Toán học - Chuyên đề: Biến đổi lượng giác lớp 10

CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 
GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com 
1 
I) CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ 
- 3 /2
-1/2
- 2 /2
0 cotang
tang
sin
cosin
Gi ¸trÞ l­îng gi¸c 
cña c¸c cung (gãc) ®Æc biÖt
- 3 /2 -1/2
- 2 /2
2 /2
3 /2
1/2
3 /2
2 /2
1/2
-1/ 3
-1
- 3
-/4
-/3
-/6
-1 -1/ 3- 3 31/ 3
3
1
1/ 3
0
5/6
3/4
2/3 /2 /3
/4
/6
O
1) Các hệ thức lượng giác cơ bản: 
 sintan
cos



 , 
2
k    coscot
sin



 , k  
 2 2sin cos 1   , R   tan .cot 1   
 2 2
11 cot
sin


  , k    2 2
11 tan
cos


  ;
2
k   
2) Các công thức quy gọn góc. 
 sin( 2 ) sink    & cos( 2 ) cosk    
 tan( ) tank    & cot( ) cotk    
 sin( ) sin    & tan( ) tan    
 cos( ) cos   & cot( ) cot    
 sin( ) sin    & tan( ) tan     
 cos( ) cos     & cot( ) cot     
 sin( ) sin     & tan( ) tan    
 cos( ) cos     & cot( ) cot    
 sin( ) cos
2

   & tan( ) cot
2

   
 cos( ) sin
2

   & cot( ) tan
2

   
3) Công thức cộng cung 
cos( ) cos cos sin .sin .a b a b a b   
cos( ) cos cos sin .sin .a b a b a b   
sin( ) sin cos cos .sin .a b a b a b   
sin( ) sin .cos cos .sin .a b a b a b   
tan tantan( )
1 tan .tan
a ba b
a b

 

 tan tantan( )
1 tan .tan
a ba b
a b

 

CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 
GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com 
2 
4) Sử dụng công thức nhân và công thức hạ bậc 
4a) Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc 2 
sin 2 2sin .cosa a a 
21 sin 2 (sin cos )a a a   
21 sin 2 (sin cos )a a a   
2 2
2
2
cos sin
cos 2 2cos 1
1 2sin
a a
a a
a
 

 


2
2 tantan 2
1 tan
aa
a


21 cos 2 2cosa a  
21 cos 2 2sina a  
2 1 cos 2sin
2
aa  2 1 cos 2cos
2
aa  
4b) Công thức nhân ba, công thức hạ bậc 3. 
3cos3 4cos 3cosa a a  
3 3cos cos3cos
4
a aa  
3sin 3 4sin 3sina a a   3 3sin sin 3sin
4
a aa  
4c) Công thức tính sina, cosa, tana theo tan
2
at  
Đặt tan
2
at  thì 
2
2sin
1
ta
t


; 
2
2
1cos
1
ta
t



 & 2
2tan
1
ta
t


5)Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng 
Quy tắc nhớ a b (a – b) (a+b) 
 1cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b    
 1sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b    
  1sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b    
 1cos..cos.. cos.. cos..
2
  
 1sin..sin .. cos.. cos..
2
  
 1sin..cos.. sin .. sin ..
2
  
6) Công thức biến đổi tích thành tổng 
Quy tắc nhớ 
   
2
  
2
  
sin sin 2sin cos
2 2
   
 
 
  sin .. sin .. 2sin ..cos.. 
sin sin 2cos sin
2 2
   
 
 
  sin .. sin .. 2cos..sin .. 
cos cos 2cos cos
2 2
   
 
 
  cos.. cos.. 2cos..cos.. 
cos cos 2sin sin
2 2
   
 
 
   cos.. cos.. 2sin ..sin ..  
sin( )tan tan
cos .cos
 
 
 

  sin( )tan tan
cos .cos
 
 
 

  
Nhận xét: sin cos 2 sin 2 cos
4 4
a a a a           
   
 sin cos 2 sin 2 cos
4 4
a a a a            
   
CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 
GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com 
3 
II) MỘT SỐ DẠNG TOÁN BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC. 
DẠNG 1. Tính giá trị của biểu thức. 
DẠNG 2. Chứng minh đẳng thức lượng giác. 
DẠNG 3. Chứng minh bất đẳng thức lượng giác. 
DẠNG 4. Rút gọn biểu thức lượng giác. 
DẠNG 5. Chứng minh đẳng thức lượng giác không phụ thuộc vào biến 
DẠNG 6. Chứng minh các hệ thức lượng trong tam giác. 
III) MỘT SỐ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 
A) SỬ DỤNG CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN. 
Bài A1. Tính giá trị các biểu thức sau: 
A1.1) 
2 0 2 02cos 0 3sin 90
5cot 3sin 2 tan
4 4
A
 



 
 Đáp số: A = -1/3 
A1.2) 2 2 2cos 2sin 3tan
3 6
B     
A1.3) 
2
2 23sin 2cot 8cos
6 3 3
C       
 
A1.4) 
   
 
2 20 0
22 0 0 0
sin 90 tan 45
2 sin 30 2 cos 0 tan 45
a b
D
a ab b


 
Bài A2. Biểu diễn các cung sau trên đường tròn lượng giác và tính các giá trị lượng 
giác tương ứng của nó. 
A2.1) 045x  Tính 0 0sin 45 cos 45 
A2.2) 3x
 Tính sin 3
 
A2.3) 6x
  Tính  cos 6 
A2.4) 2 2 ,3x k k Z
    Tính  2sin 23 k  
A2.5) ;x k k Z  Tính  cos k 
A2.6) ;
2
x k k Z    Tính  sin 2 k  
A2.7) 2 ;
3 3
kx k Z    Tính 2tan
3 3
k   
 
A2.8) ;
4 2
kx k Z    Tính cot
4 2
k   
 
Bài A3. Chứng minh các đẳng thức sau: 
A3.1)    2 2sin cos sin cos 4sin cosx x x x x x    
A3.2) 4 4 2 2sin cos 1 2sin cosx x x x   
A3.3) 6 6 2 2sin cos 1 3sin cosx x x x   
A3.4) 8 8 2 2 4 4sin cos 1 4sin cos 2sin cosx x x x x x    
A3.5) 5 5 3 3 3 3sin cos sin cos sin cosx x x x x x    
A3.6) 
2
2
2
1 sin 1 2 tan
1 sin
x x
x

 

A3.7) 
2 2 4
2 2 2 2
tan 1 cot 1 tan.
1 tan cot tan cot
x x x
x x x x
 

 
CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 
GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com 
4 
A3.8) sin cos 1 cos
sin cos 1 sin 1
x x x
x x x
 

  
A3.9) sin cos 1 2cos
1 cos sin cos 1
x x x
x x x
 

  
A3.10) cos 1tan
1 sin cos
x x
x x
 

A3.11) 1 cos 1 cos 4cot
1 cos 1 cos sin
x x x
x x x
 
 
 
A3.11) 
2 2sin cos1 sin cos
1 cot 1 tan
x x x x
x x
  
 
A3.12) 
3 3
3 3
2 2
tan 1 cot tan cot
sin sin cos cos
x x x x
x x x x
    
A3.13) 
 3
tan sin 1
sin cos 1 cos
x x
x x x



A3.14)  
2
2sin cos 1 2 tan
cot sin cos
x x
x
x x x
 


A3.15) sin 1 cos 2
1 cos sin sin
x x
x x x

 

A3.16) 
2
2
tan cot 1 1
1 tan cot
x x
x x



A3.17) 1 tan cot 1
1 tan cot 1
x x
x x
 

 
A3.18)   1 2sin cos sin cos 1 tan 1 cotx x x x x x    
A3.19)      2 2 22sin cos sin cos cos sin cos cos cos 1x x y x y z x y z    
Bài A4. Rút gọn các biểu thức sau: 
A4.1) 2 2 2cos cos cot 1A x x x   
A4.2) 1 11 tan 1 tan
cos cos
B x x
x x
        
  
A4.3)    2 2tan cot tan cotC x x x x    
A4.4) 
2
1
2cos 1
sin cos
xD
x x



; 
2
2
2sin 1
sin cos
xD
x x



A4.5) 
2 2 2
1 2 2 2
cos cos cot
sin sin tan
x x xE
x x x



; 
2 2 4
2 2 2 4
sin cos cos
cos sin sin
x x xE
x x x
 

 
A4.6) 
2 2
1 2 2
sin tan
cos cot
x xF
x x



; 2
tan sin
sin cot
x xF
x x
  
A4.7) 1
cos cot sin tan
cos sin
x x x xG
x x



; 
2
2
1 cos 1 cos1
sin sin
x xG
x x
      
   
A4.8)    2 21 sin 1 cot cos 1 tanH x x x x    ; 
2
2
1 sin 1 sin
1 sin 1 sin
x xH
x x
  
     
A4.9)* 1
1 sin 1 sin
1 sin 1 sin
x xK
x x
 
 
 
  2 22 sin cot cos ; ;2K x x x x      
CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 
GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com 
5 
A4.10) 4 2 4 2sin 4cos cos 4sinP x x x x    
Bài A5. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến. 
A5.1) 4 2 2 2cos sin cos sinA x x x x   
A5.2) 4 4 2cos sin 2sinB x x x   
A5.3)    6 6 4 41 2 cos sin 3 cos sinC x x x x    ; 
6 6
2 4 4
cos sin 1
cos sin 1
x xC
x x
 

 
A5.4) 6 6 4 4 2sin cos 2sin cos sinD x x x x x     
A5.5) 
2 2
1 2
cot cos sin cos
cot cot
x x x xE
x x

  
2 2 2 2
2 2 2
tan cos cot sin
sin cos
x x x xE
x x
 
  
A5.6)   4 4 2 21 sin cos 1 tan cot 2F x x x x     ; 
2
6
2 6 2
1 3 tantan
cos cos
xF x
x x
   
A5.7) 2 2 2 2 2cos cot 5cos cot 4sinG x x x x x    
A5.8)    3 31 cot sin 1 tan cos sin cosH x x x x x x      
A5.9)   
22
2 21 tan 1 tan 1 cot
tan
xK x x
x
 
    
 
A5.10)*  8 8 4 4 2 2 4 4sin cos 6sin cos 4sin cos sin cosP x x x x x x x x     
Bài A6. Tính các giá trị lượng giác của cung  biết rằng: 
A6.1) 1sin 3  và 0 2
  
A6.2) 3cos 5
 và 3 2
   
A6.3) 3tan 4
 và 02
    
A6.4) cot 2   và 2
    
Bài A7. 
A7.1) Cho biết sin cosx x m  . Tính các biểu thức sau theo m. 
 sin cosA x x sin cosB x x  3 3sin cosC x x  
 3 3sin cosD x x  4 4sin cosE x x  6 6sin cosF x x  
 5 5sin cosG x x  8 8sin cosH x x  7 7sin cosP x x  
A7.2) Cho biết sin cosx x n  . Tính các biểu thức sau theo n. 
 sin cosA x x sin cosB x x  3 3sin cosC x x  
 3 3sin cosD x x  4 4sin cosE x x  6 6sin cosF x x  
 5 5sin cosG x x  8 8sin cosH x x  7 7sin cosP x x  
A7.3) Cho biết tan cot 6x x  . Tính các biểu thức sau. 
2 2tan cotA x x  tan cotB x x  3 3tan cotC x x  
 4 4tan cotD x x  6 6tan cotE x x  5 5tan cotF x x  
A7.4) Cho biết tan cot 2x x  . Tính các biểu thức sau. 
 2 2tan cotA x x  2 2tan cotB x x  3 3tan cotC x x  
 4 4tan cotD x x  4 4tan cotE x x  6 6tan cotF x x  
 6 6tan cotG x x  5 5tan cotH x x  5 5tan cotP x x  
A7.5) Cho biết tan 2x  . Tính các biểu thức sau. 
 2sin 3cos
4sin 5cos
x xA
x x



3 32sin cos
3sin 5cos
x xB
x x



3
3
sin cos
sin cos
x xC
x x



CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 
GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com 
6 
3 3 2
2
sin cos sin cos
sin cos sin cos
x x x xD
x x x x
 

 
;
5 5 2 3
4 3 2 4
sin cos sin cos sin cos
sin cos sin cos sin cos
x x x x x xE
x x x x x x
   

 
A7.6) Cho biết cot 3x  . Tính các biểu thức sau. 
 sin 2cos
3sin 4cos
x xA
x x



3 3sin cos
sin 2cos
x xB
x x



3
3
sin cos
sin cos
x xC
x x



3 3 2
2
sin cos sin cos
sin cos sin cos
x x x xD
x x x x
 

 
;
5 5 2 3
4 3 2 4
sin cos sin cos sin cos
sin cos sin cos sin cos
x x x x x xE
x x x x x x
   

 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
B) SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC QUY GỌN CUNG. 
Bài B1. Tính giá trị các biểu thức sau: 
B1.1) 01 cos300A  
0
2 sin120A   03 tan 780A   
B1.2)
 0 0
1 0 0 0
2sin 2550 cos 1881
tan 368 2cos 638 cos98
B

 

;
   0 0 0
2 0 0
sin 234 cos 216
tan 36
sin144 cos 216
B
 


B1.3) 
 0 0 0 0 0
0
cos 44 tan 226 cos 406
cot 72 cot18
cos316
C

  
B1.4) 0 0 0 0cos 20 cos 40 ... cos160 cos180D      
B1.5) 0 0 0 0 01 tan1 tan 2 tan 3 .... tan 88 tan89E  ; 
0 0 0 0
2 tan10 tan 20 tan 30 .... tan80E  
B1.6) 0 0 0 0 0tan 20 tan 40 tan 60 .... tan160 tan180F       
B1.7) 0 0 0 0 0sin 5 sin10 sin15 ... sin 355 sin 360G       
B1.8) 0 0 0 0 0cot195 cot 210 cot 225 ... sin 330 sin 345H       
Bài B2. Rút gọn các biểu thức sau: 
B2.1)    2 2 2 2sin cos 2sin 2cos
2 2
A x x x x               
   
B2.2)     3sin cos cot 2 tan
2 2
B x x x x               
   
B2.3)   3 3cos sin tan .cot
2 2 2
C x x x x                   
     
B2.4)
         0 0 0 0 0cos 270 2sin 450 cos 900 2sin 720 cos 540D x x x x x          
Bài B3. Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
B3.1)  sin sinB C A   cos cosB C A   
B3.2) sin cos
2 2
B C A
 cos sin
2 2
B C A
 
B3.3)  cos cos 2A B C C     cos 2 cosA B C C    
B3.4) 3sin cos
2
A B C C   2 3tan cot
2 2
A B C C 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
C) SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC CỘNG CUNG (TRỪ CUNG). 
Bài C1. Tính giá trị các biểu thức sau: 
C1.1) 1
5sin
12
A  2
7cos
12
A  3 tan 12
A  
CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 
GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com 
7 
C1.2) 
0 0 0 0
1
sin10 cos 20 sin 20 cos10
3 5 3 5cos cos sin sin
7 28 7 28
B
   



; 
0 0 0 0
2 0 0 0 0
cos10 cos 25 sin10 sin 25
sin 65 cos10 cos 65 sin10
B 

C1.3) Cho biết 
3
a b   . Tính giá trị của các biểu thức: 
   2 21 cos cos sin sinC a b a b    và    
2 2
2 cos sin cos sinC a b b a    
C1.4) Cho biết  
 
 
cos
; 1
cos
a b
m m
a b

  

. Tính giá trị của biểu thức: tan tanD a b 
C1.5) Cho biết 1 1cos ;cos
3 4
a b  . Tính giá trị của bt:    cos cosE a b a b   
C1.6) Cho biết 8 5sin ; tan
17 12
a b  và 0 ;
2
a b   . Tính giá trị của biểu thức sau: 
     sin cos tanF a b a b a b      
C1.7) Cho biết tan .tan 3 2 2a b   và 0 , ;
2 4
a b a b     . Tính giá trị của 
biểu thức: 1 tanG a và 2 tanG b 
Bài C2. Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: 
C2.1)      cos sin cos sin cos sin 0x y z y z x z x y      
C2.2)      sin sin sin sin sin sin 0x y z y z x z x y      
C2.2)      sin sin sin 0
cos cos cos cos cos cos
y z z x x y
y z z x x y
  
   
C2.3) sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x           
   
C2.4) sin cos 2 sin 2 cos
4 4
x x x x            
   
C2.5) Cho biết  sin sin cosb a a b  . CMR:  2 tan tana a b  
Bài C3. Rút gọn các biểu thức lượng giác sau: 
C3.1)    
   1
sin sin
cos cos
a b a b
A
a b a b
  

  
    
   2
sin sin
sin sin
a b a b
A
a b a b
  

  
C3.2) 
   
   
0 0
1 0 0
sin 45 cos 45
sin 45 cos 45
x x
B
x x
  

  
 2 sin 4 .cot 2 cos 4B x x x  
 C3.3) 2tan tan tan
3 3
C x x x           
   
Bài C4. Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
C4.1) sin sin .cos sin .cosA B C C B  
C4.2) sin cos .cos sin .sin
2 2 2 2 2
A B C B C
  
C4.3) tan tan tan tan .tan .tanA B C A B C   , với ABC không vuông 
C4.4) tan tan tan tan tan tan 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
   
C4.5) cot .cot cot .cot cot .cot 1A B B C C A   
CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 
GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com 
8 
C4.6) cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
   
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
D) SỬ DỤNG CÔNG THỨC NHÂN VÀ CÔNG THỨC HẠ BẬC 
Bài D1. Tính giá trị các biểu thức sau: 
D1.1) 0 01 sin15 .cos15A  2 sin .cos .cos16 16 8
A    
D1.2) 0 0 01 cos 20 .cos 40 .cos80B  2
4 5cos .cos .cos
7 7 7
B    
D1.3)* 0 0 01 sin10 .sin 50 .sin 70C  
0 0 0 0
2 sin 6 .sin 42 .sin 66 .sin 78C  
D1.4)* 0 0 0 0 0sin10 .sin 30 .sin 50 .sin 70 .sin 90D  
D1.5)* 2 4 8 16 32cos .cos .cos .cos .cos .cos
65 65 65 65 65 65
E       
D1.6)* 1
2 3cos .cos .cos
7 7 7
F    ; 2
2 3 4cos .cos .cos .cos
9 9 9 9
F     
D1.7)* 01 sin18G  ; 
0
2 cos18G  ; 
0
3 sin 36G  ; 
0
4 cos36G  
Bài D2. Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: 
D2.1) cot tan 2cot 2x x x  
D2.2) sin 2 tan
1 cos 2
x x
x


; 
D2.3) cos sin cos sin 2 tan 2
cos sin cos sin
x x x x x
x x x x
 
 
 
D2.4) 
4 4sin 2sin cos cos cos 2
tan 2 1
x x x x x
x
 


D2.5) 1 cos cos 2 cos3 2cos
cos 2 cos 2
x x x x
x x
  

 
D2.6) 
2 2
2 2
sin 3 cos 3 8cos 2
sin cos
x x x
x x
  
D2.7) 
3 3cos cos3 sin sin 3 3
cos sin
x x x x
x x
 
  
D2.8) sin cos 1 tan
sin cos cos
x x x
x x x

 

D2.9) 4 2cos 4 8cos 8cos 1x x x   
D2.10) 4 4 3 cos 4sin cos
4
xx x   
D2.11) 6 6 5 3cos 4sin cos
8
xx x   
D2.12) 8 8 cos 6 7cos8sin cos
8
x xx x   
Bài D3. Rút gọn cá biểu thức sau: 
D3.1) 1
1tan 1
2 cos
xA
x
   
 
   
2
2 0 2 0
1 2sin
2cot 45 cos 45
xA
x x


 
D3.2) 3 31 cos .sin sin .cosB x x x x  
3 3
2 cos .sin sin .cosB x x x x  
D3.3) 3 31 cos .cos3 sin .sin 3C x x x x  
3 3
2 cos .cos3 sin .sin 3C x x x x  
CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 
GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com 
9 
D3.4) 3 31 cos .sin 3 sin .cos3D x x x x  
4 4
2 cos sinD x x  
D3.5) 
2 2
1 2 2
sin 2 4sin
sin 2 4sin 4
x xE
x x


 
 2
sin 4 cos 2.
1 cos 4 1 cos 2
x xE
x x

 
D3.6) 1 cos 2 1 cos 2 ; 0; 2F x x x
        
D3.7) 1 sin 1 sin ; 0; 2G x x x
        
D3.8) 2 2 2cos cos cos
3 3
H x x x           
   
D3.9) 2 2 22 2cos cos cos
3 3
P x x x           
   
D3.10) 2 2 22 2sin sin sin
3 3
Q x x x           
   
D3.11) 4 4 4 4 3sin sin sin sin
4 2 4
M x x x x                  
     
D3.12) cos .cos 2 .cos 4 ....cos 2 .nN x x x x với *n N 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
E) SỬ DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG 
Bài E1. Tính giá trị của các biểu thức sau: 
E1.1) 1
7sin .sin
12 12
A   2
11 5cos .cos
12 12
A   03 0
1 4.sin 70
sin10
A   
E1.2) 1
2 4 6cos cos cos
7 7 7
B      ; 2
2 4 6 8cos cos cos cos
9 9 9 9
B        
E1.3) 1
2 4cos cos cos
7 7 7
C      ; 2
2 3 6cos cos cos ... cos
7 7 7 7
C         
E1.4) 2 0 2 0 2 0 2 0 2 01 sin 10 sin 20 sin 30 .... sin 170 sin 180D       ; 
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
2 cos 10 cos 20 cos 30 .... cos 170 cos 180D       
Bài E2. Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau: 
E2.1)  sin 5 2sin cos 4 cos 2 sinx x x x x   
E2.2)  sin 1 2cos 2 2cos 4 2cos6 sin 7x x x x x    
E2.3) sin 4 .sin10 sin11 .sin 3 sin 7 .sin 0x x x x x x   
E2.4) sin 6 .sin 4 sin15 .sin13 sin19 .sin 9 0x x x x x x   
E2.5) 1sin .sin .sin sin 3
3 3 4
x x x x         
   
E2.6) 1cos .cos .cos cos3
3 3 4
x x x x         
   
E2.7)            cos sin cos sin cos sin 0y z y z z x z x x y x y         
E2.8)            sin sin sin sin sin sin 0y z y z z x z x x y x y         
Bài E3. Biến đổi các biểu thức sau về tổng: 
E3.1)    0 01 sin 30 cos 30A x x      0 02 sin 30 .sin 30 .cos 2A x x x   
E3.2) 1 4cos .sin 2 .sin 3B x x x 2 8sin .sin 2 .sin 3B x x x 
E3.3) 3cos .cos cos .cos
3 4 6 4
C x x x x                      
       
CHUYÊN ĐỀ: BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC – LỚP 10 
GV: Vũ Sỹ Minh; phone: 0943.828.568 ; Email: vusyminh@gmail.com 
10 
 E3.4) 2sin 2 .cos cos 2 .cos
3 6 3 3
D x x x x                      
       
 E3.5) sin .cos sin .cos
3 4 4 3
E x x x x                      
       
------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
F) SƯ DỤNG CÔNG THƯC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH. 
Bài F1. Tính giá trị của các biểu thức sau: 
F1.1) 0 0 01 cos14 cos134 cos106A    ; 
0 0 0
2 cos85 cos35 cos 25A    
F1.2) 0 0 0 0tan 9 tan 27 tan 63 tan81B     
F1.3)* 0 0 0 0cos 24 cos 48 cos84 cos12C     
Bài F2. Biến đổi các biểu thức sau về tích: 
F2.1) 1 cos cos 2 cos3A x x x   2 1 cos cos 2 cos3A x x x    
F2.2) 1 sin 3 sin 5 sin 7 sin 9B x x x x    2 1 cos 2 sin 4 sin 6B x x x    
F2.3) 2 2 21 cos cos 2 cos 3 1C x x x    
2 2 2
2 sin sin 2 sin 3C x x x   
Bài F3. Rút gọn các biểu thức sau: 
F3.1) 1
sin 2 sin 4
cos 2 cos 4
x xA
x x



 2
sin 2 sin 4
cos 2 cos 4
x xA
x x



F3.2) 1
sin 2 sin 4
cos 2 cos 4
x xB
x x



 2
sin sin 3 sin 5
cos cos3 cos5
x x xB
x x x
 

 
F3.3) 1
sin 3sin 4 sin 7
cos 3cos3 cos 7
x x xC
x x x
 

 
 2
sin sin 3 sin 5 sin 7
cos cos3 cos5 cos 7
x x x xC
x x x x
  

  
F3.4) 1 2cos cos 2
1 cos cos 2
x xD
x x
 

 
Bài F4. Chứng minh rằng các đẳng thức lượng giác sau: 
F4.1) 44cos 2 cos 4 3 8cosx x x   
F4.2) 43 4cos 2 cos 4 8sinx x x   
Bài F5. Cho A, B, C là ba góc trong tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
F5.1) sin sin sin 4cos .cos .cos
2 2 2
A B CA B C   
F5.2) cos cos cos 1 4sin .sin .sin
2 2 2
A B CA B C    
F5.3) sin 2 sin 2 sin 2 4sin .sin .sinA B C A B C   
F5.4) 2 2 2cos cos cos 1 2cos .cos .cosA B C A B C    
F5.5) 2 2 2sin sin sin 2 2cos .cos .cosA B C A B C    
F5.6) cos 2 cos 2 cos 2 1 4cos .cos .cosA B C A B C     
---------------------------------------------------The end-------------------------------------------------