Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 11 - GTLN, GTNN của các hàm số lượng giác

CHUYÊN ĐỀ 7
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
Phần 1- Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác.
-Ta chứng minh một Bổ đề : Xác định điều kiện của a,b,c để phương trình: 
 (1) có nghiệm.
.Điều kiện i) : 
.Điều kiện ii) : 
Khi đó : (1) 
Do , nên : 
Vậy điều kiện ii) để pt (1) có nghiệm là : 
Ta vận dụng điều kiện này để giải quyết một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất như sau:
Bài 1-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : . (1)
Giải.
-Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :
.Do 
.Khi đó : 
Phương trình (*) có nghiệm khi : 
-Lập bảng xét dấu của (**)
y
-∞ +∞
f(y)
 + 0 - 0 +

Vậy : Tập giá trị của y là : 
Hay : và 
-----------------------
Bài 2-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : .(1)
Giải.
--Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :
.Do 
.Khi đó : 
Phương trình (*) có nghiệm khi : 
-Lập bảng xét dấu của (**)
y
-∞ +∞
f(y)
 + 0 - 0 +

Vậy : Tập giá trị của y là : 
Hay : và 
-----------------------
Bài 3-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : .(1)
Giải.
--Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :
.Do 
.Khi đó : 
Phương trình (*) có nghiệm khi : 
-Lập bảng xét dấu của (**)
y
-∞ +∞
f(y)
 + 0 - 0 +

Vậy : Tập giá trị của y là : 
Hay : và 
-------------------
Bài 4-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : .(1)
Giải.
-Xét biểu thức :	, nên y xác định với mọi x ÎR.
-Khi đó : 
Phương trình (*) có nghiệm khi : 
-Áp dụng bất đẳng thức Svasơ – Bunhiakopsky cho 4 số :
Ta có : 
-Lập bảng xét dấu của (**)
y
-∞ +∞
f(y)
 + 0 - 0 + 

Tập giá trị của y là : 
Vậy : và .
 --------------------------
Bài 5-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : .(1)
Giải.
-Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :
.Do 
.Khi đó : 
Phương trình (*) có nghiệm khi : 
-Lập bảng xét dấu của (**)
y
-∞ +∞
f(y)
 + 0 - 0 +

Vậy : Tập giá trị của y là : 
Hay : và 
-----------------------
Bài 6-Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : .(1)
Giải.
--Xác định miền giá trị của y để (1) có nghiệm :
.Do (do sinx, cosx không đồng thời bằng 1)
.Khi đó : 
Phương trình (*) có nghiệm khi : 
-Lập bảng xét dấu của (**)
y
-∞ +∞
f(y)
 + 0 - 0 +

Vậy : Tập giá trị của y là : 
Hay : và 
-----------------------
Phần 2: Sử dụng bất đẳng thức vào tính toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
-Ta nhắc lại một số bất đẳng thức liên quan:
1-Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương :
2-Bất đẳng thức Svasơ - Bunhiakopsky :
 a).Cho 4 số thực : 
 -Đẳng thức xảy ra khi : 
 b).Cho 6 số thực : .
 -Đẳng thức xảy ra khi : 
------------
Bài 7-Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : 
 .(1)
Giải.
-Biến đổi tương đương : 
-Áp dụng BĐT Svasơ - Bunhiakopsky cho 4 số : 
 , được:
Hay : 
Vậy : 
.Đẳng thức xảy ra khi : 
-----------------------
Bài 8-Cho .Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : 
 .(1)
Giải.
-Áp dụng BĐT Svasơ - Bunhiakopsky cho 6 số : 
 :
Hay : 
Vậy : 
-----------------------
Bài 9- Cho và Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
 .(1)
Giải.
-Ta xét giả thiết : 
-Áp dụng bất đẳng thức Svasơ – Bunhiakopsky cho 6 số :
 :
Hay : 
Vậy : 
-----------------------
Bài 10-Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : 
 .(1)
Giải.
--Áp dụng bất đẳng thức Svasơ – Bunhiakopsky cho 6 số :
 :
Hay : 
Vậy : 
-Đẳng thức xảy ra khi : .
-----------------------
Phần 3- Sử dụng công cụ đạo hàm.
Bài 11-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : .(1)
Giải.
-Hàm số xác định khi : , .Ta khảo sát trên 
-Tính : 
-Bảng biến thiên:
x
0 	 
y’
 + 0 -
y
 
1 1

Vậy : và .
-----------------------
Bài 12-Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : 
 .(1)
Giải.
-Hàm số xác định với mọi x Î R.
-Tính : 
.
.y đạt giá trị lớn nhất tại 1 trong 2 điểm đó mà y’ = 0
+Khi 
Khi đó : (*)
+Khi 
Khi đó : (**)
Xét (*) và (**) cho ta : , khi 
-----------------------
Phần 4- Một số dạng khác.
Bài 13-Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số : 
 .(1)
Giải.
-Ta xét biểu thức : 
(do :) .Vậy y xác định với mọi xÎR.
-Biến đổi tương đương :
Ta giải và biện luận phương trình (*):
+Khi .
Vậy nếu . Hay : và 	(a)
+Khi .Điều kiện có nghiệm là :
Vậy nếu . Hay : và (b)
Từ (a) , (b) Ta có : và .
-----------------------
Bài 14-Gọi α là một góc cho trước.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : 
 .(1)
Giải.
-Ta xét đẳng thức: 
-Đặt , 
-Khi đó: 
+Do α cho trước, nên tử thức đạt giá trị lớn nhất khi : , suy ra : 
.Nếu , :Mẫu thức đạt giá trị lớn nhất bằng : 
.Nếu , :Mẫu thức đạt giá trị lớn nhất bằng : 
Vậy :
 	+Khi thì : 
	+Khi thì : 
-----------------------
Bài 15-Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : .(1)
Giải.
-Ta xét 
 .mà 
 .Đẳng thức xảy ra khi : 
-Ta xét 
 .mà 
 .Đẳng thức xảy ra khi : 
Vậy : ( khi : ). 
Bài 16-Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của : 
 (1)
Giải.
-Biến đổi tương dương : 
Do đó : 
-Do , nên khi 
-Do , nên khi 
Vậy : và 
 ---------------------
Bài 17 –Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của : 
Giải.
-Điều kiện : , ta đặt : 
-Do 
+Khi .Vậy 
+Khi .Vậy --hết----