Đề tham khảo (01) năm 2002 môn Toán

C á c đ ề t h a m k h ả o N g u y ễ n V ă n D ũ n g - 0 9 1 2 4 8 4 7 7 5
dung_toan78@yahoo.com 1
Đề tham khảo (01) - 2002
Câu 01:
Cho hàm số 1mmxxy 24  (1) (m là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi 8m  .
2. Xác định m sao cho đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
3. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng xy 
Câu 02:
1. Giải bất phương trình:    x1x2
2
1
x
2
1 2.32log44log   .
2. Xác định m để phương trình:   0mx2sin2x4cosxcosxsin2 44  có ít nhất một
nghiệm thuộc 

 
2;0 .
Câu 03:
1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với
mặp phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng
2
6aSA  .
2. Tinh tích phân  
1
0
2
3
1x
dxxI .
Câu 04:
 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho hai đường tròn:
    020y2x4yx:C&0x10yx:C 222221 
1. Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (C1), (C2) và có tâm nằm trên đường
thẳng 06y6x  .
2. Vết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C1) và (C2).
Câu 05:
1. Giải phương trình: .16x212x24x4x 2 
2. Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh
khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao
cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn.
Câu 06:
Gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm M thuộc miền trong của ABC có 3 góc nhọn đến các cạnh
BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
R
cba
zyx
2
222  với a,b,c là độ dài cạnh của tam giác, R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Dấu “=” xảy ra khi nào?
trang 1
C á c đ ề t h a m k h ả o N g u y ễ n V ă n D ũ n g - 0 9 1 2 4 8 4 7 7 5
dung_toan78@yahoo.com 2
Đề tham khảo (02) - 2002
Câu 01:
Cho hàm số: 2x
m2xy
2

 (1) (m là tham số)
1. Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn  0;1 .
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 1m  .
3. Tìm a để phương trình sau có nghiệm :   .01a232a9 22 t11t11  
Câu 02:
1. Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình: n9C2A 2nn3n   , trong đó knkn C,A lần lượt
là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần tử.
2. Giải phương trình :      .x4log1xlog4
13xlog2
1
2
8
42 
Câu 03:
1. Giải phương trình : .x2sin8
1x2gcot2
1
x2sin5
xcosxsin 44 
2. Xét tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = c, BC = a,CA = b. Tính diện tích tam giác ABC,
biết rằng:   20Bcos.cCcos.bCsinb  .
Câu 04:
1. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA; OB và OC đôi một vuông góc. Gọi , ,  lần lượt là các
góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC);(OCA);(OAB). Chứng minh rằng:
3coscoscos 
2. Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc 0xyz cho mặt phẳng   03zyx:P  và
hai điểm    12;7;5B,2;3;1A  .
a) Tìm toạ độ điểm A’ là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P).
b) Gtả sử M là một điểm chạy trên mặt phẳng (P), tìm GTNN của biểu thức: MBMA  .
Câu 05:
 Tính tích phân:   
3ln
0 3x
x
1e
dxeI
trang 2
C á c đ ề t h a m k h ả o N g u y ễ n V ă n D ũ n g - 0 9 1 2 4 8 4 7 7 5
dung_toan78@yahoo.com 3
Đề tham khảo (03) - 2002
Câu 01:
Cho hàm số 3
1m2x2mxx3
1y 23  (1) (m là tham số)
1. Cho 2
1m 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường
thẳng d: 2x4y  .
2. Tìm m thuộc khoảng 


6
5;0 sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (1) và các
đường 0y,0x  có diện tích bằng 4.
Câu 02:
Giải hệ phương trình: 




0ylogxlog
03y4x
24
Giải phương trình:  xcos x3sinx2sin21xtg 4
2
4 
Câu 03:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC)
và SA = a.Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đương
thẳng BE.
Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho đường thẳng:
: 



02zyx
01zyx2 và mặt phẳng   01zy2x4:P  .
 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng  trên mặt phẳng (P).
Câu 04:
Tìm giới hạn: x
1x1xlimL
3
0x
  .
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho hai đường tròn:
    016y8x6yx:C&05y4yx:C 222221 
Viết phương trình các tiếp tuyến chung hai đường tròn (C1) và (C2)
Câu 05:
Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thoã mãn điều kiện 4
5yx  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức: y4
1
x
4S 
trang 3
C á c đ ề t h a m k h ả o N g u y ễ n V ă n D ũ n g - 0 9 1 2 4 8 4 7 7 5
dung_toan78@yahoo.com 4
Đề tham khảo (04) - 2002
Câu 01:
Giải bất phương trình : 1x23x12x  .
Giải phương trình: 

  2
xtgxtg1xsinxcosxcostgx 2 .
Câu 02:
 Cho hàm số:   x3mxy 3  (m là tham số)
1. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ 0x  .
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi 1m  .
3. Tìm k dể hệ phương trinh sau có nghiệm:  




11xlog3
1xlog2
1
0kx31x
3
2
2
2
3
Câu 03:
1. Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng(ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng(ABC) và(SBC) bằng 600.
Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng;
d1: 



01zy
0aazx và d2: 



06z3x
03y3ax
a) Tìm a để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau.
b) Với 2a  , viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d2 và song song với
đường thẳng d1. Tính khoảng cách giữa d1 và d2 khi 2a  .
Câu 04:
1. Giả sử n là số nguyên dương và   nn221on xa......xaxaax1  .
Biết rằng tồn tại số k nguyên  1nk1  sao cho 24
a
9
a
2
a 1kk1k   , hãy tính n.
2. Tính tích phân:  


0
1
3x2 dx1xexI
Câu 05:
Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh rằng để tam giác ABC đều thì điều kiện cần
và đủ là: 2
ACcos2
CBcos2
BAcos4
122
Ccos2
Bcos2
Acos 222 
trang 4
C á c đ ề t h a m k h ả o N g u y ễ n V ă n D ũ n g - 0 9 1 2 4 8 4 7 7 5
dung_toan78@yahoo.com 5
Đề tham khảo (05) - 2002
Câu 01:
Cho hàm số x1
mxxy
2

 (1) (m là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 0m  .
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai
điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) bằng 10?
Câu 02:
1. Giải phương trình: 0xlog3xlog16 2x3x27 3  .
2. Cho phương trình: a3xcos2xsin
1sxcosxsin2 
 (2) (a là tham số)
a) Giải phương trình (2) khi 3
1a 
b) Tìm a để phương (2) có nghiệm.
Câu 03:
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy cho đường thẳng 01yx:d  và
đường tròn   0y4x2yx:C 22  . Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua đó ta
kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại A và B sao cho góc AMB bằng 600.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho đường thẳng d :




04z2y2x
01zy2x2 và mặt cầu   0my6x4zyx:S 222  . Tìm M để đường thẳng d
cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9.
3. Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB = a; AC = b; AD = c và các góc BAC; CAD; DAB
đều bằng 600.
Câu 04:
1. Tính tích phân : 

 2
0
56 3 xdxcosxsin.xcos1I
2. Tìm giới hạn: xcos1
1x21x3lim
23 2
0x 


Câu 05:
Giả sử a, b, c, d là bốn số nguyên thay đổi thoả mãn 50dcba  . Chứng minh bất đẳng
thức: b50
50bb
d
c
b
a 2  và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: d
c
b
aS  .
trang 5
C á c đ ề t h a m k h ả o N g u y ễ n V ă n D ũ n g - 0 9 1 2 4 8 4 7 7 5
dung_toan78@yahoo.com 6
Đề tham khảo (06) - 2002
Câu 01:
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: x3x2x3
1y 23  (1)
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và trục hoành.
Câu 02:
1. Giải phơng trình: xsinxcos8
1
2  .
2. Giải hệ phơng trình:   




3x5y3y2ylog
3y5x3x2xlog
23
y
23
x
Câu 03:
1. Cho hình tứ diện đều ABCD, cạnh cm26a  . Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng AD và BC.
2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho elip (E) : 14
y
9
x 22  và đường
thẳng 01ymx:dm  .
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng dm luôn cắt elip (E) tại hai điểm
phân biệt.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (E), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm N(1;-3).
Câu 04:
Gọi a1, a2 ,, a11 là các hệ số trong khai triển sau:
    11921011110 a......xaxax2x1x  . Hãy tính hệ số a5.
Câu 05:
1. Tìm giới hạn:  2
2
1x 1x
5x6xlimL 
 
2. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 2
3 . Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và
ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Chứng minh
rằng: 3h
1
h
1
h
1
c
1
b
1
a
1
cba



 

  .
trang 6
C á c đ ề t h a m k h ả o N g u y ễ n V ă n D ũ n g - 0 9 1 2 4 8 4 7 7 5
dung_toan78@yahoo.com 7
Đề tham khảo (01) 2003
Câu 01:
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số )1x(2
3x4x2y
2


2. Tìm m để phương trình 01xm23x4x2 2  có hai nghiệm phân biệt
Câu 02:
1. Giải phương trình:   0xcos6xsin2tgatgx3  .
2. Giải hệ phương trình: 




322
ylogxylog
yx
xy
Câu 03:
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy, cho parabol (P) có phương trình xy 2 
và điểm I(0;2). Tìm toạ độ hai điểm M, N thuộc (P) sao cho IN4IM  .
2. Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho tứ diện ABCD với A(2;3;2), B(6;-
1;-2); C(-1;-4;3); D(1;6;-5). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Tìm toạ độ điểm M
thuộc đường thẳng CD sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất.
3. Cho lăng trụ đứng CBA.ABC  có đáy ABC là tam giác cân với aACAB  và góc
 120BAC , cạnh bên aBB  . Gọi I là trung điểm CC  . Chứng minh rằng tam giác IBA 
vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng    IBA&ABC  .
Câu 04:
1. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau?
2. Tính tích phân: 


4
0
dxx2cos1
xI
Câu 05:
 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: xcos3xsiny 5  .
trang 7
C á c đ ề t h a m k h ả o N g u y ễ n V ă n D ũ n g - 0 9 1 2 4 8 4 7 7 5
dung_toan78@yahoo.com 8
Đề tham khảo (02) 2003
Câu 01:
Cho hàm số   mx2
4mmx1m2xy
22

 (1) (m là tham số)
1. Tìm m để hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của nó.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi 0m  .
Câu 02:
1. Giải phương trình:   21xtg2xcosx2cos 2 
2. Giải bất phương trình: 1xx1x 21212.15   .
Câu 03:
1. Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với
nhau và góc BDC = 90. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo
a và b.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:
d1: 1
z
2
1y
1
x  và d2: 
 ... trỡnh tham số của d': 
x 1 4t
y 3 t
z 5t
= +ỡù = - +ớ
= -ùợ
 Trờn d' tỡm điểm N sao cho MN = 42 
 Vỡ N ẻ d' ị N(4t +1, –3 + t, – 5t) 
 ( ) ( )2 22 2MN 4t t 5t 42t 42= + + - = = 
 2t 1 t 1ị = Û = ± 
. t = 1 ị N1(5, –2, –5) 
 Đường thẳng D1 qua N1 nằm trong (P), vuụng gúc d' cú VTCP 1 P d'a n ,aD ộ ự= ở ỷ
r r r
( ) ( )6;9; 3 3 2, 3,1= - - = - - . 
Vậy phương trỡnh D1: 
x 5 y 2 z 5
2 3 1
- + +
= =
-
 . t = –1 ị N2(–3, –4, 5) 
 Đường thẳng D2 qua N2 nằm trong (P), vuụng gúc d' cú VTCP ( )'dP a,na 2 =D ( )3 2, 3,1= - - 
Vậy phương trỡnh D2: 
x 3 y 4 z 5
2 3 1
+ + -
= =
-
Cõu IV: 
1. Tớnh ( ) ũũ -
-
=
-
-
=
1
0
2
21
0
2 dx4x
xxdx
4x
1xxI 
( )21 1 1
2 2 2 2 2
0 0 0
d x 4x 4 1 dx1 dx 1 4
x 4 x 4 2 x 4 x 2
-ổ ử= - + = - +ỗ ữ- - - -ố ứũ ũ ũ 
1
12
0
0
1 x 2 31 ln x 4 ln 1 ln 2 ln 3
2 x 2 2
- ựự= - - + = + -ỳỷ + ỷ
2. Từ giả thiết a, b > 0 và ab + a + b = 3. Suy ra: 
 . ab 3 (a b)= - + , (a+1)(b+1) = ab +a +b + 1 = 4 
 bđt đó cho tương đương với 
2 2 3 3a(a 1) 3b(b 1) 3a b 1
2 (a 1)(b 1) a b
+ + +
+ + ³ + -
+ + +
 ( ) ( ) 1
ba
3ba
4
3ba
4
3
2
3ba 2222 -
+
++++³++Û 
 ( ) ( ) ( ) 4
ba
12ba3ba36ba4 2222 -
+
++++³++Û 
 ( )2 2 12a b 3 a b 10
a b
Û + - + - + ³
+
 (A) 
Đặt x = a+b > 0 2 2x (a b) 4ab 4(3 x)ị = + ³ = - 
 2x 4x 12 0 x 6 hay x 2ị + - ³ ị Ê - ³ x 2ị ³ ( vỡ x > 0) 
2 2 2x a b 2ab= + + 2 2 2 2a b x 2(3 x) x 2x 6ị + = - - = + - 
 Thế x như trờn , (A) thành 
 2 12x x 4 0
x
- - + ³ , với x³ 2 
 3 2x x 4x 12 0Û - + - ³ , với x³ 2 
trang 102
 5 
 ( ) ( )2x 2 x x 6 0Û - + + ³ , với x³ 2 (hiển nhiờn đỳng) 
 Vậy bđt cho đó được chứng minh. 
Cõu Va: 
1. Với mọi n ẻ N ta cú 
 ( ) ( ) ( ) nnn1nn1n1n1nn0nn C1xC1...xCxC1x -+-++-=- --- 
 Lấy đạo hàm hai vế ta cú 
 ( ) ( ) ( ) 1nn1n2n1n1n0n1n C1...xC1nxnC1xn ----- -++--=- 
 Cho x = 1 ta cú 
 ( ) ( ) 1nn1n1n0n C1...C1nnC0 ---++--= 
2. Ta cú A(2, 1); B(b, 0); C(0,c) với b, c ³ 0 
 Ta cú DABC vuụng tại A 0AC.AB =Û 
 Ta cú ( )1,2bAB --= ; ( )1c,2AC --= 
 Do DABC vuụng tại A ( ) ( ) 01c2b2AC.AB =----=ị 
 ( )
2
5b005b2c2b21c ÊÊị³+-=ị--=-Û 
 Ta lại cú ( ) ( )22ABC 1c411b2
1AC.AB
2
1S -++-== 
 ( ) ( ) ( ) 12b2b4412b
2
1S 222ABC +-=-++-= 
 vỡ 
2
5b0 ÊÊ nờn SABC = (b – 2)2 + 1 lớn nhất Û b = 0 
 Khi đú c = 5. Vậy, ycbt Û B(0, 0) và C(0, 5) 
 Cõu Vb: 
1. Giải phương trỡnh: ( )221 2
2
1 1log 2x 3x 1 log x 1
2 2
- + + - ³ (1) 
 (1) ( ) ( )
2
11xlog
2
11x3x2log
2
1 2
2
2
2 ³-++--Û 
 ( ) ( )
2
11xlog
2
11x3x2log
2
1 2
2
2
2 ³-++--Û 
 ( )
( )
2 2
2
x 1 (x 1)log 1 2
1 (x 1)(2x 1)2 x 1 x
2
- -
Û ³ Û ³
- -ổ ử- -ỗ ữ
ố ứ
 (x 1) 2
(2x 1)
-
Û ³
-
3x 1 1 10 x
2x 1 3 2
- +
Û ³ Û Ê <
-
2. Chọn hệ trục Oxyz sao cho A(0,0,0); C(-a,0,0); B(0,a,0), 
 A1(0,0, a 2 ) 
Suy ra a 2M 0,0,
2
ổ ử
ỗ ữỗ ữ
ố ứ
 C1(-a,0, a 2 ) 
a a a 2N , ,
2 2 2
ổ ử
-ỗ ữỗ ữ
ố ứ
 và 
( )1BC a, a,a 2= - -
uuuur
; a aMN , ,0
2 2
ổ ử= -ỗ ữ
ố ứ
uuuur
; ( )2a,0,0AA1 = 
trang 103
 6 
 Ta cú: 0AA.MNBC.MN 11 == 
 Vậy MN là đường vuụng gúc chung của hai đường thẳng AA1 và BC1 
 Ta cú 1
2MA a 0,0,
2
ổ ử
= ỗ ữỗ ữ
ố ứ
uuuuur
 2MB a 0,1,
2
ổ ử
= -ỗ ữỗ ữ
ố ứ
uuur
 1
2MC a 1,0,
2
ổ ử
= -ỗ ữỗ ữ
ố ứ
uuuur
 Ta cú 21
2MA ,MB a ,0,0
2
ổ ử
ộ ự = ỗ ữở ỷ ỗ ữ
ố ứ
uuuuur uuur
 [ ]
2
2aMCMB,MA
3
11 =ị 
 [ ]
12
2aMCMB,MA
6
1V
3
11BCMA 11 == (đvtt) 
----------@--------- 
trang 104
 7 
Đề thi Dự trữ khối D-năm 2007 
Đề II 
Cõu I: Cho hàm số 
1x
xy
-
= (C) 
1. Khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số. 
2. Viết phương trỡnh tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam giỏc cõn. 
Cõu II: 
1. Giải phương trỡnh: (1 – tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgx 
2. Tỡm m để hệ phương trỡnh : 
ùợ
ù
ớ
ỡ
=+
=--
1xyx
0myx2
 cú nghiệm duy nhất 
Cõu III: Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và cỏc đường thẳng 
2
z
3
3y
2
1x:d1 =-
-
=
- và 
5
5z
4
y
6
5x:d2 -
+
==
- 
1. Viết phương trỡnh mặt phẳng (Q) chứa d1 và (Q) ^ (P). 
2. Tỡm cỏc điểm M ẻ d1, N ẻ d2 sao cho MN // (P) và cỏch (P) một khoảng bằng 2. 
Cõu IV: 
1. Tớnh ũ
p
=
2
0
2 xdxcosxI 
2. Giải phương trỡnh: x
x
2 2x1x
12log -+=- . 
Cõu Va (cho chương trỡnh THPT khụng phõn ban): 
1. Từ cỏc chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cú thể lập được bao nhiờu số tự nhiờn chẵn mà mỗi số gồm 4 chữ số khỏc 
nhau. 
2. Trong mặt phẳng Oxy cho cỏc điểm A(0, 1) B(2, –1) và cỏc đường thẳng: d1: (m – 1)x + (m – 2)y + 2 – m 
= 0 
 d2: (2 – m)x + (m – 1)y + 3m – 5 = 0 
Chứng minh d1 và d2 luụn cắt nhau. Gọi P = d1 ầ d2. Tỡm m sao cho PBPA + lớn nhất 
Cõu Vb (cho chương trỡnh THPT phõn ban): 
1. Giải phương trỡnh: 022.72.72 xx21x3 =-+-+ . 
2. Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 cú tất cả cỏc cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh 
BM ^ B1C và tớnh d(BM, B1C). 
============== 
trang 105
 8 
Bài giải 
Cõu I: 
1. Khảo sỏt hàm số (Bạn đọc tự giải) 
2. Ta cú 
( )2
1y ' 0, x 1
x 1
-
= < " ạ
-
 Từ đồ thị ta thấy để tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận một tam giỏc vuụng cõn ta phải cú hệ số gúc của tiếp 
tuyến là –1 tức là: 
( )
( ) 2x ,0x11x1
1x
1
21
2
2 ==ị=-Û-=-
- 
 . Tại x1 = 0 ị y1 = 0 ị phương trỡnh tiếp tuyến là y = –x 
 . Tại x2 = 2 ị y2 = 2 ị phương trỡnh tiếp tuyến là y = –x + 4 
Cõu II: 
1. Giải phương trỡnh: (1 – tgx)(1 + sin2x) = 1 + tgx (1) 
 Đặt: t = tgx 2t1
t2x2sin
+
=ị . Pt (1) thành 
 ( ) 2
2t1 t 1 1 t
1 t
ổ ử- + = +ỗ ữ+ố ứ
( )( )2 21 t t 1 (t 1)(1 t )Û - + = + + 
 ( ) ( ) 2t 1 0 hay 1 t t 1 (1 t )Û + = - + = + 
 t 1 hay t 0Û = - = 
 Do đú (1) Û tgx = 0 hay tgx = –1 
 Û x = kp hay x = 
4
p
- + kp, kẻÂ 
Cỏch khỏc 
(1) Û (cosx – sinx)(cosx + sinx)2 = cosx + sinx 
(hiển nhiờn cosx = 0 khụng là nghiệm) 
Û cosx + sinx = 0 hay (cosx – sinx)(cosx + sinx) = 1 
Û tgx = -1 hay cos2x = 1Û x = 
4
p
- + kp hay x = kp, kẻÂ 
 2. Tỡm m để hệ sau cú nghiệm duy nhất 
 (I) 
ùợ
ù
ớ
ỡ
-=
=--
Û
ùợ
ù
ớ
ỡ
=+
=--
x1xy
0myx2
1xyx
0myx2
 Với điều kiện: 
ợ
ớ
ỡ
Ê
³
1x
0xy
ta cú 
 (I) Û ( ) ( ) ( )
2
2
y 2x my 2x m
1 xxy 1 x y x 1
x
= -ỡ= -ỡ ùÛ -ớ ớ= - = Êợ ùợ
 ( ) ( )
2
21 x 2x m x 2 m x 1 0
x
-
ị = - Û + - - = (*) 
 ( hiển nhiờn x = 0 khụng là nghiệm của (*) ) 
 Đặt ( )2f (x) x 2 m x 1= + - - , ( a = 1 ) 
 ycbt Û tỡm m để phương trỡnh (*) cú đỳng 1 nghiệm thỏa x Ê 1 
trang 106
 9 
 Û af(1) < 0 hay 
f (1) 0 0(vn,do ac 0)
c bhay1 1(VN) 1
a 2a
= D = <ỡ ỡù ù
ớ ớ= - > - Êù ùợ ợ
 Û 2 m- 2 
Cõu III: 
1. d1 đi qua A(1, 3, 0), VTCP ( )2,3,2a -= 
 Mặt phẳng (P) cú PVT ( )2,2,1nP -= 
 M/phẳng (Q) chứa d1 và ^ (P) nờn (Q) cú PVT [ ] ( )1,2,2n,an PQ ---== 
 Vậy (Q) qua A cú PVT ( )1,2,2nQ ---= nờn phương trỡnh (Q): 
 –2(x – 1) – 2(y – 3) – 1(z – 0) = 0 Û 2x + 2y + z – 8 = 0 
2. P/trỡnh tham số d1: 
x 1 2t
y 3 3t
z 2t
= +ỡù = -ớ
=ùợ
( )1M d M 1 2t,3 3t, 2tẻ ị + - 
 P/trỡnh tham số d2: 
x 5 6t '
y 4t '
z 5 5t '
= +ỡù =ớ
= - -ùợ
 ( )2M d N 5 6t ', 4t ', 5 5t 'ẻ ị + - - 
 Vậy ( )5t2't5,3t3't4,4t2't6MN ----++-= 
 Mặt phẳng (P) cú PVT ( )2,2,1nP -= 
 Vỡ MN // (P) 0n.MN P =Û 
 ( ) ( ) ( )1 6t ' 2t 4 2 4t ' 3t 3 2 5t ' 2t 5 0 t t 'Û - + - + - + - - - = Û = - 
 . Ta lại cú khoảng cỏch từ MN đến (P) bằng d(M, P) vỡ MN // (P) 
( ) ( )
2
441
1t22t332t21
=
++
-+--+
 6 12t 6 6 12t 6 hay 6 12t 6 t 1hay t 0Û - + = Û - + = - + = - Û = = 
 . t = 1 ị t' = –1 ị M1(3, 0, 2) N1(–1, –4, 0) 
 . t = 0 ị t' = 0 ị M2(1, 3, 0) N2(5, 0, –5) 
Cõu IV: 
1. Tớnh ũ
p
=
2
0
2 xdxcosxI 
 Đặt: u = x2 ị du = 2xdx ; dv = cosxdx , chọn v = sinx 
 Vậy I = 
p p
p
= -ũ ũ
2 2
2 2 2
0
0 0
x cosxdx x sin x 2 xsin xdx 
 Ta cú 
p
p
=
2
2 2
0
x sin x
4
trang 107
 10 
 I1 = 
2
0
xsin xdx
p
ũ ; Đặt u = x ị du = dx 
 dv = sinxdx, chọn v = - cosx 
 I1 = 
p p
p
= - +ũ ũ
2 2
2
0
0 0
xsin xdx x cosx cosxdx 
 = [ ]20x cos x sin x 1
p
- + = 
 Vậy : I = 
2 2
2
0
x cos xdx 2
4
p
p
= -ũ 
2. Giải phương trỡnh 
x
x
2
2 1log 1 x 2 (*)
x
-
= + - 
 Điều kiện 
x x 02 1 0 2 1 2 x 0
x 0 x 0
ỡ ỡù ù- > > =Û Û >ớ ớ
ạ ạù ùợ ợ
 (*) Û - = - +
x
x
2
2 1log 1 2 x
x
 và x > 0 
 Û - - = - +x x2 2log (2 1) log x 1 2 x và x > 0 
 Û (2x - 1) + log2(2x - 1) = x + log2x (**) 
 Xột hàm f(t) = t + log2t đồng biến nghiờm cỏch khi t > 0 
 Do đú f(u) = f(v) Û u = v, với u > 0, v > 0 
 Vậy từ (**) Û 2x - 1 = x Û 2x - x -1 = 0 (***) 
 Lại xột hàm g(x) = 2x - x - 1 khi x > 0 
 g'(x) = 2xln2 - 1 , g'(x) = 0 Û = = >x 2
12 log e 1
ln 2
 Û 2 2x log (log e) 0= > 
 Ta cú g//(x) > 0 với mọi x nờn g'(x) là hàm tăng trờn R 
/
2 2g (x) 0, x log (log e)ị < " < và 
/
2 2g (x) 0, x log (log e)> " > 
gị giảm nghiờm cỏch trờn ( ]2 2; log (log e)-Ơ 
 và g tăng nghiờm cỏch trờn [ )2 2log (log e);+Ơ 
g(x) 0ị = cú tối đa là 1 nghiệm trờn ( ]2 2; log (log e)-Ơ , và cú tối đa là 1 nghiệm trờn [ )2 2log (log e);+Ơ . 
bằng cỏch thử nghiệm ta cú pt g(x) 0= (***) cú 2 nghiệm là 
 x = 0 và x = 1 . Vỡ x > 0 nờn (*) Û x = 1. 
Cõu Va: 
1/ Gọi n = 1 2 3 4a a a a là số cần tỡm. Vỡ n chẵn ị a4 chẵn. 
 * TH1 : a4 = 0 Ta cú 1 cỏch chọn a4 
 6 cỏch chọn a1 
 5 cỏch chọn a2 
 4 cỏch chọn a3 
trang 108
 11 
 Vậy ta cú 1.6.5.4 = 120 số n 
 * TH2 : a4 ạ 0. Ta cú 3 cỏch chọn a4 
 5 cỏch chọn a1 
 5 cỏch chọn a2 
 4 cỏch chọn a4 
 Vậy ta cú 3.5.5.4 = 300 số n . 
 Tổng cộng hai trường hợp ta cú : 120 + 300 = 420 số n 
2. Tọa độ giao điểm P của d1, d2 là nghiệm của hệ phương trỡnh 
(m 1)x (m 2)y m 2
(2 m)x (m 1)y 3m 5
- + - = -ỡ
ớ - + - = - +ợ
 Ta cú 
2
2m 1 m 2 3 1D 2m 6m 5 2 m 0 m
2 m m 1 2 2
- - ổ ử= = - + = - + > "ỗ ữ- - ố ứ
 Vỡ 
23 1D 2 m 0 m
2 2
ổ ử= - + > "ỗ ữ
ố ứ
 nờn d1, d2 luụn luụn cắt nhau. 
 Ta dễ thấy A(0,1) ẻ d1 ; B(2,-1) ẻ d2 và d1 ^ d2 
 ị D APB vuụng tại P ị P nằm trờn đường trũn đường kớnh AB. 
 Ta cú (PA + PB)2 Ê 2(PA2 + PB2) = 2AB2 = 2 2(2 2) 16= 
 ị PA + PB Ê 4. Dấu "=" xảy ra Û PA = PB Û P là trung điểm của cung ằAB 
 Vậy Max (PA + PB) = 4 khi P là trung điểm của cung ằAB 
 ị P nằm trờn đường thẳng y = x – 1 qua trung điểm I (1 ;0) của AB 
 và IP = 2 ị P (2 ; 1 ) hay P (0 ;- 1) 
 Vậy ycbt Û m = 1 v m = 2 
Cõu Vb: 
1. Giải phương trỡnh : 23x+1 - 7.22x + 7.2x - 2 = 0 
 Û 2.23x - 7.22x + 7.2x - 2 = 0 
 Đặt t = 2x > 0 thỡ (1) thành 
 2t3 - 7t2 + 7t - 2 =0 
 Û (t - 1)(2t2 - 5t + 2) = 0 Û t = 1 hay t = 2 hay t = 1
2
 Do đú pt đó cho tương đương 
 = = =x x x 12 1hay 2 2 hay 2
2
 Û x = 0 hay x = 1 hay x = -1 
 2. Chọn hệ trục Oxyz sao cho 
 ta cú A(0 ;0 ;0); A1(0,0,a); C ( - a ;0 ;0 ) ị B
ổ ử
-ỗ ữỗ ữ
ố ứ
a a 3, ,0
2 2
 ; B1
ổ ử
-ỗ ữỗ ữ
ố ứ
a a 3, ,a
2 2
 ;M a0,0,
2
ổ ử
ỗ ữ
ố ứ
ị 
ổ ử ổ ử
= - =ỗ ữ ỗ ữỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
uuuur uuuur
1
a a 3 a a a 3BM , , ;CB , ,a
2 2 2 2 2
 ị = - + =
uuuur uuuur 2 2 2
1
a 3a aBM.CB 0
4 4 2
 ị BM ^ B1C 
 Ta cú 1B.B (0,0,a)=
uuuuur
 ị = =
uuuur uuuur uuuur
uuuur uuuur
1 1
1
1
[BM.B C].BB a 30d(BM,B C)
10[BM.B C]
----------@--------- 
trang 109