Chuyên đề Toán sơ cấp - Giải tích tổ hợp

 ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH TIỀN GIANG 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG 
KHOA SƯ PHẠM 

 
CHUYÊN 	 TOÁN S CP 
GII TÍCH T HP 
 Giáo viên HD : Võ Hoài Nhân Trung 
SVTH : Nguy(n H)ng i*p 
MSSV : 106121009 
Thaùng 5, naêm 2010 
MuhoanangC LuhoanangC 
PHN I : C BN ...................................................................................... 1 
 A. Lý thuyt : ................................................................................... 1 
 I. Hai qui tc c bn : ................................................................... 1 
 1. Qui tc c"ng : .......................................................................... 1 
 2. Qui tc nhân : ......................................................................... 2 
 II. Hoán v) : .................................................................................... 3 
 III. Ch+nh h,p : ............................................................................. 4 
 IV. T1 h,p : .................................................................................... 5 
 V. Các chú ý khi gii bài t6p :........................................................ 6 
 VI. M"t s9 sai l;m thucth>ng mc phi trong khi gii toán : .......... 8 
 B. Các dBng bài t6p thucth>ng gCp .................................................. 13 
 I. VDn EF 1 : Bài toán Em s9 ...................................................... 13 
 1. DBng 1 : Bài toán Em s9 c bn : ....................................... 13 
 2. DBng 2 : Bài toán Em ph9i h,p EiFu kiHn nâng cao (Em 
 có l6p, các bài toán vF chia ht, tìm tDt c các ucthMc s9 ).......... . 18 
 3. DBng 3 : Tính t1ng trong bài toán Em.............................. . 25 
 II. VDn EF 2 : Bài toán sp xp .................................................... 27 
 III. VDn EF 3 : Bài toán vF t6p h,p .............................................. 30 
 IV. VDn EF 4 : Bài toán hình hTc ................................................. 32 
 V. VDn EF 5 : Bài t6p áp duthnangng công thucthsacc .................................... 35 
 1. DBng 1 : Xn gin biYu thucthsacc, rút gTn, gii phucthng trình, 
bDt phucthng trình .......................................................................... 35 
 2. DBng 2 : Chucthsacng minh các hH thucthsacc t1 h,p ........................... 40 
 3. DBng 3 : Tìm giá tr) lMn nhDt, nhZ nhDt ............................... 45 
 VI. Bài t6p t1ng h,p .................................................................... 47 
PHN II : NÂNG CAO..................................................................... 48 
 I. Ch+nh h,p l6p ........................................................................... 48 
 II. Hoán v) lCp ( t1 h,p phucthsacc ) ...................................................... 49 
 III. T1 h,p lCp................................................................................ 49 
 IV. Nguyên lí bù tructhhuyen ...................................................................... 51 
 IV. Bài t6p t1ng h,p ...................................................................... 52 
CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP 
 SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Trang 1 
PHẦN I : CƠ BẢN 
A. LÝ THUYẾT : 
 I. HAI QUI TẮC CƠ BẢN : 
 1. Qui tắc cộng : 
 - Một công việc nào đó có thể thực hiện theo một trong hai phương 
án A hoặc B. Nếu phương án A có m cách thực hiện , phương án B có n 
cách thực hiện và không trùng với bất kì cách nào trong phương án A thì 
công việc đó có m + n cách thực hiện. 
- Tổng quát : 
Một công việc có thể tiến hành theo một trong k phương án 
1 2 3, , ...., kA A A A . Phương án 1A có thể thực hiện theo 1n cách, phương án 2A có 
thể thực hiện theo 2n cách,, phương án kA có thể thực hiện theo kn cách. 
Các phương án ở các cách không trùng nhau. 
Khi đó công việc có thể thực hiện theo : 1 2 3 ... kn n n n    cách. 
Ví dụ : Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường 
thủy. Cần chọn một đường để đi từ A đến B. Hỏi có mấy cách chọn ? 
Giải 
 Để đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 2 phương án : đường bộ 
hoặc đường thủy 
 Đường bộ : 3 đường có 3 cách chọn. 
 Đường thủy : 2 đường có 2 cách chọn. 
Và 2 phương án này độc lập với nhau. Vậy theo qui tắc cộng ta có tất cả: 
3 + 2 = 5 cách chọn. 
 Ví dụ : Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia, 5 loại nước ngọt. 
Một thực khách cần chọn đúng một loại thức uống. Hỏi có bao nhiêu cách 
chọn ? 
Giải 
 Thực khách có 3 phương án chọn : 
 Hoặc chọn rượu : 3 cách chọn 
 Hoặc chọn bia : 4 cách chọn 
 Hoặc chọn nước ngọt : 5 cách chọn 
 Theo qui tắc cộng thực khách có tất cả : 3 + 4 + 5 = 9 cách chọn 1 loại 
thức uống. 
CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP 
 SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Trang 2
2. Qui tắc nhân : 
- Một công việc nào đó có thể bao gồm 2 công đoạn A và B. Nếu công 
đoạn A có m cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện 
công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thự hiện. 
- Tổng quát : 
Một công việc nào đó có thể bao gồm k công đoạn 1 2 3, , ...., kA A A A .. 
Nếu công đoạn 1A có 1n cách thực hiện và ứng với mỗi cách trong công 
đoạn 1A có 2n cách thực hiện công đoạn 2A , ứng với mỗi cách trong công 
đoạn 2A có 3n cách thực hiện công đoạn 3A ,, ứng với mỗi cách trong 
công đoạn 1kA  có n k cách thực hiện công đoạn kA . 
Khi đó công việc có thể thực hiện theo : 1 2 3. . ... kn n n n cách. 
Ví dụ : Từ Hà Nội đến Huế có 3 cách đi : máy bay, ô tô, tàu hỏa. Từ 
Huế đến Sài Gòn có 4 cách đi: máy bay, ô tô, tàu hỏa, tàu thủy. Hỏi có bao 
nhiêu cách đi Hà Nội – Huế - Sài Gòn ? 
Giải 
 Ta có thể xem việc đi Hà Nội – Huế - Sài Gòn như một công việc tiến 
hành theo 2 giai đoạn liên tiếp nhau : 
 Giai đoạn 1 : đi từ Hà Nội đến Huế : có 3 cách đi. 
 Giai đoạn 2 : từ Huế đến Sài Gòn : ứng với mỗi cách đi ở giai đoạn 1 ta 
đều có 4 cách để hoàn thành giai đoạn 2. 
 Vậy theo nguyên lí nhân có tất cả :3.4 12 cách đi Hà Nội – Huế - Sài 
Gòn. 
Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau có thể được 
tạo thành từ các chữ số 5, 6, 7, 8, 9 ? 
Giải 
 Số cần lập có dạng : 1 2 3 1, ( 0)a a a a  , để lập được số như thế ta thực hiện 
các giai đoạn sau : 
 Chọn 1a : có 4 cách chọn. 
 Chọn 2a : với mỗi cách chọn 1a có 3 cách chọn  1 2a a 
 Chọn 3a : với mỗi cách chọn 2a có 2 cách chọn  1 2 3a a a  
 Vậy theo nguyên tác nhân có tất cả : 4.3.2 24 số thỏa yêu cầu bài toán. 
CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP 
 SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Trang 3 
 II. HOÁN VỊ : 
- Định nghĩa : Cho tập A gồm n phần tử  1n  . Mỗi kết quả của sự 
sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần 
tử đó. 
- Nhận xét : Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp 
xếp. Chẳng hạn hai hoán vị abc và acb của 3 phần tử a, b, c là khác nhau. 
- Số các hoán vị : Kí hiệu nP là số các hoán vị của n phần tử : 
 . -1 ....2.1 !nP n n n  
Thật vậy để có một hoán vị ta có thể chọn phần tử đứng đầu theo n 
cách, sau đó ta chọn phần tử thứ 2 theo (n-1) cách,, chọn phần tử n theo 
1 cách duy nhất. Do đó ta có tổng số hoán vị là : n.(n-1)2.1 
- Qui ước : 0! 1 . 
Ví dụ : Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 bạn A, B, C ngồi vào một bàn 
dài có 3 chỗ ngồi ? 
Giải 
 Cần sắp xếp 3 bạn vào 3 chỗ vậy mỗi cách sắp là hoán vị của 3 phần tử, 
có tất cả 3 1.2.3 3! 6P    cách sắp. 
 Các hoán vị đó là : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. 
Ví dụ : Có bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các số 
2, 6, 7, 9 ? 
Giải 
 Mỗi số được thành lập là một hoán vị của 4 phần tử. Vậy ta có tất cả là : 
4 4! 24P   (số). 
 - Hoán vị vòng : Cho tập A gồm n phần tử  1n  . Mỗi kết quả 
của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A theo một vòng kép kín được 
gọi là một hoán vị vòng của n phần tử đó. 
 - Số hoán vị vòng của n phần tử là : 
 1 -1 ! nP n . 
 Ví dụ : Có bao nhiêu cách sắp xếp n đại biểu ngồi quanh một bàn 
tròn ? 
Giải 
 Vị trí tương đối giữa các đại biểu hoàn toàn không đổi nếu ta hoán vị 
vòng họ theo một chiều nhất định ( chẳng hạn n hoán vị ABCKL, 
BCALA, CDLAB là như nhau ) nghĩa là trong các hoán vị vòng không 
có phần tử nào là cuối cùng hoặc phần tử thứ nhất. Vậy số cách sắp xếp là : 
CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP 
 SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Trang 4 
  -1
!
-1 ! n
n
n P
n
  . 
 Ví dụ : Có bao nhiêu đa giác nhận n điểm A, B, , L làm đỉnh ? 
Giải 
 Ta có thể hoán vị vòng các đỉnh theo cả hai chiều theo 2n cách khác 
nhau mà đa giác vẫn không thay đổi nên số đa giác là : 
 -1 -1 !
2 2
n
nP
 . 
 III. CHỈNH HỢP : 
- Định nghĩa : Cho tập A gồm n phần tử  1n  . Kết quả của việc lấy 
k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo thứ 
tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. 
- Số các chỉnh hợp : Kí hiệu Akn là số chỉnh hợp chập k của n phần tử 
 1 k n  
   
 
!
. -1 ... - 1
- !
k
n
n
A n n n k
n k
   
Thật vậy để lập một chỉnh hợp chập k của n phần tử ta chọn phần tử 
đứng đầu theo n cách, sau đó chọn phần tử thứ hai theo ( n - 1) cách,, 
phần tử thứ k theo n - ( k-1) cách. Do đó ta có tổng số chỉnh hợp chập k 
của n phần tử là    . -1 ... - 1n n n k  . 
- Chú ý : Mỗi hoán vị n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n 
của n phần tử đó. Vì vậy : 
n
n nP A 
Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các 
chữ số 1, 2,  9 ? 
Giải 
Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy 5 chữ 
số khác nhau từ chín chữ số đã cho và xếp theo một thứ tự nhất định. Mỗi 
số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 5 của 9. 
Vậy số các số đó là : 59 120A  . 
CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP 
 SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Trang 5 
 IV. TỔ HỢP : 
- Định nghĩa : Cho tập A có n phần tử  1n  . Mỗi tập con gồm k 
phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. 
- Chú ý : Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 k n  .Tuy 
vậy tập hợp không có phần từ nào là tập rỗng nên ta qui ước gọi tổ hợp 
chập 0 của n phần tử là tập rỗng. 
- Số các tổ hợp : Kí hiệu knC là số các tổ hợp chập k của n phần tử 
 0 k n  , ta có : 
 
!
! - !
k
n
n
C
k n k
 
Để tính tổng số tổ hợp ta lập luận như sau : Giả sử từ n phần tử đã 
cho ta tạo nên knC chỉnh hợp. Đem mỗi tổ hợp chập k này hoàn vị theo mọi 
cách sẽ có k! chỉnh hợp chập k. Do đó toàn bộ knC tổ hợp chập k của n phần 
tử sẽ ứng với k! knC chỉnh hợp chập k. Do đó : 
! k kn nk C A 
- Tính chất của các số knC : 
 
 11 1
, 0
, 1 .
k n k
n n
k k k
n n n
C C k n
C C C k n


 
  
   
Ví dụ : Cho tập  1,2,3,4,5A  . Có bao nhiêu tổ hợp chập 3 của 5 
phần tử của A ? Liệt kê chúng. 
Giải 
 Có tất cả 
 
3
5
5!
10
3! 5 3 !
C  

 tổ hợp chập 3 của 5 phần tử của A. 
 Các tổ hợp đó là : 
                   1,2,3 ; 1,2,4 ; 1,2,5 ; 2,3,4 ; 2,3,5 ; 3,4,5 ; 1,3,4 , 1,3,5 ; 2,3,4 , 1,4,5 . 
Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm 6 nam ... o cho tổng p + q = a với a là một số tự 
nhiên đã biết. Hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của p!.q! ? 
Giải 
 Đặt m = p!.q!, vì m có tính đối xứng đối với p, q nên ta có thể giả sử p q 
2p p + q = a  . 
  Nếu a chẵn ta có : p
2
a
 
CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP 
 SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Trang 46
 Nếu a lẻ ta có : 
a -1
p
2
 
 Do đó : 
 p + q ! a!
C C =
p!q! p!q!
a!
p!q!
C
a!
m
C
p p
p q a
p
a
p
a
  
 
 
 Vì a không đổi nên : 
 m nhỏ nhất paC lớn nhất khi : 
 a)
2
a
p q  nếu a chẵn. Do đó giá trị nhỏ nhất của m là 
2
!
2
a  
  
  
 b)
-1 1
;
2 2
a a
p q

  nếu a lẻ. Do đó giá trị nhỏ nhất của m là 
-1 1
! !
2 2
a a    
   
   
  m lớn nhất paC nhỏ nhất khi 
11 pq ap C C a    . Do đó giá trị nhỏ 
lớn nhất của m là  
!
-1 !
a
a
a
 
CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP 
 SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Trang 47
VI. BÀI TẬP TỔNG HỢP : 
1. Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 3 
chữ số khác nhau không chia hết cho 3 ? 
 Đáp số : 60 số 
2. Người ta lập tất cả tích của 2 số nguyên từ 1 đến 100. Hỏi có bao 
nhiêu tích là bội của 3? 
Đáp số : 2739 
3. Trong 3 lần chọn ngẫu nhiên 3 chữ số thì có mấy trường hợp : 
 a.Có 2 lần lặp lại 
 b.Có 1 lần lặp lại 
 Đáp số : 270, 720 
4. Với các chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lặp được bao nhiêu số mỗi số 
gồm 4 chữ số khác nhau. Trong đó có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số chia 
hết cho 3 ? 
 Đáp số : 42 số, 18 số. 
5. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số biết rằng chữ số 2 có mặt 
đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không 
quá 1 lần ? 
 Đáp số : 11340 số . 
6. Trong buổi họp mặt có 5 nam sinh và 5 nữ sinh. Có bao nhiêu 
cách sắp xếp xung quanh bàn tròn sao cho không có 2 nam sinh, 2 nữ sinh 
ngồi cạnh nhau ? 
 Đáp số : 2.5!.5! cách. 
7. Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số được viết duy nhất bởi ba 
chữ số 1, 2, 3 trong đó chữ số 2 xuất hiện 2 lần ? 
Đáp số :
2 5
7 .2
2
C
8. Giải phương trình : 4 5 6 13n n nC C C   . 
Đáp số : n =6 
9. Giải bất phương trình : 2 4 6 2 2003... 2 1nx x x xC C C C      . 
Đáp số : 1002x  
10. Đặt 
2 2 2
2 3
1 1 1
T ...
A A An
    . Rút gọn T, chứng minh T < 1. 
Đáp số : 
1
T 1
n
  
 11. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số đều lớn hơn 4 và đôi 1 
khác nhau. Tính tổng của chúng ? 
Đáp số : 9333240. 
12. Tìm miền giá trị các hàm số : 
 a.   7 3
x
xf x A

 b.  
2 8
3
x
xf x C

 Đáp số : a.  1,2,3 ; b.  1,9,15,28,35 
CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP 
 SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Trang 48
PHẦN II : NÂNG CAO 
I. CHỈNH HỢP LẶP : 
Trong định nghĩa chỉnh hợp mỗi phần tử chỉ xuất hiện không quá 
một lần nếu ta bỏ đi hạn chế ấy thì ta có khái niệm chỉnh hợp lập. 
 1. Định nghĩa : 
 Chỉnh hợp lập chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k 
phần tử đã cho, trong đó đó mỗi phần tử có thể có mặt 1, 2, 3, , k lần 
trong nhóm tạo thành. 
Ví dụ : abcd, aabe, adbc,  là các chỉnh hợp chập 4 có lặp của n 
mẫu tự a, b, c, d, l 
 2. Số các chỉnh lặp chập p của n phần tử : 
- Kí hiệu k
n
A là số chỉnh lặp chập p của n phần tử : 
. ....k k
n
k
A n n n n  
- Để có được công thức knA ta lập luận như sau : 
 Chọn phần tử thứ nhất : có n cách chọn 
 Chọn phần tử thứ hai : có n cách chọn 
 . 
 Chọn phần tử thứ k : có n cách chọn 
 Vậy ta có tất cả : . .... k
k
n n n n . 
Ví dụ : Một người muốn mời một trong số n bạn đến chung vui. Hỏi 
có bao nhiêu cách lựa chọn? 
Giải 
 Với mỗi bạn người đó có 2 cách lựa chọn : mời hoặc không mời 
 Kết quả người đó có 2n cách lựa chọn ( kể cả không mời người nào ). 
Ví dụ : Chúng ta muốn thiết lập ít nhất 18000 từ khóa khác nhau chỉ 
dùng 26 chữ cái tiếng Anh. Các từ khóa có chiều dài càng ngắn càng tố. Hỏi 
chúng ta cần dùng từ khóa có chiều dài nhất là bao nhiêu là đủ số lượng 
theo yêu cầu ? 
Giải 
 Ta thấy rằng tổng số các từ có chiều dài n là số các chỉnh hợp lặp của 26 
chữ cái, nghĩa là có 26n chữ cái khác nhau có chiều dài n. Do 
1 2 326 26 26 18278   
nên chúng ta chỉ cần từ khóa có chiều dài không quá 3 là đủ số lượng theo 
yêu cầu. 
CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP 
 SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Trang 49
II.HOÁN VỊ LẶP (TỔ HỢP PHỨC ) : 
- Tổng số cách để phân phối n đối tượng phân biệt vào k hộp 
1 2, ,..., kH H H sao cho 1r đối tượng phân biệt vào trong hộp 1H , 2r đối tượng 
phân biệt vào trong hộp 2H ,, kr đối tượng phân biệt vào trong hộp kH là : 
1 2 1 2
!
, ,..., ! !... !k k
n n
r r r r r r
 
 
 
trong đó 1 2 ... kn r r r    
- Để có được sự phân phối đó ta tiến hành k bước như sau : 
 Thứ nhất chọn 1r đối tượng vào hộp 1H : có 
1r
nC cách. 
 Thứ hai chọn 2r đối tượng trong số 1n r đối tượng vào hộp 2H : có 
2
1
r
n rC  cách. 
 . 
 Cuối cùng còn kr đối tượng vào hộp kH : có 
k
k
r
rC cách. 
 Theo nguyên lí nhân tổng số cách phân phối là : 
1 2
1
1 2 1 2
!
. ...
, ,..., ! !... !
k
k
rr r
n n r r
k k
n n
C C C
r r r r r r

 
  
 
. 
Ví dụ : Với các mẫu tự của chữ LAP LAI có thể tạo ra bao nhiêu chữ 
khác nhau ( không cần có nghĩa ) ? 
Giải 
 Mỗi chữ là một hoán vị của 6 mẫu tự gồm 2 mẫu tự L, 2 mẫu tự A, 1 mẫu 
tự B và 1 mẫu tự I. 
 Vậy có tất cả : 
6 6!
180
2,2,1,1 2!2!1!1!
 
  
 
chữ 
Ví dụ : Để chia 17 người thành bốn nhóm : nhóm 5 người, nhóm 2 
người, nhóm 7 người, nhóm 3 người ta có tất cả : 
17 17!
49008960
5,2,7,3 5!2!7!3!
 
  
 
 ( cách ). 
III.TỔ HỢP LẶP : 
 1. Định nghĩa : Cho tập hợp A có n phần tử, một tổ hợp chập k có lặp lại 
gọi là tổ hợp lặp của n phần tử đó là một nhóm không kể thứ tự gồm k vật 
trong đó mỗi vật có thể lặp lại nhiều lần. 
Ví dụ : abcd, aabc, aaaa, là các tổ hợp chập 4 có lặp lại của tập 
gồm n phần tử a, b, c, d,,l. 
 2. Định lí : Có tất cả 1
k
n kC   tổ hợp lập chập k của n phần tử. 
CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP 
 SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Trang 50
Trong một số bài toán đếm chúng ta thường gặp hoặc đưa về dạng : 
"Có bao nhiêu cách phân phối r vật giống nhau vào n hộp phân biệt". Áp 
dụng định lí trên ta có tất cả : 1
r
n rC   cách. 
Ví dụ : Có bao nhiêu nghiệm tự nhiên của phương trình 
1 2 3 4 5 17x x x x x     
Giải 
 Để đếm số nghiệm tự nhiên của phương trình chúng ta xem sự phân 
phối của 17 vật giống nhau vào 5 hộp được dán nhãn 1 2 3 4 5, , , ,r r r r r . Số vật 
trong hộp ir thể hiện giá trị của ir . Khi đó chúng ta thấy rằng mỗi sự phân 
phối tương ứng 1-1 với nghiệm tự nhiên của phương trình đã cho. Như vậy 
phương trình có : 
17 17
5 17 1 21 5985C C    nghiệm tự nhiên. 
* Vài dạng khác của bài toán trên : 
 1. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương  1, 1,5ix i  của phương trình 
1 2 3 4 5 17x x x x x     
Giải 
 Vẫn với 5 hộp như trên nhưng do điều kiện ở đây là 1x  nên trước tiên 
ta phải bố trí mỗi hộp 1 vật trước. Như vậy ta còn lại  17 5 12  vật, sau đó 
đem phân phối 12 vật này vào 5 hộp. Vậy phương trình có tất cả : 
12 12
5 12 1 16 1820C C    nghiệm nguyên dương. 
 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương  1, 1,5ix i  của phương trình 
1 2 3 4 5 17x x x x x     
thỏa điều kiện 1 2 3 4 51, 3, 2, 2, 1x x x x x     . 
Giải 
 - Ta xét trường hợp 1, 1,5ix i  , với điều kiện này thì phương trình có 
tất cả : 
12 12
5 12 1 16 1820C C    nghiệm nguyên dương. 
 - Ta xét trường hợp 1 2 3 4 52, 4, 3, 2, 2x x x x x     như vậy ta còn lại 
17 (2 4 3 2 2) 5      phân phối vào 5 hộp. Vậy trong trường hợp này ta 
có : 5 55 5 1 9 126C C    nghiệm. 
 Vậy phương trình có tất cả : 1820 126 1694  nghiệm thỏa yêu cầu bài 
toán. 
CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP 
 SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Trang 51
IV. NGUYÊN LÍ BÙ TRỪ : 
 - Kí hiệu A là số phần tử trong tập hợp A 
 - Nguyên lí cộng tổng quát cho tập hợp A và B : 
A B A B A B     
- Nguyên lí này được lí giải như sau : do tập A và B có thể có phần 
chung do đó có thể có phần tử được đếm đến 2 lần trong A và trong 
B nên cần trừ đi một lần trong A B . Bằng qui nạp ta chứng minh 
được nguyên lí bù trừ tổng quát sau. 
 Định lí : Cho 1 2, ,..., nA A A là các tập hữu hạn. Khi đó tập 1 2 ... nA A A   
cũng hữu hạn và khi đó : 
 
1 2
1 1
1
1
1 2
...
...
1 ...
n
n i i j
i i j n
i j k
i j k n
n
n
A A A A A A
A A A
A A A
   
   

     
   
    
 
 
trong đó tổng 
1 i j n  
 có 2nC số hạng, tổng
1 i j k n   
 có 3nC số hạng,. 
Ví dụ : Có bao nhiêu xâu nhị phân ( xâu có thứ tự được thành lập từ 
0, 1 ) có độ dài là 10 hoặc bắt đầu bởi 00 hoặc kết thúc bởi 11 ? 
Giải 
 Đặt A là tập hợp chứa các xâu nhị phân có độ dài là 10 bắt đầu bởi 00. 
 B là tập hợp chứa các xâu nhị phân có độ dài là 10 kết thúc bởi 11. 
 kết quả cần tính là : 
A B A B A B     
với 
8
8
6
2 256
2 256
2 64
A
B
A B
 
 
  
256 256 64 448A B A B A B          xâu nhị phân thỏa yêu cầu 
bài toán. 
CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP 
 SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Trang 52
 * Dùng nguyên lí bù trừ ta chứng minh được kết quả bài toán sau : 
"Chúng ta có n vật xếp thành hàng ngang. Ta tiến hành xáo trộn các vật và 
sắp xếp lại sao cho không có vật nào ở lại vị trí ban đầu. Số cách xáo trôn 
có thể có là : 
   
1! ! ! ! ! !
! ! ... 1 ... 1
2! 3! ! 2! 3! !
n nn n n n n n
n n
n n
 
           
 
. 
Ví dụ : Có 10 lá thư khác nhau được bỏ một cách ngẫu nhiên vào 
trong 10 bao thư. Hỏi có bao nhiêu cách mà : 
 a. Không có lá thư nào bỏ đúng vào bao thư của nó ? 
 b. Có đúng 1 bỏ đúng vào bao thư của nó ? 
 c. Có ít nhất 2 lá thư nào bỏ đúng vào bao thư của nó ? 
Giải 
 a. Theo công thức ta có : 
10! 10! 10! 10! 10! 10! 10! 10! 10!
1334961
2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9! 10!
         
cách thỏa yêu cầu bài toán. 
 b. Trường hợp có đúng một lá thư bỏ đúng vào bao thư của nó.Vậy lá thư 
ấy là một trong 10 lá thư và 9 lá thư còn lại không có lá thư nào bỏ đúng 
vào bao thư của chúng. Do đó theo nguyên lí nhân ta có : 
9! 9! 9! 9! 9! 9! 9! 9!
10. 1334960
2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9!
 
        
 
cách thỏa yêu cầu bài toán. 
 c. Ta có tất cả : 10! 1334961 1334960 958879   cách thỏa yêu cầu bài toán. 
IV. BÀI TẬP TỔNG HỢP : 
1. Có 4 học sinh ưu tú A, B, C, D chia nhau giải nhất 5 môn Toán, 
Văn, Lý, Hóa, Anh văn. Kết quả có thể xảy ra theo bao nhiêu cách ? 
Đáp án : 54 cách 
2. Có bao nhiêu số điện thoại : 
 a.Gồm 7 chữ số 
 b.Không quá 7 chữ số. 
Đáp án : 
7
7 10 110 ,10
9

3. Có bao nhiêu số được tạo ra từ tất cả các chữ số 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1 sao 
cho các chữ số lẻ luôn chiếm hàng lẻ ? 
Đáp án :
4! 3!
.
2!2! 2!
 số 
4. Có bao nhiêu nghiệm nguyên dương của phương trình : 
1 2 3 4 13x x x x    
thỏa 1 32, 2x x  . 
Đáp số : 7 77 4 1 10C C  