Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm học 2002 – 2003 môn thi: Toán

bộ giáo dục và đào tạo 
----------------------- 
đề chính thức 
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông 
năm học 2002 – 2003 
----------------------------------------- 
môn thi: toán 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. 
----------------- 
Bài 1 (3 điểm). 
1. Khảo sát hàm số 
2
542
−
−+−=
x
xxy 
2. Xác định m để đồ thị hàm số 
2
54)4( 22
−+
−−+−−−=
mx
mmxmx
y có các tiệm cận trùng với 
các tiệm cận t−ơng ứng của đồ thị hàm số khảo sát trên. 
Bài 2 (2 điểm). 
1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số 
12
133)( 2
23
++
−++=
xx
xxxxf 
biết rằng F(1) = 
3
1 . 
2. Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số 
2
12102 2
+
−−=
x
xxy 
và đ−ờng thẳng y = 0. 
Bài 3 (1,5 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho một elíp (E) có khoảng cách giữa các 
đ−ờng chuẩn là 36 và các bán kính qua tiêu của điểm M nằm trên elíp (E) là 9 và 15. 
1. Viết ph−ơng trình chính tắc của elíp (E). 
2. Viết ph−ơng trình tiếp tuyến của elíp (E) tại điểm M. 
Bài 4 (2,5 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có toạ độ 
xác định bởi các hệ thức: 
A = (2; 4; - 1) , 
→
−
→
+
→
=
→
kjiOB 4 , C = (2; 4; 3) , 
→
−
→
+
→
=
→
kjiOD 22 . 
1. Chứng minh rằng AB ⊥ AC, AC ⊥ AD, AD ⊥ AB. Tính thể tích khối tứ diện ABCD. 
2. Viết ph−ơng trình tham số của đ−ờng vuông góc chung ∆ của hai đ−ờng thẳng AB và 
CD. Tính góc giữa đ−ờng thẳng ∆ và mặt phẳng (ABD). 
3. Viết ph−ơng trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D. Viết ph−ơng trình tiếp diện 
 (α) của mặt cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD). 
Bài 5 (1 điểm). Giải hệ ph−ơng trình cho bởi hệ thức sau: 
2:5:6:: 111 =−++ CCC yxyxyx 
-------- hết -------- 
 Họ và tên thí sinh: ...................................................................... Số báo danh .......... 
 Chữ kí của giám thị 1 và giám thị 2: ......................................................................... 
bộ giáo dục và đào tạo 
-------------------- 
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông 
năm học 2002 – 2003 
------------------- 
h−ớng dẫn chấm Đề chính thức 
môn toán 
* Bản h−ớng dẫn chấm thi này có 4 trang * 
I. Các chú ý khi chấm thi 
1) H−ớng dẫn chấm thi (HDCT) này nêu biểu điểm chấm thi t−ơng ứng với đáp án nêu d−ới đây. 
2) Nếu thí sinh có cách giải đúng, cách giải khác với đáp án, thì ng−ời chấm cho điểm theo số 
điểm qui định dành cho câu ( hay phần ♦) đó. 
3) Việc vận dụng HDCT chi tiết tới 0,25 điểm phải thống nhất trong tất cả các tổ chấm thi môn 
Toán của Hội đồng. 
4) Sau khi cộng điểm toàn bài mới làm tròn điểm môn thi theo qui định chung. 
II. Đáp án và cách cho điểm 
 Bài 1 (3 điểm). 
 1. (2, 5 điểm) 
- Tập xác định R \ { 2}. (0, 25 điểm)
- Sự biến thiên: 
 a) Chiều biến thiên: 
♦
2
1
2 −−+−= xxy , y ' = 2
2
)2(
34
−
−+−
x
xx
, 

=
=⇔=
3
1
0'
x
x
y 
y’< 0 với ∀ ( ) ( )∞∪∞−∈ ;31;x : hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ( )+∞∞− ;3,1; . 
y’ > 0 với ∀ ( )2;1∈x ∪ (2; 3): hàm số đồng biến trên các khoảng (1; 2), (2; 3). 
(0, 75 điểm)
b) Cực trị: 
♦ Hàm số có hai cực trị: cực tiểu yCT = y(1) = 2 , cực đại yCĐ = y(3) = - 2. 
(0, 25 điểm)
c) Giới hạn: 
♦ .
2
542
2
lim
2
lim,
2
542
2
lim
2
lim ∞−=−
−+−
+→
=
+→
∞+=−
−+−
−→
=
−→ x
xx
x
y
xx
xx
x
y
x
 Đồ thị có 
tiệm cận đứng x = - 2. 
♦ 0)
2
1
(lim)]2([lim =−−∞→=+−−∞→ xxxyx . Đồ thị có tiệm cận xiên y = - x + 2. 
(0, 25 điểm) 
(0, 25 điểm)
 d) Bảng biến thiên: 
(0, 25 điểm)
- Đồ thị: 
x ∞+∞− 321
y’ - 0 + + 0 - 
y + ∞ + ∞ - 2 
 CĐ 
 CT 
 2 - -∞ - ∞ 
H−ớng dẫn chấm thi TNTHPT năm 2003: đề chính thức 
 2
(0, 50 điểm)
 2. ( 0, 5 điểm) 
♦ 
2
162
2 −+
−−++−=
mx
mm
xy , đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2 khi và chỉ khi ∞=→ yx 2lim 
⇔ ∞=−+
−−
→ 2
162
2
lim
mx
mm
x
. Qua giới hạn có 2 + m – 2 = 0 hay m = 0. 
♦ Với m = 0 ta có 
2
1
2
2
542
−−+−=−
−+−=
x
x
x
xx
y ; nên đồ thị hàm số có tiệm cận 
xiên là y = - x +2. 
 Vậy giá trị cần tìm của m là m = 0. 
(0, 25 điểm) 
(0, 25 điểm)
Bài 2 (2 điểm ) 
1. (1 điểm) 
♦
22
23
)1(
2
1
)1(
133
)(
+
−+=+
−++=
x
x
x
xxx
xf
;
1
2
2
2
2)1(
13233 C
x
xxdx
x
xxx ++++=⇒ ∫ + −++ 
♦ Vì 
3
1
)1( =F nên
6
13−=C . Do đó 
6
13
1
2
2
)(
2
−+++= xx
xxF . 
(0, 75 điểm) 
(0, 25 điểm)
2. ( 1 điểm) 
♦ Diện tích hình phẳng S cần tìm 
∫∫∫ −−− +−−+
++−−+
−− ===
6
1
6
1
26
1
2
)
2
16
214(
2
12102
0
2
12102
dx
x
xdx
x
xx
dx
x
xxS 
(0, 25 điểm) 
Vẽ đúng dạng đồ thị : 
+ Giao với Oy: tại điểm 
 (0; 2,5) 
+ Đồ thị có tâm đối xứng tại 
điểm ( 2 ; 0). 
+ Đồ thị có hai tiệm cận: 
 x = 2 và y = - x + 2. 
♦ Giải ph−ơng trình: 
2
12102 2
+
−−
x
xx = 0 
ta tìm đ−ợc các cận lấy tích phân 
là: - 1 và 6. 
H−ớng dẫn chấm thi TNTHPT năm 2003: đề chính thức 
 3
.8ln1663)2ln1614( 6
1
2 −=+−−= −xxx 
(0, 75 điểm)
Bài 3 (1, 5 điểm) 
 1. (1 điểm). 
 ♦ Giả sử điểm M ở góc phần t− thứ nhất và M = (x; y). Khi đó theo đầu bài ta có 
các hệ thức: các bán kính qua tiêu 
1
MF = a + ex = 15, 
2
MF = a - ex = 9, khoảng 
cách giữa các đ−ờng chuẩn: 2 . 
e
a
 = 36. Vậy a = 12, e = 
3
2
, x = 
2
9
. 
 ♦ Vì c = a.e = 8 và có b2= a2- c2= 80 nên ph−ơng trình chính tắc của elíp (E) là 
1
80
2
144
2
=+ yx 
(0, 75 điểm) 
(0, 25 điểm)
2. (0, 5 điểm). 
♦ Tiếp tuyến với elíp (E) tại điểm M(
2
9
; 
2
115
) là 3211 =+ yx . 
♦ Trên elíp (E) còn 3 điểm có toạ độ là (- 
2
9
; 
2
115
), (
2
9
; - 
2
115
), (- 
2
9
; - 
2
115
) 
cũng có các bán kính qua tiêu là 9 và 15. Do đó ta còn có 3 ph−ơng trình tiếp tuyến 
với elíp (E) tại các điểm (t−ơng ứng) đó là : - 3211 =+ yx , 3211 =− yx , 
3211 −=+ yx 
(0, 25 điểm) 
(0, 25 điểm)
Bài 4 (2, 5 điểm) 
 1. (1 điểm) 
♦Theo đầu bài ta có A= (2; 4; -1), B = (1; 4; -1), C = (2; 4; 3), D = (2; 2; -1). Do đó: 
ADABADAB
ADACADAC
ACABACAB
⊥⇒=+−+−=→→
⊥⇒=+−+=→→
⊥⇒=++−=→→
00.0)2.(00).1(.
00.4)2.(00.0.
04.00.00).1(.
♦ Thể tích khối tứ diện ABCD tính theo công thức 
VABCD =
→→→
ADACAB ].,[
6
1 = 
3
4 (do )0;4;0(],[ =
→→
ACAB ) 
(0, 75 điểm) 
(0,2 5 điểm)
2. (0, 75 điểm) 
♦ Đ−ờng thẳng CD nằm trên mặt phẳng (ACD) mà mặt phẳng (ACD) ⊥ AB nên 
đ−ờng vuông góc chung ∆ của AB và CD là đ−ờng thẳng qua A và vuông góc với CD. 
Vậy đ−ờng thẳng ∆ có vectơ chỉ ph−ơng )1;2;0(],[
2
1 −=
→→
=
→
CDABu và ph−ơng trình 
tham số là: 



+−=
−=
=
tz
ty
x
1
24
2
(0, 50 điểm)
♦ Mặt phẳng (ABD) có vectơ pháp tuyến [=→n →AB , →AD ] = (0; 0; 2). Vậy góc nhọn 
ϕ giữa ∆ và mặt phẳng (ABD) xác định bởi biểu thức: 
H−ớng dẫn chấm thi TNTHPT năm 2003: đề chính thức 
 4
sin ϕ = →→
→→
un
un
.
.
5
5
52
2
1)2(.2
1.2)2.(00.0
222
==
+−
+−+= 
(0, 25 điểm)
 3. (0, 75 điểm) 
♦ Ph−ơng trình mặt cầu (S) có dạng: 
0222222 =++++++ dczbyaxzyx 
 Bốn điểm A, B, C, D nằm trên mặt cầu nên có toạ độ thoả mãn ph−ơng trình trên. 
Do đó các hệ số a, b, c, d là nghiệm của hệ ph−ơng trình sau: 



∈=+−++
∈=++++
∈=+−++
∈=+−++
)(02449
)(068429
)(028218
)(028421
SDdcba
SCdcba
SBdcba
SAdcba
Giải hệ này có a = 
2
3− , b = -3, c = - 1, d = 7. Do đó ph−ơng trình mặt cầu (S) là: 
07263222 =+−−−++ zyxzyx . 
(0, 50 điểm)
♦ Mặt cầu (S) có tâm K = (
2
3
; 3; 1) và bán kính R = 
2
21
; ph−ơng trình của mặt 
phẳng (ABD) là: z + 1 = 0. Ph−ơng trình mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABD) 
có dạng z + d = 0. Mặt phẳng đó là tiếp diện của mặt cầu (S) khi và chỉ khi khoảng 
cách từ tâm K đến mặt phẳng đó bằng R: 
2
221
2,2
221
12
21
212020
1.1 +−=−=⇒=
++
+
dd
d
. 
Vậy có hai tiếp diện của mặt cầu (S) cần tìm là: 
(α1): z + 2
221−
 = 0 
 (α2): z 2
221+− = 0 
(0, 25 điểm)
 Bài 5 (1 điểm). 
♦ Hệ thức 2:5:61:1:1 =−++ C yxC yxC yx với x và y là các số nguyên d−ơng mà 
2 ≤ y+1 ≤ x cho hệ ph−ơng trình sau: 



−
=+
+
=+
2
1y
xC
6
y
1xC
5
1y
xC
6
y
1xC
♦ Giải hệ: 








=
=⇔
=+
+=−+−
+
⇔
+−−=−+
+
−−+=−+
+
3
8
26
1
)1(5
1
)1)((6
1
)!1()!1(2
!
)!1(!6
)!1(
)!1()!1(5
!
)!1(!6
)!1(
1 y
x
y
x
yyxyx
x
yxy
x
yxy
x
yxy
x
yxy
x
(0, 50 điểm) 
(0, 50 điểm)
--------- HếT --------- 
Bộ giáo dục và đào tạo 
----------------- 
đề chính thức 
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông
năm học 2003 – 2004 
-------------------- 
môn thi: toán 
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề 
Bài 1 (4 điểm) Cho hàm số 23
3
1 xxy −= có đồ thị là (C). 
1. Khảo sát hàm số. 
2. Viết ph−ơng trình các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm . )A(3; 0
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các 
đ−ờng y = 0, x = 0, x = 3 quay quanh trục Ox. 
Bài 2 (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 
xxy 3sin
3
4sin2 −= 
trên đoạn [ . ]0 π;
Bài 3 (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp 
(E): 1
1625
22
=+ yx 
có hai tiêu điểm , F . 1F 2
1. Cho điểm M(3; m) thuộc (E), hãy viết ph−ơng trình tiếp tuyến của (E) tại M 
khi m > 0. 
2. Cho A và B là hai điểm thuộc (E) sao cho A + B F = 8. Hãy 
tính A + B F . 
1F 2
2F 1
Bài 4 (2,5 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho bốn điểm A(1; -1; 2), 
B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2). 
1. Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng. 
2. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. Hãy viết 
ph−ơng trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’, B, C, D. 
3. Viết ph−ơng trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) tại điểm A’. 
Bài 5 (1 điểm) Giải bất ph−ơng trình (với hai ẩn là n, k ∈ N) 
2
3
5 60
!)(
+++ ≤−
k
n
n A
kn
P
------- hết ------- 
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: 
Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2: 
bộ giáo dục và đào tạo 
....................... 
h−ớng dẫn chấm 
đề chính thức 
kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông 
năm học 2003 – 2004 
..................... 
Môn thi: Toán 
 Bản h−ớng dẫn chấm có 4 trang 
I. Các chú ý khi chấm thi 
1) H−ớng dẫn chấm thi (HDCT) này nêu biểu điểm chấm thi t−ơng ứng với đáp án d−ới 
đây. 
2) Nếu thí sinh có cách giải đúng khác với đáp án, thì ng−ời chấm cho điểm theo số 
điểm qui định dành cho câu ( hay phần • ) đó. 
3) Việc vận dụng HDCT chi tiết tới 0,25 điểm phải thống nhất trong tất cả các tổ chấm 
thi môn Toán của Hội đồng. 
4) Sau khi cộng điểm toàn bài mới làm tròn điểm môn thi theo qui định chung. 
II. Đáp án và cách cho điểm 
 Bài 1 (4 điểm) 
 1. (2, 5 điểm) 
- Tập xác định R . 0, 25 
- Sự biến thiên: 
a) Chiều biến thiên: 
• 23
3
1 xxy −= , y ' = , ; xx 22− 

=
=⇔=
2
0
0'
x
x
y
y’< 0 với ∀ : hàm số nghịch biến trên khoảng( 2;0∈x ) ( )2;0 , 
y’ > 0 với ∀ (2; +∞): hàm số đồng biến trên các khoảng (- ∞; 0), 
(2; +∞). 
( 0;∞−∈x ) ∪
0, 75 
b) Cực trị: 
• Hàm số có hai cực trị: cực đại yCĐ = y(0) = 0, cực tiểu yCT = y(2) = 
3
4− . 
0, 25 
c) Giới hạn: 
• ∞+=∞+→∞−=∞−→ yxyx lim,lim , đồ thị không có tiệm cận. 
0, 25 
d) Bảng biến thiên: 
• 
0, 25 
x - ∞ 0 2 + ∞ 
y’ + 0 -  ... 0 
2x y 2z 9 0.− + + =
Số hạng tổng quỏt trong khai triển nhị thức Niutơn của ( ) là 102x 1−
( ) ( ) ( ) ( )10 k k kk 10 k k 10 kk 1 10 10T C 2x 1 1 2 C x k 0, 1, ..., 10 .− − −+ = − = − = 
0,50 
Cõu 5 
(1,0 điểm) 
Ta cú 10 k 7 k 3.− = ⇔ =
0,50 
Hệ số của là ( )3 7 3101 2 C .−7x
.Hết. 
 3
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THễNG NĂM 2008 LẦN 2 
Mụn thi: TOÁN – Trung học phổ thụng phõn ban 
Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề 
I. PHẦN CHUNG CHO THÍ SINH CẢ 2 BAN (8,0 điểm) 
Cõu 1 (3,5 điểm) 
Cho hàm số 3x 2y
x 1
−
=
+
,
log x 2 log x 2 log 5+ + − = x .∈\
)
 gọi đồ thị của hàm số là ( )C .
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số đó cho. 
2. Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị tại điểm cú tung độ bằng ( )C 2.−
Cõu 2 (1,5 điểm) 
Giải phương trỡnh ( ) ( ) ( )3 3 3
Cõu 3 (1,0 điểm) 
Giải phương trỡnh trờn tập số phức. 2x 2x 2 0− + =
Cõu 4 (2,0 điểm) 
Cho hỡnh chúp cú đỏy là tam giỏc vuụng tại B, đường thẳng SA vuụng gúc 
với mặt phẳng ( Biết 
S.ABC ABC
ABC . AB a,= BC a 3= và SA 3a.=
1. Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC theo a. 
2. Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tớnh độ dài đoạn thẳng BI theo a. 
II. PHẦN DÀNH CHO THÍ SINH TỪNG BAN (2,0 điểm) 
A. Thớ sinh Ban KHTN chọn cõu 5a hoặc cõu 5b 
Cõu 5a (2,0 điểm) 
1. Tớnh tớch phõn ( )
1
x
0
I 4x 1 e d= +∫ x.
x 2x 4x 3= − + +2. Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số f trờn đoạn ( ) 4 2 [ ]0; 2 . 
Cõu 5b (2,0 điểm) 
Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho cỏc điểm và mặt 
phẳng (P) cú phương trỡnh 
( )M 1; 2; 0 ,− (N 3; 4; 2− )
6x 4x 1 dx.= − +∫
x 2x 6x 1= − +
2x 2y z 7 0.+ + − =
1. Viết phương trỡnh đường thẳng MN. 
2. Tớnh khoảng cỏch từ trung điểm của đoạn thẳng MN đến mặt phẳng (P). 
B. Thớ sinh Ban KHXH&NV chọn cõu 6a hoặc cõu 6b 
Cõu 6a (2,0 điểm) 
1. Tớnh tớch phõn J ( )2 2
1
2. Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số f trờn đoạn ( ) 3 2 [ ]1; 1 .− 
Cõu 6b (2,0 điểm) 
Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và mặt phẳng (P) cú 
phương trỡnh . 
(A 2; 1; 3− )
− − − =x 2y 2z 10 0
1. Tớnh khoảng cỏch từ điểm A đến mặt phẳng (P). 
2. Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua điểm A và vuụng gúc với mặt phẳng (P). 
...............Hết............... 
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm 
Họ và tờn thớ sinh: ................................................. Số bỏo danh:.. ......................................... 
Chữ ký của giỏm thị 1: .......................................... Chữ ký của giỏm thị 2: .......................... 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THễNG NĂM 2008 LẦN 2 
Mụn thi: TOÁN – Trung học phổ thụng phõn ban 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI 
Bản Hướng dẫn chấm cú 04 trang 
I. Hướng dẫn chung 
1. Nếu thớ sinh làm bài khụng theo cỏch nờu trong đỏp ỏn mà vẫn đỳng thỡ cho đủ 
điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 
2. Việc chi tiết hoỏ thang điểm (nếu cú) so với thang điểm trong Hướng dẫn chấm 
phải đảm bảo khụng sai lệch với Hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện 
trong Hội đồng chấm thi. 
3. Sau khi cộng điểm toàn bài, làm trũn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm trũn thành 0,5; lẻ 
0,75 làm trũn thành 1,0 điểm). 
II. Đỏp ỏn và thang điểm 
CÂU 
ĐÁP ÁN ĐIỂM
1. (2,5 điểm) 
 a) Tập xỏc định: { }D \ 1= −\ . 0,25 
 b) Sự biến thiờn: 
• Chiều biến thiờn: ( )2
5y ' ,
x 1
=
+
 với ∀ ∈ y ' 0> x D
 1
.
 Hàm số đồng biến trờn cỏc khoảng ( ) và ( ) ; 1−∞ − 1; .− +∞
• Cực trị: Hàm số khụng cú cực trị. 
0,75 
• Giới hạn, tiệm cận: 
 Tiệm cận đứng: . 
( ) ( )x 1 x 1
lim y , lim y .
− +
→ − → −
= +∞ = −∞ x 1= −
= Tiệm cận ngang: 
x x
lim y 3, lim y 3.
→−∞ →+∞
= y 3.=
0,50 
Cõu 1 
(3,5 điểm) 
• Bảng biến thiờn: 
0,50 
y 
+∞
 x −∞ 1−
y ' + + 
3 
 +∞ 
3 
−∞
 2
 c) Đồ thị: 
Đồ thị cắt trục Ox tại điểm 2 ; 0 ,
3
⎛⎜⎝ ⎠
⎞⎟ cắt trục Oy tại điểm ( )0; 2 .−
 0,50 
y
O
2. (1,0 điểm) 
Điểm thuộc đồ thị cú tung độ là điểm ( ) y = −2 0; 2 ;− ( )y ' 0 5.= 0,50 
Phương trỡnh tiếp tuyến cần tỡm: hay ( )y 5 x 0 2= − − y 5x 2.= − 0,50 
Phương trỡnh đó cho tương đương 
( )23 3
x 2 0
x 2 0
log x 4 log 5
⎧ + >⎪⎪
− >⎨⎪
− =⎪⎩
0,50 
2
x 2
x 4
>⎧
⇔ ⎨
− =⎩ 5
 0,50 
Cõu 2 
(1,5 điểm) 
x 2
x 3.x 3
x 3
>⎧⎪
⇔ ⇔=⎡⎨⎢⎪
= −⎣⎩
= 
Nghiệm của phương trỡnh là x 3.=
0,50 
( )224 4i 2i .Δ = − = = 0,50 Cõu 3 
(1,0 điểm) 
Nghiệm của phương trỡnh là: và x 1 i= + x 1 i.= − 0,50 
1. (1,0 điểm) Cõu 4 
(2,0 điểm) Tam giỏc ABC vuụng tại B, nờn 
diện tớch của tam giỏc ABC là: 
2
ABC
1 aS BA.BC
2 2Δ
= =
3 . 
0,50 
x1−
3
2−
S
A
B 
C 
I 
3S.ABC ABC
1 aV SA.S
3 2Δ
= =
3 . 0,50 Thể tớch khối chúp S.ABC: 
2. (1,0 điểm) 
( )SA ABC⊥ và BC (định lý ba đường vuụng gúc). 
Tam giỏc SBC vuụng tại B, nờn 
AB⊥ BC SB⇒ ⊥
0,50 SCBI .
2
= 
Tam giỏc SBC vuụng tại B và tam giỏc SAB vuụng tại A, nờn: 
 Vậy 0,50 a 13BI .
2
= 2 2 2 2 2 2SC SB BC SA AB BC 13a .= + = + + = 2
 3
1. (1,0 điểm) Cõu 5a 
Đặt u 4 ta chọn x 1 du 4dx;= + ⇒ = xdv e dx,= xv e .=
( )
11x x
0
0
I 4x 1 e 4 e dx= + − ∫ 0,50 
(2,0 điểm) 
1x
0
5e 1 4e e 3.= − − = + 0,50 
2. (1,0 điểm) 
Trờn đoạn [ ]0; 2 , ta cú: ( ) ( )3 x 0f ' x 8x 8x; f ' x 0
x 1.
=⎡
= − + = ⇔ ⎢
=⎣ 0,50 
Tớnh và hoặc lập bảng biến thiờn của hàm 
số, ta được: và 
( ) ( )f 0 3, f 1 5= = ( )f 2 13= −
0,50 
[ ] ( ) ( )0; 2max f x f 1 5= = [ ] ( ) ( )0; 2min f x f 2 13.= = −
1. (1,0 điểm) Cõu 5b 
( )MN 4;6;2= −JJJJGVectơ chỉ phương đường thẳng MN: hay (u 2;3;1= −G ). 0,50 (2,0 điểm) 
x 1 y 2 z .
2 3
− +
= =
−
Phương trỡnh đường thẳng MN: 
1
 0,50 
2. (1,0 điểm) 
Trung điểm của đoạn thẳng MN: ( )I 1; 1; 1 .− 0,50 
( ) 2 2 1 7d I, (P) 2.
4 4 1
− + + −
= =
+ +
Khoảng cỏch từ I đến (P): 0,50 
1. (1,0 điểm) Cõu 6a 
( ) 23 2
1
J 2x 2x x= − + 0,50 
(2,0 điểm) 
 ( ) ( )16 8 2 2 2 1 9.= − + − − + = 0,50 
 2. (1,0 điểm) 
 Trờn đoạn [ ]1;1 ,− ta cú: ( ) ( )2f ' x 6x 12x; f ' x 0 x 0.= − = ⇔ = 0,50 
Tớnh và hoặc lập bảng biến thiờn của 
hàm số, ta được: và 
( ) ( )f 0 1, f 1 7= − = − ( )f 1 3= −
0,50 
[ ] ( ) ( )1; 1max f x f 0 1− = = [ ] ( ) ( )1; 1min f x f 1 7.− = − = −
 4
1. (1,0 điểm) Cõu 6b 
 Khoảng cỏch từ đến (P): A ( )( ) 2 2 6 10d A, P
1 4 4
+ − −
=
+ +
 0,50 
(2,0 điểm) 
12 4.
3
= = 0,50 
2. (1,0 điểm) 
 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng cần tỡm. (n 1; 2; 2− −G ) 0,50 
 Phương trỡnh đường thẳng cần tỡm: 
x 2 t
y 1 2
z 3 2t
= +⎧⎪
= − −⎨⎪
= −⎩
t
.
0,50 
.Hết. 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THễNG NĂM 2008 LẦN 2 
Mụn thi: TOÁN – Bổ tỳc trung học phổ thụng 
Thời gian làm bài: 150 phỳt, khụng kể thời gian giao đề 
Cõu 1 (3,5 điểm) 
Cho hàm số 2x 1y
x 1
−
=
−
, gọi đồ thị của hàm số là ( )C .
1. Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số đó cho. 
2. Viết phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị tại điểm ( )C ( )A 2; 3 .
Cõu 2 (2,0 điểm) 
1. Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của hàm số trờn đoạn 3f (x) x 3x 2= − −
[ ]1; 3 .− 
2. Tớnh tớch phõn 
1
2
0
I (3x 2x 1)dx.= − +∫
Cõu 3 (1,5 điểm) 
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A và đường thẳng Δ cú phương 
trỡnh 3 
(1; 2)
)
x 4y 1 0.+ − =
1. Tớnh khoảng cỏch từ điểm A đến đường thẳng Δ. 
2. Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng Δ. 
Cõu 4 (2,0 điểm) 
Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm và đường thẳng d cú 
phương trỡnh 
(M 1; 2; 0−
x 1 y z 1.
2 1 3
− +
= = 
1. Tỡm tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng cú phương trỡnh 
 2x y z 7 0.− + − =
2. Viết phương trỡnh mặt phẳng đi qua điểm M và vuụng gúc với đường thẳng d. 
Cõu 5 (1,0 điểm) 
Tỡm cỏc số tự nhiờn n sao cho (trong đú là số chỉnh hợp chập 
k của n phần tử và C là số tổ hợp chập k của n phần tử). 
2 2
n nA 8C 36− + = 0
k
nA
k
n
..................Hết................. 
Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm. 
Họ và tờn thớ sinh: ........................................... Số bỏo danh:.................................................. 
Chữ ký của giỏm thị 1: ................................... Chữ ký của giỏm thị 2:................................. 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THễNG NĂM 2008 LẦN 2 
Mụn thi: TOÁN – Bổ tỳc Trung học phổ thụng 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI 
Bản Hướng dẫn chấm cú 03 trang 
I. Hướng dẫn chung 
1. Nếu thớ sinh làm bài khụng theo cỏch nờu trong đỏp ỏn mà vẫn đỳng thỡ cho đủ 
điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 
2. Việc chi tiết hoỏ thang điểm (nếu cú) so với thang điểm trong Hướng dẫn chấm 
phải đảm bảo khụng sai lệch với Hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện 
trong Hội đồng chấm thi. 
3. Sau khi cộng điểm toàn bài, làm trũn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm trũn thành 0,5; lẻ 
0,75 làm trũn thành 1,0 điểm). 
II. Đỏp ỏn và thang điểm 
CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM
1. (2,5 điểm) 
a) Tập xỏc định: { }D \ 1= \ . 0,25 
b) Sự biến thiờn: 
• Chiều biến thiờn: ( )2
1y ' 0, x D.
x 1
−
= < ∀ ∈
−
 Hàm số nghịch biến trờn cỏc khoảng ( ) (; 1 và 1; .−∞ + ∞)
• Cực trị: Hàm số khụng cú cực trị. 
0,75 
• Giới hạn, tiệm cận: 
 Tiệm cận đứng: 
x 1 x 1
l im y , lim y .
+ −→ →
= +∞ = −∞ x 1.=
 Tiệm cận ngang: 
x
lim y 2.
→ ∞
= y 2.=
0,50 
Cõu 1 
(3,5 điểm) 
• Bảng biến thiờn: 
0,50 
x −∞ 1 
y ' − 
y 
+∞ 
− 
+∞2 
−∞ 2 
 1
c) Đồ thị: 
Đồ thị cắt trục Ox tại điểm 1 ; 0
2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
và cắt trục Oy tại điểm ( ) . 0; 1
 0,50 
2. (1,0 điểm) 
Hệ số gúc của tiếp tuyến tại A: ( )y ' 2 1.= − 0,50 
Phương trỡnh tiếp tuyến: hay ( )y x 2= − − +
y 
1
2
1
2 
1 O x 
3 .y x 5= − + 0,50 
1. (1,0 điểm). 
 Trờn đoạn [ ]1; 3 ,− ta cú: f ' ( ) ( )2 x 1
Cõu 2 
x 3x 3; f ' x 0
x 1.
=⎡
= − = ⇔ ⎢
= −⎣ 0,50 
( ) ( ) ( )f 1 0, f 1 4 và f 3 16.− = = − = 
[ ] ( ) ( )1; 3max f x f 3 16− = = và [ ] ( ) ( )1; 3min f x f 1 4.− = = −
0,50 
2. (1,0 điểm). 
( )13 2
0
I x x x= − + 0,50 
(2,0 điểm) 
( )1 1 1 0 1.= − + − = 0,50 
1. (0,75 điểm) 
Khoảng cỏch A đến Δ: ( )
2 2
3.1 4.2 1
d A, 2.
3 4
+ −
Δ = =
+
 0,75 
2. (0,75 điểm) 
Phương trỡnh đường thẳng đi qua A và song song với Δ cú dạng 
d:3x với điều kiện C 1 4y C 0,+ + =
Cõu 3 
(1,5 điểm) 
.≠ − 0,50 
A d 3.1 4.2 C 0 C 11∈ ⇔ + + = ⇔ = − (thỏa món điều kiện). 
Phương trỡnh đường thẳng d: 3x 4y 11 0.+ − =
0,25 
 2
1. (1,0 điểm) 
Tọa độ giao điểm cần tỡm thỏa món: (N x; y;z
Cõu 4 
)
x 1 y z 1
2 1 3
2x y z 7 0.
− +⎧
= =⎪⎨⎪
− + − =⎩
 0,50 
Giải hệ ta được: ( )N 3; 1; 2 . 0.50 
2. (1,0 điểm). 
(n 2; 1; 3=G ) là một vectơ phỏp tuyến của mặt phẳng cần tỡm. 0,50 
(2,0 điểm) 
Phương trỡnh mặt phẳng cần tỡm: hay 
( ) ( ) ( )2 x 1 1 y 2 3 z 0 0− + + + − =
2x y 3z 0.+ + =
0,50 
Điều kiện: n , n 2∈ ≥` . 0,25 Cõu 5 
Ta cú: ( ) ( )
2 2
n n
n!A 8C 36 0 n n 1 8. 36 0
2! n 2 !
− + = ⇔ − − + =
−
 0,50 
(1,0 điểm) 
2 n 4n n 12 0
n 3
=⎡
⇔ − − = ⇔ ⎢
= −⎣ .
.
0,25 
Đối chiếu điều kiện, ta cú n 4 =
.Hết. 
 3