Giáo án Đại số và giải tích 11 - Bài 4: Cấp số nhân

1 
§4. CẤP SỐ NHÂN 
I. MỤC TIÊU BÀI DẠY: 
1.Về kiến thức: 
- Nắm chắc khái niệm cấp số nhân 
- Tính chất 2 1 1. , 2.k k ku u u k− +=  
- Số hạng tổng quát nu 
- Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân nS . 
2.Về kỹ năng: 
- Nhận biết được những mô hình thực tế dẫn đến khái niệm cấp số nhân. 
- Tìm được số hạng thứ n, công bội, số số hạng của cấp số nhân. 
- Tính được tổng n số hạng đầu của mộtcấp số nhân. 
- Áp d ụngđược kiến thức về cấp số nhân trong các bài tập thực tiễn và bài tập của 
các môn học khác như sinh học,vật lý, địa lý, 
- Tìm được các yếu tố còn lại khi biết 3 trong 5 yếu tố 1, , , ,n nu u n q S . 
- Tính được 1,u q . 
- Tính được ,n nu S . 
3.Về thái độ, tư duy: 
- Học sinh tích cực, chủ động, tự giác trong chiếm lĩnh kiến thức, trả lời câu hỏi. 
- Học sinh thể hiện sự hứng thú, muốn tìm hiểu nội dung và ý nghĩa của cấp số 
nhân. 
- Thể hiện được sự hợp tác với giáo viên, với học sinh khác trong các hoạt động học 
tập. 
4. Định hướng phát triển năng lực 
- Có cơ hội phát triển năng lực giải quyết vấn đề thực tiễn thông qua việc hoạt 
động vận dụng kiếnthức cấp số nhân giải quyết các bài toán có nội dung thực 
tiễn. 
- Có cơ hội phát triển năng lực mô hình hóa toán học thông qua việc chuyển 
vấn đề thực tiễn thành vấn đề toán học liên quan đến cấp số nhân, cụ thể như 
sau: 
 -Nhận biết được mô hình toán học là cấp số nhân để mô tả tình huống đặt ra 
trong một số bài toán thực tiễn đơn giản; 
 - Sử dụng được các công thức, tính chất liên quan đến cấp số nhân để mô tả 
tình huống xuất hiện trong một số bài toán thực tiễn và bài toán trong các lĩnh 
2 
vực khác; 
 -Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình cáp số nhân vừa được 
thiết lập; 
 - Thể hiện được lời giải bài toán về cấp số nhân vào ngữ cảnh thực tiễn 
- Có cơ hội phát triển năng lực giao tiếp toán học thông qua hoạt động nhóm, 
tương tác với giáo viên. 
- Phát triển năng lực tự học, tự nghiên cứu: Học sinh tự giác tìm tòi, lĩnh hội 
kiến thức, phương pháp giải quyết bài tập và các tình huống. 
- Có cơ hội phát triển năng lực sử dụng công nghệ thông tin: Học sinh sử dụng 
máy tính,mạng internet, các phần mềm hỗ trợ học tập để xử lý các yêu cầu của 
bài học. 
- Có cơ hội phát triển năng lực thuyết trình, báo cáo: Phát huy khả năng báo 
cáo, thuyết trình trước tập thể. 
- Phát triển năng lực tính toán. 
5. Định hướng phát triển phẩm chất: 
- Giúp học sinh rèn luyện sự nhạy bén, linh hoạt trong tư duy. 
- Tính chính xác, kiên trì. 
II. CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS 
1. Giáo viên: 
+ Sách giáo khoa, tài liệu dạy học, Giáo án. 
 + Một số câu hỏi, bài tập áp dụng. 
+ Phương tiện, thiết bị dạy học: Máy chiếu, loa, bảng. 
2. Học sinh 
: + SGK, vở ghi, đồ dùng học tập. 
 + Chuẩn bị bài ở nhà. 
III. TIẾN TRÌNH BÀI GIẢNG: 
1. Kiểm tra bài cũ 
Bài tập: Cho cấp số cộng ( nu ), biết 1 1u = − , d=2 
a.Tìm 10u 
b.Biết 483nS = .Tìm n 
3 
2. Dạy bài mới 
 Hoạt động 1: ĐỊNH NGHĨA CẤP SỐ NHÂN 
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng - trình chiếu 
Cho học sinh thực 
hiện hoạt động 1: 
a.Cho biết số hạt thóc 
ở các ô từ thứ nhất đến 
thứ 6 của bàn cờ? 
b.Hãy viết tiếp số 
hạng tiếp theo của dãy 
sau: 
10,2,
2
5
,
2
25
, 
ô 1 có 1 hạt 
ô 2 có 2 hạt 
ô 3 có 4 hạt 
ô 4 có 8 hạt 
ô 5 có 16 hạt 
ô 6 có 32 hạt 
Số hạng tiếp theo là 
2
125
 vì 
1
10 2
5
 = , 
1 2
2
5 5
 = , 
2 1 2
5 5 25
 = nên số tiếp theo 
là 
2 1 2
25 5 125
 = 
Câu hỏi: Từ 2 hoạt 
động trên,hãy cho biết 
quy luật để tìm ra các 
số hạng đó? 
Bạn đã tìm đúng quy 
luật. Hai dãy số có đặc 
điểm như trên (số 
đứng sau bằng số 
đứng liền trước nhân 
với một số không đổi) 
được gọi là một cấp số 
nhân. 
Số hạng đứng sau bằng số 
hạng đứng trước nhân với 
một số hạng không đổi. 
Học sinh phát biểu khái 
niệm . 
4 
Phát biểu định nghĩa 
VD:Trong các dãy số 
sau, dãy nào là cấp số 
nhân? Vì sao? 
a. 
1 1 1
4,1, , ,
4 16 64
− − − 
b.
3
,3, 6, 12,24
2
− − − 
c. 8,0,0,0,0 
d. 8,8,8,8,8 
e. 0,0,0,0,0 
Từ đó ta có chú ý đặc 
biệt sau: 
a.Dãy số là cấp số nhân, vì 
kể từ số hạng thứ hai, mỗi 
số hạng đều bằng số hạng 
đứng ngay trước nó nhân 
với 
1
4
− 
b.Dãy số không là cấp số 
nhân 
c.Dãy số là cấp số nhân,với 
công bội q = 0 
d.Dãy số là cấp số nhân,với 
công bội q = 1 
e. Dãy số là cấp số nhân,với 
công bội q tùy ý 
I.Định nghĩa : 
Cấp số nhân (CSN) là một dãy số 
(hữu 
 hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ 
số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là 
tích của số hạng đứng ngay trước 
 nó với một số không đổi q. 
Số q được gọi là công bội của cấp 
 số nhân. 
Nếu (
nu )là cấp số nhân với công 
bội q, ta có hệ thức truy hồi: 
+ = 1 .nnu u q với n N
 (1) 
Khi q = 0 thì cấp số nhân có dạng 
1,0,...,0,...u 
Khi q=1 cấp số nhân có dạng 
1 1 1 1, , ,..., ,...u u u u 
Khi 1 0u = thì với mọi q, cấp số nhân 
có dạng 0,0,0,...,0,... 
5 
 Hoạt động 2: SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA CẤP SỐ NHÂN 
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng - trình chiếu 
Cho HS thực hiện 
HĐ2. 
Nêu câu hỏi: 
Bằng cách thực hiện 
như vậy ta có dẽ dàng 
tính được số thóc ở ô 
thứ 64 không? 
Có cách tính nào đơn 
giản hơn không? 
Ta thấy từ định nghĩa 
thì 
2 1.u u q= 
2
3 2 1. .u u q u q= = 
3
4 3 1. .u u q u q= = 
........ 
1
1 1. .
n
n nu u q u q
−
−= = 
Từ đó ta rút ra định lý 
sau: 
Bằng phương pháp 
quy nạp ta có thể 
chứng minh được định 
lý trên. 
HS tính lần lượt số hạt thóc 
từ ô số 1 đến ô số 11. 
Kết quả: số thóc ở ô số 11 
là: 
1024. 
- Học sinh lắng nghe 
- Học sinh trả lời 
II. Số hạng tổng quát: 
Định lý 1: 
Nếu CSN có số hạng đầu 1u và 
công bội q thì số hạng tổng quát nu 
được xác định bởi công thức sau 
 11.
n
nu u q
−= với 2n  , 0q  
(2) 
6 
Lấy ví dụ áp dụng: 
Nhận và tìm hiểu đề bài. 
Suy nghĩ và tìm cách giải 
cho từng yêu cầu của bài ra. 
+ Học sinh thực hiện giải 
bài toán 
Ví dụ: 
Cho CSN ( )nu với 1
1
2;
2
u q= − = − 
a/ Tính 7u . 
b/ Hỏi số 
3
256
 là số hạng thứ mấy? 
c/ Viết năm số hạng đầu của nó 
d/ So sánh 22u với tích 1 3.u u và 
2
3u với 
tích 2 4.u u 
 Học sinh lên bảng: 
a.Áp dụng công thức (2) ta có: 
6
6
7 1
1 3
. 3.
2 64
u u q
 
= = − = 
 
. 
b.Theo công thức (2), ta có: 
1
1
1
1 3
. 3.
2 256
n
n
nu u q
−
−  = = − = 
 
1 8 9n hay n − = = 
Vậy số 
3
256
 là số hạng thứ chín. 
c.Ta có 
 1 2 3 4 5
1 1 1
2, 1, , ,
2 4 8
u u u u u= − = = − = = − 
d.Ta có 
 22u = 1 3.u u =1 
 23u = 2 4.u u =
1
4
7 
Hoạt động 3: TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CSN 
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng - trình chiếu 
Cho CSN 2, 4,8, 16,32, 64,− − −  
+ Chú ý bộ 3 số hạng liên tiếp của 
CSN 
+ Đó là tính chất của ba số hạng liên 
tiếp của một CSN. 
+ Yêu cầu học sinh kiểm tra tính chất 
(*) với CSN ở ví dụ trên 
+ Yêu cầu học sinh kiểm tra tính chất 
(*) với CSN ở ví dụ trên 
+ Chứng minh công thức (*): 
Với 2k ta có: 
k 2
1k 1
k
1k 1
u u .q
u u .q
−
−
+




=
=
( )
2
2 2k 2 k 1 2
1 1k 1 k 1 k
u .u u .q u .q u− −− + = = = 
(Hoặc GV hướng dẫn và gọi học sinh 
lên bảng chứng minh) 
+ Cách viết khác tính chất này là rút 
căn hai vế đẳng thức (*) 
+ Tính chất này dùng để chứng minh 
một dãy số có phải là CSN hay không 
+ Giới thiệu câu chuyện về người 
+ Phát hiện vấn đề: 
Lấy 2x8=16, số -4 
giữa bình phương lên 
cũng bằng 16. 
+ Sử dụng máy tính 
kiểm tra 
+ Học sinh thực hiện 
Học sinh sau khi khai 
căn được 
11.|| +−= kkk uuu 
 Nếu (un) là CSN thì 
(*)2
k k 1 k 1
u u u− += với 
k 2 
8 
phát minh ra bàn cờ Vua chọn phần 
thưởng cho mình là: Đặt lên ô thứ 
nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp 
đến ô thứ hai hai hạt thóc, cứ như vậy 
số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt 
thóc ở ô liền trước cho đến ô cuối 
cùng. ĐVĐ: phần thưởng của người 
này là bao nhiêu? Dẫn đến sự cần 
thiết phải có công thức tính tổng n sô 
hạng đầu của một CSN 
+ Lắng nghe và trả lời 
+ cần thiết để có một 
công thức để tính tổng 
cảu n số hạng đầu của 
cấp số nhân 
Hoạt động 4 : TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CSN 
Hoạt động của GV Hoạt động của HS Ghi bảng - trình chiếu 
+ Quay lại với giải thưởng 
của người phát minh ra bàn 
cờ Vua, hãy tìm số phần 
thưởng của ông? 
* Nếu đem rải đều số thóc 
này lên bề mặt trái đất thì sẽ 
được lớp thóc dày 9mm. 
Quả là một phần thưởng 
khổng lồ, liệu nhà vua có đủ 
sô thóc để ban thưởng cho 
ông hay không? 
- Học sinh dựa vào 
công thức tính được 
64
64
64
1 2
S 2 1
1 2
−
= = −
−
Cho CSN n(u ) với công bội 
q 1 . 
Đặt : n n1 2S u u ... u= + + + 
Khi đó: 
( )n1
n
u 1 q
S
1 q
−
=
−
9 
+ Cho học sinh hoạt động 
nhóm: Mỗi nhóm 2 bàn, bàn 
trên quay xuống bàn dưới 
thảo luận trong vòng 3 phút. 
Sau đó cho 2 nhóm lên trình 
bày bài giải của mình. 
+ Gọi học sinh lên bảng giải 
Bài tập củng cố: Cho CSN 
(un), biết u1=2, u2=-6. 
a) Tìm u10 
b) Tính tổng 15 số hạng đầu 
tiên của CSN đó. 
 GIẢI 
Nhận thấy các số hạng của 
tổng S lập thành CSN với 
1u 1= và 
1
q
3
= . Vậy: 
( )n1
n
n
u 1 q
S
1 q
1
1
3
1
1
3
3 1
1
2 3
 
 
 
 
 
 
−
=
−
−
=
−
= −
. 
Ví dụ: Tính tổng 
n
S
3
1
...
3
1
3
1
1
2
++++= 
GIẢI 
a) 
2
1
u 6
q 3
u 2
−
= = = − 
( )
9
10u 2. 3 39366= − = − 
b) 
( )
15
15
15
2 1 3
1 3
S
1 3 2
 
 
 
− −
+
= =
+
10 
 Hoạt động 5: Hướng dẫn tự học ở nhà 
Mục tiêu: 
1.1. Nhận biết được những mô hình thực tế dẫn đến khái niệm CSN. 
1.2. Phát biểu được định nghĩa và công thức truy hồi của CSN. 
1.3. Tìm được số hạng thứ n,công bội ,số số hạng của CSN. 
1.4. Tính được tổng n số hạng đầu của một CSN. 
1.5. Áp dụng được kiến thức về cấp số nhân trong các bài tập thực tiễn và bài tập của các 
môn học khác như sinh học,vật lý ,địa lý 
Phương pháp: tự học 
Hình thức : Cá nhân 
1/ Học sinh ôn tập nội dung và trả lời các câu hỏi sau: 
-Trình bày định nghĩa và công thức truy hồi của CSN. 
-Trình bày tính chất của CSN. 
2/ Thực hành giải bài tập 
Bài 1: 
a, 
= -2 
= .q = -2.-1/2 = 1 
 = .q=1.-1/2 = -1/2 
= .q = -1/2.-1/2 = ¼ 
b, 
= -2 
.q = -2.-1/2=1 
= -1/2.-1/2 = ¼ 
 = 1.1/4 = 1/4 
=> . 
Bài 1:Cho cấp số nhân (un) với 
1u 2= − và q 12= − 
a) Viết bốn số hạng đầu của nó? 
b) So sánh với tích 
u1.u3 và với tích u2.u4 ? 
11 
Bài 2: 
Giả sử có cấp số 
nhân: 
Theo giả thiết ta có: 
=31 (1) 
=62 (2) 
Nhân hai vế của (1) với q, ta 
được: q=
31 
 hay =31 
⇒62=31.q⇒q=2 
Ta có: 
 =31⇔ =31 
 31  
Vậy ta có cấp số nhân là: 1,2,4,8,16,32 
Bài 2 :Tìm cấp số nhân có sáu 
số hạng, biết rằng tổng của năm 
số hạng đầu là 31 và tổng của 
năm số hạng sau là 62? 
3. Củng cố, luyện tập 
- Trình bày định nghĩa cấp số nhân? 
- Số hạng tổng quát un=u1.qn-1 với n ≥ 2 
- Tính chất các số hạng của cấp dố nhân 
- Cách tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân 
4. Hướng dẫn học bài và làm bài tập ở nhà 
- Xem lại lí thuyết. 
- Làm bài tập sách giáo khoa 
- Chuẩn bị Ôn tập chương III. 
* Rút kinh nghiệm: