Đề cương ôn tập Toán Lớp 11 - Cách tìm công thức tổng quát của dãy số - Phạm Thị Thu Huyền

GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 1
CÁC TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI 
Dạng 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số (dạng đa thức) khi biết các số hạng đầu tiên 
Ví dụ 1.1: Cho dãy số  nu có dạng khai triển sau: 1; 1; 1;1;5;11;19;29;41;55;.....  
Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và tìm số tiếp theo? 
 Bài giải: 
Nhận xét: Với 10 số hạng đầu thế này, để tìm ra quy luật biểu diễn là rất khó. Với 
những cách cho này ta thường làm phương pháp sau: 
Đặt: 1k k ku u u   
 2 1k k ku u u    
 3 2 21k k ku u u    
 .. 
Ta lập bảng các giá trị 2 3, , .....k k ku u u   nếu đến hàng nào có giá trị không đổi thì dừng 
lại, sau đó kết luận nu là đa thức bậc 1, 2, 3,..và ta đi tìm đa thức đó. 
Lời giải: 
Bảng giá trị ban đầu: 
ku 1 -1 -1 1 5 11 19 29 41 55 
ku -2 0 2 4 6 8 10 12 14 
2
ku 2 2 2 2 2 2 2 2 
Ta thấy hàng của 2 ku không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc hai: 
 2 0nu an bn c a    (1) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy. 
Tìm , ,a b c như sau: 
Cho 1;2;3n  thay vào công thức (1) ta được hệ phương trình sau: 
1 1
4 2 1 5
9 3 1 5
a b c a
a b c b
a b c c
                  
 2 5 5nu n n    
Số hạng tiếp theo 11 71u  
Ví dụ 1.2: Cho dãy số  nu có dạng khai triển sau: 5; 3;11;43;99;185;307;471;....  
GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 2
Hãy tìm công thức của số hạng tổng quát và 2 số hạng tiếp theo 
 Bài giải: 
Bảng giá trị ban đầu 
ku -5 -3 11 43 99 185 307 471 
ku
 2 14 32 56 86 122 164 
2
ku
 12 18 24 30 36 42 
3
ku
 6 6 6 6 6 
Ta thấy hàng của 3 ku không đổi nên dãy số là dãy các giá trị của đa thức bậc ba: 
 3 2 0nu an bn cn d a     (2) trong đó n là số thứ tự của các số hạng trong dãy. 
Tìm , , ,a b c d như sau: 
Cho 1;2;3;4n  thay vào công thức (2) ta được hệ phương trình sau: 
5 5 1
8 4 2 3 7 3 2 0
27 9 3 11 26 8 2 16 5
64 16 4 43 63 15 3 48 1
a b c d a b c d a
a b c d a b c b
a b c d a b c c
a b c d a b c d
                                                 
3 5 1nu n n    
Hai số hạng tiếp theo là: 9 683u  ; 10 949u  
Lời bình: Công thức tìm được trên là không duy nhất vì hiển nhiên các số hạng đã cho 
cũng thỏa mãn, chẳng hạn dãy số sau: 
     2 5 5 . 1 2 3nu n n P n n n n       (Của ví dụ 1.1) 
     3 5 1 1 2 3 4nu n n P n n n n n        (của ví dụ 1.2) 
Với  P n là một đa thức bất kỳ 
Vậy cách tìm trên đây là mới chỉ tìm được một dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn mà 
không tìm được tất cả các dạng mà dãy số đã cho thỏa mãn. 
Bài tập tương tự: 
Với mỗi dãy số sau đây, hãy tìm công thức của số hạng tổng quát của dãy số 
1) 8;14;20;26;32;..... (Đs: 6 2nu n  ) 
2) 1; 2; 2;1;7;16;28;43;61;...  (Đs: 23 15 72 2nu n n   ) 
3) 1;6;17;34;57;86;121;..... (Đs: 23 4 2nu n n   ) 
GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 3
4) 2;3;7;14;24;37;..... (Đs: 23 7 42 2nu n n   ) 
5) 3;5;10;18;29;..... (Đs: 23 5 42 2nu n n   ) 
6) 2;1;5;14;28;47;71;100;134;173;217;.... (Đs: 25 17 82 2nu n n   ) 
7) 2;2;8;26;62;122;212;338;.... (Đs: 3 23 2 2nu n n n    ) 
DẠNG 2: Dạng cơ sở: Cho dãy  nu biết 1
1 ,n n
u a
u qu d
  
 1n  
Với ,q d là các hằng số thực. 
GIẢI: 
 Trường hợp 1: Nếu 0q  1
1 ,n
u a
u d
  
 1n  
 1u a  , *, , 2nu d n n    
 Trường hợp 2: Nếu 1q  1
1 ,n n
u a
u u d
   
 1n  
  nu là cấp số cộng với số hạng đầu 1u a và công sai bằng d 
  1nu a n d    
 Trường hợp 3: Nếu 0d  1
1 ,n n
u a
u qu
  
 1n  
  nu là cấp số nhân với số hạng đầu 1u a và công bội bằng q 
 1. nnu a q   
 Trường hợp 4: Nếu 0, 1, 0q q d   . Đặt dãy  nv sao cho 1n n
du v
q
   (1) 
Thay ct(1) vào công thức truy hồi ta có: 
1 1 1n n
d dv q v d
q q
        
1 ,n nv qv  1n  
 nv là một cấp số nhân với số hạng đầu 1 1 1 1
d dv u a
q q
     và công bội 
bằng q 
1, 11
n
n
dv a q n
q
       
GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 4
1
1 1 1
n
n n
d d du v a q
q q q
           
Ví dụ 2.1: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy  nu biết: 
1) 1
1
1
3,n n
u
u u
   
 1n  (Đs: 3 4nu n  ) 
2) 1
1
1
2 3,n n
u
u u
  
 1n  (Đs: 
14.2 3nnu   ) 
Giải: 
1) 1
1
1
3,n n
u
u u
   
 1n  
Vì 1 3n nu u   , 1n  
 nu là một cấp số cộng với số hạng đầu 1 1u   và công sai 3d  
   1 1 1 3 1 3 4nu u n d n n          
2) 1
1
1
2 3, 1n n
u
u u n
   
 Nhận xét: Dãy số này có dạng 1 với 1, 3q d  
 Đặt dãy  nv sao cho: 31n n n
du v v
q
    (1) 
Thay (1) vào công thức truy hồi ta được 
  1 3 2 3 3n nv v     1 2n nv v  
  nv là cấp số nhân với số hạng đầu 1 1 3 1 3 4v u     và công bội 2q  
 1 14.2 2n nnv     
 13 2 3nn nu v      
 Nhận xét: Câu 1: 1
1
1
3,n n
u
u u
   
 1n  Còn có các cách sau: 
Cách 2: 
Ta có: 1 1u   
 2 1 3u u  
 3 2 3u u  
GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 5
 .. 
 1 3n nu u   
Cộng vế với vế các hệ thức trên ta được: 
1 2 3 1 2 3 1...... 1 ..... 3( 1)n nu u u u u u u u n             
 1 3 1nu n     
3 4nu n   
Cách 3: 
Dựa vào công thức truy hồi ta tính được dạng khai triển của dãy  nu là: 
1;2;;5;8;11;14;17;.... 
ku -1 2 5 8 11 14 17 
ku 3 3 3 3 3 3 
 , 0nu an b a    (1) 
 Thay 1n  và 2n  thay vào (1) ta được: 1 32 2 4
a b a
a b b
          
 3 4nu n   
Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy  nu biết: 
1) 1
1
1
7,n n
u
u u
  
 1n  (Đs: 7 6nu n  ) 
2) 1
1
3
2 ,n n
u
u u
 
 1n  (Đs: 
12 .3nnu  ) 
3) 1
1
1
2 1,n n
u
u u
   
 1n  (Đs: 1nu   ) 
4) 1
1
5
4
32 ,4n n
u
u u
   
1n 
 (Đs: 4
32 
n
nu ) 
5) 
1
1
1
12 ,3n n
u
u u
  
 1n  (Đs: 3
12 
n
nu ) 
Lời bình: Dạng 2 gọi là dạng cơ sở vì: 
- Với 3 trường hợp 1, 2, và 3, dãy số trở thành các dãy đặc biệt đó là: dãy số hằng, 
cấp số cộng và cấp số nhân. Các dãy số này ta đều đã tìm được công thức của số 
hạng tổng quát. 
GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 6
- Trên cơ sở của 3 dãy này, để giải trường hợp 4: bằng phương pháp đặt một dãy 
số mới  nv liên hệ với dãy số  nu bằng một biểu thức nào đó để có thể đưa 
được về dãy số  nv mà  nv dãy số hằng hoặc cấp cộng hoặc cấp số nhân. 
- Vấn đề đặt ra là: Mối liên hệ giữa  nu và  nv bởi biểu thức nào mới có thể đưa 
dãy số  nv thành dãy số hằng hoặc cấp số cộng hoặc cấp số nhân hoặc trường 
hợp 4. Qua quá trình tìm tòi, tôi đã tìm ra được một số dạng sau: 
LOẠI 2.1: 1
1 ,n n
u a
u qu cn d
   
 1n  với , ,q c d R và , 0q c  
GIẢI: 
 Trường hợp 1: Nếu 1q  1
1n n
u a
u u cn d
    
Cách 1: 
 Ta có: 1u a 
 2 1 .1u u c d   
 3 2 .2u u c d   
 4 3 .3u u c d   
 . 
  1 . 1n nu u c n d    
 Cộng vế với vế các hệ thức trên, ta được: 
    .1 .2 .3 ...... . 1 1nu a c c c c n n d            1 12
cn n
a n d
    
Cách 2: Dùng công thức DẠNG 1 (Viết dãy số theo dạng khai triền) 
 Trường hợp 2: Nếu 1q  
Đặt dãy  nv sao cho: 1n n
cnu v
q
   , thay vào công thức truy hồi ta được 
 
1
1
1 1n n
c n cnv q v cn d
q q
          
1 1n n
cv qv d
q
     
Từ đó ta có dãy  nv với 
1 1
1
1
',1n n n
cv u
q
cv qv d qv d
q
         
 1n  Khi đó dãy  nv lại 
có DẠNG 1 
GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 7
Ví dụ 2.2: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy  nu biết: 
1) 1
1
5
3 2,n n
u
u u n
   
 1n  (Đs: 
23 7 14
2n
n nu   ) 
2) 1
1
11
10 1 9 ,n n
u
u u n
   
 1n  (Đs: 10
n
nu n  ) 
3) 1
1
1
3 6 1n n
u
u u n
   
 (Đs: 3 1 3nnu n   ) 
Bài giải: 
1) 1
1
5
3 2,n n
u
u u n
   
 1n  
Cách 1: 
 Ta có: 
1 5u  
 2 1 3.1 2u u   
 3 2 3.2 2u u   
 4 3 3.3 2u u   
 5 4 3.4 2u u   
 .. 
  1 3. 1 2n nu u n    
Cộng vế với vế ta được: 
        23 1 3 7 145 3.1 3.2 3.3 .... 3. 1 2 1 5 2 12 2n
n n n nu n n n
                 
Cách 2: 
Ta có dạng khai triển của dãy số  nu là: 
5;6;10;17;27;40;56;75;..... 
ku 5 6 10 17 27 40 56 75 
ku 1 4 7 10 13 16 19 
2
ku 3 3 3 3 3 3 
2
nu an bn c    (*) 
Thay 1, 2, 3n n n   vào (*) ta được: 
GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 8
3
25 74 2 6 29 3 10 7
a
a b c
a b c b
a b c c
               
2
23 7 3 7 1472 2 2n
n nu n n       
2) 1
1
11
10 1 9 ,n n
u
u u n
   
 1n  
Đặt dãy  nv sao cho: , 1n nu v n n   
Thay vào công thức truy hồi ta được: 
 1 1 10 1 9n nv n v n n       
1 10n nv v  
 nv là một cấp số nhân với số hạng đầu 1 1 1 10v u   và công bội 10q  
110.10 10n nnv    
10nnu n   
3) 1
1
1
3 6 1n n
u
u u n
   
Đặt dãy  nv sao cho: 3n nu v n  , thay vào công thức truy hồi của dãy  nu ta được: 
   1 3 1 3 3 6 1n nv n v n n       
1 3 2n nv v   
 nv được xác định bởi: 1 1
1
3 2
3 2,n n
v u
v v
     
 1n  
Đặt dãy  ny sao cho 1, 1n nv y n   , thay vào công thức truy hồi của dãy  nv ta được 
 1 1 3 1 2n ny y     
1 3n ny y  
 ny là một cấp số nhân với số hạng đầu 1 1 1 2 1 3y v       và công bội 3q  
13.3 3n nny     
3 1nnv    
Vây: 3 1 3nnu n    
Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy  nu biết: 
GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 9
1) 1
1
99
2 1,n n
u
u u n
   
 1n  (Đs: 
2100nu n  ) 
2) 1 3
1
1
,n n
u
u u n
  
 1n  (Đs:  
  233 3 11 1 2 ... 1 2n
n n
u n
          
 ) 
3) 1 2
1
1
2 , 1n n
u
u u n n
   
 (Đs:       22 2 2 1 2 11 2 1 2 3 .... 1 1 3n n n nu n           
LOẠI 2.2: Cho dãy  nu xác định bởi: 1
1 ,nn n
u a
u qu rc
  
 1n  với 0q  
GIẢI: 
 Trường hợp 1: Nếu 1q  1
1 ,nn n
u a
u u rc
   
 1n  ta có thể làm bằng phương 
pháp sau: 
Ta có: 1u a 
 12 1u u rc  
 23 2u u rc  
 34 3u u rc  
 .. 
 11 nn nu u rc   
 Cộng vế với vế ta được: 
  12 3 1 1( .... ) 1
n
n
n
c c r
u a c c c c r a
c

          
 Trường hợp 2: Nếu c q 1
1 ,nn n
u a
u qu rc
   
 1n  
Đặt dãy  nv sao cho: 
n
n n
rcu v
c q
   , thay vào công thức truy hồi ta được 
1
1
n n
n
n n
rc rcv q v rc
c q c q


       
1n nv qv  
GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 10
 nv là một cấp số nhân với số hạng đầu 1 1 rc rcv u ac q c q     và công bội 
bằng q 
1n
n
rcv a q
c q
      
1
n n
n
n n
rc rc rcu v a q
c q c q c q
           
 Trường hợp 3 ... n với số hạng đầu 1 1 3 12 2v u    và công bội 5q  
11 .52
n
nv
   
 1 11 1 1.5 .3 3 52 2 2n n n nnu        
3) 1 1
1
101
7 7 , 1nn n
u
u u n
   
Đặt 7nn nu v thay vào công thức truy hồi ta được 
1 1
17 7.7 7n n nn nv v    
1 1n nv v   
 nv là một cấp số cộng với số hạng đầu 11 1017 7
uv   và công sai 1d  
101 9417 7nv n n      
1.7 94.7n nnu n    
GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 13
4) 1
1
1
2 6.2 , 1nn n
u
u u n
   
Đặt 2 , 1nn nu v n  thay vào công thức truy hồi ta được 
1
12 2.2 6.2n n nn nv v    
1 3n nv v   
 nv là cấp số cộng với số hạng đầu 11 12 2
uv   và công sai 3d  
 1 51 3 32 2nv n n      
153 .2 3 .2 5.22
n n n
nu n n
        
5) 1
1
0
2 .3 , 1nn n
u
u u n n
   
Đặt 3 , 1nn nu v n  thay vào biểu thức truy hồi của dãy  nu ta được 
1
13 3 2 .3n n nn nv v n    
1
1 2
3 3n nv v n   
 dãy  nv xác định bởi 
1
1
1
02
1 2 ,3 3n n
uv
v v n
    
1n 
Đặt n nv y n  thay vào công thức truy hồi của dãy  nv ta được 
 1 1 21 3 3n ny n y n n      
1
1 13n ny y   
 ny xác định bởi 
1 1
1
1 1
1 1,3n n
y v
y y
     
 1n  
Đặt 32n ny t  thay vào công thức truy hồi của dãy  ny ta được 
1
3 1 3 12 3 2n nt t
       
1
1
3n nt t  
GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 14
 nt là một cấp số nhân với số hạng đầu 1 1 3 3 112 2 2t y      và công bội 
1
3q  
. 
13 3 .32
n
n
nu n
   
LOẠI 2.3: Cho dãy số  nu xác định bởi: 
1
1 ,nn
n
u a
cuu
q du
  
 1n  
GIẢI: 
Đặt dãy số  nv sao cho: 1n
n
u
v
 thay vào công thức truy hồi của dãy  nu ta đươc 
1
1 n
n
n
c
v
dv q
v



1
1
n n
c
v qv d
   
1n n
q dv v
c c
   
  1
1
1
:
,
n
n n
v
av
q dv v
c c
    
1n 
 quay về DẠNG 1 
LOẠI 2.4: Cho dãy số  nu xác định bởi: 
1
1 , 1nn
n
u a
b cuu n
p ru
    
GIẢI: 
Đặt , 1n nu v n   thay vào công thức truy hồi của dãy  nu ta được 
 
 1
n
n
n
b c v
v
p r v
 
     
 
2
1
n n
n
n
b c cv p rvv
p r v
   

        
GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 15
   
 
2
1
n
n
n
p c b c r v
v
p r rv
  

            
Để dãy  nv trở về loại 2.3, ta chọn  là nghiệm của phương trình 
 2 0r c b       
Ví dụ 2.5: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy  nu sau, biết: 
1) 
1`
1
1
,1
n
n
n
u
uu
u
  
 1n  (Đs: 
1
nu n
 ) 
2) 
1
1
2
,2
n
n
n
u
uu
u
  
 1n  (Đs: 2
1
3.2 1n nu   ) 
3) 
1
1
1
2
1
2n n
u
u
u
   
 (Đs: 1n
nu
n
  ) 
4) 
1
1
1
1 4 ,1 6
n
n
n
u
uu
u
   
 1n  (Đs: 2
1 1
2 6 2n nu   ) 
Bài giải: 
1) 
1`
1
1
,1
n
n
n
u
uu
u
  
 1n  
Đặt 1n
n
u
v
 thay vào công thức truy hồi của dãy  nu ta được: 
1
1
1
11
n
n
n
v
v
v



GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 16
1
1 1
1n nv v
   
1 1n nv v   
Dãy  nv là cấp số cộng có số hạng đầu 1
1
1 1v
u
  , công sai 1d  
 1 1 1 1nv v n d n n        
1
nu n
  
2) 
1
1
2
,2
n
n
n
u
uu
u
  
 1n  
Đặt 1n
n
u
v
 thay vào công thức truy hồi của dãy  nu ta được: 
1
1
1
12
n
n
n
v
v
v



1
1 1
2 1n nv v
   
1 2 1n nv v   
Đặt 1n nv y  thay vào dãy  nv ta được: 
 1 1 2 1 1n ny y     
1 2n ny y  
 ny là một cấp số nhân với số hạng đầu 1 1
1
1 31 1 2y v u     và công bội 2q  
1 23 .2 3.22
n n
ny
    
21 3.2 1nn nv y      
2
1
3.2 1n nu    
3) 
1
1
1
2
1
2n n
u
u
u
   
Đặt dãy số  nv sao cho: n nu v   thay vào dãy  nu ta được: 
1
1
2n n
v
v
      
GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 17
2
1
2 1
2
n
n
n
vv
v
  

      
Chọn  là nghiệm của phương trình: 2 2 1 0    1  
1n nu v   và 1 1
n
n
n
vv
v
  
Đặt dãy số  ny sao cho: 1n
n
v
y
 thay vào dãy  nv ta được: 
1
1
1
11
n
n
n
y
y
y



1
1 1
1n ny y
   
1 1n ny y   
 ny là cấp số cộng có số hạng đầu 1
1 1
1 1 21y v u    và công sai 1d   
  2 1 1 1ny n n         
1 1
1n n
v
y n
     
11 1 1 1n n
nu v
n n
       
4) 
1
1
1
1 4 ,1 6
n
n
n
u
uu
u
   
 1n  
Đặt dãy  nv sao cho n nu v   , thay vào công thức truy hồi ta được 
 
 1
1 4
1 6
n
n
n
v
v
v
 
     
   
 
2
1
6 5 1 6 4
1 6n n
v
v
  

       
=> chọn 12  là một nghiệm của phương trình 
26 5 1 0    
Khi đó 12n nu v  và dãy số  nv được xác định bởi 
1
1
1
2
2 6
n
n
n
v
vv
v
   
Đặt dãy số  ny sao cho 1n
n
v
y
 thay vào công thức truy hồi của dãy  nv ta được: 
GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 18
1
1
1
62
n
n
n
y
y
y



1
1 1
2 6n ny y
   
1 2 6n ny y   
 ny được xác định bởi 1
1
2
2 6, 1n n
y
y y n
   
Đặt dãy số  nx sao cho 6n ny x  thay vào công thức truy hồi của dãy  ny ta được 
 1 6 2 6 6n nx x     
1 2n nx x  
 nx là cấp số nhân với 1 1 6 8x y   và công bội 2q  
1 28.2 2n nnx     
22 6nny    
2
1
2 6n nv    
2
1 1
2 6 2n nu    
Bài tập tương tự: Tìm công thức của số hạng tổng quát của các dãy  nu sau, biết: 
1) 
1
1
1
2 2 ,3 1
n
n
n
u
uu
u
    
 1n  
2) 
1
1
0
,2 1
n
n
n
u
uu
u
  
 1n  
2.3. Sử dụng máy tính casio để tìm các số hạng trong một dãy số được cho bởi công thức 
truy hồi: 
 Theo dự án mới của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, từ năm học 2016 – 2017 kỳ thi THPT 
Quốc gia, bộ môn Toán thi bằng phương pháp trắc nghiệm. Vậy, với một bài toán về dãy 
số mà dãy số đó cho bởi công thức truy hồi thì phải giải thế nào? Có phải tìm công thức 
của số hạng tổng quát hay không? 
 Sau đây tôi xin giới thiệu quy trình bấm máy tính casio để tìm giá trị ku của một dãy số 
cho bởi biểu thức truy hồi 
GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 19
Ví dụ 3.1: Cho dãy số  nu xác định bởi 1
1
1
3, 1n n
u
u u n
   
. Tính 8u ? 
Bài giải: 
+ Gán giá trị của 1 1u  vào biến A: 1 SHIFT STO A 
+ Dùng biến D làm biến đếm, công thức truy hồi bắt đầu được tính từ 2u , nên ta gán cho 
biến đếm D giá trị khởi đầu là 1: 1 SHIFT STO D 
+ Biểu thức lặp: Khi biến đếm D tăng lên 1 đơn vị thì 2 1 3 3u u A    và ta lại gán giá 
trị của 2u vào biến A, cứ như vậy biều thức được lặp lại. Nên ta có biểu thức lặp như sau: 
1: 3D D A A    
+ Sau đó bấm phím CACL và liên tiếp các dấu “=” cho đến khi giá trị 1 8D D   thì 
tính được 8u . 
Tóm lại quy trình bấm máy như sau: 
1 SHIFT STO A 
1 SHIFT STO D 
1: 3D D A A    
CACL = = = = 
Cho đến khi trên màn hình có 1 8D D   bấm tiếp dấu “=” ta được 8 22A u  
Chú ý: Các ký hiệu “=” và “:” trong biểu thức lặp 1: 3D D A A    là những phím màu 
đỏ trên bàn phím của máy tính casio, nên ta phải bấm tổ hợp phím ALPHA và dấu “=”, 
dấu “:” màu đỏ. Còn dấu “=” sau khi gọi phím CACL = = = = là dấu “=” màu đen 
trên màn phím máy tính casio. 
Ví dụ 3.2: Cho dãy số  nu xác định bởi: 
1
2
2 1
2
1
2 , 1n n n
u
u
u u u n 
     
 Tính 7u ? 
 Bài giải: 
Vì công thức truy hồi được tính theo 2 số hạng đứng ngay trước nó, nên ta cần dùng đến 2 
biến A và B cho 2 số hạng đó và phải dùng tới 2 lần lặp. Quy trình bấm máy như sau: 
2 SHIFT STO A 
-1 SHIFT STO B 
2 SHIFT STO D 
1: 2 : 1: 2D D A B A D D B A B        
CACL = = = .= 
Cho đến khi 1 7D D   bấm tiếp dấu “=” nữa ta được 7 23u  
GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 20
Lời bình: Với quy trình này học sinh không phải dùng nháp và tính từng bước từ công 
thức truy hồi hoặc không phải tìm công thức của số hạng tổng quát đồng thời cũng có lợi 
khi bài toán yêu cầu tìm ku với k hơi lớn (VD: 40 45,u u ) 
Bài tập áp dụng: 
Bài 1: Cho dãy số  nu xác định bởi: 1
1
2
1, 12
n
n
u
uu n
  
. Số hạng 4u của dãy số là: 
 A. 1 B. 98 C. 
7
8 D. 
4
3 
Bài 2: Cho dãy số hữu hạn  nu có dạng khai triển là: 1; 1; 1; 1; 5; 11; 19; 29; 41; 55; 
Khi đó công thức tổng quát của dãy số là: 
A. 2 3 1nu n n   B. 2 3 1nu n n   
C. 2 5 5nu n n   D. 2 2nu n n  
Bài 3: Cho dãy số  nu xác định bởi 
1
1
1
1 , 12
n
n n
u
u u n
       
 Công thức của số hạng tổng 
quát nu là: 
A. 12 12
n
n nu 
 B. 12 12
n
n nu
  
C. 2 32
n
n nu
 D. 1 12 12
n
n nu


 
Với bài số 2: Ta sử dụng MODE 7 để kiểm tra từng đáp án 
Quy trình bấm như sau: 
MODE 7 
  2 3 1F x x x   
START 1 
END 10 
STEP 1 
Sau đó dò trên cột  f x . Nếu cột này trùng với các giá trị của các số hạng trong dãy số 
thì ta chọn biểu thức đó. 
Chú ý: Với máy casio fx – 570 VN PLUS ta có thể kiểm tra một lúc 2 đáp án qua 2 hàm 
 f x và  g x bằng phím chuyển đổi: SHIFT MODE ▼ 5 2 
 2.4. Các bài toán thi học sinh giỏi các cấp: 
GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 21
Bài 1: (Đề thi chọn HSG môn toán lớp 11 của trường THPT Vũng Tàu năm học 2014 
– 2015) 
Cho dãy số  nu xác định bởi: 
1
1
1
1 , 12
n
n n
u
u u n
        
Chứng minh rằng *2 11 ,3 2
n
nu n
           
 
 Bài giải: 
Cách 1: 
Ta có: 1 1u  
 2 1 12u u
      
2
3 2
1
2u u
      
2
4 3
1
2u u
      
 .. 
1
1
1
2
n
n nu u


      
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được: 
2 1
111 1 1 2 121 ..... 112 2 2 3 21 2
n
n n
nu

                                             
Cách 2: 
Đặt dãy số  nv sao cho 
1
2 12
1 3 212
n
n
n n nu v v
            
 thay vào biểu thức truy hồi ta 
được 
1
1
2 1 2 1 1
3 2 3 2 2
n n n
n nv v


                      
1n nv v  
 nv là một dãy số hằng 
1 1
2 1 1 213 2 3 3nv v u
           
GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 22
2 2 1 2 113 3 2 3 2
n n
nu
                   
Cách 3: Chứng minh quy nạp 
Bài 2: (Đề thi Olympic 27/4 môn Toán – lớp 11 của Sở GD và ĐT Tỉnh Bà Rịa Vũng 
Tàu năm học 2012 – 2013) 
Cho dãy số  nu xác định bởi  
1
1
3
2 1 , 11 1 2
n
n
n
u
uu n
u

       
. Tính 2013u 
 Bài giải: 
Đặt dãy số  nv sao cho tann nu v , thay vào công thức truy hồi ta được: 
1
tan tan 8tan
1 tan . tan8
n
n
n
v
v
v





1tan tan 8n nv v


      
=> chọn 1 8n nv v

   
 nv là cấp số cộng với số hạng đầu 1 13 tan 3v v
   và công sai 8d
 
 13 8nv n
     
 tan 13 8nu n
        
2013
2012 3tan 3 8 3u
        
GV: Phạm Thị Thu Huyền 
 23