Giáo án Hình học Lớp 11 - Chương III, Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Chủ đề 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
Thời lượng dự kiến: 3 tiết
I. MỤC TIÊU
1. Kiến thức
Nắm khái niệm góc giữa hai vectơ trong không gian, tích vô hướng của 2 vectơ trong không gian.
Nắm được định nghĩa vectơ chỉ phương của đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng; định nghĩa 2 đường thẳng vuông góc trong không gian.
2. Kĩ năng
Biết dựng góc giữa 2 vectơ; vận dụng linh hoạt công thức tích vô hướng của 2 vectơ trong không gian; xác định được góc của 2 đường thẳng trong không gian.
Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc trong không gian.
Hình thành cho học sinh các kĩ năng khác:
Thu thập và xử lý thông tin.
Tìm kiếm thông tin và kiến thức thực tế, thông tin trên mạng Internet.
Làm việc nhóm trong việc thực hiện dự án dạy học của giáo viên.
Viết và trình bày trước đám đông.
3.Về tư duy, thái độ	
Cẩn thận, chính xác.
Tích cực hoạt động; rèn luyện tư duy khái quát, tương tự.
Nghiêm túc, tích cực, chủ động, độc lập và hợp tác trong hoạt động nhóm
Say sưa, hứng thú trong học tập và tìm tòi nghiên cứu liên hệ thực tiễn 
Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới, biết quy lạ về quen, có tinh thần hợp tác xây dựng cao.
4. Định hướng các năng lực có thể hình thành và phát triển: 
Năng lực hợp tác: Tổ chức nhóm học sinh hợp tác thực hiện các hoạt động.
Năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội kiến thức và phương pháp giải quyết bài tập và các tình huống.
Năng lực giải quyết vấn đề: Học sinh biết cách huy động các kiến thức đã học để giải quyết các câu hỏi. Biết cách giải quyết các tình huống trong giờ học.
Năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo cáo trước tập thể, khả năng thuyết trình.
Năng lực tính toán.
II. CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH
1. Giáo viên
+ Giáo án, phiếu học tập, phấn, thước kẻ, máy chiếu, ...
+ Các câu hỏi gợi mở
2. Học sinh
	+ Đọc trước bài, các kiến thức về vectơ trong không gian.
+ Chuẩn bị bảng phụ, bút viết bảng, khăn lau bảng  
III. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC
HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG
A
Mục tiêu: Tạo tình huống để học sinh tiếp cận các kiến thức, vectơ chỉ phương của hai đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng trong không gian và quan hệ vuông góc trong không gian.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Nhóm 1: 
Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng (Hình học 10). 
Xác định góc giữa hai vectơ trong hình sau:
Nhóm 2: 
Nêu định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng. (Hình học 10)
Cho hình lập phương . Tính .
Nhóm 3: Nêu khái niệm góc giữa hai đường thẳng cắt nhau. Nhận xét về mối quan hệ về góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó. 
Nhóm 4: Nêu định nghĩa hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng. Lấy ví dụ về hình ảnh hai đường thẳng vuông góc trong thực tế. 
+ Chuyển giao: GV chia lớp thành 4 nhóm. Nội dung nghiên cứu của các nhóm:
+ Thực hiện: Các nhóm thảo luận, viết vào bảng phụ và cử đại diện trình bày trước lớp.
+ Báo cáo, thảo luận: Lần lượt từng nhóm trình bày đáp án trước lớp, các nhóm khác nhận xét, góp ý. Giáo viên đánh giá chung và giải thích các vấn đề học sinh chưa giải quyết được.
- Từ nội dung trình bày của các nhóm, GV nhận xét, từ đó đặt vấn đề vào bài mới: nghiên cứu các vấn đề đã đặt ra đối với véctơ và đường thẳng vuông góc trong không gian.
HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC
B
Mục tiêu: Tiếp cận khái niệm góc giữa hai vectơ, công thức tính tích vô hướng của hai vectơ trong không gian. Học sinh hiểu khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng trong không gian, từ đó rút ra được các nhận xét. Học sinh hiểu khái niệm góc giữa hai đường thẳng và khái niệm hai đường thẳng vuông góc. Vận dụng giải quyết một số bài tập liên quan.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
1. Góc giữa hai vectơ trong không gian
Cho hình lập phương . Xác định góc giữa các cặp vectơ sau:
Định nghĩa. Trong không gian, cho , lấy điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho: , khi đó ta gọi góc là góc giữa hai vectơ và , kí hiệu là .
Câu hỏi: Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng 
Chú ý: .
Ví dụ 1.
Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ: 
	a) và 
	b) và 
Chuyển giao: GV yêu cầu học sinh quan sát hình vẽ và trả lời các câu hỏi. 
Thực hiện: Các em học sinh trả lời (có thể sai)
GV nhận xét và dẫn dắt vào định nghĩa.
a) 
b) 
c) 
d) 
- Cùng hướng.
- Vuông góc.
- Ngược hướng.
- Chuyển giao: Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm.
Nhóm 1, 2: Câu a.
Nhóm 3, 4: Câu b.
- Thực hiện: Các nhóm thảo luận và trình bày vào bảng phụ, sau đó cử đại diện lên trình bày.
- GV đánh giá, sửa chữa và hoàn thiện.
Kết quả.
a) 
b) 
2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian
Cho hình lập phương cạnh a . Tính các tích vô hướng sau: 
Định nghĩa. Trong không gian cho hai vectơ . Tích vô hướng của hai vectơ và là một số, kí hiệu là ., được xác định bởi công thức: . 
Chú ý: Từ công thức trên ta có 
+ Biểu thức độ dài của một vectơ . 
+ Tính góc giữa hai vectơ: .
+ .
Ví dụ 2.
Cho hình lập phương 
a) Hãy phân tích và theo .
b) Tính ?
Ví dụ 3: Cho S là diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng: 
Chuyển giao: GV yêu cầu học sinh suy nghĩ và trả lời. 
Thực hiện: Các em học sinh trả lời (có thể sai)
GV nhận xét và dẫn dắt vào định nghĩa.
a) 
b) 
c) 
- Chuyển giao: GV chia lớp thành 4 nhóm.
Nhóm 1, 2: Câu a.
Nhóm 3, 4: Câu b.
- Thực hiện: Các nhóm thảo luận và trình bày vào bảng phụ, sau đó cử đại diện lên trình bày.
- GV đánh giá, sửa chữa và hoàn thiện.
Kết quả.
a) 
b) 
Ta có .
Suy ra 
Do đó 
Kết luận. 
II. VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG.
Cho hình lập phương . Kể tên một số VTCP của đường thẳng đi qua hai điểm .
1. Định nghĩa
Vectơ được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu giá của vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng d. 
2. Nhận xét
a) Nếu là VTCP của d thì cũng là VTCP của d .
b) Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn có thể xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một VTCP của nó.
c) Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi là hai đường thẳng phân biệt và có hai VTCP cùng phương.
+ Chuyển giao: Nêu định nghĩa VTCP của đường thẳng trong không gian. Rút ra nhận xét.
+ Thực hiện: HS làm việc độc lập, đưa ra câu trả lời nhanh nhất. GV quan sát, nhận xét.
+ Báo cáo, thảo luận: Sau thời gian tìm hiểu, GV gọi HS đứng dậy trả lời. Các HS khác lắng nghe, nhận xét, bổ sung. 	
+ Đánh giá, nhận xét, tổng hợp: GV tổng hợp, chuẩn hóa kiến thức.Yêu cầu HS ghi bài vào vở.
III. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng
Cho biết góc giữa các cặp đường thẳng sau:
1. Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với .
2. Nhận xét:
a. Điểm có thể nằm trên đường thẳng hoặc .
b. Nếu lần lựợt là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng :
- Nếu thì góc giữa hai đường thẳng bằng góc .
- Nếu thì góc giữa hai đường thẳng bằng .
Hãy nêu một số phương pháp tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian?
Ví dụ 4. Cho hình lập phương . Tính góc giữa các cặp đường thẳng: 
a) và 
b) và 
c) và 
Ví dụ 5. Cho tứ diện ABCD có AB =2a, . M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD, MN = a. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
H1: 
H2: 
H3: 
+ Tính góc giữa hai vectơ chỉ phương, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng.
+ Tính góc giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.
- Chuyển giao: GV chia lớp thành 4 nhóm.
Nhóm 1: Ví dụ 4a
Nhóm 2: Ví dụ 4b
Nhóm 3: Ví dụ 4c
Nhóm 4: Ví dụ 5.
- Thực hiện: Các nhóm thảo luận và trình bày vào bảng phụ, sau đó cử đại diện lên trình bày.
- GV đánh giá, sửa chữa và hoàn thiện. 
a) Ta có: mà nên 
b) Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên . Do , nên 
c) Ta có: và là tam giác đều vì có các cạnh đều bằng đường chéo của các hình vuông bằng nhau. Do đó:
Gọi O là trung điểm của AC 
Suy ra OM song song với AB, ON song song với CD
 Suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng OM và ON.
Xét tam giác OMN, ta có:
==
 Suy ra góc =1350 .
 Suy ra gócgiữa hai đường thẳng AB và CD bằng 450
2. Hai đường thẳng vuông góc
Cho hình hộp chữ nhật . Kể tên các đường thẳng vuông góc với .
1. Định nghĩa
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng .
Kí hiệu: 
2. Nhận xét:
a. trong đó lần lượt là hai VTCP của hai đường thẳng .
b. 
c. Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì có thể cắt nhau hoặc không cắt nhau.
Hãy nêu một số phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong không gian?
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC, tam giác ABC và SBC cân có chung đáy BC. Chứng minh rằng hai đường thẳng SA và BC vuông góc.
Ví dụ 7. Cho tứ diện ABCD có AB ^ AC, AB ^ BD. Gọi I, J là trung điểm của AB, CD. CMR: AB ^ PQ.
+ Dùng định nghĩa.
+ Chứng minh tích vô hướng hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó bằng 0.
+ 
- Chuyển giao: GV chia lớp thành 4 nhóm.
Nhóm 1, 2: Ví dụ 6
Nhóm 3, 4: Ví dụ 7
- Thực hiện: Học sinh dựa vào kiến thức liên quan trong mặt phẳng, tìm hiểu làm ví dụ vào bảng phụ.
- Báo cáo, thảo luận: Các nhóm treo bảng phụ, cử đại diện báo cáo kết quả. Các nhóm khác nhận xét, phản biện.
- Đánh giá, nhận xét, tổng hợp chốt kiến thức: Trên cơ sở câu trả lời của học sinh, giáo viên chuẩn hóa kiến thức. HS viết bài vào vở.
Gọi M là trung điểm của BC 
Vì tam giác ABC và SBC cân đáy BC nên AM và SM vuông góc với BC.
Ta có : 
= 
= 0 (vì )
Suy ra SA BC. 
Ta có: 
Cộng vế theo vế: 
Suy ra .
Kết luận: .
HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP
C
Mục tiêu: Thực hiện được cơ bản các dạng bài tập trong SGK.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
Bài toán 1] Cho hình lập phương. Tính góc giữa hai đường thẳng và .
Gợi ý:
Do là hình lập phương nên các tam giác là các tam giác đều 
Mặt khác nên
Bài toán 2. Cho hình hộp thoi ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh bằng a và . Chứng minh tứ giác A’B’CD là hình vuông.
Gợi ý:
Trước hết ta dễ thấy tứ giác A’B’CD là hình bình hành, ngoài ra B’C = a = CD nên nó là hình thoi. Ta chứng minh hình thoi A’B’CD là hình vuông. Thật vây, ta có:
Suy ra . Vậy tứ giác A’B’CD là hình vuông. 
Bài toán 3. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng và các cạnh bên đều bằng . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng .
Gợi ý:
Ta có: .
Ta lại có: . Xét , nhận thấy: .
Theo định lí Pitago đảo, vuông tại . Suy ra: hay .
Bài toán 4. Cho hình chóp có và . Chứng minh . 
Gợi ý:
Ta có 
Mà và .
Do đó .
Bài toán 5. Cho tứ diện có . Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng mình .
Gợi ý:
Ta có là đường trung bình của .
Lại có là đường trung bình của .
 Tứ giác là hình bình hành.
Mặt khác: . Mà .
Do đó là hình thoi. Suy ra .
HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG, TÌM TÒI MỞ RỘNG
D,E
Mục tiêu: Vận dụng được bài học vào thực tế.
Nội dung, phương thức tổ chức hoạt động học tập của học sinh
Dự kiến sản phẩm, đánh giá kết quả hoạt động
HS lấy ví dụ cụ thể về hai đường thẳng vuông góc (cắt nhau, không cắt nhau) trong thực tế?
* Hai đường thẳng vuông góc (cắt nhau)
Xà ngang và cột dọc của một khung thành
* Hai đường thẳng vuông góc (chéo nhau)
Tuyến đường sắt trên cao và tuyến đường bộ bên dưới cho ta hình ảnh của hai đường thẳng vuông góc
IV. CÂU HỎI/BÀI TẬP KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ CHỦ ĐỀ THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC
NHẬN BIẾT
1
Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?
A. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
B. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.
C. Góc giữa hai đường thẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và khi song song với (hoặc trùng với ).
D. Góc giữa hai đường thẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và thì song song với .
THÔNG HIỂU
2
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếu và cùng vuông góc với thì .
B. Nếu , thì .
C. Nếu góc giữa và bằng góc giữa và thì .
D. Nếu và cùng nằm trong mặt phẳng và thì góc giữa và bằng góc giữa và .
VẬN DỤNG
3
Cho tứ diện có hai mặt là các tam giác đều. Góc giữa và là
A. .	B. .	C. .	D. .
VẬN DỤNG CAO
4
Cho tứ diện .Gọi , , lần lượt là trung điểm của , và . Cho , và . Tính góc 
A. .	B. .	C. .	D. .
V. PHỤ LỤC
PHIẾU HỌC TẬP
1
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 1
PHIẾU HỌC TẬP SỐ 2
MÔ TẢ CÁC MỨC ĐỘ
2
Nội dung
Nhận thức
Thông hiểu
Vận dụng
Vận dụng cao