Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 11 - Chủ đề 3: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân

CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
Phương pháp quy nạp toán học
A. LÝ THUYẾT
	Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số nguyên dương là đúng với mọi mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
	- Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với .
	- Bước 2: Giả thiết rằng mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ (gọi là giả thiết quy nạp). Bằng kiến thức đã biết và giả thiết quy nạp, chứng minh rằng mệnh đề đó cũng đúng với .
B. CÁC BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH
Với mối số nguyên dương , đặt . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. .	B. .	
C. .	D. .
Đáp án C.
Lời giải
Cách 1: Chúng ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học rằng mọi , ta có đẳng thức 
	- Bước 1: Với thì vế trái bằng , vế phải bằng .
	Vậy đẳng thức đúng với .
-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với , tức là chứng minh
Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với , tức là chứng minh
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có
Mà 
Suy ra 
Do đó đẳng thức đúng với . Suy ra có điều phải chứng minh.
Vậy phương án đúng là C.
Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của n.
+ Với thì (loại được các phương án B và D);
+ Với thì (loại được phương án A).
Vậy phương án đúng là C.
STUDY TIP
	Ngoài kết quả nêu trong ví dụ 1, chúng ta có thể đề cập đến các kết quả tương tự như sau:
	1) 
	2) 
	3) 
	4) 
5) 
Nhận xét: Từ ví dụ 1 và các bài tập ở phần nhận xét, ta thấy bậc ở vế trái nhỏ hơn bậc ở vế phải là 1 đơn vị. Lưu ý điều này có thể tính được tổng dạng luỹ thừa dựa vào phương pháp hệ số bất định. Từ kết quả của ví dụ này, chúng ta hoàn toàn có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm sau đây:
Với mỗi số nguyên đặt Mệnh đề nào dưới đây là sai?
A. .	B. .
C. .	D. .
Với mỗi số nguyên dương ta có trong đó là các hằng số. Tính giá trị của biểu thức 
A. .	B. .	C. .	D. .
Tìm tất cả các số nguyên dương để .
A. .	B. .	C. .	D. .
Tính tổng của tất cả các số nguyên dương thoả mãn .
	A. .	B. .	C. .	D. .
Đặt (có dấu căn). Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề đúng?
	A. .	B. .	C. .	D. .
	Đáp án B.
Lời giải
	Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vậy:
Bước 1: Với thì vế trái bằng , còn vế phải bằng .
	Vậy đẳng thức đúng với .
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với , nghĩa là .
	Ta phải chứng minh đẳng thức cũng đúng với , tức là chứng minh .
	Thật vậy, vì nên theo giả thiết quy nạp ta có .
	Mặt khác, nên .
	Vậy phương án đúng là B.
STUDY TIP
Ngoài cách làm như trên, ta có thể làm theo cách sau: kiểm tra tính đúng – sai của từng phương án đến khi tìm được phương án đúng thông qua một số giá trị cụ thể của .
	+ Với thì (loại ngay được phương án A, C và D).
	Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ 2, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi dưới đây:
Đặt (có dấu căn). Tìm để .
	A. .	B. .	C. .	D. .
Cho dãy số xác định bởi và . Số hạng tổng quát của dãy số là:
	A. .	B. .	
	C. .	D. .
Đặt ,với .Mệnh đề nào dưới đây đúng?
	A..	B. .	C. .	D. .
Đáp án C. 
Lời giải
Cách 1: Rút gọn biểu thức dựa vào việc phân tích phần tử đại diện.
Với mọi số nguyên dương, ta có .
Do đó:.
Vậy phương án đúng là phương án C. 
Cách 2: Kiểm tra tính đúng – sai của phương án dựa vào một số giá trị cụ thể của n.
Với thì (chưa loại được phương án nào);
Với thì (loại ngay được các phương án A,B và	D. 
Vậy phương án đúng là phương án C. 
Nhận xét: Từ kết quả của ví dụ này,chúng ta hoàn toàn trả lời được các câu hỏi trắc nghiệm sau đây:
Với ,biết rằng . Trong đó là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức .
A. .	B. .	C. .	D. .
Với ,biết rằng . Trong đó là các số nguyên.Tính giá trị biểu thức .
A. .	B. .	C. .	D. .
Biết rằng ,trong đó và là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức .
A. .	B. .	C. .	D. .
Tính tổng S của tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn bất phương trình
A. .	B. .	C. .	D. .
Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho 
A. .	B. .	C. .	D. .
Đáp án D. 
Lời giải
Kiểm tra tính đúng – sai của bất đẳng thức với các trường hợp ta dự đoán được với Ta chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp quy nạp toán học. Thật vây:
-Bước 1: Với thì vế trái bằng còn vế phải bằng 
Do nên bất đẳng thức đúng với 
-Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với nghĩa là 
Ta phải chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với tức là phải chứng minh hay 
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 
Suy ra hay 
Mặt khác với mọi 
Do đó hay bất đẳng thức đúng với 
Suy ra bất đẳng thức được chứng minh.
Vậy phương án đúng là D.
STUDY TIP
Dựa vào kết quả ví dụ 4, ta có thể đề xuất bài toán sau:
Tìm số nguyên tố nhỏ nhất sao cho: 
A. .	B. .	C. .	D. .
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Tổng các góc trong của một đa giác lồi cạnh, , là:
A. .	B. .
C. .	D. .
Với , hãy rút gọn biểu thức . 
A. .	B. .	C. .	D. .
Kí hiệu . Với , đặt . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Với , đặt và . Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. .	B. .	C. .	D. .
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất để với mọi số nguyên .
A..	B. .	C. .	D. .
Tìm tất cả các giá trị của sao cho . 
A..	B. hoặc .	C.	D. hoặc .
Với mọi số nguyên dương , ta có: , trong đó là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức . 
A. .	B. .	C. .	D. .
Với mọi số nguyên dương , ta có: , trong đó là các số nguyên. Tính các giá trị của biểu thức . 
A. .	B. .	C. .	D. .
Biết rằng . Tính giá trị biểu thức .
A. .	B. .	C. .	D. .
Biết rằng mọi số nguyên dương , ta có và . Tính giá trị biểu thức .
A. .	B. .	C. .	D. .
Biết rằng , trong đó là số nguyên dương. Xét các mệnh đề sau:
, , và .
Số các mệnh đề đúng trong các mệnh đề nói trên là:
A..	B. .	C. .	D. .
Với , ta xét các mệnh đề chia hết cho ; chia hết cho và 
chia hết cho . Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là :
A..	B. .	C. .	D. .
Xét bài toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương bất đẳng thức ”. Một học sinh đã trình bày lời giải bài toán này bằng các bước như sau:
Bước 1: Với , ta có: và . Vậy đúng.
Bước 2 : Giả sử bất đẳng thức đúng với , tức là ta có . 
Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với , nghĩa là phải chứng minh .
Bước 3 : Ta có . Vậy với mọi số nguyên dương .
Chứng minh trên đúng hay sai, nếu sai thì sai từ bước nào ?
A. Đúng.	B. Sai từ bước 2.	C. Sai từ bước 1.	D. Sai từ bước 3.
Biết rằng , trong đó và là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức . 
là :
A..	B. .	C. .	D. .
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Đáp án B.
Cách 1: Từ tổng các góc trong tam giác bằng và tổng các góc trong từ giác bằng , chúng ta dự đoán được .
	Cách 2: Thử với những trường hợp đã biết để kiểm nghiệm tính đúng –sai từ các công thức. Cụ thể là với thì (loại luôn được các phương án A, C và D); với thì (kiểm nghiệm phương án B lần nữa). 
Đáp án A.
Để chọn được đúng, chúng ta có thể dựa vào một trong ba cách sau đây:
Cách 1: Kiểm tra tính đúng –sai của từng phương án với những giá trị của .
Với thì (loại ngay được phương án B và C); với thì (loại được phương án D).
Cách 2: Bằng cách tính trong các trường hợp ta dự đoán được công thức .
Cách 3: Ta tính dựa vào các tổng đã biết kết quả như và . Ta có: . 
Đáp án B.
Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của .
Với thì (Loại ngay được các phương án A, C, D).
Cách 2: Rút gọn dựa vào việc phân tích phần tử đại diện . Suy ra: .
Đáp án A.
Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:
Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của .
Với thì nên (loại ngay được các phương án B, C, D).
Cách 2: Chúng ta tính dựa vào những tổng đã biết kết quả. Cụ thể dựa vào ví dụ 1: . Suy ra . 
Đáp án B.
Dễ thấy thì bất đẳng thức là sai nên loại ngay phương án D.
Xét với ta thấy là bất đửng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng với mọi . Vậy là số nguyên dương nhỏ nhất cần tìm.
Đáp án D. 
Kiểm tra với ta thấy bất đẳng thức đúng nên loại ngay phương án A và C.
Kiểm tra với ta thấy bất đẳng thức đúng. Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ta chứng minh được rằng .
Đáp án B.
Cách 1: Với chú ý , chúng ta có: 
 =.
Đối chiếu với đẳng thức đã cho, ta có: .
Suy ra .
Cách 2: Cho ta được: .
Giải hệ phương trình trên ta được . Suy ra 
Đáp án C.
Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có: . Suy ra .
Đối chiếu với đẳng thức đã cho ta có: . Suy ra .
Cách 2: Cho ta được . Giải hệ phương trình trren ta được . Suy ra .
Đáp án B.
Cách 1: Sử dụng kết quả đã biết: . So sánh cách hệ số, ta được . 
Cách 2: Cho , ta được hệ 5 phương trình 5 ẩn . Giải hệ phương trình đó, ta tìm được . Suy ra .
Đáp án C.
Cách 1: Sử dụng các tổng lũy thừa bậc 1 và bậc 2 ta có:
+) .
Suy ra .
+) 
Suy ra .
Do đó .
Cách 2: Cho và sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta cũng tìm được ; .
Do đó .
Đáp án D.
Bằng các kết quả đã biết ở ví dụ 1, chúng ta thấy ngay được chỉ có là sai.
Đáp án A. 
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng chia hết cho 6.
Thật vậy: Với thì .
Giả sử mệnh đề đúng với , nghĩa là chia hết ccho 6.
Ta chứng minh mệnh đề đúng với , nghĩa là phỉa chứng minh chia hết cho 6.
Ta có: .
Theo giả thiết quy nạp thì chia hết cho 6 nên cũng chia hết cho 6.
Vậy chia hết cho 6 với mọi . Do đó các mệnh đề và cũng đúng.
Đáp án A. 
Đáp án C. 
Phân tích phần tử đại diện, ta có: .
Suy ra: 
=.
Đối chiếu với hệ số, ta được: .
Suy ra: .
DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: 
Một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số)
	Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển trong đó hoặc viết tắt là . 
	Số hạng được gọi là số hạng đầu, là số hạng tổng quát (số hạng thứ ) của dãy số.
2. Các cách cho một dãy số: 
	Người ta thường cho một dãy số bằng một trong các cách dưới đây: 
	- Cách 1: Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát.
Cho dãy số với .
	Dãy số cho bằng cách này có ưu điểm là chúng ta có thể xác định được ngay số hạng bất kỳ của dãy số. Chẳng hạn, .
	- Cách 2: Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi.
Cho dãy số xác định bởi và .
Cho dãy số xác định bởi .
Với cách này, ta có thể xác định được ngay mối liên hệ giữa các số hạng hoặc nhóm các số hạng của dãy số thông qua hệ thức truy hồi. Tuy nhiên, để tính được các số hạng bất kỳ của dãy số thì chúng ta cần phải tích được các số hạng trước đó hoặc phải tìm được công thức tính số hạng tổng quát của dãy số.
- Cách 3: Cho dãy số bằng phương pháp mô tả hoặc diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hẩng dãy số.
Cho dãy số gồm các số nguyên tố.
Cho tam giác đều có cạnh bằng 4. Trên cạnh , ta lấy điểm sao cho . Gọi là hình chiếu của trên , là hình chiếu của trên , là hình chiếu của trên , là hình chiếu của trên , và cứ tiếp tục như thế, Xét dãy số với .
3. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng:
Dãy số được gọi là dãy số tăng nếu ta có với mọi .
Dãy số được gọi là dãy số giảm nếu ta có với mọi .
Dãy số được gọi là dãy số hằng (hoặc dãy số không đổi) nếu ta có với mọi 
.
a) Cho dãy số với là một dãy số tăng.
Chứng minh: Ta có .
Suy ra hay . 
Vậy là một dãy số tăng.
b) Dãy số với là một dãy số giảm.
Chứng minh: 
Cách 1: Ta  ... 5 năm, khu rừng đó sẽ có:
 mét khối gỗ.
Vậy phương án đúng là D.
Bài toán “Lãi kép”
Một người gửi số tiền triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất /năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Giả sử trong khoảng thời gian gửi người gửi không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi, hỏi sau năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được gần với số tiền nào trong các số tiền dưới đây?
A. đồng.	B. đồng.	C. đồng.	D. đồng.
Lời giải
Đặt (đồng) và 
Gọi là số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được sau năm.
Theo giả thiết, ta có 
Do đó dãy số là cấp số nhân với số hạng đầu và công bội Suy ra 
Vì vậy, sau năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được là 
Vậy phương án đúng là A.
Một người gửi ngân hàng triệu đồng theo thể thức lãi kép, lãi suất một tháng (kể từ tháng thứ , tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng tiền lãi tháng trước đó và tiền gốc của tháng trước đó). Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có triệu đồng?
A. tháng.	B. tháng.	C. tháng.	D. tháng.
Lời giải
Theo ví dụ , thì sau tháng gửi tiết kiệm, ta có
 trong đó 
Do đó 
Cách 1: Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
+ Phương án A: (đồng).
+ Phương án B: (đồng).
+ Phương án C: (đồng).
Vậy, phương án đúng là B. (Không cần kiểm tra phương án D vì ở phương án D, số tháng ít hơn ở phương án C nên số tiền sẽ ít hơn nữa).
Cách 2: Theo giả thiết, ta có (đồng).
Do đó, ta có 
Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được hay 
Do đó Vậy phương án đúng là B.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số nhân.
Dãy số nào dưới đây không là cấp số nhân?
A. 	B. 
C. 	D. 
Trong các dãy số được cho dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân?
A. Dãy số với 	B. Dãy số với 	
C. Dãy số với 	D. Dãy số với 
Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân.
A. 	B. 	C. 	D. 
Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công bội của cấp số nhân.
Cho dãy số xác định bởi và Tìm số hạng tổng quát của dãy số.
A. 	B. 	C. 	D. 
Cho cấp số nhân có và Tính số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.
A. hoặc 	B. hoặc 
C. hoặc 	D. hoặc 
Cho cấp số nhân có và Tìm số hạng thứ mười của cấp số nhân đó.
A. 	B. 	C. 	D. 
Cho cấp số nhân Tìm và 
A. hoặc 	B. hoặc 
C. hoặc 	D. hoặc 
Cho cấp số nhân có và tìm và 
A. và 	B. và 
C. và 	D. và 
Cho cấp số nhân có và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ bảy của cấp số nhân đó.
A. 	B. 	C. 	D. 
Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc nhỏ nhất bằng số đo của góc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo của các góc trong tứ giác đó.
A. 	B. 	C. 	D. 
Cho cấp số nhân có Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.
A. 	B. 	C. 	D. 
Cho cấp số nhân có và Tính giá trị của biểu thức 
A. 	B. 	C. 	D. 
Dạng 3: Bài tập về tổng số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Cho cấp số nhân có và Tìm 
A. hoặc 	B. hoặc 	
C. hoặc 	D. hoặc 
Cho cấp số nhân có và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Cho cấp số nhân có công bội dương và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Cho cấp số nhân có . Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân.
Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: 
A. 	B. 	C. 	D. 
Biết rằng tồn tại hai giá trị và để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: Tính giá trị của biểu thức 
A. 	B. 	C. 	D. 
Một của hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng). Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tục tăng giá mặt hàng đó lên Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai làn tăng giá là bao nhiêu?
A. 	B. 	C. 	D. 
Một người đem 100 triệu đồng đi gửi tiết kiệm với kỳ han 6 tháng, mỗi tháng lãi suất là số tiền mà người đó có. Hỏi sau khi hết kỳ hạn, người đó được lĩnh về bao nhiêu tiền?
A. (đồng)	B. (đồng)	
C. (đồng)	D. (đồng)
Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2 triệu người. Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh M sẽ là bao nhiêu?
A. nghìn người.	B. nghìn người.	
C. nghìn người.	D. nghìn người.
Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại nhân đôi một lần. Nếu lúc đầu có tế bào thì sau 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
A. tế bào.	B. tế bào.	C. tế bào.	D. tế bào.
Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng theo cách: Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích đế tháp là tính diện tích mặt trên cùng.
A. 	B. 	C. 	D. 
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng.
Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là sai?
A. Dãy số , với và vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.
B. Dãy số , với và vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.	
C. Dãy số , với và vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.	
D. Dãy số , với và vừa là cấp số cộng vừa là cấp số nhân.
Các số theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời, các số theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm và 
A. hoặc 	B. hoặc 	
C. hoặc 	D. hoặc 
Ba số lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21. Nếu lần lượt thêm các số vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng) thì được ba số lập thành một cấp số nhân. Tính 
A. hoặc 	B. hoặc 	
C. hoặc 	D. hoặc 
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Dạng 1: Bài tập về nhận dạng cấp số nhân.
Đáp án 
Các dãy số trong các phương án và đảm bảo về dấu còn dãy số trong phương án thì 3 số hạng đầu âm còn số hạng thứ tư là dương nên dãy số trong phương án không phải là cấp số nhân.
Đáp án 
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
+ Phương án Ba số hạng đầu của dãy số là không lập thành cấp số nhân nên dãy số không phải là cấp số nhân.
+ Phương án Ba số hạng đầu của dãy số là không lập thành cấp số nhân nên dãy số không phải là cấp số nhân.
+ Phương án Ta có nên dãy số là một cấp số nhân.
+ Phương án Ba số hạng đầu của dãy số là không lập thành cấp số nhân nên dãy số không phải là cấp số nhân.
Đáp án 
Các kiểm tra như câu 2.
Dạng 2: Bài tập về xác định số hạng và công bội của cấp số nhân.
Đáp án 
Ta có: nên là cấp số nhân có công bội Suy ra số hạng tổng quát là 
Vậy phương án đúng là 
Đáp án 
Ta có hoặc 
Do đó là phương án đúng.
Đáp án 
Ta có: hoặc 
Với thì 
Với thì 
Vậy Suy ra là phương án đúng.
Đáp án 
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có:
Cũng theo tính chất của cấp số nhân, ta có:
Với thì với thì 
Vậy phương án đúng là 
Đáp án 
Ta có: nên theo giả thiế, ta có:
Suy ra Vậy đáp án là 
Đáp án 
Gọi là công bội của cấp số nhân .
Ta có 
Dấu bằng xảy ra khi 
Suy ra 
Vậy phương án đúng là 
Đáp án 
Cách 1: Kiểm tra các dãy số trong mỗi phương án có thỏa mãn yêu cầu của bài toán không.
+ Phương án Các góc không lập thành cấp số nhân vì
+ Phương án Các góc lập thành cấp số nhân và Hơn nữa, nên là phương án đúng.
+ Phương án và Kiểm tra như phương án 
Cách 2: Gọi các góc của tứ giác là trong đó 
Theo giả thiết, ta có nên 
Suy ra các góc của tứ giác là 
Vì tổng các góc trong tứ giác bằng nên ta có:
Do đó, phương án đúng là (vì trong ba phương án còn lại không có phương án nào có góc ).
Đáp án 
Ta có 
Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được 
Lại có 
Vì nên 
Vậy phương án đúng là 
Đáp án 
Ta có (do ).
Do nên 
Suy ra 
Vậy phương án đúng là 
Dạng 3: Bài tập về tổng số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
Đáp án 
Ta có 
Vì nên Do đó 
 hoặc 
+ Với thì 
Suy ra 
+ Với thì 
Suy ra 
Vậy phương án đúng là 
Đáp án 
Gọi là công bội của cấp số nhân. Khi đó 
Dấu bằng xảy ra khi 
Suy ra: 
Vậy phương án đúng là 
Đáp án 
Gọi là công bội của cấp số nhân, 
Ta có 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Suy ra đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi 
Ta có 
Do đó Vậy phương án đúng là 
Đáp án 
Ta có 
Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được Lại có 
Vì nên Suy ra 
Vậy phương án đúng là 
Dạng 4: Bài tập liên quan đến cấp số nhân 
Đáp án 
Cách 1: Ta có 
Điều kiện cần để phương trình đã choc ó ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là là nghiệm của phương trình.
Thay vào phương trình đã cho, ta được
Với ta có phương trình 
Ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân nên là giá trị cần tìm. Vậy, là phương án đúng.
Cách 2: Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng.
Đáp án 
Ta có 
Điều kiện cần để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân là phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Vì giả thiết cho biết tồn tại đúng hai giá trị của tham số nên và là các giá trị thỏa mãn 
Suy ra 
Vậy phương án đúng là 
Đáp án 
Sau lần tăng giá thứ nhất thì giá của mặt hàng là:
Sau lần tăng giá thứ hai thì giá của mặt hàng là:
Suy ra phương án đúng là 
Suy ra phương án đúng là B.
Đáp án D.
Số tiền ban đầu là (đồng).
Đặt .
Số tiền sau tháng thứ nhất là .
Số tiền sau tháng thứ hai là .
Lập luận tương tự, ta có số tiền sau tháng thứ sáu là .
Do đó .
Đáp án C.
Đặt và .
Gọi là số dân của tỉnh sau năm nữa.
Ta có: .
Suy ra là một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội .
Do đó số dân của tỉnh sau năm nữa là: .
Đáp án C.
Lúc đầu có tế bào và mỗi lần phân chia thì một tế bào tách thành hai tế bào nên ta có cấp số nhân với và công bội .
Do cứ phút phân đôi một lần nên sau giờ sẽ có lần phân chia tế bào. Ta có là số tế bào nhận được sau giờ. Vậy, số tế bào nhận được sau giờ là . 
Đáp án A.
Gọi là diện tích đế tháp và là diện tích bề mặt trên của tầng thứ , với . Theo giả thiết, ta có .
Dãy số lập thành cấp số nhân với số hạng đầu và công bội .
Diện tích mặt trên cùng của tháp là .
Dạng 5: Bài tập liên quan đến cả cấp số nhân và cấp số cộng.
Đáp án D.
Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án sai.
+ Phương án A:Ta có Bằng phương pháp quy nạp toán học chúng ra chứng minh được rằng . Do đó là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng ) vừa là cấp số nhân (công bội bằng ).
+ Phương án B: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được . Do đó là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng ) vừa là cấp số nhân (công bội bằng ).
+ Phương án C: Tương tự như phương án A, chúng ta chỉ ra được . Do đó là dãy số không đổi. Suy ra nó vừa là cấp số cộng (công sai bằng ) vừa là cấp số nhân (công bội bằng ).
+ Phương án D: Ta có: . Ba số hạng này không lập thành cấp số cộng cũng không lập thành cấp số nhân nên dãy số không phải là cấp số cộng và cũng không là cấp số nhân .
Đáp án A.
+ Ba số lập thành cấp số cộng nên .
+ Ba số lập thành cấp số nhân nên .
Thay vào ta được hoặc .
Với thì ; với thì .
Đáp án C.
Theo tính chất của cấp số cộng , ta có .
Kết hợp với giả thiết , ta suy ra .
Gọi là công sai của cấp số cộng thì và .
Sau khi thêm các số vào ba số ta được ba số là hay .
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có . 
Giải phương trình ta được hoặc .
Với , cấp số cộng . Lúc này .
Với , cấp số cộng . Lúc này .