Các dạng toán thường gặp Hình học Lớp 11 (Nâng cao)

A. CÂU HỎI
DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1.	 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là và tam giác đều. Tính độ dài cạnh bên của hình chóp.
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 2.	 (Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho tứ diện có . Gọi lần lượt là trung điểm và . Biết vuông góc . Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 3.	 (Ngô Quyền - Hải Phòng lần 2 - 2018-2019) Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , , góc giữa hai mặt phẳng và là . Độ dài cạnh bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 4.	 (ĐỀ KT NĂNG LỰC GV THUẬN THÀNH 1 BẮC NINH 2018-2019) Cho hình lăng trụ có tất cả các cạnh đều bằng . Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng . Hình chiếu của trên mặt phẳng là trung điểm của . Tính theo khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 5.	 Cho hình hộp chữ nhật có , , . Đường chéo có độ dài bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 6.	 Cho hình hộp chữ nhật có , , . Đường chéo có độ dài bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 7.	 (Hội 8 trường chuyên ĐBSH - Lần 1 - Năm học 2018 - 2019) Cho tứ diện có tam giác đều cạnh bằng , tam giác vuông tại , . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và bằng . Khi đó độ dài cạnh là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 8.	 Cho hình bình hành . Qua lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng cùng phía so với song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng . Một mặt phẳng lần lượt cắt các nửa đường thẳng tại thỏa mãn . Hãy tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 9.	 (Chuyên ĐBSH lần 1-2018-2019) Cho tứ diện có tam giác đều cạnh bằng , tam giác vuông tại , . Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và bằng . Khi đó độ dài cạnh là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 10.	 (THPT THUẬN THÀNH 1) Cho hình lăng trụ tam giác đều có độ dài cạnh đáy bằng và cạnh bên bằng . Gọi và lần lượt là trung điểm của và , gọi và là hai điểm chạy trên đáy sao cho . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 11.	 (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Cho hình chóp có , , là hình vuông cạnh bằng . Gọi là tâm của , tính khoảng cách từ đến .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 12.	 Một hình lập phương được tạo thành khi xếp miếng bìa carton như hình vẽ bên.
Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng sau khi xếp, biết rằng độ dài đoạn thẳng bằng .
A. .	B. .	C. .	D. .
DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG
Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên
Câu 13.	 (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh lần 1 năm 18-19) Cho hình chóp có , , tam giác vuông tại (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 14.	 (Chuyên Lam Sơn-KSCL-lần 2-2018-2019) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại , , , vuông góc với mặt phẳng đáy và . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 15.	 (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , và vuông góc với đáy. Khoảng cách từ đến mặt phẳng là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 16.	 (THPT NGUYỄN TRÃI-THANH HOÁ - Lần 1.Năm 2018&2019) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại và cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết. Khoảng cách từđến mặt phẳng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 17.	 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông đỉnh , , vuông góc với mặt phẳng đáy và . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 18.	 (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , vuông góc với mặt phẳng đáy và . Khoảng cách từ A đến mặt phẳng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 19.	 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại , vuông góc với mặt phẳng đáy và . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 20.	 (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông đỉnh , , vuông góc với mặt phẳng đáy và . Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 21.	 (HKII-CHUYÊN NGUYỄN HUỆ-HN-2018-2019) Cho hình lập phương có cạnh bằng . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 22.	 (Thi thử lần 4-chuyên Bắc Giang_18-19) Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại A có ,, (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách từ đến mặt phẳng là
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 23.	 (Thi thử Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa – 07-05 - 2019) Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng . Khoảng cách từ tâm của đáy tới bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 24.	 (Bạch Đằng-Quảng Ninh- Lần 1-2018) Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm , vuông góc với mặt đáy. Hỏi mệnh đề nào sau đây là sai?
A. 	B. 
C. 	D. 
Câu 25.	 (Yên Định 1 - Thanh Hóa - 2018-2019) Cho hình chóp có tam giác là tam giác vuông tại , , . Góc giữa và mặt phẳng bằng. Cạnh bên vuông góc với đáy. Khoảng cách từ đến bằng bao nhiêu?
A. .	B. .	C. .	D. 
Câu 103.	 (Nho Quan A - Ninh Bình - lần 2 - 2019) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng . Cạnh bên vuông góc với mặt phẳng và . Gọi lần lượt là trung điểm của và . Tính khoảng cách giữa và .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 104.	 (Đề thi thử Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk lần 2) Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh , hình chiếu vuông góc của S xuống trùng với trung điểm H của . Biết góc tạo bởi hai mặt phẳng và bằng . Khoảng cách giữa và 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 105.	 (Thi Thử Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định-Lần 2-2019) Cho tứ diện đều có cạnh bằng 1, gọi là trung điểm và trên cạnh sao cho . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và .
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 106.	 (Chu Văn An - Hà Nội - lần 2 - 2019) Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh là , . Tam giác là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi là điểm trên cạnh sao cho . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 107.	 (HKI - SGD BẠC LIÊU_2017-2018) Cho khối chóp có đáy là hình vuông, đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có diện tích . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là
A. .	B. .	C. 	D. .
Câu 108.	 (THPT Yên Mỹ Hưng Yên lần 1 - 2019) Cho hình chóp có là hình vuông cạnh . Tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. lần lượt là trung điểm . Tính khoảng cách giữa và 
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 109.	 (LƯƠNG TÀI 2 BẮC NINH LẦN 1-2018-2019) Cho hình chóp có đáy là hình bình hành và và . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. .	B. .	C. .	D. 
Câu 110.	 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp có các mặt phẳng , cùng vuông góc với mặt phẳng , đáy là hình thang vuông tại các đỉnh và , có , . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 111.	 (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau, và . Gọi là trung điểm của . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 112.	 (THPT Cộng Hiền - Lần 1 - 2018-2019) Cho hình lập phương cạnh ( tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 113.	 (THI THỬ L4-CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ-HÒA BÌNH-2018-2019)Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật tâm , , . Tam giác cân tại , mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng , góc giữa và bằng . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng
A. .	B. .	C. .	D. .
Câu 114.	 [THPT THĂNG LONG-HÀ NỘI-LẦN 2-2018-2019] Cho hình chóp có đáy là hình vuông tâm cạnh . Hình chiếu của trên mặt đáy là trung điểm của của . Góc giữa hai mặt phẳng và bằng . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. .	B. .	C. .	D. .
B. LỜI GIẢI
DẠNG 1. KHOẢNG CÁCH CỦA HAI ĐIỂM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Câu 1.	 Chọn A
Hình chóp tứ giác đều nên là hình vuông có cạnh bằng nên .
Tam giác đều nên cạnh bên .
Câu 2.	 Chọn A
Gọi là trung điểm 
Ta có và 
Câu 3.	 Chọn A
Gọi là trung điểm , khi đó 
Mặt khác 
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng và là .
Tam giác vuông tại nên .
Câu 4.	
 Chọn	A. 
Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng nên .
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy của lăng trụ bằng .
Câu 5.	 Chọn B
.
Câu 6.	 Chọn B
Ta có . Nên .
Câu 7.	 Chọn A
Dựng hình chữ nhật , gọi lần lượt là trung điểm , tại 
Ta có
 tại 
Tam giác có là trung điểm , mà 
Xét tam giác vuông tại .
Câu 8.	 Chọn C
Gọi là giao của và . là giao điểm của và . Khi đó là đường trung
bình của các hình thang và . Theo tính chất của hình thang ta có
.
Câu 9.	 Chọn A
Dựng hình chữ nhật , gọi lần lượt là trung điểm , tại 
Ta có
 tại 
Tam giác có là trung điểm , mà 
Xét tam giác vuông tại .
Câu 10.	 Chọn B
Chiều cao của tam giác đáy: .
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên .
Đặt .
Ta có: .
Dấu xảy ra khi nằm trên đoạn .
Lại có: .
Áp dụng bất đẳng thức Min-cốp-xki :
.
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Ta có :
.
Dấu xảy ra khi: .
Vậy .
Câu 11.	 Chọn B
Kẻ .
; 
Câu 12.	 Chọn D
Sau khi xếp miếng bìa lại ta được hình lập phương cạnh , là tâm của .
Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh 
, .
Lại có: .
DẠNG 2. KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN 1 MẶP PHẲNG
Dạng 2.1 Khoảng cách từ hình chiếu của đỉnh đến mặt phẳng bên
Câu 13.	
Lời giải
Chọn D
Gọi là trung điểm cạnh .
.
Do đó khoảng cách từ đến mặt phẳng là .
Câu 14.	 Chọn B
Từ kẻ mà 
 mà 
 Từ kẻ 
Trong vuông tại ta có: 
Trong vuông tại ta có: 
Câu 15.	
Lờigiải
Chọn C
Kẻ .
Ta có: .
Vì .
Do đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng là .
Xét tam giác vuông cân tại , có .
Xét tam giác vuông tại , ta có: .
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng là .
Câu 16.	 Chọn A
Từ kẻ nối với và kẻ dễ thấy là khoảng cách từ đến mặt phẳng 
Ta có là tam diện vuông tại nên: