Toán 11 - Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác

Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 1 Mã đề 0108 
CHUYÊN ĐỀ 
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 
(SẢN PHẨM CỦA TẬP THỂ THẦY CÔ 
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC) 
Câu 1. Cho ABC có 12a = , 15b = , 13c = . 
a. Tính số đo các góc của ABC . 
b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ABC . 
c. Tính S , R , r . 
d. Tính ah , bh , ch 
Câu 2. Cho ABC có 6AB = , 8AC = , góc 120A =  . 
a. Tính diện tích ABC . 
b. Tính cạnh BC và bán kính r . 
Câu 3. Cho ABC có 8, 10, 13a b c= = = 
a) ABC có góc tù hay không? 
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC . 
c) Tính diện tích ABC . 
Câu 4. Cho ABC có các góc 60 , 45A B=  =  , 2b = . Tính độ dài cạnh ,a c , bán kính đường tròn 
ngoại tiếp và diện tích tam giác. 
Câu 5. Cho tam giác ABC có 7,AC = 5,AB = 60BAC =  . Tính , , , . ABC aBC S h R 
Câu 6. Cho tam giác ABC có 4, 2, 3 = = =b cm m a . Tính độ dài các cạnh , . AB AC 
Câu 7. Cho tam giác ABC có 3, 4AB AC= = và diện tích 3 3S = . Tính cạnh BC . 
Câu 8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp ABC biết .4,3,2 === BCACAB 
Câu 9. Tínhh góc A của ABC có các cạnh cba ,, thỏa mãn hệ thức ( ) ( ).2222 cacabb −=− 
Câu 10. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
a. 
2 2 2
2 2 2
tanA c a b
tan B c b a
+ −
=
+ −
b. 2 2
1 cosC
c (a b) 4S.
sinC
−
= − + 
 c. 2S 2R .sinA.sinB.sinC= 
 d.
2 2
21
S AB .AC (AB.AC)
2
= − 
 e.a b.cosC c.cosB= + 
 f.
2
sinA p(p a)(p b)(p c)
bc
= − − − Cho . 
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 2 Mã đề 0108 
Câu 11. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là điểm tùy ý. CMR 
a. 2 2 2 2 2 2 2MA MB MC GA GB GC 3GM+ + = + + + 
b. 2 2 2 2 2 2
a b c
4(m m m ) 3(a b c )+ + = + + . 
Câu 12. Cho ABC có 2b c a+ = . Chúng minh rằng 
 a. sin sin 2sinB C A+ = . 
 b.
2 1 1
a b ch h h
= + . 
Câu 13. Cho ABC biết ( )4 3; 1A − , ( )0;3B , ( )8 3;3C . 
 a. Tính các cạnh và các góc của ABC . 
 b. Tính chu vi và diện tích của ABC 
Câu 14. Cho ABC biết 40a = , 36 20B =  , 73C =  . Tính A , cạnh b , c của tam giác đó. 
Câu 15. Cho ABC biết 42,4 ma = , 36,6 mb = , 33 10C =  . Tính A , B và cạnh c . 
Câu 16. Để lập đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B , ta phải tránh một ngọn núi nên người ta phải 
nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10 km rồi nối từ vị trí C thẳng đến vị trí B dài 8
km. Góc tạo bởi hai đoạn dây AC và CB là 75 . Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến người ta tốn 
thêm bao nhiêu km dây? 
Câu 17. Hai vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết 
87 ,= CAB 62= CBA . Hãy tính khoảng cách AC và BC . 
Câu 18. Cho tam giác ABC có =BC a , =A  và hai đường trung tuyến ,BM CN vuông góc với nhau. 
Tính ABCS . 
Câu 19. Cho tam giác ABC . Gọi , ,a b cl l l lần lượt là độ dài các đường phân giác góc , ,A B C . Chứng 
minh rằng 
a)
2
cos
2
=
+
a
bc A
l
b c
. 
b)
cos cos cos
1 1 12 2 2++ = + +
a b c
A B C
l l l a b c
. 
c) 
1 1 1 1 1 1
+ +  + +
a b cl l l a b c
 . 
Câu 21. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có AB a= , BC b= , CD c= , DA d= . Chứng minh 
rằng: ( )( )( )( )ABCDS p a p b p c p d= − − − − với 
2
a b c d
p
+ + +
= . 
Câu 22. Cho tam giác ABC có ba cạnh là , ,a b c chứng minh rằng 
2 2 2 cos cos cos
.
2
a b c A B C
abc a b c
+ +
= + + 
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 3 Mã đề 0108 
Câu 23. Cho tam giác ABC có ba cạnh là , ,a b c và 2 1,a x x= + + 2 1,b x= + 2 1c x= − chứng minh 
rằng tam giác có một góc bằng 120 . 
Câu 24. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có 
 a. 
2 2 2
cot cot cot
+ +
+ + =
a b c
A B C R
abc
. 
 b. 
( )( )
sin
2
− −
=
p b p cA
bc
. 
Câu 25. Tam giác ABC có tính chất gì khi ( )( )
1
4
ABCS a b c a c b = + − + − . 
Câu 26. Cho tam giác ABC . Gọi R , r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. 
Chứng minh rằng : 
1
2
r
R
 . 
Câu 27. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: 
 a. ( )
2 2
2 2
2 2
cos cos 1
cot cot
sin sin 2
+
 +
+
A B
A B
A B
. 
 b. ( )2 3 3 33 2 sin sin sin + +S R A B C . 
 c. 3 − + − + − p p a p b p c p . 
 d. ( )2 4 4 4
1
16
 + +S a b c 
Câu 29. Cho ABC . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2a b c ab bc ca+ +  + + 
Câu 30. Trong các tam giác ABC có chu vi là 2 p không đổi, hãy chỉ ra tam giác có tổng lập phương 
các cạnh bé nhất. 
Câu 31. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng
2 2 2 2
1 1 1 1
4a b c r
+ +  . 
Câu 32. Cho tam giác .ABC Chứng minh rằng: 
 a. 3.
a b c
b c a c a b a b c
+ + 
+ − + − + −
 b.
1 1 1 1
.
a b ch h h r
+ + = 
 c.
2 2 2
1
.b c a
a b c
h h h
h h h r
+ +  
Câu 33. Cho tam giác ABC có 2 2 2sin sin 2sin .B C A+ = Chứng minh rằng 60 .A  
Câu 34. Cho tam giác ABC có 
4 4 4
3 3 3a b c+ = . Chứng minh rằng tam giác có một góc tù. 
Câu 35. Tam giác ABC có 2 2 2 236a b c r+ + = thì có tính chất gì? 
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 4 Mã đề 0108 
GIẢI CHI TIẾT CHUYÊN ĐỀ 
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 
(SẢN PHẨM CỦA TẬP THỂ THẦY CÔ 
STRONG TEAM TOÁN VD-VDC) 
huyngocnguyen95@gmail.com 
Câu 1. Cho ABC có 12a = , 15b = , 13c = . 
a. Tính số đo các góc của ABC . 
b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ABC . 
c. Tính S , R , r . 
d. Tính ah , bh , ch 
Lời giải 
Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy 
a. Áp dụng định lí cosin trong ABC ta có: 
2 2 2 2 2 215 13 12 25
cos 50 7
2 2.15.13 39
b c a
A A
bc
+ − + −
= = =    . 
2 2 2 2 2 212 13 15 11
cos 73 37
2 2.12.13 39
a c b
B B
ac
+ − + −
= = =    . 
2 2 2 2 2 212 15 13 5
cos 56 16
2 2.12.15 9
a b c
C C
ab
+ − + −
= = =    . 
b. Xét ABC ta có: 
( ) ( )2 2 2 2 2 2
2
2. 2. 15 13 12
161 161
4 4
a a
b c a
m m
+ − + −
= = =  = .
( ) ( )2 2 2 2 2 2
2
2. 2. 12 13 15 401 401
4 4 4 2
b a
a c b
m m
+ − + −
= = =  = .
( ) ( )2 2 2 2 2 2
2
2. 2. 12 15 13 569 569
4 4 4 2
c a
a b c
m m
+ − + −
= = =  = . 
c. Xét ABC ta có: 
12 15 13
20
2 2
a b c
p
+ + + +
= = = . 
( )( )( ) 20.8.5.7 20 14S p p a p b p c= − − − = = (đvdt). 
Mà 
20 14
r 14
20
S
S p r
p
=  = = = . 
Ta có 
12.15.13 117
4R 4S 4.20 14 4 14
abc abc
S R=  = = = . 
d. Xét ABC ta có: 
1 2S 2.20 14 10 14
.
2 12 3
a aS a h h
a
=  = = = . 
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 5 Mã đề 0108 
1 2S 2.20 14 8 14
.
2 15 3
b bS b h h
b
=  = = = . 
1 2S 2.20 14 40 14
.
2 13 13
c cS c h h
c
=  = = = . 
Câu 2. Cho ABC có 6AB = , 8AC = , góc 120A =  . 
a. Tính diện tích ABC . 
b. Tính cạnh BC và bán kính r . 
Lời giải 
Tác giả: Nguyễn Ngọc Huy; Fb: Nguyễn Ngọc Huy 
a. Xét ABC ta có: 
1 1 3
.sin A .6.8. 12 3
2 2 2
S bc= = = (đvdt). 
b. Áp dụng định lí cosin trong ABC ta có: 
2 2 2 2 2 12. . .cos 6 8 2.6.8. 148 148 2 37
2
BC AB AC AB AC A BC
−
= + − = + − =  = = . 
Ta có 
. . . . 6.8. 148 2 111
4R 4S 34.12 3
AB AC BC AB AC BC
S R=  = = = . 
khanhhoanl2@gmail.com 
Câu 3. Cho ABC có 8, 10, 13a b c= = = 
a) ABC có góc tù hay không? 
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC . 
c) Tính diện tích ABC . 
Lời giải 
Tác giả: Khánh Hoa; Fb: Hộp Thư Tri Ân. 
a) Vì a b c  nên A B C  . 
Ta có 
2 2 2
01cos 91 47 '
2 32
a b c
C C
ab
+ −
= = −   
Vậy ABC có góc C là góc tù. 
b) Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC . 
Theo định lý sin : 
2 2
13 208
2 6,5
sinC 2sinC 10232 1 cos 1
2 1
32
c c c
R R
C
=  = = = = 
−  
− − 
 
 (đvđd) 
c) Áp dụng công thức Hê - rông, ta có: 
( )( )( )ABCS p p a p b p c = − − − 
Với 
31
2 2
a b c
p
+ +
= = 
Do đó 
31 31 31 31 25575 5 1023
8 10 13 40
2 2 2 2 16 4
ABCS
   
= − − − = =    
   
(đvdt) 
Câu 4. Cho ABC có các góc 60 , 45A B=  =  , 2b = . Tính độ dài cạnh ,a c , bán kính đường tròn 
ngoại tiếp và diện tích tam giác. 
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 6 Mã đề 0108 
Lời giải 
Tác giả: Khánh Hoa; Fb: Hộp Thư Tri Ân. 
Ta có: 180 ( ) 75C A B= − + =  
Từ định lí sin: 2
sin
a b c
R
sinA sinB C
= = = 
⇒
sin 2sin 60
6
sin 45
b A
a
sinB

= = =

; 
sinC 2sin 75
1 3
sin 45
b
c
sinB

= = = +

2
2
2 2sin 45
b
R
sinB
= = =

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, ta có: 
( )1 1 2 3 3sin 6 1 3
2 2 2 2
ABCS ac B
+
= = + = (đvdt). 
Hungtoan96cl@gmail.com, lehoanpc@gmail.com 
Câu 5. Cho tam giác ABC có 7,AC = 5,AB = 60BAC =  . Tính , , , . ABC aBC S h R 
Lời giải 
Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hoàn 
 2 2 2 2 . .cos= + −BC AB AC AB AC BAC 2 27 5 2.7.5.cos60 39= + − = 39. =BC 
 
1
. . .sin
2
 =ABCS AB AC BAC 
1 35 3
.5.7.sin 60 .
2 4
= = 
 
2.1
. .
2

 =  =
ABC
ABC a a
S
S BC h h
BC
35 13
.
26
= 
 2
sin 2sin
=  =
BC BC
R R
A A
 13.= 
Câu 6. Cho tam giác ABC có 4, 2, 3 = = =b cm m a . Tính độ dài các cạnh , . AB AC 
Lời giải 
Tác giả: Lê Hoàn; Fb: Lê Hoàn 
Có , = =AB c AC b 
2 2 2 2 2
2 2( ) 2(9 )16
4 4
+ − + −
=  =b
a c b c b
m 
2 22 46 − =c b (1) 
2 2 2
2 2( )
4
+ −
=c
a b c
m 
2 2 22(3 )
4
4
+ −
 =
b c 2 22 2 − =−b c (2) 
Giải hệ gồm 2 phương trình (1), (2) được 
2
2
14 14
30 30
= =
 
= = 
b b
c c 
Vậy 
14
30
 =

=
AC
AB . 
Lephi@thptthanuyen.edu.vn 
Câu 7. Cho tam giác ABC có 3, 4AB AC= = và diện tích 3 3S = . Tính cạnh BC . 
Lời giải 
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 7 Mã đề 0108 
Tác giả: Lê Bá Phi; Fb: Lee Bas Phi 
Ta có 3 3S =
1
. .sin
2
AB AC BAC 3 3=
3
sin
2
BAC =
60
120
BAC
BAC
 = 
 
 = 
. 
+ TH1: 60BAC =  
Theo định lí côsin trong tam giác, ta có: 
2 2 2 . .cos 60BC AB AC AB AC= + −  9 16 12 13= + − = . 
+ TH2: 120BAC =  
2 2 2 . .cos120BC AB AC AB AC= + −  = 9 16 12 37+ + = . 
Vậy 13BC = hoặc 37BC = . 
anhson9802@gmail.com,Thuthuy1988.nt@gmail.com 
Câu 8. Tính bán kính đường tròn nội tiếp ABC biết .4,3,2 === BCACAB 
Lời giải 
Tác giả:Bùi Thị Thủy ; Fb: Thuthuy Bui 
Ta có ,
2
9
2
234
2
=
++
=
++
=
cba
p
( )( )( )
4
153
2
2
9
.3
2
9
.4
2
9
.
2
9
=





−





−





−=−−−= cpbpappS . 
.
6
15
2
9
:
4
153
====
p
S
rprS 
C ... O
E
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 16 Mã đề 0108 
( ) ( ) ( )
2
2
. sin cos tan sin cos sin
2 2 2 2 2 2

 
 = = − = −  
 
ABC
A A A A A A
S pr bc p p a bc p p a bc (1) 
Công thức Hê rông: ( )( )( ) ( ) ( )( )( )
2
 = − − −  = − − −ABC ABCS p p a p b p c S p p a p b p c (2) 
Từ (1) và (2) ( ) ( )( )( )
( )( )2
sin sin .
2 2
− − 
 − = − − −  = 
 
p b p cA A
p p a bc p p a p b p c
bc
Câu 25. Tam giác ABC có tính chất gì khi ( )( )
1
4
ABCS a b c a c b = + − + − . 
Lời giải 
Ta có: 
2
a b c
p
+ +
= 
( )( )
1
4
ABCS a b c a c b = + − + − ( )( )4  = + − + −ABCS a b c a c b 
( )( )( ) ( )( )4 − − − = + − + −p p a p b p c a b c a c b 
( )( )( ) ( ) ( )
2 2
16 − − − = + − + −p p a p b p c a b c a c b 
( ) ( )
2 2
16. .
2 2 2 2
+ + + + + + + +   
 − − − = + − + −   
   
a b c a b c a b c a b c
a b c a b c a c b 
( )( )( )( ) ( ) ( )
2 2
 + + + − + − + − = + − + −a b c b c a a c b a b c a b c a c b 
( )( ) ( )( ) + + + − = + − + −a b c b c a a b c a c b 
( ) ( )
2 22 2 2 2 2b c a a b c b c a + − = − −  + = . 
Vậy tam giác ABC vuông tại A . 
Thuylinh133c3@gmail.com 
Câu 26. Cho tam giác ABC . Gọi R , r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác. 
Chứng minh rằng : 
1
2
r
R
 . 
Lời giải 
Tác giả:Nguyễn Thùy Linh ; Fb:Nguyễn Thùy Linh 
Ta có 
S
r
p
= , 
( )( )( ) ( )( )( )2 4 44
4
p p a p b p c p a p b p cabc r S
R
S R pabc pabc abc
− − − − − −
=  = = = . 
Mà ( )( )
2
2 2
p a b c
p a p b
− −
− −  = . 
( )( )
2
2 2
p a c b
p a p c
− −
− −  = ; ( )( )
2
.
2 2
p b c a
p b p c
− −
− −  = 
( )( )( )
1
.
8 2
abc r
p a p b p c
R
 − − −    
Dấu bằng xảy ra khi a b c= = . 
PB: Fb Bích Ngọc Đặng 
Câu 27. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: 
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 17 Mã đề 0108 
 a. ( )
2 2
2 2
2 2
cos cos 1
cot cot
sin sin 2
+
 +
+
A B
A B
A B
. 
 b. ( )2 3 3 33 2 sin sin sin + +S R A B C . 
 c. 3 − + − + − p p a p b p c p . 
 d. ( )2 4 4 4
1
16
 + +S a b c 
Lời giải 
dothu.namtruc@gmail.com 
a. ( )
2 2
2 2
2 2
cos cos 1
cot cot
sin sin 2
+
 +
+
A B
A B
A B
( )
2 2
2 2
2 2
1 sin 1 sin 1
1 cot 1 cot 2
sin sin 2
− + −
  + + + −
+
A B
A B
A B
( )2 2
2 2 2 2
2 sin sin 1 1 1
1
sin sin 2 sin sin
− +  
  + − 
+  
A B
A B A B
2 2 2 2
2 1 1 1
1 1
sin sin 2 sin sin
 
 −  + − 
+  A B A B
( )2 22 2
1 1
4 sin sin
sin sin
 
  + + 
 
A B
A B
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si 
( )
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
sin sin 2 sin .sin
1 1
sin sin 41 1 1 1 sin sin2 .
sin sin sin sin
+ 
  
 + +   
 +  

A B A B
A B
A B
A B A B
Dấu = xảy ra 
2 2
2 2
sin sin
1 1
sin sin
 =

  =
=

A B
A B
A B
. 
b. ( )2 3 3 33 2 sin sin sin + +S R A B C , áp dụng định lí sin 2
sin sinB sinC
= = =
a b c
R
A
3 3 3
2
3 3 3
3
2
4 8 8 8
 
  + + 
 
abc a b c
R
R R R R
3 3 33  + +abc a b c (luôn đúng vì áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số 3 3 3, ,a b c được 
33 3 3 3 3 33 . . 3+ +  =a b c a b c abc ) 
Dấu = xảy ra 3 3 3 = =  = =a b c a b c . 
c. + Ta có ( )
2 2 2 2 2 2 22 2 2 , , , 0+ + = + + + + +  + +  x y z x y z xy yz zx x y z x y z ( )* 
+ Áp dụng bất đẳng thức ( )* cho 3 số , ,− − −p a p b p c được 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
3− + − + −  − + − + − = − + + =p a p b p c p a p b p c p a b c p 
 − + − + − p a p b p c p . 
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 18 Mã đề 0108 
+ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki được 
( ) ( )( )
2
2 2 21 1 1 3− + − + −  + + − + − + − =p a p b p c p a p b p c p 
3 − + − + − p a p b p c p 
Dấu = xảy ra  − = − = −  = =p a p b p c a b c . 
d. Ta có ( )( )( )( ) ( )( )( )
2
2 = − − − = − − −S p p a p b p c p p a p b p c 
2 2 2 2
+ + + − − + − + +    
=     
    
a b c a b c a b c a b c
( ) ( )
2 22 21
16
   = + − − −
   
b c a a b c 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4
1 1 1 1
2 2 2 2 2
16 16 16 16
  + − = + + −  + − = + −
 
b c a a b bc c a a b c a a b a c a a
( ) ( )4 4 4 4 4 4 4 4
1 1
.
16 16
 + + + − = + +b a c a a b c a 
Dấu = xảy ra 
=

 =  = =
 =
b c
a b a b c
a c
. 
Bài 28. Cho ABC . Chứng minh rằng ( )2 2
1
sin 2 sin 2
4
ABCS a B b A = + 
Lời giải 
Tác giả:; Fb: thanhhoa Nguyễn 
Gọi C là điểm đối xứng với C qua đường thẳng AB , H CC AB=  
Trường hợp 1: Nếu góc 90B   . 
Khi đó 2ACBC ABCS S = , mà 'ACBC CBC ACCS S S  = + ( )2 2
1
sin 2 sin 2A
2
a B b= + 
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 19 Mã đề 0108 
Suy ra ( )2 2
1
sin 2 sin 2
4
ABCS a B b A = + . 
Trường hợp 2: Nếu góc 90B   . 
Khi đó ( )'
1
2
ABC ACC C BCS S S   = − 
( )2 21 1 1sin 2 sin 2
2 2 2
b A a CBH
 
= − 
 
2 21 1sin 2 sin 2B
4 2
b A a= + . 
Câu 29. Cho ABC . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2a b c ab bc ca+ +  + + 
Lời giải 
Ta có a b c−  ( )
2
a b c −  ( )2 2 2 2 1a b c ab + −  
Tương tự ( )2 2 2 2 2a c b ac+ −  ; ( )2 2 2 2 3c b a bc+ −  . 
Cộng các vế của ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 ta được 2 2 2 2 2 2a b c ab bc ca+ +  + + . 
nvanphu1981@gmail.com, vanhuanhb@gmail.com 
Câu 30. Trong các tam giác ABC có chu vi là 2 p không đổi, hãy chỉ ra tam giác có tổng lập phương 
các cạnh bé nhất. 
Lời giải 
Tác giả:Bùi Văn Huấn; Fb:https://www.facebook.com/buivanhuan 
Tam giác ABC với ba cạnh a , b , c có chu vi là 2a b c p+ + = không đổi. 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với hai bộ số ( )1;1;1 và ( ); ;a b c ta có: 
( )( ) ( )22 2 2 2 2 21 1 1 a b c a b c+ + + +  + + 
( ) ( )2 2 2 23a b c a b c + +  + + 
( ) ( )
24 2 2 29a b c a b c + +  + + . 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz với hai bộ số ( ); ;a b c và ( )3 3 3; ;a b c ta có: 
( )( ) ( )
2
3 3 3 3 3 3. . .a b c a b c a a b b c c+ + + +  + + ( )
2
2 2 2a b c= + + . 
Suy ra 
( )2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
a b c
+ +
+ + 
+ +
( )
( )
4
9
a b c
a b c
+ +

+ +
( )
31
9
a b c= + + 3
8
9
p= . 
Dấu " "= xảy ra khi và chỉ khi a b c= = . 
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 20 Mã đề 0108 
Vậy tam giác có tổng lập phương các cạnh đạt giá trị bé nhất khi đó là tam giác đều. 
Câu 31. Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng
2 2 2 2
1 1 1 1
4a b c r
+ +  . 
Lời giải 
Tác giả: Bùi Văn Huấn; Fb:https://www.facebook.com/buivanhuan 
Ta có: ( )
22 2a a b c − −
( )
22 2
1 1
a a b c
 
− −
. 
Tương tự: 
( )
22 2
1 1
b b c a

− −
( )
22 2
1 1
c c a b

− −
. 
Nên ta có: 
( ) ( ) ( )
2 2 22 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c b c a c a b
+ +  + +
− − − − − −
( )( ) ( )( ) ( )( )
1 1 1
a b c a b c b c a b c a c a b c a b
= + +
− + + − − + + − − + + −
( )( ) ( )( ) ( )( )
1 1 1
4 4 4p b p c p c p a p a p b
= + +
− − − − − −
( )( )( )4
p
p a p b p c
=
− − − ( )( )( )
2
4
p
p p a p b p c
=
− − −
2
2 2
1
4 4
p
S r
= = . 
chithin.nguyen@gmail.com 
Câu 32. Cho tam giác .ABC Chứng minh rằng: 
 a. 3.
a b c
b c a c a b a b c
+ + 
+ − + − + −
 b.
1 1 1 1
.
a b ch h h r
+ + = 
 c.
2 2 2
1
.b c a
a b c
h h h
h h h r
+ +  
Lời giải 
Tác giả : Nguyễn Chí Thìn, FB: Nguyễn Chí Thìn 
a. Ta có: 
( )( )
2
b c a a c b
b c a a c b c
+ − + + −
+ − + −  = 
( )( )
2
a c b a b c
a c b a b c a
+ − + + −
+ − + −  = 
( )( )
2
a b c b c a
a b c b c a b
+ − + + −
+ − + −  = 
Nhân theo vế ta có: 
( )( )( )a b c b c a c a b abc+ − + − + −  
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 21 Mã đề 0108 
( )( )( )
1.
abc
a b c b c a c a b
 
+ − + − + −
Ta lại có: 
( )( )( )
33 3.
a b c abc
b c a c a b a b c b c a c a b a b c
+ +  
+ − + − + − + − + − + −
Dấu " "= xảy ra khi a b c= = hay tam giác ABC đều. 
b. Ta có: 
1 1 1 1 1
.
1 1 12
2. . 2. . 2. .
2 2 2
a b c
a b c
p a b c a b c
Sr S S h h h
a h b h c h
p
+ +
= = = = + + = + + 
c. Ta có: 
2
1 2b
a b a
h
h h h
+  
2
1 2c
b c b
h
h h h
+  
2
1 2a
c a c
h
h h h
+  
2 2 2
1 1 1 1
.b c a
a b c a b c
h h h
h h h h h h r
 + +  + + = 
Dấu " "= xảy ra khi a b ch h h= = khi đó tam giác ABC đều. 
chithin.nguyen@gmail.com 
Câu 33. Cho tam giác ABC có 2 2 2sin sin 2sin .B C A+ = Chứng minh rằng 60 .A  
Lời giải 
Tác giả : Nguyễn Chí Thìn, FB: Nguyễn Chí Thìn 
Từ giả thiết ta có: 
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2
b c a
R R R
+ = 2 2 22b c a + = 
 Khi đó: 
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
cos .
2 2 2 2
b c a a a a
A
bc bc b c a
+ −
= =  = =
+
Suy ra 60 .A  
Chubabien@gmail.com, Thuy.tranthithanhdb@gmail.com 
Câu 34. Cho tam giác ABC có 
4 4 4
3 3 3a b c+ = . Chứng minh rằng tam giác có một góc tù. 
Lời giải 
Tác giả: Chu Bá Biên ; Fb: Biên Chu 
Ta có 
3
4 4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 43 3 3 3 3 3 3 3 33a b c c a b a b a b a b
   
+ =  = + = + + +   
   
( )
4 4 4 4 4 4 2 2
2
4 4 4 4 4 4 2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 33 2 2a b a b a b a b a b a b a b a b a b
 
 + + +  + + = + + = + 
 
Sản phẩm của Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC. Chuyên Đề: Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác- L10 
Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 22 Mã đề 0108 
Suy ra 2 2 2c a b + mà 
2 2 2
cos 0 90
2
a b c
C c
ab
+ −
=     
Vậy tam giác có một góc tù. 
Câu 35. Tam giác ABC có 2 2 2 236a b c r+ + = thì có tính chất gì? 
Lời giải 
Tác giả: Chu Bá Biên ; Fb: Biên Chu 
( )( )( )22 2 2 2
2
36 36 36
p a p b p cS
a b c r
p p
− − −
+ + = = = 
( )( ) ( )( ) ( )( )
36
p b p c p c p a p a p b
p
− − − − − −
= (1) 
Ta có ( )( )2 p b p c p b p c a− −  − + − = 
Tương tự ( )( ) ( )( )2 ;2p c p a b p a p b c− −  − −  
Suy ra 
( )( ) ( )( ) ( )( )
8
p b p c p c p a p a p b abc
p p
− − − − − −
 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: ( )( )2 2 2 2 2 2
9
9
abc
a b c a b c a b c abc
a b c
+ +   + + + + 
+ +
Mà 
2 2 2a b c ab bc ca+ +  + + 
( )( ) 9a b c ab bc ca abc + + + +  ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 2 2 0a b bc c b c cb b c a ab b − + + − + + − +  
( ) ( ) ( )
2 2 2
0a b c b c a c a b a b c − + − + −   = = . 
Vậy tam giác ABC có 2 2 2 236a b c r+ + = thì ABC đều.