Đề cương ôn tập Toán Lớp 11 - Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát

Cách giải phương trình bậc 3 tổng quát
Xét phương trình bậc ba:
Ta đặt: 
, với 
Như vậy, bằng cách đặt như trên, ta đưa phương trình (1) về phương trình (2) khuyết thành phần bình phương.
Ta xây dựng công thức nghiệm tổng quát cho phương trình (2).
Đặt 
Ta tìm u, v sao cho:
  (4)
 Từ phương trình (4) ta có: là nghiệm của phương trình:
Trường hợp 1:  .Ta có:
, 
Trường hợp 2:  .Ta có:
, (5)
Ta xét trường hợp 1 (trường hợp 2 xét tương tự) Khi đó có 3 giá trị u và 3 giá trị v thỏa mãn phương trình (5):, (6)
 Ta chọn u,v thỏa mãn phương trình (4). Lần lượt thế các cặp giá trị (u, v) vào phương trình (4), ta nhận thấy chỉ có 3 cặp giá trị thỏa mãn. Đó là: , , 
 Thế 3 cặp (u, v) ở trên vào biểu thức (3) ta có 3 giá trị y tương ứng và đó là nghiệm của phương trình (2).
Hay:
Hay ta có thể nghiên cứu từng cách Giải phương trình bậc 3 cơ bản:
Ta có:
Ta có các trường hợp nghiệm sau:
Nếu , phương trình có một nghiệm duy nhất là: 
Nếu , phương trình có một nghiệm bội: 
Nếu và , phương trình có 3 nghiệm: ; ; 
Nếu và , phương trình có nghiệm duy nhất 
Giải phương trình bậc 3 bằng phương pháp Cardano:
Ta có phương trình:
 (1)
Bước 1: Đặt  và biến đổi bằng phép tính cơ bản ta được phương trình mới
 (2)
Trong đó
Phương trình (2) được gọi là phương trình bậc 3 suy biến. Bây giờ ta sẽ tìm các biến u và v sao cho
 và  (3)
Nghiệm đầu tiên tìm được bằng cách đặt
Thế các giá trị q và p (3) vào phương trình (2 ) ta được phương trình mới
Từ phương trình 
Thay giá trị  vào phương trình (3) ta được
 (4)
Phương trình (4) tương đương như phương trình bậc 2 với  . Khi giải ta tìm được
Vì
Chú ý rằng giá trị u tìm được từ (5) Vì chứa 2 căn bậc 3 với dấu( +/ – ) và mỗi căn bậc 3 có 3 giá trị là một giá trị thực và 2 giá trị tích.
Nhưng dấu của căn phải lựa chọn sao cho tính x, không bị trường hợp chi cho 0 ( mội giá trị chia cho 0 đều là phương trình vô nghiệm)
Nếu p = 0 thì ta chọn dấu của căn bậc 2 sao cho u # 0, e, i.
Nếu p = q = 0 thì 
Giải phương trình bậc 3 bằng cách rút về bậc 2:
Giải phương trình bậc 3 sau
Ta phân tích phương trình thành tích phương trình bậc nhất và phương trình bậc 2 như sau
Phương trình thứ nhất 2x – 3 = 0 có 1 nghiệm là x = 3/2
Phương trình (2×2 + 3x + 3) vô nghiệm. Nếu các bạn chưa biết cách giải phương trình bậc 2 có thể tham khảo nha. Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là x = 3/2
Ngoài ra bạn cũng có thể giải phương trình bậc 3 bằng máy tính bỏ túi nữa nhé. Chúc bạn thành công.
Ví dụ 1: Giải phương trình : .
Giải: Ta thấy phương trình có một nghiệm  (dùng MTBT) nên ta biến đổi phương trình : .
Ví dụ 2: Giải phương trình : .
Giải: Ta có:  nên phương
trình có duy nhất nghiệm:
.
Ví dụ 3: Giải phương trình :   (1).
Giải:
Ta có:  nên phương trình có ba nghiệm thuộc khoảng . Đặt  với 
(2) trở thành: 
   .
Vì  nên ta có: .
Vậy phương trình có ba nghiệm: .
Ví dụ 4: Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
  (1).
Giải: Vì tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên phương trình có nghiệm nên :
Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt  có hai nghiệm phân biệt khác 1 .
Vậy  là giá trị cần tìm.
Chú ý : Số nghiệm của PT :  phụ thuộc vào số nghiệm của tam thức: . Cụ thể
* Nếu  có hai nghiệm phân biệt , tức là:  thì phương trình có ba nghiệm phân biệt.
* Nếu  có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm bằng , tức là:  thì phương trình có hai nghiệm: .
* Nếu  có nghiệm kép khác , tức là: thì phương trình có hai nghiệm  và .
* Nếu  có nghiệm kép , tức là: thì phương trình có một  nghiệm .
* Nếu  vô nghiệm thì phương trình có đúng một nghiệm .
Ví dụ 5: Tìm m để đồ thị hàm số sau cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt:   
Giải:  
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
   (2)
Yêu cầu bài toán  có hai nghiệm phân biệt.
TH 1:  có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm
bằng 1. Điều này có .
TH 2:  có một nghiệm khác 1. Khi đó xảy ra hai khả năng
   Khả năng 1: .
   Khả năng 2: .
Vậy các giá trị của m cần tìm là: .
Ví dụ 6: Chứng minh rằng phương trình :  có 3 nghiệm     (1).
Giải: Giả sử phương trình có ba nghiệm. Ta chứng minh (1).
* Nếu ba nghiệm của phương trình trùng nhau thì  đúng.
* Nếu ba nghiệm phương trình chỉ có hai nghiệm trùng nhau hoắc ba nghiệm đó là phân biệt. Khi đó ta có:  ,
( trong đó:  )
.
 đpcm.
Từ cách chứng minh trên ta suy ra được nếu có (1) thì phương trình có ba nghiệm.
Tham khảo thêm:
https://vndoc.com/toan-lop-9