Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 11 - Hàm số liên tục

Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 11 - Hàm số liên tục

Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0 

- Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước:

Bước 4: Kết luận.

2.Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

3.Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và lim ( ) ( ), lim ( ) ( )

4.Hàm số đa thức liên tục trên R.

 Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

pdf 12 trang Người đăng Thùy-Nguyễn Ngày đăng 29/05/2024 Lượt xem 37Lượt tải 0 Download
Bạn đang xem tài liệu "Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 11 - Hàm số liên tục", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
HÀM SỐ LIÊN TỤC 
A.ÔN TẬP LÝ THUYẾT: 
1.Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0  
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x

 
- Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: 
Bước 1: Tính f(x0). 
Bước 2: Tính 
0
lim ( )
x x
f x

 (trong nhiều trường hợp ta cần tính 
0
lim ( )
x x
f x

, 
0
lim ( )
x x
f x

) 
Bước 3: So sánh 
0
lim ( )
x x
f x

 với f(x0) và rút ra kết luận. 
Bước 4: Kết luận. 
2.Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. 
3.Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a x b
f x f a f x f b
  
  
4.Hàm số đa thức liên tục trên R. 
 Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 
5.Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó: 
- Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0. 
- Hàm số y = 
( )
( )
f x
g x
 liên tục tại x0 nếu g(x0)  0. 
6.Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = 0. 
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một 
nghiệm c (a; b). 
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = 
 ;
min ( )
a b
f x , M = 
 ;
max ( )
a b
f x . Khi đó với mọi T  (m; M) 
luôn tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = T. 
B.CÁC DẠNG TOÁN: 
Vấn đề 1: Hàm số liên tục tại một điểm: 
Dạng 1: 

  
0
0
0
( , )
( )
( , )
h x m khi x x
f x taïi x x
g x m khi x x
Phương pháp: 
Bước 1: Tính f(x0). 
Bước 2: Tính 
0
lim ( )
x x
f x

. 
Bước 3: So sánh 
0
lim ( )
x x
f x

 với f(x0) và rút ra kết luận. 
Bước 4: Kết luận. 
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
  
 
   
 
2
2
2 7 5
1
( ) 1
3 2
3 1
x x
khi x
f x taïi x
x x
khi x
Giải: 
 (1) 3f 
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
  
     
   
    
   
2
2
1 1 1 1
1 5 22 7 5 5 2
lim ( ) lim lim lim 3
1 2 23 2x x x x
x xx x x
f x
x x xx x
Do: 

  
1
lim ( ) (1) 3
x
f x f nên hàm số f(x) liên tục tại 
0
1x 
Vậy: Hàm số f(x) liên tục tại 
0
1x 
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
  
 
   
 
2
2
2 7 5
1
( ) 1
3 2
1 1
x x
khi x
f x taïi x
x x
khi x
Giải: 
 (1) 1f 
  
     
   
    
   
2
2
1 1 1 1
1 5 22 7 5 5 2
lim ( ) lim lim lim 3
1 2 23 2x x x x
x xx x x
f x
x x xx x
Do: 


1
lim ( ) (1)
x
f x f nên hàm số f(x) gián đoạn tại 
0
1x 
Vậy: Hàm số f(x) gián đoạn tại 
0
1x 
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
  
 
   
  
2
2
2 7 5
1
( ) 1
3 2
3 1 1
x x
khi x
f x taïi x
x x
mx khi x
Giải: 
  (1) 3 .1 1f m 
  
     
   
    
   
2
2
1 1 1 1
1 5 22 7 5 5 2
lim ( ) lim lim lim 3
1 2 23 2x x x x
x xx x x
f x
x x xx x
Để hàm số f(x) liên tục tại 
0
1x 

         
1
2
lim ( ) (1) 3 1 3
3x
f x f m m 
Vậy: Giá trị m cần tìm là m = -3 
Bài tập vận dụng: 
Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: 
a) 
3
1
( ) 1
1
1 1
x
khi xf x taïi xx
khi x
 
 
   
 
 b) 
3 2
1
1( ) 1
1
1
4
x
khi x
xf x taïi x
khi x
  
  
 

c) 
2 3
2
2 7 5
2
( ) 2
3 2
1 2
x x x
khi xf x taïi x
x x
khi x
   
 
   
 
 d) 
  

 
 

3
1 1
0
( ) 0
1
0
3
x
khi x
xf x taïi x
khi x
Bài tập 2: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: 
a)
x x x
khi xf x taïi x
x
x m khi x
3 2
2 2
1
( ) 1
1
3 1
      
  
b) 

  
    


2
0
6
( ) 0, 3 0 3
( 3)
3
m khi x
x x
f x khi x x taïi x vaø x
x x
n khi x
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
c) 
  
   
 
2
2
2
( ) 2
2
2
x x
khi x
f x taïi x
x
m khi x
 c) 


    
 
3
2
2
( ) 26 6
2
x
khi x
f x taïi xx x
m khi x
Dạng 2: 

  
0
0
0
( , )
( )
( , )
h x m khi x x
f x taïi x x
g x m khi x x
 hoặc 

  
0
0
0
( , )
( )
( , )
h x m khi x x
f x taïi x x
g x m khi x x
Phương pháp: 
Bước 1: Tính f(x0). 
Bước 2: Tính 

0
lim ( )
x x
f x , 

0
lim ( )
x x
f x . 
Bước 3: So sánh 

0
lim ( )
x x
f x , 

0
lim ( )
x x
f x với f(x0) và rút ra kết luận. 
Bước 4: Kết luận. 
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
  
 
   
 
2
2
2 7 5
1
( ) 1
3 2
1 1
x x
khi x
f x taïi x
x x
khi x
Giải: 
(1) 1f 
  
       
   
   
   
2
2
11 1 1
1 5 22 7 5 5 2
lim ( ) lim lim lim 1
1 2 22 xx x x
x xx x x
f x
x x xx x
  
 
1 1
lim ( ) lim 1 1
x x
f x 
Do: 
  
   
1 1
lim ( ) lim ( ) (1) 3
x x
f x f x f nên hàm số f(x) liên tục tại 
0
1x 
Vậy: Hàm số f(x) liên tục tại 
0
1x 
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
  
 
   
 
2
2
2 7 5
1
( ) 1
2
1 1
x x
khi x
f x taïi x
x x
khi x
Giải: 
 (1) 1f 
  
       
   
   
   
2
2
11 1 1
1 5 22 7 5 5 2
lim ( ) lim lim lim 1
1 2 22 xx x x
x xx x x
f x
x x xx x
  
   
1 1
lim ( ) lim ( 1) 1
x x
f x 
Do: 
  
   
1 1
lim ( ) lim ( ) (1) 3
x x
f x f x f nên hàm số f(x) gián đoạn tại 
0
1x 
Vậy: Hàm số f(x) gián đoạn tại 
0
1x 
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
  
 
   
  
2
2
2 7 5
1
( ) 1
2
3 1 1
x x
khi x
f x taïi x
x x
mx khi x
Giải: 
  (1) 3 .1 1f m 
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
  
       
   
   
   
2
2
11 1 1
1 5 22 7 5 5 2
lim ( ) lim lim lim 1
1 2 22 xx x x
x xx x x
f x
x x xx x
  
     
1 1
lim ( ) lim ( 3 1) 3 1
x x
f x mx m 
Do hàm số f(x) không liên tục tại 
0
1x
  
         
1 1
2
lim ( ) lim ( ) (1) 3 1 1
3x x
f x f x f m m 
Vậy: Giá trị m cần tìm là:  
2
3
m 
Bài tập vận dụng: 
Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: 
a) 
2
5
5
( ) 52 1 3
( 5) 3 5
x
khi x
f x taïi xx
x khi x
 

   
   
 b) 
1 cos 0
( ) 0
1 0
x khi x
f x taïi x
x khi x
  
 
 
c) 


   
 
1
1
( ) 12 1
2 1
x
khi x
f x taïi xx
x khi x
 d) 
  
  
 

1 2
1
1( ) 1
1
2
x
khi x
xf x taïi x
x
khi x
e) 
 
 
  
 
4
3
1
1
( ) 1
1
2 1
x
khi x
f x taïi x
x
x khi x
 f) 
   
 
  
 
3 2
2
3 3 1
1
( ) 1
1
2 1
x x x
khi x
f x taïi x
x
x khi x
g) 
  
 
   

 
2
2
2
1 1
0
( ) 0
4 16
1 2 0
x
khi x
f x tai x
x
x khi x
 h) 
   
  
 

3
3 2 2
1
1( ) 1
1
2
x x
khi x
xf x taïi x
x
khi x
Bài tập 2: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: 
a) 
  
 
2
1
( ) 1
2 3 1
x khi x
f x taïi x
mx khi x
 b) 


  
   
2
5
5
( ) 52 1 3
( 5) 3 5
x
khi x
f x taïi xx
x m khi x
c) 
 
 
 
1 cos 0
( ) 0
1 0
m x khi x
f x taïi x
x khi x
 d) 


   
  
1
1
( ) 12 1
2 1 1
x
khi x
f x taïi xx
mx khi x
e) 
 
 
  
   
4
3
1
1
( ) 1
1
2( 1) 3 1
x
khi x
f x taïi x
x
m x khi x
 f) 
   
 
  
  
3 2
2
3 3 1
1
( ) 1
1
2 1
x x x
khi x
f x taïi x
x
m x khi x
Vấn đề 2: Hàm số liên tục trên tập xác định của nó: 
Dạng 1: 

  
0
0
0
( , )
( )
( , )
h x m khi x x
f x taïi x x
g x m khi x x
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
Phương pháp: 
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. 
Bước 2: Khi 
0
x x . Kiểm tra tính liên tục của hàm số ( )f x tại 
0
x x . 
Bước 3: Khi 
0
x x . 
 - Tính f(x0). 
 - Tính 
0
lim ( )
x x
f x

. 
 - So sánh 
0
lim ( )
x x
f x

 với f(x0) và rút ra kết luận tại điểm 0x . 
Bước 4: Kết luận tính liên tục trên tập xác định của chúng. 
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng:
  
   
 
2
2 7 5
1
( )
1
3 1
x x
khi x
f x
x
khi x
Giải: 
- Tập xác định: D R 
- Nếu 1x , thì hàm số 
 


2
2 7 5
( )
1
x x
f x
x
. 
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là      ;1 1; . 
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  ;1 và  1; 
- Nếu 1x 
 (1) 3f 
  
   
  
    
 
2
1 1 1 1
1 5 22 7 5
lim ( ) lim lim lim(5 2) 3
1 1x x x x
x xx x
f x x
x x
Do: 

 
1
lim ( ) (1) 3
x
f x f nên hàm số f(x) liên tục tại 
0
1x 
Suy ra hàm số f(x) liên tục tại 
0
1x 
- Vậy: Hàm số f(x) liên tục trên R. 
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng:
  
   
 
2
2 7 5
1
( )
1
1 1
x x
khi x
f x
x
khi x
Giải: 
- Tập xác định: D R 
- Nếu 1x , thì hàm số 
 


2
2 7 5
( )
1
x x
f x
x
. 
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là      ;1 1; . 
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  ;1 và  1; 
- Nếu 1x 
 (1) 1f 
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
  
   
  
    
 
2
1 1 1 1
1 5 22 7 5
lim ( ) lim lim lim(5 2) 3
1 1x x x x
x xx x
f x x
x x
Do: 


1
lim ( ) (1)
x
f x f nên hàm số f(x) không liên tục tại 
0
1x 
Suy ra hàm số f(x) không liên tục tại 
0
1x 
- Vậy: Hàm số f(x) liên tục trên mỗi khoảng  ;1 và  1; nhưng gián đoạn tại 0 1x 
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục trên tập xác định của chúng:
  
   
  
2
2 7 5
1
( ) 1
1
3 1 1
x x
khi x
f x taïi x
x
mx khi x
Giải: 
- Tập xác định: D R 
- Nếu 1x , thì hàm số 
 


2
2 7 5
( )
1
x x
f x
x
. 
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là      ;1 1; . 
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  ;1 và  1; 
- Nếu 1x 
  (1) 3 1f m 
  
   
  
    
 
2
1 1 1 1
1 5 22 7 5
lim ( ) lim lim lim(5 2) 3
1 1x x x x
x xx x
f x x
x x
Do hàm số f(x) không liên tục tại 
0
1x nên

       
1
4
lim ( ) (1) 3 1 3
3x
f x f m m . 
- Vậy: Giá trị m cần tìm là  
4
3
m 
Bài tập vận dụng: 
Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: 
a) 

 
  
 
3
1
( ) 1
1 1
x
khi x
f x x
khi x
 b) 
  
  
 

3 2
1
1( )
1
1
4
x
khi x
xf x
khi x
c) 
   
   
 
2 3
2 7 5
2
( )
2
1 2
x x x
khi x
f x
x
khi x
 d) 
3
3
2
1
1( )
4
1
3
x x
khi x
xf x
khi x
  
 
 
  

e) 
2
4
2
( )
2
4 2
x
khi x
f x
x
khi x
     
  
 f) 
2
2
2
( )
2
2 2 2
x
khi x
f x
x
khi x
 

  


Bài tập 2: Tìm m để hàm số liên tục tại trên tập xác định của chúng: 
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
a)
   
   
  
3 2
2 2
1
( )
1
3 1
x x x
khi x
f x
x
x m khi x
 b)

  
  


2
0
6
( ) 0, 3
( 3)
3
m khi x
x x
f x khi x x
x x
n khi x
c)
  
   
 
2
2
2
( )
2
2
x x
khi x
f x
x
m khi x
 d)
2
2
2
( )
2
2
x x
khi x
f x
x
m khi x
     
 
e)
   
   
  
3 2
2 2
1
( )
1
3 1
x x x
khi x
f x
x
x m khi x
 f) 
  
   
 
3
2
2
( )
2
2
x x
khi x
f x
x
m khi x
Dạng 2: 

  
0
0
0
( , )
( )
( , )
h x m khi x x
f x taïi x x
g x m khi x x
 hoặc 

  
0
0
0
( , )
( )
( , )
h x m khi x x
f x taïi x x
g x m khi x x
Phương pháp: 
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. 
Bước 2: Khi 
0
x x . Kiểm tra tính liên tục của hàm số ( )f x tại 
0
x x . 
Bước 3: Khi 
0
x x . 
 - Tính f(x0). 
 - Tính 

0
lim ( )
x x
f x , 

0
lim ( )
x x
f x .. 
 - So sánh 

0
lim ( )
x x
f x , 

0
lim ( )
x x
f x với f(x0) và rút ra kết luận tại điểm 0x . 
Bước 4: Kết luận tính liên tục trên tập xác định của chúng. 
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng:
  
   
 
2
2 7 5
1
( )
1
3 1
x x
khi x
f x
x
khi x
Giải: 
- Tập xác định: D R . 
- Nếu 1x , thì hàm số 
 


2
2 7 5
( )
1
x x
f x
x
. 
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là      ;1 1; . 
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  1; . 
- Nếu 1x , thì hàm số ( ) 1f x . 
Đây là hàm đa thức có tập xác định là R. 
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  ;1 . 
- Nếu 1x 
(1) 3f 
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
  
      
  
    
 
2
2
11 1 1
1 5 22 7 5
lim ( ) lim lim lim(5 2) 3
12 xx x x
x xx x
f x x
xx x
  
 
1 1
lim ( ) lim 3 3
x x
f x 
Do: 
  
  
1 1
lim ( ) lim ( ) (1) 3
x x
f x f x f nên hàm số f(x) liên tục tại 
0
1x 
Vậy: Hàm số f(x) liên tục tại 
0
1x 
- Vậy: Hàm số f(x) liên tục trên R. 
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng:
  
   
 
2
2 7 5
1
( )
1
1 1
x x
khi x
f x
x
khi x
Giải: 
- Tập xác định: D R 
- Nếu 1x , thì hàm số 
 


2
2 7 5
( )
1
x x
f x
x
. 
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là      ;1 1; . 
Vậy nó liên tục trên khoảng  1; . 
- Nếu 1x , thì hàm số ( ) 1f x . 
Đây là hàm đa thứccó tập xác định là R. 
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  ;1 . 
- Nếu 1x 
 (1) 1f 
  
      
  
    
 
2
2
11 1 1
1 5 22 7 5
lim ( ) lim lim lim(5 2) 3
12 xx x x
x xx x
f x x
xx x
  
   
1 1
lim ( ) lim 1 1
x x
f x 
Do: 
  
 
1 1
lim ( ) lim ( ) (1)
x x
f x f x f nên hàm số f(x) gián đoạn tại 
0
1x 
- Vậy: Hàm số f(x) liên tục trên      ;1 1; và gián đoạn tại 0 1x . 
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục trên tập xác định của chúng:
  
 
   
  
2
2
2 7 5
1
( )
2
3 1 1
x x
khi x
f x
x x
mx khi x
Giải: 
- Tập xác định: D R 
- Nếu 1x , thì hàm số 
 


2
2 7 5
( )
1
x x
f x
x
. 
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là      ;1 1; . 
Vậy nó liên tục trên khoảng  1; . 
- Nếu 1x , thì hàm số   ( ) 3 1f x mx . 
Đây là hàm đa thứccó tập xác định là R. 
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  ;1 . 
- Nếu 1x 
  (1) 3 1f m 
  
      
  
    
 
2
2
11 1 1
1 5 22 7 5
lim ( ) lim lim lim(5 2) 3
12 xx x x
x xx x
f x x
xx x
  
     
1 1
lim ( ) lim ( 3 1) 3 1
x x
f x mx m 
Để hàm số f(x) gián đoạn tại 
0
1x khi
  
    
1 1
4
lim ( ) lim ( ) (1)
3x x
f x f x f m 
- Vậy: Giá trị m cần tìm là  
4
3
m . 
Chú ý: 
Bài tập vận dụng: 
Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: 
a) 

 
   

2
2
5
5
25
( )
1
( 5) 5
10
x
khi x
x
f x
x khi x
 b) 
 
 
 
1 cos 0
( )
1 0
x khi x
f x
x khi x
d)
x khi x
f x x x
khi x
x
2
1 3
( ) 2 3
3
2 6
  

   
 
 e) 
 
 
  
 
4
3
1
1
( )
1
2 1
x
khi x
f x
x
x khi x
f) 
   
   
 
3 2
3 3 1
1
( )
1
2 1
x x x
khi x
f x
x
x khi x
 e) 
2
3 4 2
( ) 5 2
2 1 2
x x khi x
f x khi x
x khi x
   
 
  
g) 
x
khi x
f x
x x
khi x
2
12 6
2
( )
7 10
2 2
 

   
 
Bài tập 2: Tìm m để hàm số liên tục trên tập xác định của chúng: 
a) 
  
 
2
1
( )
2 3 1
x khi x
f x
mx khi x
 b) 


 
   
2
2
5
5
( ) 25
( 5) 3 5
x
khi x
f x x
x m khi x
c) 
 

 

3
1 cos 0
( )
0
m x khi x
f x x x
khi x
x
 d) 


  
  
3
1
1
( )
1
2 1 1
x
khi x
f x x
mx khi x
e) 
 
 
  
   
4
3
1
1
( )
1
2( 1) 3 1
x
khi x
f x
x
m x khi x
 f) 
   
   
  
3 2
3 3 1
1
( )
1
2 1
x x x
khi x
f x
x
m x khi x
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
g) 
2
3 2
2 1 1
( ) 2 2
1
1
m khi x
f x x x x
khi x
x
 h) 
2
1
( ) 2 1
1 1
x x khi x
f x khi x
mx khi x
  
 
  
i) 
  
 
2
1
( )
2 3 1
x khi x
f x
mx khi x
 j) 
  
   
  
2
4 3
1
( )
1
2 1
x x
khi x
f x
x
mx khi x
Vấn đề 3: Chứng minh phương trình có nghiệm: 
Ví dụ 1: Chứng minh phương trình   33 2 2 0x x có nghiệm trong khoảng  0;1 
Giải: 
- Xét hàm số   3( ) 3 2 2f x x x là hàm đa thức, liên tục trên R tức liên tục trên khoảng  0;1 . 
- Ta có:     (0). (1) ( 2).(3) 6 0f f . 
- Do đó:   (0;1) : ( ) 0c f c , tức phương trình có nghiệm   0;1c . 
Ví dụ 2: Chứng minh phương trình   3 22 6 5 0x x có ba nghiệm trong khoảng  1;3 
Giải: 
- Xét hàm số   3 2( ) 2 6 5f x x x liên tục trên R nên   3 2( ) 2 6 5f x x x liên tục trên mọi đoạn. 
- Ta có:    ( 1) 3 0f ,  (0) 5 0f ,   (2) 3 0f ,  (3) 5 0f . Suy ra phương trình có nghiệm trong 
mỗi khoảng  1;0 ,  0;2 ,  2;3 . 
- Vậy: Phương trìn có ba nghiệm trên khoảng  1;3 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình: 2 0ax bx c   luôn có nghiệm x  
1
0;
3
 
 
 
 với a  0 và 2a + 6b + 
19c = 0. 
Giải: 
- Xét hàm số   2( )f x ax bx c liên tục trên R. 
Ta có: (0)f c ,   
1 1
( ) ( 3 9 )
3 9
f a b c 
Do đó:     
1
(0) 18 ( ) 2 6 19 0
3
f f a b c 
Như thế: 
- Nếu (0) 0f hay 
1
( ) 0
3
f phương trình ( ) 0f x hiển nhiên có nghiệm thuộc 
1
0;
3
 
 
 
. 
- Nếu (0) 0f và 
1
( ) 0
3
f ta thấy 
1
(0) ( ) 0
3
f f . 
Vậy: Phương trình ( ) 0f x có nghiệm trên 
1
0;
3
 
 
 
. 
Ví dụ 4: Với mọi , ,a b c R , chứng minh phương trình:         ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0a x b x c b x c x a c x a x b 
luôn luôn có nghiệm. 
Giải: 
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
- Xét hàm số         ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f x a x b x c b x c x a c x a x b liên tục trên R. 
  ( ) ( )( )f a a a b a c ,   ( ) ( )( )f b b b c b a ,   ( ) ( )( )f c c c a c b 
Giả sử  a b c (tương tự các trường hợp sau) 
- Nếu  0a hoặc  0b hoặc  0c ta có (0) 0f do đó  0x là một nghiệm của phương trình. 
- Nếu  0b . Ít nhất có một trong hai trường hợp xảy ra: 
+Với         20 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0a b f a f b ab a b a c b c 
Suy ra phương trình có nghiệm trên đoạn  ;a b 
+Với         20 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0b c f b f c bc a b b a b c 
Suy ra phương trình có nghiệm trên đoạn  ;b c . 
Ví dụ 5: Chứng minh rằng nếu   2 3 6 0a b b thì phương trình   2atan tan 0x b x c có ít nhất một 
nghiệm trong khoảng 

 
 
 
 
;
4
k k với k Z 
Giải: 
- Xét hàm số  2f(x)=atan tanx b x c 
Đặt  

 
 
    
 
0
t=tanx, x ; 0;1
4
k k t . Khi đó ta có:  2f(t)=at bt c có ít nhất một nghiệm 
0
t (0;1) 
- Nếu  a 0, c 0 . Ta có: 
   
       
   
2
2 4 2
f(0)f =c 0
3 9 3 3
c
a b c . Vậy phương trình f(t)=0 có nghiện 
 
 
 
0
2
t 0;
3
. 
- Nếu c=0 , lúc đó phương trình f(t)=0 có nghiệm 
1
t 0 , 
2
2
t
3
 có nghĩa  
2
2
t (0;1)
3
. 
- Nếu a=0 . Ta có: bt+c=03(b+2c)=0 
+Với b=c=0 phương trình f(t)=0 có vô số nghiệm nên tất nhiên sẽ có một nghiệm thuộc 
0
t (0;1) . 
+Với    
c 1
b 0, t = - 0;1
b 2
. 
- Tóm lại:  , ,a b c thỏa mãn   2 3 6 0a b b thì phương trình f(t)=0 có ít nhất một nghiệm 
0
t (0;1) , tức là 
  2 3 6 0a b b thì phương trình   2atan tan 0x b x c có ít nhất một nghiệm trong khoảng 

 
 
 
 
;
4
k k 
với k Z 
Bài tập vận dụng: 
Bài tập 1: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 
a) 3 3 1 0x x   b) 3 26 9 1 0x x x    c) 
3
2 6 1 3x x   
Bài tập 2: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: 
a) 5 3 3 0x x   b) 5 1 0x x   c) 4 3 23 1 0x x x x     
Bài tập 3: Chứng minh rằng phương trình: 5 35 4 1 0x x x    có 5 nghiệm trên (–2; 2). 
Bài tập 4: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số: 
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
a) 3( 1) ( 2) 2 3 0m x x x     b) 4 2 2 2 0x mx mx    
c) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0a x b x c b x c x a c x a x b         d) 2 3 2(1 )( 1) 3 0m x x x      
e) cos cos2 0x m x  f) (2cos 2) 2sin5 1m x x   
Bài tập 5: Chứng minh rằng phương trình: 
a) x x x3 26 9 1 0    có 3 nghiệm phân biệt. 
b) m x x x
3 2 4
( 1) ( 4) 3 0     luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của m. 
c) m x x2 4 3( 1) – –1 0  luôn có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng  1; 2 với mọi m. 
d) x mx3 2 1 0   luôn có 1 nghiệm dương. 
e) x x x4 23 5 –6 0   có nghiệm trong khoảng (1; 2). 
Bài tập 6: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm: 
a) 2 0ax bx c   với 2a + 3b + 6c = 0 b) 2 0ax bx c   với a + 2b + 5c = 0 
c) 3 2 0x ax bx c    
Bài tập 7: Cho m > 0 và a, b, c là 3 số thực thoả mãn: 
a b c
m m m
0
2 1
  
 
. Chứng minh rằng phương 
trình: f x ax bx c
2
( ) 0    có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1). 
HD: Xét 2 trường hợp c = 0; c  0. Với c  0 thì 
m c
f f
m m m
2
1
(0). 0
2 ( 2)
 
   
  
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com

Tài liệu đính kèm:

  • pdfde_cuong_on_tap_mon_toan_lop_11_ham_so_lien_tuc.pdf