Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 11 - Đạo hàm

ĐẠO HÀM
KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Định nghĩa : Cho hàm số xác định trên khoảng và , đạo hàm của hàm số tại điểm là : .
Chú ý : 
Nếu kí hiệu thì : 
 	 	 .
Nếu hàm số có đạo hàm tại thì nó liên tục tại điểm đó.
Ý nghĩa của đạo hàm
Ý nghĩa hình học: Cho hàm số có đồ thị 
 là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị của hàm số tại . 
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm là : 
 	 .
Ý nghĩa vật lí : 
Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình : tại thời điểm là .
Cường độ tức thời của điện lượng tại thời điểm là : .
Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm
Các quy tắc : 	Cho là hằng số .
Nếu .
Các công thức : 
.
Vi phân
Định nghĩa : 
 Cho hàm số có đạo hàm tại vi phân của hàm số tại điểm là : 
 	 .
Cho hàm số có đạo hàm thì tích được gọi là vi phân của hàm số . Kí hiệu : hay .
Công thức tính gần đúng : 
 	 	 .
Đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp 2 : 
Định nghĩa : 
Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm là .
Đạo hàm cấp cao : .
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP : 
Tìm đạo hàm theo định nghĩa 
Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có 2 cách sau :
Cách 1 : Theo quy tắc
Bước 1 : Cho một số gia và tìm số gia tìm . Lập tỉ số 
Bước 2 : Tìm giới hạn 
Cách 2 : Áp dụng công thức: .
Các ví dụ minh họa :
 Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra: 
a) tại 	;	b) tại .
 Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra: 
a) 	 tại 	;	b) tại .
 Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa : 
a) 	;	b) .
Bài tập áp dụng :
Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra : 
a) tại 	 	;	b) tại ;	 
c) tại 	 	;	d) tại 	 ;
Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm của các hàm số sau đây trên . 
a) ; b) ;
c) 	; d) .
Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa : 
a) 	;	b) 	;
c) 	;	d) ;
Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa : 
a) 	;	b) ;
c) 	;	d) .
Có bao nhiêu tiếp tuyến của có hệ số góc âm ?
	 .
Các ví dụ minh họa :
Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 
a) 	 	; 	 b) . 
Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 
a) 	 ; 	b) 	;	c) . 
Chứng minh các công thức tổng quát sau
a) ; 	( là hằng số) .
b) ; 	 ( là hằng số) . 
Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 
a) 	; 	b) ; 	c) . 
Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 
a) ; 	b) ; c) . 
Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 
a) ; b) ; c) . 
 	Chú ý : Khi gặp các hàm số phức tạp nếu có thể ta hãy rút gọn hàm số rồi hãy đi tính đạo hàm , đặc biệt là đối với các hàm số có chứa các hàm số lượng giác.
Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 
a) 	 ; 	b) ; 
c) ;	d) . 
Cho hàm số : . Tìm để : 
a) 	; 	b) ;
c) 	;	d) 	. 
Cho hàm số : . Tìm để : 
a) 	; 	b) có hai nghiệm cùng dấu. 
Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 
a) ;	b) ;
c) 	; 	d) ;
e) ( là hằng số) . 
Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 
a) 	;	b) ;	c) 	;	
d) 	;	e) 	;	f) ;
g) 	;	h) ; i) 	;	k) .
Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 
a) 	; 	b) 
c) ;	d) ;
e) 	;	f) ;
g) 	;	h) ;
i) 	;	k) .
Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 
a) 	;	b) ;
c) 	;	d) 	;
e) 	;	f) ;
g) 	;	h) ;
i) 	;	k) 	;
l) 	;	m) ;
n) 	;	o) ;
p) 	;	q) .
a) Cho hàm số . Tính .
 b) Cho hàm số . Chứng minh: 
Tìm đạo hàm của các hàm số sau : 
a) 	;	
b) 	;
c) ;
d) ;
e) 	;	f) ;
g) 	;	h) .
Cho hàm số chứng minh : 
a) ;
b) .
Cho các hàm số : , . Chứng minh : .
a) Cho hàm số . Chứng minh : .
 b) Cho hàm số . Chứng minh : .
Giải phương trình biết : 
a) 	; b) ;
c) 	; d) .
Cho hàm số . Tìm để :
a) có hai nghiệm phân biệt ;
b) có thể viết được thành bình phương của nhị thức ;
c) ;
d) ;
e) .
Cho hàm số . Xác định để :
a) .
b) có hai nghiệm phân biệt cùng âm ;
c) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện : .
Cho hàm số . Xác định để hàm số có . 
Tìm các giá trị của tham số để hàm số: 
có trên một đoạn có độ dài bằng 1 .
Cho hàm số . Xác định để hàm số có có 3 nghiệm phân biệt . 
Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong
Phương pháp : 
Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến của đồ thị tại , có phương trình là : ( 1 ) .
Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc là thì ta gọi là tiếp điểm (1) 
Giải phương trình (1) tìm suy ra 
Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng : 
Chú ý : 
Hệ số góc của tiếp tuyến tại là Trong đó là góc giữa chiều dương của trục hoành và tiếp tuyến . 
Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau .
Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng .
Biết tiếp tuyến đi qua điểm : 
Viết phương trình tiếp tuyến của tại : 
Vì tiếp tuyến đi qua 
Giải phương trình(*) tìm thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến .
Các ví dụ minh họa :
Cho đường cong . Viết phương trình tiếp tuyến của trong các trường hợp sau :
a) Tại điểm ;
b) Tại điểm thuộc và có hoành độ ;
c) Tại giao điểm của với trục hoành . 
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm .
Cho đường cong 
a) Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ;
b) Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ;
c) Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng :
 một góc .
Cho hàm số . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. 
Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O. 
 	(Khối A – 2009) .
Cho hàm số . Tìm các điểm thuộc đồ thị mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị .
 	 	(Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, 1999)
Cho là đồ thị của hàm số . Chứng minh tiếp tuyến tại một điểm bất kì của cắt trục tung tại một điểm cách đều gốc tọa độ và tiếp điểm .
Bài tập áp dụng:
Cho hàm số . Viết phương trình tiếp với :
a) Tại điểm có hoành độ ;
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : ; 
c) Vuông góc với đường thẳng : ;
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm .
Cho hàm số : .
a) Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm ;
b) Vết phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của với trục hoành;
c) Viết phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của với trục tung ;
d) Viết phương trình tiếp tuyến của bết tiếp tuyến song song với đường thẳng ;
e) Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng .
Cho hàm số : 
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm . 
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị không đi qua .
Cho hàm số .Tìm phương trình tiếp tuyến với :
a) Tại điểm có hoành độ ; 
b) Song song với đường thẳng : . 
Cho hàm số , là tham số thực . 
 Tìm các giá trị của để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ đi qua điểm .
(Dự bị A1 - 2008)
Cho hàm số . Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm .
(Dự bị D1 - 2008)
Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng góc .
Cho hàm số . Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất.
Cho hàm số . Gọi . Tìm điểm sao cho tiếp tuyến của tại vuông góc với đường thẳng .
 	(Dự bị B2 - 2003)
(*) Cho hàm số . Tìm điểm , biết tiếp tuyến của tại cắt hai trục tọa độ tại và tam giác có diện tích bằng .
 	(Khối D - 2007)
(*) Cho hàm số : . Viết phương trình tiếp tuyến của sao cho và hai đường cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
(Dự bị D2 - 2007)
Cho hàm số . Chứng minh rằng qua điểm kẻ được hai tiếp tuyến với và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
(*) Cho hàm số . Qua điểm có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị . Viết phương trình các tiếp tuyến ấy .
(*) Cho hàm số . Gọi .Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của đi qua điểm .
(Dự bị B2 - 2005).
(*) Cho hàm số . Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị .
Tìm vi phân của hàm số và tính gần đúng nhờ vi phân
Phương pháp : 
Dựa theo định nghĩa và công thức sau :
Cho hàm số có đạo hàm thì tích được gọi là vi phân của hàm số . 
 Kí hiệu : hay 
Các ví dụ minh họa :
Tìm vi phân của các hàm số sau : 
a) 	 	; 	b) . 
Tìm vi phân của các hàm số sau : 
a) 	 	; 	b) . 
Tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả) : 
a) 	 	 	; 	b) 	;	c) . 
Bài tập áp dụng:
Tìm vi phân của các hàm số sau : 
a) 	;	b) ;
c) 	;	d) ;
e) 	;	f) .
Cho hàm số . 
Chứng minh đẳng thức : .
Tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả) : 
a) 	;	b) 	;	c) .
Đạo hàm cấp cao
Phương pháp : 
Dựa theo các định nghĩa sau : 
Đạo hàm cấp 2 : 
Đạo hàm cấp cao : .
Chú ý : 
Để tìm công thức tính đạo hàm cấp của một hàm số ta tìm đạo hàm cấp 1 , 2 , 3  sau đó dự đoán công thức tính đạo hàm cấp và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp .
Các ví dụ minh họa :
 Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau : 
a) . Tìm ; 	
b) . Tìm 	; 	c) . Tìm .
 Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra: 
a) 	; 	
b) .
 Chứng minh bằng quy nạp các công thức sau đúng : 
a) 	 	; 	b) ;
c) . 
 Tìm các đạo hàm cấp của các hàm số sau : 
a) 	 	; 	b) . 
 Tìm các đạo hàm cấp của các hàm số sau : 
a) 	 	; 	b) . 
Chú ý : Khi tìm đạo hàm cấp của một hàm số , nếu được ta hãy biến đổi hàm số đã cho thành tổng của các hàm số có một trong các dạng : rồi áp dụng các công thức ở ví dụ trên , dự đoán ra công thức đạo hàm cấp của hàm số đã cho và chứng minh lại bằng quy nạp (nếu cần) .
Bài tập áp dụng:
Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau : 
a) tìm 	;	b) tìm ;
c) tìm 	;	d) tìm .
Chứng minh các đẳng thức sau : 
a) nếu ;
b) nếu ;
c) nếu ;
d) nếu ;
e) nếu ;
f) nếu ;
g) nếu , .
Tìm đạo hàm cấp của các hàm số sau :
a) 	;	
b) 	;
c) ;	
d) 	;	
d) 	;	
e) ;
f) Cho . Chứng minh .