Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 11 - Nhị thức Newton

Nhị thức Newton
I. Tóm tắt lí thuyết về nhị thức Newton
1. Tổ hợp là gì?
Định nghĩa: Giả sử tập A cơ n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Kí hiệu: là số tổ hợp chập k của n phần tử . Ta có định lí, số các tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Tính chất chập k của n phần tử: 
Tính chất 1: 
Tính chất 2: Công thức pascal 
2. Nhị thức Newton
Định lí: Với và với mọi cặp số ta có:
3. Hệ quả
Hệ quả: 
Từ hệ quả trên ta rút được những kết quả sau đây:
4. Nhận xét
Trong khai triển Newton có tính chất sau:
Gồm n + 1 phần tử.
Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n.
Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n .
Các hệ số có tính đối xứng .
Số hạng tổng quát: 
Chú ý:
Số hạng thứ nhất 
Số hạng thứ k: 
II. Bài tập ví dụ minh họa về nhị thức Newton
Ví dụ 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:
a. 
b. 
c. 
Hướng dẫn giải
a. Khai triển Newton của 
b. Khai triển Newton của 
c. Khai triển Newton của 
Ví dụ 2: Tìm hệ số của trong khai triển biểu thức 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Số hạng chứa trong khai triển ứng với k = 7. Khi đó hệ số của số hạng chứa: 
Ví dụ 3: Tìm hệ số không chứa x trong khai triển sau: biết rằng:
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Do đó biểu thức khai triển là 
Số hạng không chứa x ứng với k: 
Số hạng không chưa x là: 
Ví dụ 4: Xét khai triển: 
a. Viết số hạng thứ k + 1 trong khai triển.
b. Số hạng nào trong khai triển không chứa x.
c.Xác định hệ số của trong khai triển.
Hướng dẫn giải
Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với k là: 
Số hạng không chứa x trong khai triển là: 
Số hạng chứa trong khai triển ứng với k là: 
Vậy số hạng chứa trong khai triển có hệ số là: 
Ví dụ 5: Tính tổng: 
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Vì 
III. Bài tập tự luyện 
Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:
a. 
b. 
c. 
d. 
Bài 2: Xét khai triển 
a. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển.
b. Hệ số của số hạng chứa trong khai triển.
c. Số hạng thứ 11 trong khai triển. 
Bài 3: Tính tổng: 
Bài 4: Tổng các hệ số nhị thức Newton trong khai triển là 64. Số hạng không chứa x trong khai triển .
Bài 5: Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 7:15.