Toán 11 - Dạng toán tìm giới hạn dãy tổng

Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ ------- hao.ls.bg@gmail.com------- 0985.729.289 
 1 
DẠNG TOÁN TÌM GIỚI HẠN DÃY TỔNG 
A. LÝ THUYẾT 
Bài toán : Cho dãy số dạng công thức truy hồi 
1
1( )n n
u a
u f u 
 
 
 tìm lim nS 
* Cơ sở lý thuyết 
1. Phương pháp chứng minh dãy số tăng, dãy số giảm 
2. Các gới hạn đặc biệt của dãy số 
3. Các định lý về giới hạn của dãy số 
4. Quy tắc tìm giới hạn một tích một thương của dãy số 
5. Phân tích đa thức thành nhân tử , tam thức bậc hai. 
* Các bước giải bài toán 
 B1: Chứng minh dãy số tăng hoặc dãy số giảm 
 B2: Tìm giới hạn của dãy số nu 
 B3: Phân tích 1 2( , )n n nu f u u  về dạng tổng Sn và tính tổng Sn , tính lim nS 
B. BÀI TẬP 
Bài 9: Cho dãy số  nu ; n = 1,2, được xác định như sau: 
1
1
1
( 1)( 2)( 3) 1; 1,2,...n n n n n
u
u u u u u n


     
Đặt 
1
1
2
n
n
i i
S
u


 (n =1,2,). Tính lim n
n
S

Bài 10 Cho dãy số{un} thoả mãn: 







 n
n
n u
u
u
u
2012
1
2
1
1
. 
 Xét dãy số 
13
2
2
1 ...


n
n
n
u
u
u
u
u
u
v , Với n = 1,2, 
 Chứng minh rằng dãy số {vn} có giới hạn và tìm giới hạn đó. 
Bài 13 ( HSG Tỉnh LS 2011-2012 khối 11 ): 
Cho dãy số (un) xác định như sau: 
1
2
n 1 n n
u 2012
(n N*)
u 2012u u


 
Tìm 1 2 3 n
2 3 4 n 1
u u u u
lim( ... ).
u u u u 
    
Bài 15 Cho dãy số  nU được xác định bởi : 
 1u 5 
  2n 1 n n
1
u u u 9 ; n N ;n 1
5
       . Đặt 
n
n
k 1 k
1
v ;n N ; n 1
u 2
  

 
 Tính n
n
lim v

Bài 17 Cho dãy số n(u ) xác định bởi công thức 





 ...2,1,...1
1
211
1
nuuuu
u
nn
 Đặt S n = 

n
k ku1
1
 . Tìm 
n
lim S n 
Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ ------- hao.ls.bg@gmail.com------- 0985.729.289 
 2 
Bài 18 Cho dãy  nx xác định như sau : 
1
2
n 1 n n
x 1
x x 3x 1


  
 (n N*) 
Đặt n
1 2 n
1 1 1
S ... (n N*)
x 2 x 2 x 2
    
  
. Tìm nLimS . 
Bài 20 Cho {un }xác định như sau: u1 = 8; 
2
n 1 n n
1
u (u 7u 25)
3
    
 Tính: 
n 2 3 n
1 1 1
C lim( ... )
u 2 u 2 u 2
   
  
Bài 24 Cho dãy số  nU được xác định bởi : 
 1u 5 
  2n 1 n n
1
u u u 9 ; n N ;n 1
5
       . Đặt 
n
n
k 1 k
1
v ;n N ; n 1
u 2
  

 
 Tính n
n
lim v

Bài 25 Cho dãy (xn) : x1=1 ; 
 
  

2cos22cos22
cos2cos2 2
1



n
n
n
x
x
x 
 Đặt 1,
12
1
1




n
x
y
n
i i
n .Tìm  để dãy số (yn) có giới hạn hữu hạn và tìm 
 giới hạn đó. 
Bài 26 Cho dãy ( nx ) thỏa:
4
1 1 3
9
4;
6
n
n
n n
x
x x
x x


 
 
. Tính 
3
1
1
lim
3
n
n
k kx  
 
Bài 28 cho {un }xác định như sau: u1 = 2; 
2
n n
n 1
u 2013.u
u
2014


 
 Tính: 1 2 n
n 2 3 n 1
u u u
B lim( ... )
u 1 u 1 u 1 
   
  
DẠNG TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 
A. LÝ THUYẾT 
1. Bài toán 1 : Cho dãy số dạng công thức truy hồi 
1
1. ( ) ( )n n
u a
u a f u g n
 
  
 tìm nu 
Loại 1: 
1
1. ( ), 2n n
u a
u a u g n n
 
    
 với g(n) bậc k. 
TH1: 1a , đặt 1 ( )n nu u h n  bậc của ( )h n là k đồng nhất hệ số để tìm các hệ số trong 
( )h n dựa vào công thức truy hồi. 
Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ ------- hao.ls.bg@gmail.com------- 0985.729.289 
 3 
TH2: 1a , đặt 1 ( )n nu u h n  bậc của ( )h n là k +1 ( hệ số tự do là 0 ) đồng nhất hệ số để 
tìm các hệ số trong ( )h n dựa vào công thức truy hồi. 
Loại 2: 
 
1
1. . , 2 *
n
n n
u a
u a u b na
 

    
TH1: a a , đặt 1 .
n
n nu u la  thay vào (*) đồng nhất hệ số để tìm l . 
TH2: a a , đặt 1 .
n
n nu u nl a  thay vào (*) đồng nhất hệ số để tìm l . 
Loại 3 : 
 
1
1. . ( ), 2 *
n
n n
u a
u a u b g n na
 

     
Loại 4: 
 
1
1
1
.
, 2 * ( )
.
n
n
n
u a
a u b
u n ad bc
c u d


  
     
TH1: b= 0 thì 1
1 1
. 1 1
.
.
n
n
n n n
a u c
u d
c u d u u a

 
   

 đặt 
1
n
n
v
u
 được 1.n nv Av B  
 đưa về loại 1 ( với bậc của ( )h n là 0 ) 
TH2: nếu 0b thì đặt n nu a t  thay vào (*) đưa về dạng 
1
1
.
.
n
n
n
A a
a
B a C




 như 
 Trường hợp 1 khi b= 0 bằng cách chọn t để hệ số tự do bằng 0. 
2. Bài toán 2 Cho dãy số 
1 2
1 2
,
. . , 3n n n
u u
u a u bu n
a b
 
  
    
 tìm un ? 
 + TH 1: Nếu phương trình đặc trưng 2 . 0a bl l   có hai nghiệm phân biệt 1 2,l l thì số 
hạng tổng quát có dạng : 1 2. .nu a bl l  tìm a, b bằng thay u1; u2 
 + TH 2: Nếu 2 . 0a bl l   có nghiệm kép là l thì  . nnu an b l  
* Cơ sở lý thuyết 
1. Công thức của cấp số cộng 
 Dãy  nu là cấp số cộng công sai d có dạng 1n nu u d   
 Số hạng tổng quát của cấp số cộng là 1 ( 1)nu u n d   
2. Công thức của cấp số nhân 
 Dãy  nu là cấp số cộng công sai d có dạng 1n nu u q  
 Số hạng tổng quát của cấp số cộng là 11.
n
nu u q
 
* Các bước giải bài toán 
 B1: Tìm số hạng tổ quát của dãy số ( Tương ứng ở một trong các dạng trên ) 
 B2: Giải quyết các yêu cầu khác của bài toán nếu có. 
B. BÀI TẬP 
Bài 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy 
1
*
1
1
( ) :
3 2( )
n
n n
u
u
u u n N


  
Bài 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy 
1
*
1
2
( ) :
2 3 2( )
n
n n
u
u
u u n n N


   
Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ ------- hao.ls.bg@gmail.com------- 0985.729.289 
 4 
Bài 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy 
1
1 *
1
1
( ) :
3 2 ( )
n n
n n
u
u
u u n N


  
Bài 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy 
1 2
*
2 1
1; 5
( ) :
5 6 ( )
n
n n n
u u
u
u u u n N 
 

  
Bài 5: Dãy số  nu xác định như sau:
0 1
1
1
1; 2 (1)
2
 (2)
3
n n
n
u u
u u
u 
 

 

 (với n = 1, 2,3,). Tìm nu 
Bài 6: Cho dãy số(xn) xác định như sau:
1
1
2 (1)
3
 (2)
2
n
n
n
x
x
x
x




 
 ( *)n N Tìm công nx theo n. 
Bài 7: Cho dãy số(xn) xác định như sau:
1
1
1
2 (1)
2
 (2)
3 4
n
n
n
x
x
x
x





 
 ( *)n N Tìm công nx theo n. 
Bài 8: Cho dãy số(xn) xác định như sau:
1
1
1
2 (1)
9 24
 (2)
5 13
n
n
n
x
x
x
x




 
 
 ( *)n N Tìm công nx theo n. 
Bài 9: Tìm số hạng tổng quát của dãy số  
0
1
2
: , 1,2...2 1
2
n n
n
n
x
x nx
x
x



 
 
Bài 10: Cho dãy số  
1
1
1
2
3
: , 2,3...
2(2 1) 1
n
n
n
n
x
x n
x
x
n x




 
 
 
 hãy tính tổng của 2014 số hạng đầu tiên 
 của dãy số 
Bài 11: Cho dãy số ( )nx xác định như sau :
0
1
1
2
2( 1) 1
n
n
n
x
x
x
n x




 
 
với mọi n N .Tìm 2lim ( )n
n
n x

. 
Bài 12 Cho dãy số (un) xác định bởi 
1
1
3
5 3
, *
3 1
n
n
n
u
u
u n
u




  
Xét dãy số (vn) với 
1
, *
1
n
n
n
u
v n
u

  

. Chứng minh dãy số (vn) là một cấp số cộng. Tìm số 
hạng tổng quát của dãy số (un). 
Bài 13 : Cho dãy số (un) xác định bởi : 
1
1
11
10 1 9



     n n
u
u u n, n N.
 Tìm công thức tính un theo n.