Giáo án Toán 11 - Ôn tập giới hạn hàm số

ÔN TẬP GIỚI HẠN HÀM SỐ 
0001: Với k là số nguyên dương. Kết quả của giới hạn lim k
x
x

 là: 
A. B. C. 0 D. x 
0002: Kết quả của giới hạn 
1
lim
kx x
 (với k nguyên dương) là: 
A. B. C. 0 D. x 
0003: Khẳng định nào sau đây là đúng? 
A. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
o o ox x x x x x
f x g x f x g x
  
   B. lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
o o ox x x x x x
f x g x f x g x
  
   
C. lim ( ) ( ) lim[ ( ) ( )]
o ox x x x
f x g x f x g x
 
   D. lim ( ) ( ) lim [ ( ) ( )]
o ox x x x
f x g x f x g x
 
   
0004: Khẳng định nào sau đây là đúng? 
A. 3 3 3lim ( ) ( ) lim[ ( ) ( )]
o ox x x x
f x g x f x f x
 
   B. 3 3 3lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
o o ox x x x x x
f x g x f x g x
  
   
C. 3 3lim ( ) ( ) lim[ ( ) ( )]
o ox x x x
f x g x f x g x
 
   D. 3 3 3lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
o o ox x x x x x
f x g x f x g x
  
   
0005: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào không tồn tại: 
A. 1
1
lim
2x
x
x


B. 1
1
lim
2x
x
x


C. 1
1
lim
2x
x
x

 
D. 1
1
lim
2x
x
x


0006: Tính 
1
1
lim
2x
x
x


: 
A. 1 B. -2 C. 
1
2

 D. 
3
2
0007: Tính 
21
2 1
lim
2x
x
x


: 
A. -2 B. 2 C. -3 D. -1 
0008: Tính 
2
2
2
lim
2x
x
x


: 
A. 1 B. 
1
2 2

 C. 2 D. 
0009: Tính 
21
1
lim
1x
x
x


: 
A. 2 B. 1 C. 
1
2

 D. 
1
2
0010: Giới hạn nào dưới đây có kết quả bằng 3? 
A. 
1
3
lim
2x
x
x 
 B. 
1
3
lim
2x
x
x


 C. 
1
3
lim
2x
x
x


 D. Cả ba hàm số trên 
0011: Giới hạn của hàm số nào dưới đây có kết quả bằng 1? 
A. 
2
1
3 2
lim
1x
x x
x
 

 B. 
2
1
3 2
lim
1x
x x
x
 

 C. 
2
1
3 2
lim
1x
x x
x
 

 D. 
2
1
4 3
lim
1x
x x
x
 

0012: Giới hạn nào sau đây tồn tại? 
A. lim sin 2
x
x

B. 
lim cos3
x
x

C. 0
1
limsin
2x x
 D. 
1
1
limsin
2x x
0013: Cho xác định trên khoảng nào đó chứa điểm 0 và . Khi đó ta có: 
A. 
0
lim ( ) 0
x
f x

 B. 
0
lim ( ) 1
x
f x

 
C. 
0
lim ( ) 1
x
f x

  D. Hàm số không có giới hạn tại 0 
0014: Tính 
0
1
lim cos
x
x
x
: 
A. 1 B. 2 C. 0 D. -1 
0015: Tính 3
1
lim 7
x
x x

 : 
A. -8 B. 8 C. 6 D. -6 
0016: Tính 
4
22
3 1
lim
2 1x
x x
x
 
 
A. B. C. 
1
3
 D. 
1
3

0017: Tính 
3 3
1
lim 7
x
x x

 
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 
0018: Tính 
3
41
lim
(2 1)( 3)x
x x
x x

 
: 
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 
0019: Tính 
0
1
lim 1
x
x
x
 
 
 
: 
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 
0020: Tính 
2
3
3 7
lim
2 1x
x x
x
 

: 
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 
0021: Tính 
3 2
2 1
lim
3 2x
x
x
x x

 
: 
A. 
6
3
 B. 
6
3

 C. 3 D. 2 
0022: Tính 
2
2 3
lim
2 3x
x
x


: 
A. 
1
2
 B. 
1
2

 C. D. 
0023: Tính 
2
lim
2x
x x
x x  
: 
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 
0024: Hàm nào trong các hàm sau không có giới hạn tại điểm : 
A. B. 
1
( )f x
x
 C. 
1
( )f x
x
 D. 
1
( )
1
f x
x


0025: Hàm nào trong các hàm sau có giới hạn tại điểm : 
A. 
1
( )
2
f x
x


 B. 
1
( )
2
f x
x


 C. 
1
( )
2
f x
x


 D. 
1
( )
2
f x
x


0026: Cho hàm số . Khẳng định nào sau đây là sai: 
A. Hàm số có giới hạn trái và phải tại điểm bằng nhau 
B. Hàm số có giới hạn trái và phải tại mọi điểm bằng nhau 
C. Hàm số có giới hạn tại mọi điểm 
D. Cả ba khẳng định trên là sai 
0027: Cho hàm số 
1
( )
2
f x
x


. Khẳng định nào sau đây là đúng: 
A. Hàm số chỉ có giới hạn phải tại điểm B. Hàm số có giới hạn trái và giới hạn phải bằng 
nhau 
C. Hàm số có giới hạn tại điểm D. Hàm số chỉ có giới hạn trái tại điểm 
0028: Cho hàm số 
1
( )
1
f x
x


. Khẳng định nào sau đây là sai: 
A. Hàm số có giới hạn trái tại điểm B. Hàm số có giới hạn phải tại điểm 
C. Hàm số có giới hạn tại điểm D. Hàm số không có giới hạn tại điểm 
0029: Tính 
1
3 1
lim
1x
x
x


: 
A. B. C. 0 D. 2 
0030: Tính 
1
3 1
lim
1x
x
x


: 
A. B. C. 0 D. 2 
0031: Tính 
2
2
lim
2x
x
x


: 
A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 
0032: Tính 
2
2
4
lim
2x
x
x



: 
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 
0033: Tính 
2 31
1 1
lim
x
x x
x x

  

: 
A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 
0034: Tính 
5 3
3
2 3
2 1
lim
(2 1)( )x
x x
x x x
 
 
: 
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 
0035: Tính 
2
2 3
lim
5x
x
x x

 
: 
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 
0036: Tính 
2 2
lim
2 3x
x x x
x
 

: 
A. 
1
2
 B. 
3
2
 C. 
1
2

 D. 
3
2

0037: Tìm giới hạn 
2
2
(2 1) 3
lim
5x
x x
x x
 

A. 
2
5

 B. 
1
5
 C. 
2
5
D. 
1
5

0038: Tìm giới hạn 
4 2
3
2
lim
( 1)(3 1)x
x x
x x
 
 
A. 3 B. 3 C. 
3
3

D. 
3
3
0039: Tìm 
2
2 3
lim
1x
x
x x

 
A. -1 B. 1 C. D. 
0040: Tìm 
2
22
4
lim
( 1)(2 )x
x
x x


 
A. -1 B. 0 C. D. 
0041: Xác định 
2
( 1)
3 2
lim
1x
x x
x 
 

A. -1 B. C. 1 D. 
0042: Xác định 
3
21
1
lim
1x
x
x



A. 0 B. 3 C. 1 D. 
0043: Tính 
2 5 2
lim
2 1x
x x
x
 

A. 0 B. 3 C. D. 
0044: Tính 
( 2)
8 2 2
lim
2x
x
x
 
 

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 
0045: Tính 2 2lim ( 4 )
x
x x x

   
A. 
1
2
 B. 
1
2

 C. 2 D. 2 
0046: Tính 
2
3 4
lim
2 4x
x
x x

 
A. B. C. D. 
0047: Giới hạn 
9
1
)3(lim
2
3 


 x
x
x
x
thuộc dạng nào? 
A. Dạng 0.∞ B. Dạng ∞ - ∞ 
C. Dạng 
0
0
 D. Không phải dạng vô định. 
0048: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là giới hạn dạng vô định: 
A. 
xx 2
1
lim

 B. 
1112
12
lim
21 

 xx
xx
x
 C. 
23
2
1
2
lim
xx
xx
x 


 D. )74(lim
3
1


xx
x
0049: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào không phải là giới hạn vô định: 
A. 
xx
x
x 

 2
3
0
11
lim B. 
4
8
lim
2
3
2 

 x
x
x
 C. 
12
3
lim
2
6


 x
xx
x
 D. 
xx
x
x 4
2
lim
24 


0050: Trong các giới hạn sau, giới hạn 
1
43
lim
2
1 

 x
xx
x
 thuộc dạng nào ? 
A. Dạng 0.∞ B. Dạng ∞ - ∞ 
C. Dạng 
0
0
 D. Không phải dạng vô định. 
0051: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là giới hạn dạng vô định: 
A. 
2
2
0
lim
x
xxx
x


 B. 
2
2
lim
2
2 

 x
xx
x
 C. 
1
252
lim
2
3


 xx
xx
x
 D. 
1
22
lim
1 

 x
x
x
0052: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng : 
A. 1
21
lim
4



 x
xx
x
 B. 


 x
xx
x 21
lim
4
 C. 0
21
lim
4



 x
xx
x
 D. 


 x
xx
x 21
lim
4
0053: Trong các phương pháp tìm giới hạn 
1112
12
lim
21 

 xx
xx
x
 dưới đây, phương pháp nào là phương pháp thích 
hợp? 
A. Nhân phân thức với biểu thức liên hợp của tử là 12  xx . 
B. Chia tử và mẫu cho 2x 
C. Áp dụng định nghĩa với 1x 
D. Chia tử và mẫu cho x 
0054: Trong những dạng giới hạn dưới đây dạng nào không phải là dạng vô định: 
A. 
0
0
 B. 
)(
)(
xg
xf
 với g(x) 0 C. 


 D.  
0055: Phương pháp nào sau đây thường được sử dụng để khử dạng giới hạn vô định của phân thức: 
A. Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi rút gọn. B. Nhân biểu thức liên hợp. 
C. Chia cả tử và mẫu cho biến số có bậc thấp nhất. D. Sử dụng định nghĩa. 
0056: Trong các phương pháp tìm giới hạn 
22
43
lim
2
1 

 x
xx
x
 dưới đây, phương pháp nào là phương pháp thích 
hợp? 
A. Nhân phân thức với biểu thức liên hợp của mẫu là (2x -2 ) . 
B. Chia tử và mẫu cho 2x 
C. Phân tích nhân tử ở tử số rồi rút gọn 
D. Chia tử và mẫu cho x 
0057: Trong các phương pháp tìm giới hạn )1(lim xx
x


 dưới đây, phương pháp nào là phương pháp thích 
hợp? 
A. Nhân với biểu thức liên hợp )1( xx  . B. Chia cho 2x 
C. Phân tích nhân tử rồi rút gọn D. Sử dụng định nghĩa với x 
0058: Trong các phương pháp tìm giới hạn 
x
x
x 

 5
32
lim dưới đây, phương pháp nào là phương pháp thích hợp? 
A. Chia tử và mẫu cho x . B. Chia tử và mẫu cho 2x 
C. Phân tích nhân tử rồi rút gọn D. Sử dụng định nghĩa với x 
0059: Giới hạn 
2
2
0
lim
x
xxx
x


 thuộc dạng nào? 
A. Dạng 0.∞ B. Dạng ∞ - ∞ 
C. Dạng 
0
0
 D. Không phải dạng vô định. 
0060: Tính giới hạn 






 20
11
lim
xxx
A. 4 B.  ∞ C. 6 D. -∞ 
0061: Trong các giới hạn sau, giới hạn nào là 0? 
A. 
1
1
lim
31 

 x
x
x
 B. 
10
52
lim
2 

 x
x
x
 C. 
23
1
lim
2
2
1 

 xx
x
x
 D. )1(lim
2 xx
x


0062: Giới hạn 
321
11
lim
xx
xx
x 


bằng bao nhiêu? 
A. 
4
3
 B. 
4
1
 C. 
2
1
 D. 1 
0063: Giới hạn xxx
x


2lim bằng bao nhiêu? 
A. 0 B. 
2
1
 C. 1 D. 
3
2
0064: Giới hạn 
23
lim
2
2
1 

 xx
xx
x
bằng bao nhiêu? 
A. 0 B. -1 C. 2 D. 
3
2
0065: Giới hạn 
xx
xx
x 4
43
lim
2
2
4 


bằng bao nhiêu? 
A. 0 B. -1 C. 1 D. 
4
5
0066: Giới hạn 
1
23
lim
23
2
1 

 xxx
xx
x
bằng bao nhiêu? 
A. -2 B. -1 C. -
2
1
 D. 
2
1
0067: Giới hạn 
1
1
lim
2 

 x
x
x
bằng bao nhiêu? 
A. 1 B. -1 C. 0 D. + ∞ 
0068: Giới hạn 
10
lim
2


 x
xxx
x
bằng bao nhiêu? 
A. 2 B. -2 C. - ∞ D. + ∞ 
0069: Giới hạn 
xx
x
x 

 112
1
lim
1
bằng bao nhiêu? 
A. 1 B. -1 C. -
2
1
 D. 
2
1
BÀI TẬP TỰ LUẬN 
Baøi 1: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
3 2
2
1
1
lim
3 2x
x x x
x x
  
 
 b) 
x
x
x x
4
3 2
1
1
lim
2 1

 
 c) 
5
3
1
1
lim
1x
x
x


d) 
3 2
4 2
3
5 3 9
lim
8 9x
x x x
x x
  
 
 e) 
5 6
2
1
5 4
lim
(1 )x
x x x
x
 

 f) 
1
1
lim
1
m
n
x
x
x


g) 
0
(1 )(1 2 )(1 3 ) 1
lim
x
x x x
x
   
 h) 
2
1
...
lim
1
n
x
x x x n
x
   

 i) 
4
3 2
2
16
lim
2x
x
x x


Baøi 2: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
2
2
4 1 3
lim
4x
x
x
 

 b) 
3
3
1
1
lim .
4 4 2x
x
x

 
 c) 
2
0
1 1
lim
x
x
x
 
d) 
2
2 2
lim
7 3x
x
x
 
 
 e) 
1
2 2 3 1
lim
1x
x x
x
  

 f) 
2
0 2
1 1
lim
16 4
x
x
x

 
 
g) 
3
0
1 1
lim
1 1x
x
x
 
 
 h) 
2
3
3 2
lim
3x
x x
x x
 

 i) 
0
9 16 7
lim
x
x x
x
   
Baøi 3: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
3
0
1 1
lim
x
x x
x
  
 b) 
3
2
2
8 11 7
lim
3 2x
x x
x x
  
 
 c) 
3
0
2 1 8
lim
x
x x
x
  
d) 
3
2
0
1 4 1 6
lim
x
x x
x
  
 e) 
3
2
2
8 11 7
lim
2 5 2x
x x
x x
  
 
 f) 
33 2
2
1
5 7
lim
1x
x x
x
  

g) 
0
1 4 . 1 6 1
lim
x
x x
x
  
 h) 
3
0
1 2 . 1 4 1
lim
x
x x
x
  
 i) 
3
0
1 1
lim
x
x x
x
  
Baøi 4: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
2
2
1
lim
2 1x
x
x x

 
 b) 
2
2 1
lim
2x
x x
x
 

 c) 
2
3 2
2 1
lim
3 2x
x
x x

 
d) 
2
2
2 3 4 1
lim
4 1 2
x
x x x
x x

   
  
 e)
2
2
4 2 1 2
lim
9 3 2
x
x x x
x x x

   
 
 f) 
2
1
lim
1x
x x
x x

 
g) 
2
2
(2 1) 3
lim
5x
x x
x x
 

 h) 
2
2
2 3
lim
4 1 2
x
x x x
x x

 
  
 i) 
2
5 2
lim
2 1x
x x
x
 

Baøi 5: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
2
lim
x
x x x

 
  
 
 b) 
2
lim 2 1 4 4 3
x
x x x

 
    
 
c) 
32 3
lim 1 1
x
x x

 
   
 
 d) lim
x
x x x x

 
   
 
e)  3 3lim 2 1 2 1
x
x x

   f)  3 3 2lim 3 1 2
x
x x

   
g) 
3
1
1 3
lim
1 1x x x
 
 
  
 h) 
2 2
2
1 1
lim
3 2 5 6x x x x x
 
 
    
 Baøi 6: Tìm các giới hạn sau: 
a) 
2
15
lim
2x
x
x


 b) 
2
15
lim
2x
x
x


 c) 
2
3
1 3 2
lim
3x
x x
x
 

d) 
2
2
4
lim
2x
x
x


 e) 
2
2
2
lim
2 5 2x
x
x x


 
 f) 
2
2
2
lim
2 5 2x
x
x x


 
Baøi 7: Tìm các giới hạn một bên của hàm số tại điểm được chỉ ra: 
a) 
3
1 1
0
1 1( ) 0
3
0
2
x
khi x
xf x taïi x
khi x
  
   
 

 b) 
2
9
3
( ) 3
3
1 3
x
khi xf x taïi x
x
x khi x
    
  
c) 
2
3
4
2
2
8( ) 2
16
2
2
x x
khi x
xf x taïi x
x
khi x
x
 

  

 
 d) 
2
2
3 2
1
1( ) 1
1
2
x x
khi x
xf x taïi x
x
khi x
  

 
 

Baøi 8: Tìm giá trị của m để các hàm số sau có giới hạn tại điểm được chỉ ra:: 
a) 
3
1
1
( ) 1
1
2 1
x
khi xf x taïi x
x
mx khi x
    
  
 b) 3
2 2
1 3
1
( ) 11 1
3 3 1
khi x
f x taïi xx x
m x mx khi x

 
  
    
c) 2
0
( ) 0100 3
0
3
x m khi x
f x taïi xx x
khi x
x
  

   
 
 d) 
2
3 1
( ) 1
3 1
x m khi x
f x taïi x
x x m khi x
   
  
    