Đề cương ôn tập Toán Lớp 11 - Giới hạn dãy số

 BÀI TẬP GIỚI HẠN
GIỚI HẠN DÃY SỐ
A. LÝ THUYẾT
I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN .
1. Định nghĩa
Ta nói rằng dãy số có giới hạn ( hay có giới hạn là ) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu: . 
Nói một cách ngắn gọn, nếu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Từ định nghĩa suy ra rằng:
a) .
b) Dãy số không đổi , với , có giới hạn là .
c) Dãy số có giới hạn là nếu có thể gần bao nhiêu cũng được, miễn là đủ lớn.
2. Một số dãy số có giới hạn 
Định lí 4.1
Cho hai dãy số và .
Nếu với mọi và thì .
STUDY TIP
Định lí 4.1 thường được sử dụng để chứng minh một dãy số có giới hạn là .
Định lí 4.2
Nếu thì .
Người ta chứng mình được rằng
a).
b)
c)với mọi số nguyên dương cho trước.
Trường hợp đặc biệt : .
d)với mọi và mọi cho trước.
STUDY TIP
Cách ghi nhớ các kết quả bên như sau: Khi tử số không đổi, mẫu số càng lớn (dần đến dương vô cực) thì phân số càng nhỏ (dần về )
II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN.
1. Định nghĩa
Ta nói rằng dãy số có giới hạn là số thực nếu .
Kí hiệu: .
Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.	
STUDY TIP
Dãy số không đổi với , có giới hạn là .
 khi và chỉ khi khoảng cách trên trục số thực từ điểm đến trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là đủ lớn; nói một cách hình ảnh, khi tăng thì các điểm “ chụm lại” quanh điểm .
Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn.
2. Một số định lí
Định lí 4.3
Giả sử . Khi đó
a)và .
b) Nếu với mọi thì và .
Định lí 4.4
Giả sử ,và là một hằng số. Khi đó
a) .	b).
c).	D).
e)(nếu ).
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Định nghĩa
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội thỏa .
Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
III. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC.
1. Dãy số có giới hạn 
Ta nói rằng dãy số có giới hạn nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
Kí hiệu: . 
Nói một cách ngắn gọn, nếu có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Người ta chứng minh được rằng:
a) .
b) 
c)với một số nguyên dương cho trước.
Trường hợp đặc biệt : .
d) nếu .
2. Dãy số có giới hạn 
Ta nói rằng dãy số có giới hạn nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó.
Kí hiệu: . 
Nói một cách ngắn gọn, nếu có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi.
Nhận xét:
a).
b) Nếu thì trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn đủ lớn. Đo đó trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn đủ lớn. Nói cách khác, nếu thì .
STUDY TIP
Các dãy số có giới hạn hoặc được gọi chung là các dãy số có giới hạn vô cực hay dần đến vô cực.
Định lí 4.5
Nếu thì . 
STUDY TIP
Ta có thể diễn giải “nôm na” định lí 4.5 như sau cho dễ nhớ: Khi tử số không đổi, mẫu số có giá trị tuyệt đối càng lớn(dần đến vô cực) thì phân số càng nhỏ(dần về ).
3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc 1
Nếu và thì được cho trong bảng sau:



 





 





STUDY TIP
Vì và không phải là những số thực nên không áp dụng được các định lí về giới hạn hữu hạn cho các dãy số có giới hạn vô cực.
Quy tắc 2
Nếu và thì được cho trong bảng sau:

Dấu của 

 





 





Quy tắc 3
Nếu và và hoặc kể từ một số hạng nào đó trở đi thì được cho trong bảng sau:
Dấu của 
Dấu của

 





 





STUDY TIP
Ở cả ba quy tắc, về dấu, tương tự như quy tác về dấu của phép nhân hoặc phép chia hai số.
Để cho dễ nhớ, ta diễn giải các quy tắc một cách “nôm na” như sau:
 - Quy tắc 1: Tích của hai đại lượng vô cùng lớn là một đại lượng vô cùng lớn.
 - Quy tắc 2: Tích của đại lượng vô cùng lớn với một đại lượng khác là một đại lượng vô cùng lớn.
- Quy tắc 3: Khi tử thức có giới hạn hữu hạn khác , mẫu thức càng nhỏ(dần về ) thì phân thức càng lớn(dần về vô cực).
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ
DẠNG 1. TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC
 bằng
	A. .	B. .	C. .	D. .
Đáp án D.
Lời giải
Cách 1: Ta có:.
Vì và nên theo quy tắc 2, 
Cách 2: Sử dụng MTCT tính giá trị của biểu thức tại một giá trị lớn của (do ) như sau: Nhập vào màn hình biểu thức . Bấm . Máy hỏi nhập , ấn . Máy hiện kết quả như hình bên. Ta thấy kết quả tính toán với là một số dương rất lớn. Do đó chọn D.
 bằng
A. 	B. 	C. 5.	D. 
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1: Ta có 
Vì và nên (theo quy tắc 2).
Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như ví dụ trên.
Ta thấy kết quả tính toán với là một số âm rất nhỏ. Do đó chọn đáp án có giới hạn bằng .
Tổng quát: Cho là một số nguyên dương.
a) nếu 
b) nếu 
Chẳng hạn: vì ; vì .
STUDY TIP
Cho có dạng đa thức (bậc lớn hơn 0) của .
- Nếu hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của là một số dương thì .
- Nếu hệ số của lũy thừa bậc cao nhất của là một số âm thì .
, với bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1: Ta có: .
Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi tương tự những ví dụ trên.
Đây không phải là giá trị chính xác của giới hạn cần tìm, mà chỉ là giá trị gần đúng của một số hạng với khá lớn, trong khi dần ra vô cực. Tuy nhiên kết quả này cũng giúp ta lựa chọn đáp án đúng, đó là đáp án B.
STUDY TIP
Một số dòng máy hiện kết quả là dạng phân số, chẳng hạn . Do nên chọn B.
 với bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Cách 1: Chia cả tử và mẫu của phân thức cho ( là lũy thừa bậc cao nhất của trong phân thức), ta được: . Vì và nên .
Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như các ví dụ trên.
Ví dụ 5: 	Giới hạn của dãy số với bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1: Chia cả tử và mẫu của phân thức cho ( là bậc cao nhất của trong phân thức), ta được
.
Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như các ví dụ trên.
Ví dụ 6: 	Giới hạn của dãy số với , bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Cách 1: Chia cả tử và mẫu cho ( là lũy thừa bậc cao nhất của trong mẫu thức), ta được Vậy .
Cách 2: Chia cả tử và mẫu cho ( là lũy thừa bậc cao nhất của trong phân thức), ta được 
. Vì , và với mọi nên theo quy tắc 3, .
Cách 3: Ta có Vì và nên theo quy tắc 2, 
Cách 4: Sử dụng MTCT tương như các ví dụ trên.
STUDY TIP
Rõ ràng làm theo cách 1 (chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của trong mẫu thức) ít phải lập luận hơn cách 2 và cách 3.
Tổng quát:
Xét dãy số với trong đó 
(dạng phân thức với tử số và mẫu số là các đa thức của ).
a) Nếu (bậc tử lớn hơn bậc mẫu) thì nếu nếu 
b) Nếu (bậc tử bằng bậc mẫu) thì 
c) Nếu (bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu) thì .
STUDY TIP
Cho có dạng phân thức của .
- Nếu bậc tử cao hơn bậc mẫu thì có giới hạn là vô cực
- Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì bằng hệ số của lũy thừa cao nhất trên tử chia cho hệ số của lũy thừa cao nhất ở mẫu.
- Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì .
Ví dụ 7: 	 bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có mà nên chọn đáp án A.
Lưu ý: Sử dụng MTCT. Với , máy tính cho kết quả như hình bên. Với , máy bào lỗi do việc tính toán vượt quá khả năng của máy. Do đó với bài này, MTCT sẽ cho kết quả chỉ mang tính chất tham khảo.
Nhận xét: Hoàn toàn tương tự, ta có thể chứng minh được rằng:
a) b) .
Trong đó nguyên dương.
Chẳng hạn: ; ; ; ..
STUDY TIP
Khi sử dụng MTCT, với các bài toán liên quan đến lượng giác, trước khi tính toán ta cần chọn chế độ Rad (radian) hoặc Deg (degree) cho phù hợp với đề bài.
Ví dụ 8: 	 bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Cách 1: Ta có mà nên suy ra 
Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự các ví dụ trên.
Nhận xét: Dãy không có giới hạn nhưng mọi dãy , trong đó thì có giới hạn bằng 0.
Ví dụ 9: 	Tính giới hạn 
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1: Ta có 
Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự các ví dụ trên.
STUDY TIP
Hằng đẳng thức thứ ba: Hai biểu thức và được gọi là biểu thức liên hợp của nhau.
Ví dụ: và là hai biểu thức liên hợp của nhau.
Nhận xét: a) ở bước 3 ta đã chia cả tử và mẫu cho . Lưu ý là .
b) Ta có , Vì và nên không áp dụng được quy tắc 2 như trong ví dụ trước đó.
Ví dụ 10: bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1: Ta có 
Vì nên .
Cách 2: Sử dung MTCT như các ví dụ trên.
Ví dụ 11: bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Cách 1: Ta có 
Vì và nên theo quy tắc 2, 
Cách 2: Sử dụng MTCT tương tự như các ví dụ trên.
Tổng quát:
Xét dãy số trong đó 
- Nếu và : Giới hạn hữu hạn.
+ Nếu hai căn cùng bậc: Nhân chia với biểu thức liên hợp.
+ Nếu hai căn không cùng bậc: Thêm bớt với rồi nhân với biểu thức liên hợp.
- Nếu hoặc Đưa lũy thừa bậc cao nhất của ra ngoài dấu căn. Trong trường hợp này sẽ có giới hạn vô cực.
Nhận xét: Trong chương trình lớp 12, các em sẽ được học về căn bậc ( nguyên dương) và lũy thừa với số mũ hữu tỉ. Người ta định nghĩa rằng , trong đó là số thực dương, là số nguyên dương, là số nguyên dương, Các tính chất của lũy thừa với số mũ hữu tỉ tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương.
Chẳng hạn: 
Chẳng hạn:
a) Với : nhân chia với biểu thức liên hợp của là . Dãy số có giới hạn hữu hạn bằng .
b) Với : đưa ra ngoài dấu căn.
Giới hạn của .
c) Với : đưa ra ngoài dấu căn.
Giới hạn của bằng .
 bằng : 
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) của 
.
STUDY TIP
Hằng đẳng thức thứ bảy: .
Hai biểu thức và cũng được gọi là hai biểu thức liên hợp (bậc ba) của nhau.
 bằng : 
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
 bằng : 
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có 
Vì và nên theo quy tắc 2, 
 bằng : 
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
 bằng :
A. .	B. .	C. .	D. . 
Hướng dẫn giải
Chọn B.
.
Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi. Nhập vào màn hình như hình dưới đây. Bấm CALC. Máy hỏi X? Nhập 100, ấn =. Máy hiện kết quả bằng 7. 
 bằng :
A. .	B. .	C. .	D. . 
Hướng dẫn giải
Chọn A.
.
STUDY TIP
Khi sử dụng máy tính cầm tay, nếu nhập giá trị X quá lớn, máy sẽ báo lỗi do giá trị của tăng rất nhanh khi X tăng, nên vượt quá khả năng tính toán của máy. Khi đó cần thử lại các giá trị khác của X. Như vậy các bài toán chứa ta không nên tính với quá lớn.
Cách 2: Sử sụng máy tính cầm tay tương tự như ví dụ trên.
Ta thấy kết quả tính toán với là một số dương rất nhỏ. Do đó chọn đáp án giới hạn bằng . 
 bằng :
A. .	B. .	C. .	D. . 
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Chia cả tử và mẫu cho ta được 
Mà và với mọi nên theo quy tắc 3, .
Dạng 2. Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi.
Cho dãy số được xác định bởi với mọi . Biết dãy số có giới hạn hữu hạn, bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
 Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được với mọi 
 Đặt . Ta có hay 
 Vậy .
Lưu ý: Để giải phương trình ta có thể sử dụng chức năng SOLVE của MTCT 
(Chức năng SOLVE là chức năng tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình bằng phương pháp chia đôi). Ta làm như sau:
Nhập vào màn hình ; Bấm SHIFT CALC (tức SOLVE); Máy báo Solve for ; Nhập ; Máy báo kết quả như hình bên. 
 tức đây là nghiệm chính xác. Lại ấn phím . Máy báo Solve for ; Nhập ; Máy báo kết quả như bên.
 tức đây là nghiệm chính xác. Tuy nhiên ta chỉ nhận nghiệm không âm. Vậy . (Ta chỉ tìm ra hai nghiệm thì dừng lại vì dễ thấy phương trình hệ quả l ... 
A. .	B. .	C. .	D. .
Đáp án B.
Lời giải
Quan sát đồ thị ta thấy . Vậy nên không tồn tại. Do đó hàm số gián đoạn tại điểm .
Cho hàm số . Hàm số liên tục trên khoảng nào sau đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Đáp án B.
Lời giải
Hàm số có dạng phân thức hữu tỉ xác định trên tập hợp nên theo Định lí 1, hàm số liên tục trên các khoảng . Vì nên đáp án đúng là B.
STUDY TIP 
Các hàm số sơ cấp liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
Cho hàm số . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. liên tục trên .	
B. liên tục trên các khoảng và .	
C. liên tục trên các khoảng và .	
D. liên tục trên các khoảng , và .
Đáp án D.
Lời giải
 là hàm phân thức hữu tỉ, có tập xác định là nên theo Định lí 1, liên tục trên các khoảng , và .
STUDY TIP 
Thật ra rút gọn ta được nhưng không vì thế mà kết luận trên các khoảng và .
Chú ý: Không được rút gọn biểu thức của hàm số trước khi tìm tập xác định!
Cho hàm số . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? 
A. liên tục tại .	B. liên tục tại .	
C. liên tục trên .	D. liên tục trên .
Đáp án B.
Lời giải
Hàm số xác định trên . Theo định lí , liên tục trên . Do đó liên tục trên và tại . Vậy đúng suy ra sai .
Thật vậy, vì không tồn tại khoảng nào chứa điểm mà xác định trên nên không thể xét tính liên tục của tại . Do đó không thể khẳng định liên tục tại .
Cho hàm số . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. liên tục trên .	B. liên tục trên .	
C. liên tục trên .	D. liên tục tại .
Đáp án C.
Lời giải
Trên , nên theo định lí 1, liên tục trên . Vậy chọn đáp án đúng là C.
Giải thích thêm:
Ta có , .
Vậy nên không tồn tại.
Do đó không liên tục tại nên sai.
Mặt khác . Vậy nên không liên tục trên . Do đó B sai.
Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để hàm số liên tục tại .
A. .	B. .	C. .	D. .
Đáp án D.
Lời giải
 xác định trên .
Ta có và .
(có thể dùng MTCT để tính giới hạn của hàm số)
Để liên tục tại thì .
Chon hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để hàm số liên tục tại .
A. .	B. .	C. .	D. .
Đáp án A.
Lời giải
Hàm số đã cho xác định trên .
Ta có .
Tương tự ta có .(có thể dùng MTCT để tính giới hạn của hàm số)
Vậy nên không tồn tại. Vậy với mọi , hàm số đã cho không liên tục tại .
Do đó đáp án đúng là A.
Ta có thể tam khảo thêm đồ thị của hàm số khi để hiểu rõ hơn.
Cho và là các số thực khác . Tìm hệ thức liên hệ giữa và để hàm số liên tục tại .
A. .	B. .	C. .	D. .
Đáp án B.
Lời giải
Cách 1: Theo kết quả đã biết thì . Mặt khác . Để hàm số đã cho liên tục tại thì . Vậy đáp án đúng là B.
Cách 2: Sử dụng MTCT. Chọn các giá trị cụ thể của và thỏa mãn từng hệ thức rồi tính toán cho đến khi được kết quả . Chẳng hạn với hệ thức ở đáp án A, chọn ta tìm được nên không thỏa mãn. Với hệ thức ở đáp án B, chọn ta được nên thỏa mãn . Do đó đáp án là B.
STUDY TIP 
.
Cho hàm số . Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để hàm số liên tục trên .
A. .	B. .	C. .	D. .
Đáp án C.
Lời giải
Cách 1: Hàm số xác định trên , liên tục trên khoảng .
Ta có .
Nếu thì nên hàm số không liên tục tại .
Nếu thì ta có .
Để hàm số liên tục tại thì .
Với thì khi , liên tục trên .
Tóm lại với thì hàm số đã cho liên tục trên .
Cách 2: Hàm số xác định trên , liên tục trên khoảng .
Ta có .
Thử lần lượt các giá trị từ A dến C thấy thỏa mãn . Do đó chọn đáp án C.
DẠNG 2. CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
Phương pháp chung:
Một phương pháp chứng minh phương trình có nghiệm trên khoảng :
Chứng minh hàm số liên tục trên đoạn .
Chứng minh .
Từ đó kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng .
Để chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm ta cần tìm được hai số và sao cho hàm số liên tục trên đoạn và .
Cho hàm số xác định trên đoạn . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. Nếu hàm số liên tục trên đoạn và thì phương trình không có nghiệm trong khoảng .	
B. Nếu thì phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng .	
C. Nếu phương trình có nghiệm trong khoảng thì hàm số phải liên tục trên khoảng .	
D. Nếu hàm số liên tục, tăng trên đoạn và thì phương trình không thể có nghiệm trong khoảng .
Đáp án D.
Lời giải
A sai. Chẳng hạn xét hàm số . Hàm số này xác định trên đoạn và liên tục trên đó, đồng thời nhưng lại có hai nghiệm thuộc vào khoảng .
B sai . vì thiếu điều kiện liên tục trên đoạn .
C sai. Chẳng hạn xét hàm số . Hàm số này xác định trên đoạn , có nghiệm thuộc vào khoảng nhưng gián đoạn tại điểm , tức là không liên tục trên .
Vậy D đúng. Thật vậy:
Vì hàm số liên tục, tăng trên đoạn nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là , giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là .
Nếu thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là một số dương nên không có giá trị nào của trên khoảng làm cho . Do 
đó phương trình không thể có nghiệm trong khoảng 
+ Nếu do nên suy ra Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là một số âm nên không có giá trị nào của trên khoảng làm cho . Do đó phương trình không thể có nghiệm trong khoảng .
Cho phương trình trong đó là các tham số thực. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A. Phương trình vô nghiệm với mọi .	
B. Phương trình có ít nhất một nghiệm với mọi .	
C. Phương trình có ít nhất hai nghiệm với mọi .	
D. Phương trình có ít nhất ba nghiệm với mọi .
Lời giải
Đáp án B.
Dễ thấy thì phương trình trở thành Vậy A, C, D sai. Do đó B đúng.
Giải thích thêm: Xét bài toán “Chứng minh rằng phương trình luôn có ít nhất một nghiệm với mọi ”. Ta có lời giải cụ thể như sau:
Đặt Ta có:
+ với mọi nên tồn tại một giá trị sao cho . 
+ với mọi nên tồn tại một giá trị sao cho .
Vậy mà liên tục trên nên suy ra có ít nhất một nghiệm trên khoảng . Từ đó suy ra ĐPCM.
STUDY TIP 
Phương trình đa thức bậc lẻ trong đó luôn có ít nhất một nghiệm với mọi giá trị của 
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để phương trình: có nghiệm. 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Đáp án B.
Nếu : Phương trình đã cho trở thành 
Nếu : theo STUDY TIP vừa nêu thì phương trình đã cho luôn có nghiệm.
Tóm lại với mọi thì phương trình đã cho luôn có nghiệm. Do đó B đúng.
Cho phương trình Chọn khẳng định đúng:
A. Phương trình có đúng một nghiệm trên khoảng .	
B. Phương trình có đúng hai nghiệm trên khoảng .	
C. Phương trình có đúng ba nghiệm trên khoảng .	
D. Phương trình có đúng bốn nghiệm trên khoảng .
Lời giải
Đáp án D.
Cách 1: Sử dụng chức năng Table trên MTCT: Start: End: Step: ta được kết quả như sau:
Quan sát kết quả ta thấy giá trị của tại các điểm trong khoảng đổi dấu 4 lần. Mà phương trình bậc 4 thì có tối đa 4 nghiệm thực. Vậy phương trình có đúng bốn nghiệm trên khoảng . Do đó D là đáp án đúng.
Cách 2: Sử dụng chức năng Shift Calc (Solve) của MTCT để tìm nghiệm xáp xỉ của phương trình trong khoảng Tuy nhiên cách này tiềm ẩn nhiều may rủi hơn cách sử dụng chức năng Table như trên.
STUDY TIP 
Nếu liên tục trên đoạn và đổi dấu khi từ qua thì phương trình có ít nhất một nghiệm trên khoảng . 
Cho phương trình Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Phương trình không có nghiệm trong khoảng .	
B. Phương trình không có nghiệm trong khoảng .	
C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng .	
D. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng .
Lời giải
Đáp án D.
Cách 1: Sử dụng chức năng Table trên MTCT: Start: End: Step: ta được kết quả như sau:
Quan sát kết quả ta thấy trên khoảng phương trình có ít nhất hai nghiệm, trên khoảng phương trình có ít nhất hai nghiệm, trên khoảng phương trình có ít nhất ba nghiệm, trên khoảng phương trình có ít nhất hai nghiệm. Vậy D là đáp án đúng.
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG
Cho hàm số có đồ thị như hình dưới đây:
	Chọn khẳng định đúng:
A. Hàm số liên tục trên .	B. Hàm số liên tục trên .
C. Hàm số liên tục trên .	D. Hàm số liên tục trên . 
Cho hàm số 
Chọn khẳng định đúng:
A. liên tục tại và không liên tục tại .	
B. liên tục tại và tại .	
C. không liên tục tại và liên tục tại .	
D. liên tục tại và tại .
Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để hàm số liên tục tại 
A. Không có giá trị nào của thỏa mãn.	B. .	
C. .	D. .
Cho và là các số thực khác Tìm hệ thức liên hệ giữa và để hàm số sau liên tục tại 
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để hàm số liên tục trên 
A. .	B. .	C. .	D. .
Cho hàm số Trong đó và là các tham số thực. Biết hàm số liên tục tại Số nhỏ hơn trong hai số và là
A. .	B. .	C. 4.	D. .
Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số thực để hàm số liên tục trên . 
A. .	B. .	
C. .	D. Không có giá trị nào của thỏa mãn.	
Cho phương trình Chọn khẳng định đúng:
A. Phương trình vô nghiệm trên khoảng .	
B. Phương trình có đúng một nghiệm trên khoảng .	
C. Phương trình có đúng hai nghiệm trên khoảng .	
D. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trên khoảng .
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực sao cho phương trình có nghiệm.
A. .	B. .	
C. .	D. .
Tìm tất cả các giá trị của tham số thực sao cho phương trình sau có nghiệm
A. .	B. .	
C. .	D. .
D. HƯỚNG DẪN GIẢI
Đáp án D.
Rõ ràng hàm số không liên tục tại và Do đó đáp án đúng là D.
Đáp án A.
Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng và . Do đó hàm số liên tục tại Ta có
+ 
+ 
Vậy không tồn tại nên hàm số không liên tục tại Do đó đáp án đúng là A.
Đáp án A.
Ta có 
Do đó . (có thể dùng MTCT để tìm giới hạn một bên).
Vậy hàm số không có giới hạn tại nên không liên tục tại Vậy không có giá trị nào của để hàm số liên tục tại Đáp án đúng là A.
Đáp án C.
Theo kết quả đã biết thì 
Để hàm số liên tục tại thì 
Vậy C là đáp án đúng.
Nếu sử dụng MTCT, với mỗi hệ thức ta chọn các giá trị của và thỏa mãn hệ thức, thay vào hàm số tính và Nếu thì đó là hệ thức đúng.
Đáp án B.
Hàm số đã cho xác định trên , liên tục trên các khoảng và 
Theo kết quả đã biết thì (Có thể dùng MTCT để tìm giới hạn trên).
Mặt khác 
Để hàm số liên tục trên thì hàm số phải liên tục tại hoặc (Sử dụng chức năng giải phương trình bậc 3 của MTCT). Vậy đáp án đúng là B.
Đáp án B.
 Đặt Ta có 
Ta thấy nếu thì nên hàm số không thể liên tục tại 
Nếu thì 
Hàm số liên tục tại 
Vậy và Số nhỏ hơn là .
Do đó đáp án đúng là B.
Lưu ý: Để giải phương trình ta có thể làm như sau:
+ Nhập vào màn hình 
+ Bấm SHIFT CALC (SOLVE), máy báo SOLVE FOR X nhập 1=
Máy hiển thị kết quả 
+ Bấm 3.Qs=, máy hiển thị kết quả
Vậy phương trình có nghiệm 
Đáp án A.
Hàm số đã cho liên tục trên các khoảng và .
Ta có 
Ta có với mọi Suy ra 
Hàm số đã cho liên tục trên hàm số liên tục tại 
Vậy đáp án đúng là A.
Đáp án D.
Sử dụng chức năng TABLE của MTCT với
+ 
+ Start: End: Step: 
Ta thấy giá trị tại các điểm đổi dấu hai lần. Suy ra xót ít nhất hai nghiệm trên khoảng Vậy đáp án đúng là D.
Đáp án A.
+ Nếu thì phương trình đã cho trở thành Đây là một phương trình vô nghiệm. 
+ Nếu thì theo kết quả đã biết, phương trình luôn có ít nhất một nghiệm.
Vậy để phương trình đã cho có nghiệm thì 
Đáp án D.
+ Nếu thì phương trình đã cho trở thành 
+ Nếu phương trình đã cho là một đa thưc bậc lẻ (bậc 4035) nên theo kết quả đã biết, phương trình có ít nhất một nghiệm.
Vậy với mọi phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm.