Bài tập Hình học không gian lớp 11 có lời giải

BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 CÓ LỜI GIẢI
Dạng 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (a) và (b)
	Phương pháp : 	
· Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng (a) và (b)
· Đường thẳng đi qua hai điểm chung ấy là giao tuyến cần tìm 
Chú ý : Để tìm chung của (a) và (b) thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần lượt nằm trong hai mp giao điểm nếu có của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng	
	Bài tập : 
	1. Trong mặt phẳng () cho tứ giác có các cặp cạnh đối không song song và điểm .	a. Xác định giao tuyến của và (SBD)
	b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD)
	c. Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC)
	Giải 
	a. Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD)
	Ta có : S là điểm chung của (SAC) và (SBD)
	Trong (a), gọi O = AC Ç BD 
	· O Î AC mà AC Ì (SAC) Þ O Î (SAC)	 
	·	O Î BD mà BD Ì (SBD) Þ O Î (SBD)	 
	Þ O là điểm chung của (SAC) và (SBD) 
	Vậy : SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD)	 
	b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD)
	Ta có: S là điểm chung của (SAC) và (SBD)
	Trong (a) , AB không song song với CD
	Gọi I = AB Ç CD 
	· I Î AB mà AB Ì (SAB) Þ I Î (SAB) 
	· I Î CD mà CD Ì (SCD) Þ I Î (SCD)
	Þ I là điểm chung của (SAB) và (SCD)
	Vậy : SI là giao tuyến của (SAB) và (SCD)
	c. Tương tự câu a, b 
2. Cho bốn điểm A,B,C,D không cùng thuộc một mặt phẳng .
	Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD 
	lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song 
	song với BC. Tìm giao tuyến của (BCD) và (MNP) 	
	Giải	 
	· P Î BD mà BD Ì (BCD) Þ P Î (BCD) 	 
	· P Î (MNP)
	Þ P là điểm chung của (BCD) và (MNP) 
	Trong mp (ABC) , gọi E = MN Ç BC 	 	· E Î BC mà BC Ì (BCD) Þ E Î (BCD)	 	
	· E Î MN mà MN Ì (MNP) Þ E Î (MNP) 	
	Þ E là điểm chung của (BCD) và (MNP)
	Vậy : PE là giao tuyến của (BCD) và (MNP) 
	3. Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mp (ABC) , một điểm I thuộc đoạn SA .
	Một đường thẳng a không song song với AC cắt các cạnh AB, BC theo thứ tự tại J , K. 
	Tìm giao tuyến của các cặp mp sau :
	a. mp (I,a) và mp (SAC) 
	b. mp (I,a) và mp (SAB) 
	c. mp (I,a) và mp (SBC)
	Giải
	a. Tìm giao tuyến của mp (I,a) với mp (SAC) :	
	Ta có:	· IÎ SA mà	 SA Ì (SAC) Þ I Î (SAC)
	· IÎ(I,a)	
	Þ I là điểm chung của hai mp (I,a) và (SAC )	 
	Trong (ABC), a không song song với AC
	Gọi O = a Ç AC 	 
	· O Î AC mà AC Ì (SAC) Þ O Î (SAC) 	
	· O Î (I,a) 
	Þ O là điểm chung của hai mp (I,a) và (SAC) 
	Vậy : IO là giao tuyến của hai mp (I,a) và (SAC) 	
	b. Tìm giao tuyến của mp (I,a) với mp (SAB) : là JI 
	c. Tìm giao tuyến của mp (I,a) với mp (SBC)
	Ta có : K là điểm chung của hai mp (I,a) và mp (SBC) 
	Trong mp (SAC) , gọi L = IO Ç SC
	· L Î SC mà SC Ì (SBC) Þ L Î (SBC) 
	· L Î IO mà IO Ì (I,a) Þ L Î (I,a) 
	Þ L là điểm chung của hai mp (I,a) và (SBC) 
	Vậy: KL là giao tuyến của hai mp (I,a) và (SBC) 
	4.	Cho bốn điểm A ,B ,C , D không cùng nằm trong một mp
	a. Chứng minh AB và CD chéo nhau
	b. Trên các đoạn thẳng AB và CD lần lượt lấy các điểm
 M, N sao cho đường thẳng MN cắt đường 
	thẳng BD tại I . Hỏi điểm I thuộc những mp nào .
Xđ giao tuyến của hai mp (CMN) và (BCD)
	Giải 
	a. Chứng minh AB và CD chéo nhau :
	Giả sử AB và CD không chéo nhau 
	Do đó có mp (a) chứa AB và CD
	Þ A ,B ,C , D nằm trong mp (a) mâu thuẩn giả thuyết 	
	Vậy : AB và CD chéo nhau	
	b. Điểm I thuộc những mp : 	
	· I Î MN mà MN Ì (ABD) Þ I Î (ABD)
	· I Î MN mà MN Ì (CMN) Þ I Î (CMN)
	· I Î BD mà BD Ì (BCD) Þ I Î (BCD)	 
	Xđ giao tuyến của hai mp (CMN) và (BCD) là CI
	5.	Cho tam giác ABC nằm trong mp (P) và a là mộtđường thẳng nằm trong mp (P) và không 
	song song với AB và AC . S là một điểm ở ngoài mặt phẳng (P) và A’ là một điểm thuộc SA .
	Xđ giao tuyến của các cặp mp sau	
	a. mp (A’,a) và (SAB)
	b. mp (A’,a) và (SAC)
	c. 	mp (A’,a) và (SBC) 
	Giải
	a. Xđ giao tuyến của mp (A’,a) và (SAB)	
	· A’ Î SA mà SA Ì (SAB) Þ A’Î (SAB) 	 
	· A’ Î (A’,a) 	
	Þ A’ là điểm chung của (A’,a) và (SAB) 	 
	Trong (P) , ta có a không song song với AB 	
	Gọi E = a Ç AB	 	
	· E Î AB mà AB Ì (SAB) Þ E Î (SAB)	 
	· E Î (A’,a)	
	Þ E là điểm chung của (A’,a) và (SAB)
	Vậy: A’E là giao tuyến của (A’,a) và (SAB)
	b. Xđ giao tuyến của mp (A’,a) và (SAC)
	· A’ Î SA mà SA Ì (SAC) Þ A’Î (SAC)
	· A’ Î (A’,a)
	Þ A’ là điểm chung của (A’,a) và (SAC) 	
	Trong (P) , ta có a không song song với AC	
	Gọi F = a Ç AC
	· FÎ AC mà AC Ì (SAC) Þ F Î (SAC)
	· E Î (A’,a)
	Þ F là điểm chung của (A’,a) và (SAC)
	Vậy: A’F là giao tuyến của (A’,a) và (SAC)
	c. Xđ giao tuyến của (A’,a) và (SBC)
	Trong (SAB) , gọi M = SB Ç A’E
	· M Î SB mà SB Ì (SBC) Þ MÎ (SBC)
	· M Î A’E mà A’E Ì (A’,a) Þ MÎ (A’,a)
	Þ M là điểm chung của mp (A’,a) và (SBC) 
	Trong (SAC) , gọi N = SC Ç A’F
	· N Î SC mà SC Ì (SBC) Þ NÎ (SBC)
	· N Î A’F mà A’F Ì (A’,a) Þ NÎ (A’,a)
	Þ N là điểm chung của mp (A’,a) và (SBC) 
	Vậy: MN là giao tuyến của (A’,a) và (SBC)
6.	Cho tứ diện ABCD , M là một điểm bên trong tam giác ABD , N là một điểm bên trong tam
	giác ACD . Tìm giao tuyến của các cặp mp sau
	a. (AMN) và (BCD)
	b. (DMN) và (ABC)
	Giải 
	a. Tìm giao tuyến của (AMN) và (BCD)	
	Trong (ABD) , gọi E = AM Ç BD
	· E Î AM mà AM Ì (AMN) Þ EÎ (AMN)
	· E Î BD mà BD Ì (BCD) Þ EÎ (BCD)	
	Þ E là điểm chung của mp (AMN) và (BCD) 	 
	Trong (ACD) , gọi F = AN Ç CD	
	· F Î AN mà AN Ì (AMN) Þ FÎ (AMN)	 
	· F Î CD mà CD Ì (BCD) Þ FÎ (BCD)	 	 
	Þ F là điểm chung của mp (AMN) và (BCD) 	
	Vậy: EF là giao tuyến của mp (AMN) và (BCD)
	b. Tìm giao tuyến của (DMN) và (ABC)	
	Trong (ABD) , gọi P = DM Ç AB
	· P Î DM mà DM Ì (DMN) Þ PÎ (DMN)	
	· P Î AB mà AB Ì (ABC) Þ PÎ (ABC)
	Þ P là điểm chung của mp (DMN) và (ABC) 
	Trong (ACD) , gọi Q = DN Ç AC
	· Q Î DN mà DN Ì (DMN) Þ QÎ (DMN)
	· Q Î AC mà AC Ì (ABC) Þ QÎ (ABCA)
	Þ Q là điểm chung của mp (DMN) và (ABC) 	
	Vậy: PQ là giao tuyến của mp (DMN) và (ABC)
Dạng 2 : Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (a)	 
	Phương pháp : 	
· Tìm đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (a)
· Giao điểm của a và b là giao đt a và mặt phẳng (a) 
	Chú ý : 
Đường thẳng b thường là giao tuyến của mp (a) và mp (b) É a
Cần chọn mp (b) chứa đường thẳng a sao cho giao tuyến của mp (a) và mp (b) dể xác định và giao tuyến không song song với đường thẳng a
	Bài tập :
	1.	Trong mp (a) cho tam giác ABC . Một điểm S không thuộc (a) . Trên cạnh AB lấy một điểm P 
	và trên các đoạn thẳng SA, SB ta lấy lần lượt hai điểm M, N sao cho MN không song song với AB .
	a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC)
	b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (a)
	Giải 
	a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC)
	Cách 1 : Trong (SAB) , gọi E = SP Ç MN 
	· E Î SP mà SP Ì (SPC) Þ E Î(SPC)
	· E Î MN
	Vậy : E = MN Ç (SPC) 
	Cách 2 : 	· Chọn mp phụ (SAB) É MN	
	· (SAB) Ç (SPC) = SP
	· Trong (SAB), gọi E = MN Ç SP	
	E Î MN	 	
	E Î SP mà SP Ì (SPC) 	 	
	Vậy : E = MN Ç (SPC)	 	 
	b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp (a) 
	Cách 1: Trong (SAB) , MN không song song với AB	
	Gọi D = AB Ç MN	
	· D Î AB mà AB Ì (a) Þ D Î(a)	 	 	 	· D Î MN	
	Vậy: D = MN Ç (a)	
	Cách 2 : 	· Chọn mp phụ (SAB) É MN	
	· (SAB) Ç (a) = AB
	· Trong (SAB) , MN không song song với AB
	Gọi D = MN Ç AB
	D Î AB mà AB Ì (a) Þ D Î(a)
	D Î MN	
	Vậy : D = MN Ç (a)
2. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD). 
	Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C .
	Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM)
	Giải	
	· Chọn mp phụ (SBD) É SD	
	· Tìm giao tuyến của hai mp (SBD) và (ABM)	 
	- Ta có B là điểm chung của (SBD) và (ABM)
	- Tìm điểm chung thứ hai của (SBD) và (ABM)
	Trong (ABCD) , gọi O = AC Ç BD	 
	Trong (SAC) , gọi K = AM Ç SO	 
	KÎ SO mà SO Ì (SBD) Þ K Î(SBD)
	KÎ AM mà AM Ì (ABM) Þ K Î(ABM)
	Þ 	K là điểm chung của (SBD) và (ABM)	 
	Þ (SBD) Ç (ABM) = BK	 
	· Trong (SBD) , gọi N = SD Ç BK	 	NÎ BK mà BK Ì (AMB) Þ N Î(ABM)	
	N Î SD	
	Vậy : N = SD Ç (ABM)
	3. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD). Trên đoạn AB lấy một điểm M ,
	Trên đoạn SC lấy một điểm N (M , N không trùng với các đầu mút) . 
	a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) 	
	b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD)
	Giải
	a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD)	 
	· Chọn mp phụ (SAC) É AN	 	
	· Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD) 	 	Trong (ABCD) , gọi P = AC Ç BD	 	 	Þ (SAC) Ç (SBD)	= SP	 
	·	Trong (SAC), gọi I = AN Ç SP 	 	 	I Î AN 	 	I Î SP mà SP Ì (SBD) Þ I Î (SBD)	 	 
	Vậy : I = AN Ç (SBD)
	b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD)
	· Chọn mp phụ (SMC) É MN
	· Tìm giao tuyến của (SMC) và (SBD)
	Trong (ABCD) , gọi Q = MC Ç BD
	Þ (SAC) Ç (SBD) = SQ
	·	Trong (SMC), gọi J = MN Ç SQ	
	JÎ MN 
	J Î SQ mà SQ Ì (SBD) Þ J Î (SBD)
	Vậy: J = MN Ç (SBD)
	4. Cho một mặt phẳng (a) và một đường thẳng m cắt mặt phẳng (a) tại C . Trên m ta lấy hai điểm 
	A, B và một điểm S trong không gian . Biết giao điểm của đường thẳng SA với mặt phẳng (a) 
	là điểm A’ . Hãy xác định giao điểm của đường thẳng SB và mặt phẳng (a)	
	Giải 	 
	· Chọn mp phụ (SA’C) É SB	
	· Tìm giao tuyến của (SA’C) và (a) 	 
	Ta có (SA’C) Ç (a) = A’C	
	·	Trong (SA’C), gọi B’ = SB Ç A’C	
	B’Î SB mà SB Ì (SA’C) Þ B’ Î (SA’C)	 
	B’ Î A’C mà A’C Ì (a) Þ B’ Î (a) 	 	 	
	Vậy : B’= SB Ç (a)	
 	5. Cho bốn điểm A, B , C, S không cùng ở trong một mặt phẳng . Gọi I, H lần lượt là trung điểm 
	của SA, AB .Trên SC lấy điểm K sao cho : CK = 3KS. 
	Tìm giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng (IHK)
	Giải
	· Chọn mp phụ (ABC) É BC
	· Tìm giao tuyến của (ABC) và (IHK)
	Trong (SAC) ,có IK không song song với AC
	Gọi E’ = AC Ç IK	
	Þ (ABC) Ç (IHK) = HE’	
	·	Trong (ABC), gọi E = BC Ç HE’	
	E Î BC mà BC Ì (ABC) Þ E Î (ABC) 
	E Î HE’ mà HE’ Ì (IHK) Þ E Î (IHK)	 
	Vậy: E = BC Ç (IHK)
	6. Cho tứ diện SABC .Gọi D là điểm trên SA , 
 E là điểm trên SB và F là điểm trên AC (DE và AB
	không song song) .
	a. Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và (ABC)
	b. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng (DEF) 
	c. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng (DEF)	
	Giải 
	a. Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và (ABC)
	Ta có : F là điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF)
	Trong (SAB) , AB không song song với DE
	Gọi M = AB Ç DE 	
	· M Î AB mà AB Ì (ABC) Þ M Î (ABC) 
	· M Î DE mà DE Ì (DEF) Þ M Î (DEF)
	Þ M là điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF)	 	
Vậy: FM là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF)	
	b. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng (DEF)	
	· Chọn mp phụ (ABC) É BC	
	· Tìm giao tuyến của (ABC) và (DEF)	
	Ta có (ABC) Ç (DEF) = FM	hình 1	
	·	Trong (ABC), gọi N = FM Ç BC	
	NÎ BC 	 	
	N Î FM mà FM Ì (DEF) Þ N Î (DEF)
	Vậy: N = BC Ç (DEF)
	c. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng (DEF)
	· Chọn mp phụ (SBC) É SC
	· Tìm giao tuyến của (SBC) và (DEF)
	Ta có: E là điểm chung của (SBC) và (DEF)
	 N Î BC mà BC Ì (SBC) Þ N Î (SBC) 
	 N Î FM mà FM Ì (DEF) Þ N Î (DEF)
	Þ N là điểm chung của (SBC) và (DEF)
	Ta có (SBC) Ç (DEF) = EN
	·	Trong (SBC), gọi K = EN Ç SC	
	KÎ SC 
	K Î EN mà EN Ì (DEF) Þ K Î (DEF)	hình 2
	Vậy:  ... Ç BC
	Þ	I là điểm chung của (a) và (SAD)
	Ta có :	
	Vậy : giao tuyến là đường thẳng qua I và song song với SA.
	5.	 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành .Gọi M là một điểm trên cạnh SC và
	(a) là mặt phẳng chứa AM và song song với BD.
	a.	Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F của mặt phẳng (a) lần lượt với các cạnh SB, SD.
	b. 	Gọi I là giao điểm của ME và CB , J là giao điểm của MF và CD. Hãy chứng minh ba điểm 
	I,J, A thẳng hàng .
	Giải
	a.	Hãy nêu cách dựng các giao điểm E, F của mặt phẳng (a) lần lượt với các cạnh SB, SD.	Giả sử dựng được E, F thỏa bài toán 	Ta có : 	
	Do các điểm E ,F ,A ,M cùng thuộc mặt phẳng (a) 	
	Trong (a) , gọi	K = EF Ç AM 
	·	K Î EF mà EF Ì (SBD)	Þ K Î (SBD)
	·	K Î AM mà AM Ì (SAC)	Þ K Î (SAC)
	Þ 	K Î (SAC) Ç (SBD)
	Do 	(SAC) Ç (SBD) = SO	
	Þ	K Î SO 
	Cách dựng E, F :
	Dựng giao điểm K của AM và SO , qua K dựng EF // BD
	b.Chứng minh ba điểm I , J , A thẳng hàng :
	Ta có : 
	Þ	I Î (a) Ç (ABCD)
	Tương tự , 
	Þ	I , J , A là điểm chung của (a) và (ABCD)
	Vậy : I , J , A thẳng hàng .
	6.	Trong mặt phẳng (a) cho tam giác ABC vuông tại A , = 60, AB = a .Gọi O là trung điểm của 
	BC . Lấy điểm S ở ngoài mặt phẳng (a) sao cho SB = a và SB ^ OA . Gọi M là mọt điểm trên 
	cạnh AB , mặt phẳng (b) qua M song song với SB và OA , cắt BC ,SC , SA lần lượt tại N , P , Q .
	Đặt x = BM (0 < x < a) .
	a. Chứng minh MNPQ là hình thang vuông 
	b.	Tính diện tích của hình thang theo a và x . 
	Tính x để diện tích này lớn nhất .
	Giải 
	a. Chứng minh MNPQ là hình thang vuông :
	Ta có : 
	Từ (2) và (3) ,suy ra	MQ // NP // SB 	(4)
	Þ 	MNPQ	 là hình thang 
	Từ (1) và (4) , ta có :	
	Vậy : MNPQ là hình thang vuông , đường cao MN.
	b.	Tính diện tích của hình thang theo a và x .
	Ta có : 
	Tính MN : 
	Xét tam giác ABC
	Ta có : 	Þ	
	Þ	BO = a
	Do	 đều
	Có 	 MN // AO	Þ	
	Tính MQ :	
	Xét tam giác SAB , ta có : MQ // SB	
	Þ	Þ	
	Tính NP :	
	Xét tam giác SBC , ta có : NP // SB	
	Þ	Þ	
	Do đó : 
	Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương 3x và 4a - 3x
	3x.(4a - 3x) 	£ 
	£ 4a²
	Þ	
	Đẳng thức xảy ra khi 3x = 4a – 3x Û x = 
	Vậy : x = thì 	 đạt giá trị lớn nhất.
	7.	Cho hình vuông cạnh a , tâm O . Gọi S là một điểm ở ngoài mặt phẳng (ABCD) sao cho SB = SD. 
	Gọi M là điểm tùy ý trên AO với AM = x . mặt phẳng (a) qua M song song với SA và BD cắt 
	SO , SB , AB tại N, P , Q .
	a.	Tứ giác MNPQ là hình gì ?
	b. 	Cho SA = a . Tính diện tích MNPQ theo a và x . Tính x để diện tích lớn nhất 
	Giải
	a.	Tứ giác MNPQ là hình gì ?:
	Ta có : SB = SD Þ	D SBC = D SDC (c-c-c)
	Gọi I là trung điểm SC 
	Xét D IBC và D IDC 
	Ta có : 	IC cạnh chung 
	BC = CD
	Þ	D IBC = D IDC
	Þ 	IB = ID
	Þ	D IBD cân tại I
	Þ	IO ^ BD
	Mà OI // SA 	Þ	SA ^ BD 	 (*)
	Ta có : 
	Tương tự :	
	Từ (1) và (2) , suy ra 	(3)
	Mặt khác : 	
	Tương tự :	
	Từ (4) và (5) , suy ra 	(6)	
	Từ (3) , (6) và (*), suy ra MNPQ là hình chữ nhật 
	Vậy : MNPQ là hình chữ nhật 
	b. 	Tính diện tích MNPQ theo a và x:
	Ta có : 
	Tính MQ :
	Xét tam giác AQM :
	Ta có : cân tại M 	Þ	MQ = AM = x
	Tính MQ :
	Xét tam giác SAO : 
	Ta có :	MN // SA Þ 
	Þ	 
	Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương và 
	£ 
	£ 
	Þ	
	Đẳng thức xảy ra khi 	
	Û	M là trung điểm AO	
	Vậy : thì đạt giá trị lớn nhất.
	8.	Cho tứ diện ABCD có AB = a , CD = b . Gọi I , J lần lượt là trung điểm AB và CD . 
	Giả sử AB ^ CD , mặt phẳng (a) qua M nằm trên đoạn IJ và song song với AB và CD.
	a. 	Tìm giao tuyến của (a) với (ICD) và (JAB) .
	b.	 Xác định thiết diện của (ABCD) với mặt phẳng (a)
	Chứng minh thiết diện là hình chữ nhật .
c. 	Tính diện tích thiết diện của huình chữ nhật biết IM = IJ .
	Giải
	a. 	Tìm giao tuyến của (a) với mặt phẳng (ICD):
	Ta có :	
	Þ	 giao tuyến là đt qua M và song song
	 với CD cắt IC tại L và ID tại N 
	Tương tự :	
	Þ	 giao tuyến là đt qua M và song song
	 với AB cắt JA tại P và JB tại Q
	b.	 Xác định thiết diện của (ABCD) với mặt phẳng (a):
	Ta có :	
	Þ	EF // AB	(1) 
	Tương tự :	
	Þ	 	HG // AB	(2)
	Từ 	(1) và 	(2) , suy ra 	EF // HG // AB	(3)
	Ta có :	
	Þ	FG // CD	(4) 	
	Tương tự :	
	Þ	 	EH // CD	(5)	
	Từ 	(4) và 	(5) , suy ra 	FG // EH // CD	(6)
	Từ 	(3) và 	(6) , suy ra 	EFGH là hình bình hành 
	Mà 	AB ^ CD	(*)	
	Từ 	(3) , (6) và (*), suy ra 	EFGH là hình chữ nhật 
	c. 	Tính diện tích thiết diện của huình chữ nhật biết IM = IJ :
	Ta có : 
	Tính LN :
	Xét tam giác ICD : 
	Ta có :	LN // CD Þ 	(7)
	Xét tam giác IJD : 
	Ta có :	MN // JD Þ 	(8)	
	Từ 	(7) và (8), suy ra	
	Tương tự : 	Þ	
	Vậy : 
HAI MẶT THẲNG SONG SONG
Dạng 7 :	Chứng minh (a) // (b) : Sử dụng các cách sau :
	– 	
	hình 1
	– 	
	hình 2
	–	
	hình 3
Bài tập :
	1.Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA ,SD 
	a. 	Chứng minh rằng : (OMN) // (SBC)
	b.	Gọi P, Q , R lần lượt là trung điểm của AB ,ON, SB. 
	Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD)
	Giải 
	a. 	Chứng minh rằng : (OMN) // (SBC):
	Xét tam giác SAC và SDB : 
	Ta có : 
	b.	Chứng minh : PQ // (SBC)	
	Ta có : 
	Þ	M, N, P, O đồng phẳng 
	Þ	PQ Ì (MNO)
	Mà 	
	Vậy : 	PQ // (SBC)
	Chứng minh : PQ // (SBC), (MOR) // (SCD) :
	Ta có : 	(1)
	Xét tam giác SDB : ta có 	(2)
	Từ (1) và (2) , ta được 
	2.	Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và không đồng phẳng . I , J , K lần 
	lượt là trung điểm các cạnh AB , CD, EF. Chứng minh :
	a.	(ADF) // (BCE) 	b. (DIK) // (JBE)
	Giải 
	a.	(ADF)//(BCE):
	Ta có : 	(1)	
	Tương tự : 	(2)	
	Từ (1) và (2) , ta được :
	Vậy : 
	b. (DIK)//(JBE) : 
	Ta có : 	
	Vậy 	: 	(DIK)//(JBE)	
	3.	Cho các hình bình hành ABCD , ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau .Trên các đường 
	chéo 	AC, BF theo thứ tự lấy các điểm M,N sao cho MC = 2AM , NF = 2BN . Qua M, N lần lượt
	kẻ các đường thẳng song song với cạnh AB, cắt các cạnh AD, AF theo thứ tự tại M, N.
	Chứng minh rằng :
	a.	
	b.	
	c.	
	Giải
	a.	:
	Giả sử EN cắt AB tại I
	Xét 	D NIB ~ D NEF
	Ta có : 
	Þ	I là trung điểm AB và (1)
	Tương tự : Xét 	D MAI ~ D MCD
	Ta có : 
	Þ	I là trung điểm AB và (2)
	Từ (1) và (2) , suy ra 	 	Þ	
	Vậy :	 
	b.	:
	Ta có : 	Þ	(3)
	Tương tự : 	Þ	(4)
	Từ (3) và (4) , suy ra 	 	Þ	
	Ta được : 
	Vậy :	
	c.	:
	Ta có : 
	Vậy :	
	4.	Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Trên AB lấy một điểm M với AM = x .
	Gọi (a) là mặt phẳng qua M và song song với mặt phẳng (SAD) cắt SB , SC , và CD lần lượt tại N, 
	P, Q
	a. 	Tìm thiết diện của (a) với mặt phẳng hình chóp . Thiết diện là hình gì ?
	b.	Tìm quĩ tích giao điểm I của MN và PQ khi M di động trên đoạn AB.	
	c.	Cho = 1v và SA = a. Tính diện tích của thiết diện theo a và x .Tính x để diện tích = 
	Giải
	a. 	Tìm thiết diện của (a) với mặt phẳng hình chóp:
	Ta có : 	
	· Với	 	
	Có 	
	· Với	 	
	Có 	
	· Với	 	
	Có 	(1)
	· Vì 	
	Có 	(2)
	Từ (1) và (2) , suy ra : là hình thang 
	Vậy : là hình thang
	b.	Tìm quĩ tích giao điểm I của MN và PQ khi M di động trên đoạn AB.:
	Ta có : 	
	Mà 	
	Giới hạn quĩ tích : Khi 	Þ	
	Þ	
	c. Tính diện tích của thiếtdiện theo a và x : 
	Ta có :	
	Tính :	
	Ta có: 	D SAD vuông cân tại A 
	Do đó :	
	Tính :	
	Xét tam giác SBC , tam giác SBSvà tam giác SAB
	Ta có : 	Þ	(1)
	Þ	(2)
	Þ	(3)
	Từ (1) , (2) và (3) , ta được 	Þ	
	Þ	D INP vuông cân tại N 
	Do đó 	: 
	Þ 	
	Để 	Þ	
	Û	
	Û	
	Û	
	5.	Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng phân 
	biệt . Gọi M , N thứ tự là trung điểm của AB , BC và I , J , K theo thứ tự là trọng tâm các tam giác 
	ADF , ADC , BCE . Chứng minh (IJK) // (CDFE)
	Giải 	
	Xét tam giác MFC :
	Ta có : 
	Þ 	(1)
	Xét hình bình hành MNEF :
	Ta có : 
	Þ	(2)
	Từ (1) và (2) , ta được 	Þ 	
	Vậy : 	
	6.	Cho tứ diện ABCD . Gọi lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC , ACD , ADB
	a.	Chứng minh : 	
	b.	Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng 
	Tính diện tích thiết diện theo diện tích của tam giác BCD là S
	Giải
	a.	Chứng minh : 	
	Gọi M , N , L lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , CD và BD
	Ta có : 
	Þ	
	Þ	
	Vậy : 
	b.	Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mặt phẳng :
	Ta có : 	gt qua cắt tại E và F
	Tương tự : 	cắt (ACD) theo giao tuyến FG // CD 
	cắt (ABD) theo giao tuyến GE // BD
	Xét tam giác AMC và tam giác ABC
	Ta có : 	Þ	(1)
	Þ	(2)
	Từ (1) và (2), ta được 	
	Þ	
	Tương tự : 	
	Þ	
 	Diện tích thiết diện : 
	 	 =
	=
	Vậy : 	
7. Cho hai nữa đường thẳng chéo nhau Ax, By .Hai điểm M, N lần lượt di động trên Ax, By sao cho 
	AM = BN .Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định
	Giải 
	Kẻ Bx’// Ax . Trên Bx’ lấy điểm M’ sao cho AM = BM’
	T a có	: 	Þ	ABM’M là hình bình hành 
	Þ	MM’//AB	(1)	
	Þ	DBM’N cân tại B
	Kẻ Bt là phân giác góc x’By 	Þ	M’N ^ Bt 	(2)
	Trong (x’By) , kẻ Bz ^ Bt 	(3) 	
	Từ (2) và (3) , ta được 	Bz // M’N	(4)
	Từ (1) và (4) ,	Þ	
	Þ	MN // (ABz)
	Vậy : MN // (ABz) cố định 
	8.	Cho tứ diện ABCD . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Một mặt phẳng qua IJ cắt 
	các cạnh AD và BC lần lượt tại N và M
	a.	Cho trước điểm M, hãy trình bày cách dựng điểm N. Xét trường hợp đặc biệt khi M là trung
	điểm của BC
	b.	Gọi K là giao của MN và IJ .Chứng minh rằng : KM = KN
	Giải
	a.	Hãy trình bày cách dựng điểm N :
	Điểm N phải nằm trên giao tuyến của (MIJ) và (ACD) , giao tuyến này qua J
	Ta có : 	
	Gọi 	
	Þ	
	Þ	
	Gọi 	
	Trường hợp M là trung điểm BC:
	Nếu M là trung điểm BC 	Þ	
	Þ	(IMJ) // AC 
	Þ	(IMJ) cắt (ACD) theo giao tuyến JN // AC
	b.	Chứng minh rằng : KM = KN.
	Do I , J lần lượt là trung điểm AB ,CD 
	Þ	có thể dựng ba mặt phẳng chứa ba đường thẳng lần lượt song song nhau 
	Áp dụng định lí Talet trong không gian 
	Ta được : 
	Vậy : 	
HÌNH LĂNG TRỤ - HÌNH HỘP
Bài tập :
	1.Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ và các điểm M , N lần lượt thuộc các cạnh AB , DD’ (M, N không
	trùng với các đầu mút A,B ,D ,D’ của các cạnh ). Hãy xác định thiết diện của hình hộp bị cắt bởi :
	a.	Mặt phẳng (MNB) & Các thiết diện là hình g ì ?
	b.	Mặt phẳng (MNC) & Các thiết diện là hình g ì ?
	c.	Mặt phẳng (MNC’)
	Giải 
Xác định thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng (MNB) :
Ta có : (MNB) (AA’B’B)= MB=BA
	 (MNB) (AA’D’D) = AN
	(MNB) (DD’C’C) = NL 
(trong đó L = x CC’, L x // DC , x đi qua N)
	(MNB) (BB’C’C) = LB
	 thiết diện là tứ giác ABLN
m ặt kh ác 	NL //= DC
	DC //= AB 
	 NL //= AB
nên thiết diện ABLN l à h ình b ình h ành.
Xác định thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng (MNC) :
T ư ơng T ự 
Ta có : (MNC) (BB’C’C)= BC
	 (MNC) (CC’D’D) = CN
	(MNC) (DD’A’A) = NI 
(trong đó I = y AA’, I y // AD , y đi qua N)
	(MNC) (BB’A’A) = IB
	 thiết diện là tứ giác BCNI
m ặt kh ác 	NI //= AD
	AD //= BC 
	 NI //= BC
nên thiết diện BCNI l à h ình b ình h ành.
Xác định thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng (MNC’) :
	Gọi 	C’N DC = K
	Nối 	KM AD = P
	KM BC = R
	Kẻ 	RC’ Cắt BB’ tại Q
	Ta có : 	(MNC’) (DD’C’C) = C’N
	(MNC’) (DD’A’A) = NP
	(MNC’) (ABCD) = PM
	(MNC’) (AA’B’B) = MQ
	(MNC’) (BB’C’C) = QC’
	(MNC’) (A’D’C’B’) = C’
	 thiết diện là tứ giác NPMQC