 
  
.
ĐS: 
1
4
. 
Bài 2. Tính các giới hạn sau 
1) 
2 4
lim
4 3
n n
n n


. ĐS: 1. 2) 
3.2 5
lim
5.4 6.5
n n
n n


. ĐS: 
1
6
 . 
3) 
4 2.3
lim
5 3
n n
n


. ĐS:  . 4) 
1 2.3
lim
5 3
n
n


. ĐS: 2 . 
5) 
14.3 5
lim
3.2 5
n n
n n


. ĐS: 5 . 6) 
2 1
1 3
4 6
lim
5 2.6
n n
n n
 
 


. ĐS: 
1
72
. 
7) 
  13 4.5
lim
2.4 3.5
n n
n n
 

. ĐS: 
20
3

. 8) 
2
1 2 1
2 3 4.5
lim
2 3 5
n n n
n n n

  
 
 
. ĐS: 20 . 
9) 
2
1 2 1
2 3 5
lim
2 3 5
n n n
n n n

  
 
 
. ĐS: 5 . 10) 
 
 
2 5
lim
2.3 3. 5
nn
nn
 
 
. ĐS: 
1
3
. 
11) 
9 1
lim
3 1
n
n


. ĐS: 1. 12) 
2 1
lim
.3n
n n
n
 
. ĐS: 0 . 
13) 
  5 1
5 2
1 .2
lim
3
n n
n



. ĐS: 0 . 14) 
 
 
1 1
5 4
lim
7 4
n n
n n 
 
 
. ĐS: 0 . 
15) 
 
2 1
2 1
4 2.2
lim
5.2 3
n n
n n




. ĐS: 
1
4

. 16) 
3 2 5
lim
3 2.5
n n
n n
 

. ĐS: 
1
2

. 
17) 
1 1
2 3 4
lim
2 3 4
n n n
n n n 
 
 
. ĐS: 
1
4
. 18) 
1 2
1 1
4 2.3 4
lim
2 3 4
n n
n n n
 
 
 
 
.ĐS: 
1
64
 . 
19) 
 
 
2 1
3 5
lim
3 5 2
n n
n n 
 
  
. ĐS: 
1
5

. 20) 
1 2
2 1
3 .2 3
lim
3 6
n n n
n n
 
 


. ĐS: 
1
12
. 
Bài 3. Tính các giới hạn sau: 
1) 
2
2
4 1
lim
9 3
n n n
n n
. ĐS: 
1
3
. 2) 
2 1 3
lim
4 5
n n
n
. ĐS: 
2 1
2
. 
3) 
2 3 23
2 44
4 1 8 2 3
lim
16 4 1
n n n
n n n
. ĐS: 
4
3
. 4) 
2 33
44
3
lim
16 1
n n n n
n
. ĐS: 1 . 
5) 2lim 3 5n n n . ĐS: . 6) 3 23lim 8 2n n n n . ĐS: . 
Tài liệu tự học dành cho HS Lớp 11 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 
23 
Fb: ThayTrongDGL Tài liệu biên soạn và sưu tầm Chúc các em học tốt ! 
Bài 4. Tính các giới hạn sau: 
1)  2lim 1n n n   . ĐS: 1
2
. 2)  2 2lim 4 4 2n n n   . ĐS: 1
4
. 
3)  2lim 3 5n n n   . ĐS: 3
2
. 4)  2lim 4 3 2n n n  . ĐS: 3
4
. 
5)  lim 1n n n    . ĐS:  . 6)  
2 2lim 1 2n n n   
  
. ĐS: 
1
2

. 
7)  2lim 2 3n n n   . ĐS: 4 . 8)  2lim 4 3 1 2 1n n n    . ĐS: 7
4
. 
9)  2lim 9 3 4 3 2n n n    . ĐS: 5
2
. 10)  2 4lim 1 3 1n n n    . ĐS: 1. 
11)  3 3lim 2n n  . ĐS: 0 . 12)  3 3 2lim 3n n n  . ĐS: 1. 
13)  3 3lim 2n n n   . ĐS: 2 . 14)  3 3lim 2 1n n n   . ĐS: 1 . 
15)  3 3 2lim 2 1n n n   . ĐS: 5
3

. 16)  3 3 2lim 8 4 2 2 3n n n    . ĐS: 10
3
. 
Bài 5. Tính các giới hạn sau: 
1) 
2
2 5 8 3 1
lim
4 1
n
n
. ĐS: 
3
8
. 
2) 
2 4
1 4 7 3 1
lim
2 2 1
n
n n n
. ĐS: 0 . 
3) 
2 4 2
lim
3.2 1
n
n
. ĐS: 
2
3
. 
4) 
1 1 1
lim
1 2 2 1 2 3 3 2 1 1n n n n
. ĐS: 1.