Dùng hàm số để xác định cân bằng và trạng thái cân bằng

Tĩnh học là một phần của bộ môn Vật lý học, nghiên cứu sự cân bằng của chất điểm, tức là vật ở trạng thái có gia tốc bằng không. Cân bằng có nhiều loại cân bằng, cân bằng mà khi vật lệch ra khỏi vị trí đó thì hợp lực tất cả các lực tác dụng lên vật làm cho nó trở về vị trí cân bằng ban đầu là cân bằng bền. Cân bằng mà vật lệch ra khỏi vị trí cân bằng thì hợp lực tất cả các lực tác dụng lên vật khônglàm cho nó trở về vị trí cân bằng ban đầu là cân bằng không bền. Cân bằng mà vật lệch ra khỏi vị trí cân bằng mà vật tìm được vị trí cân bằng mới là cân bằng phiếm định.
Những bài tập xác định vị trí cân bằng và trạng thái cân bằng thì rất khó và trừu tượng, học sinh thường mắc ở các loại bài tập này, để giải quyết được một phần khó khăn đó, tôi đưa ra một ý tưởng sau: “Dùng hàm số để xác định cân bằng và trạng thái cân bằng”.
Khi nghiên cứu sự cân bằng các chất điểm, thì ta phải chọn một hệ quy chiếu nào đó, mà vật đứng yên hay chuyển động thẳng đều thì vật ở trạng thái cân bằng. Một chất điểm cân bằng theo phương Ox thì hợp lực tác dụng lên nó theo phương đó phải bằng không.
 x’ x
 f2(x) O f1(x) 
Đặt f1(x) là hợp lực kéo vật theo hướng Ox, còn f2(x) là hợp lực kéo vật theo chiều Ox’. Khi f1(x)=f2(x) thì vật ở trạng thái cân bằng.
f1(x) và f2(x) là hai hàm bậc nhất của x, lúc đó xảy ra các trường hợp sau: 
Nếu vật lệch ra khỏi vị trí cân bằng theo chiều x, nghĩa là x tăng, nếu f1(x) và f2(x) là hai hàm đồng biến cả, thì ta phải xét đến hệ số góc k1 và k2, nếu k1>k2 nghĩa là f1(x) tăng nhanh hơn f2(x), thì f1(x)>f2(x), hợp lực tác dụng lên vật kéo vật lệch về phía x, cân bằng đó là cân bằng không bền. Còn nếu k1f2(x), hợp lực tác dụng lên vật kéo vật lệch tiếp khỏi vị trí cân bằng, đó là cân bằng không bền. Nếu f1(x) là hàm nghịch biến, f2(x) đồng biến, khi x tăng nghĩa là vật lệch về phía x, f1(x) tăng, f2(x) giảm, lúc đó hợp lực tác dụng lên vật kéo vật trở lại vị trí cân bằng ban đầu, cân bằng đó là cân bằng bền. Trường hợp f1(x), f2(x) là hai hàm nghịch biến cả thì ta lại phải xét hệ số góc k. Nếu k1f2(x), hợp lực kéo vật về phía x, cân bằng đó là cân bằng không bền. Nếu k1>k2 , nghĩa là f1(x) giảm nhanh hơn f2(x), khi vật lệch khỏi vị trí cân bằng theo chiều x thì hợp lực kéo vật về vị trí cân bằng ban đầu, đây là cân bằng bền. Còn nếu vật lệch khỏi vị trí cân bằng về một phía nào đó mà f1(x)=f2(x), nghĩa là cân bằng ở mọi vị trí thì đó là cân bằng phiếm định.
Ví dụ 1:
Thanh OA quay quanh trục thẳng đứng Oz với vận tốc góc góc không đổi. Một hòn bi nhỏ có khối lượng m có thể trượt không ma sát trên OA và được nối với điểm O bằng một lò xo có độ cứng k và có chiều dài tự nhiên l0 .
a-Tìm vị trí cân bằng của bi và điều kiện để có cân bằng.
b-Cân bằng là bền hay không bền?
Bài toán trên là loại bài toán xác định vị trí cân bằng và trạng thái cân bằng, để giải quyết vấn đề đó thì ta phải áp dụng phương pháp trên như sau:
Gọi f1(l) là hợp lực kéo vật theo chiều x, còn f2(l) là hợp lực kéo vật theo chiều ngược lại.
Lúc đó ta có f1(l)=m2l.sin2 
Để vật ở trạng thái cân bằng thì f1(l)=f2(l) 
 m2l.sin2= kl+mgcos-kl0 
Vì bi nhỏ nên mgcos 0
để có cân bằng tức là vật ở trạng thái a=0 và vị trí của vật khác gốc tọa 
độ, lúc đó l>0. kl0 - mgcos> 0 (1) 
 <
Bây giờ ta xét trạng thái cân bằng của vật, từ (1) tg1>tg2
Khi vật lệch về phía x, lúc đó l tăng dần đều, f1(l) tăng nhanh hơn f2(l), nghĩa là f1(l)>f2(l), hợp lực tác dụng lên vật kéo vật trở lại vị trí cân bằng ban dầu thì cân bằng của vật là cân bằng bền. Ngược lại nếu lò xo nén, l giảm thì f1(l) giảm nhanh hơn f2(l), hợp lực f1(l)<f2(l) kéo vật trở lại vị trí ban đầu nên cân bằng này là cân bằng bền.
Ví dụ 2:
Một ống x’x đường kính nhỏ được gắn ở điểm O tạo với đường thẳng Oz góc xOz= và quay quanh Oz với vận tốc góc , trong ống có hai hòn bi A có khối lượng m1, B có khối lượng m2 nối với nhau bằng thanh CD chiều dài l, khối lượng không đáng kể. Hai hòn bi có thể trượt không ma sát trong ống. Xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra về vị trí của A và B so với O, trong mỗi trường hợp tìm vị trí cân bằng đối với ống của hệ hai bi. Xác định vị trí cân bằng.
Bài toán này là bài toán hay và khó, để xét và vét hết các trường hợp có thể xảy ra, để xác định vị trí cân bằng và các trạng thái cân bằng ta phải sử dụng phương pháp trên.
+ Trường cả A và B đều nằm trên O.
Lúc đó 1(l)= 1x + 2x
 2(l)= 1x + 2x
Chiếu cả hai hàm số trên lên phương x’x ta được.
f1(l)=m1(x-l)sin2 + m22xsin2
f2(l)=(m1+m2)cos
để hai viên bi ở trạng thái cân bằng thì: f1(l)= f2(l) 
 hay 
m1(x-l)sin2+m22xsin2= =(m1+m2)cos
 x= (2)
Điều kiện để có cân bằng là x > l
Từ (2) < = 
Bây giờ ta xét loại cân bằng:
Khi > thì f1 tăng lên còn f2 không đổi, hợp lực tác dụng lên vật kéo vật về phía x, lúc đó A, B là cân bằng không bền.
+ Trường hợp A trùng O, B ở trên O.
để có cân bằng x=l và 
Khi tăng ð f(() tăng, f2 không đổi, hợp lực tác dụng lên vật kéo A, B về phía x’, lúc đó cân bằng là cân bằng bền.
+ Trường hợp A nằm dưới O, B nằm trên O, để AB cân bằng:
(m1+m2)gcos + m1(l-x)sin2– m2xsin = 0 (3)
Từ (3) ð f1(x)=m2xsin2
 f2(x)=(m1+m2)gcos
Khi x tăng, f1(x) tăng, f2(x) không đổi, hợp lực tác dụng lên AB kéo vật về phía x, lúc đó AB ở trạng thái cân bằng bền.
+ Trường hợp cả hai nằm dưới O
f1(x) và f2(x) đều kéo vật AB về phía x’, lúc đó AB không có cân bằng.
Ví dụ 3:
Một hình cầu bán kính R chứa một hòn bi ở đáy, khi hình cầu quay quanh trục thẳng đứng với vận tốc góc đủ lớn thì bi cùng quay với hình cầu ở vị trí xác định bởi góc . Tìm các vị trí cân bằng tương đối của bi và nghiên cứu sự bền vững của chúng.
Để giải bài toán này ta lại phải dùng hàm số nhưng ở đây một hàm thay đổi và một hàm bằng không.
Đặt =++qt (4) và f=0
Chiếu (4) lên phương tiếp tuyến có 
Rt=mgcos–mrsincos=sin(g-rcos)
để có cân bằng R=f 
ú sin(g-rcos)=0
Hoặc sin=0 ð =0 (5) hoặc cos= (6)
Từ (5) ð đều có Rt=0. Tại A ta có cân bằng.
Nếu cos= <1 ð ta có vị trí cân bằng thứ hai ứng với được xác định bởi (6)
+ Tại A: - Nếu bị lệch khỏi A một góc nhỏ
Nếu ðRt>0 bi trở lại vị trí A, tại A ta có cân bằng bền.
Nếu ðRt<0, hợp lực kéo bi lệch ra khỏi vị trí cân bằng nên đây là cân bằng không bền.
+ Tại vị trí 
Khi bi bị đẩy lên cao một chút 
C Rt>0 vì g-rcos >o , hợp lực tác dụng lên bi kéo bi tụt xuống. Tương tự khi bi tụt xuống thấp một chút 
C Rt<0 vì g-rcos <o , hợp lực kéo bi lên một chút.
Như vậy bi tại vị trí thỏa mãn cos= <1 là cân bằng bền.
Ví dụ 4:
Một viên bi thép đến va chạm vào một viên bi ve trên một mặt phẳng nhẵn, sau va chạm hai bi chuyển động thẳng đều. Trong quá trình chuyển động của hai viên bi trên mặt phẳng nhẵn thì chúng luôn chịu tác dụng của hai lực, đó là lực hút của trái đất và phản lực của bàn, hai lực đó ta coi là hai hàm số không đổi N=P ở mọi vị trí của bi nên bi cân bằng, và gọi đó là cân bằng phiếm định.
Trên đây tôi đã đưa ra và giới thiệu với các em học sinh phương pháp “Dùng hàm số để xác định cân bằng và trạng thái cân bằng”. Mong rằng nó giúp các em được một phần nào khó khăn trong việc xác định cân bằng và trạng thái cân bằng của chất điểm. Tôi mong rằng các em vận dụng nó và có ý kiến trao đổi để phương pháp này để phương pháp được hoàn thiện và nhân rộng.
-------**Hết**-------