Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 11 - Hàm số liên tục

HÀM SỐ LIÊN TỤC 
A.ÔN TẬP LÝ THUYẾT: 
1.Hàm số liên tục tại một điểm: y = f(x) liên tục tại x0  
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x

 
- Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước: 
Bước 1: Tính f(x0). 
Bước 2: Tính 
0
lim ( )
x x
f x

 (trong nhiều trường hợp ta cần tính 
0
lim ( )
x x
f x

, 
0
lim ( )
x x
f x

) 
Bước 3: So sánh 
0
lim ( )
x x
f x

 với f(x0) và rút ra kết luận. 
Bước 4: Kết luận. 
2.Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó. 
3.Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và lim ( ) ( ), lim ( ) ( )
x a x b
f x f a f x f b
  
  
4.Hàm số đa thức liên tục trên R. 
 Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng. 
5.Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó: 
- Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0. 
- Hàm số y = 
( )
( )
f x
g x
 liên tục tại x0 nếu g(x0)  0. 
6.Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = 0. 
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một 
nghiệm c (a; b). 
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m = 
 ;
min ( )
a b
f x , M = 
 ;
max ( )
a b
f x . Khi đó với mọi T  (m; M) 
luôn tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = T. 
B.CÁC DẠNG TOÁN: 
Vấn đề 1: Hàm số liên tục tại một điểm: 
Dạng 1: 

  
0
0
0
( , )
( )
( , )
h x m khi x x
f x taïi x x
g x m khi x x
Phương pháp: 
Bước 1: Tính f(x0). 
Bước 2: Tính 
0
lim ( )
x x
f x

. 
Bước 3: So sánh 
0
lim ( )
x x
f x

 với f(x0) và rút ra kết luận. 
Bước 4: Kết luận. 
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
  
 
   
 
2
2
2 7 5
1
( ) 1
3 2
3 1
x x
khi x
f x taïi x
x x
khi x
Giải: 
 (1) 3f 
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
  
     
   
    
   
2
2
1 1 1 1
1 5 22 7 5 5 2
lim ( ) lim lim lim 3
1 2 23 2x x x x
x xx x x
f x
x x xx x
Do: 

  
1
lim ( ) (1) 3
x
f x f nên hàm số f(x) liên tục tại 
0
1x 
Vậy: Hàm số f(x) liên tục tại 
0
1x 
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
  
 
   
 
2
2
2 7 5
1
( ) 1
3 2
1 1
x x
khi x
f x taïi x
x x
khi x
Giải: 
 (1) 1f 
  
     
   
    
   
2
2
1 1 1 1
1 5 22 7 5 5 2
lim ( ) lim lim lim 3
1 2 23 2x x x x
x xx x x
f x
x x xx x
Do: 


1
lim ( ) (1)
x
f x f nên hàm số f(x) gián đoạn tại 
0
1x 
Vậy: Hàm số f(x) gián đoạn tại 
0
1x 
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
  
 
   
  
2
2
2 7 5
1
( ) 1
3 2
3 1 1
x x
khi x
f x taïi x
x x
mx khi x
Giải: 
  (1) 3 .1 1f m 
  
     
   
    
   
2
2
1 1 1 1
1 5 22 7 5 5 2
lim ( ) lim lim lim 3
1 2 23 2x x x x
x xx x x
f x
x x xx x
Để hàm số f(x) liên tục tại 
0
1x 

         
1
2
lim ( ) (1) 3 1 3
3x
f x f m m 
Vậy: Giá trị m cần tìm là m = -3 
Bài tập vận dụng: 
Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: 
a) 
3
1
( ) 1
1
1 1
x
khi xf x taïi xx
khi x
 
 
   
 
 b) 
3 2
1
1( ) 1
1
1
4
x
khi x
xf x taïi x
khi x
  
  
 

c) 
2 3
2
2 7 5
2
( ) 2
3 2
1 2
x x x
khi xf x taïi x
x x
khi x
   
 
   
 
 d) 
  

 
 

3
1 1
0
( ) 0
1
0
3
x
khi x
xf x taïi x
khi x
Bài tập 2: Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: 
a)
x x x
khi xf x taïi x
x
x m khi x
3 2
2 2
1
( ) 1
1
3 1
      
  
b) 

  
    


2
0
6
( ) 0, 3 0 3
( 3)
3
m khi x
x x
f x khi x x taïi x vaø x
x x
n khi x
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
c) 
  
   
 
2
2
2
( ) 2
2
2
x x
khi x
f x taïi x
x
m khi x
 c) 


    
 
3
2
2
( ) 26 6
2
x
khi x
f x taïi xx x
m khi x
Dạng 2: 

  
0
0
0
( , )
( )
( , )
h x m khi x x
f x taïi x x
g x m khi x x
 hoặc 

  
0
0
0
( , )
( )
( , )
h x m khi x x
f x taïi x x
g x m khi x x
Phương pháp: 
Bước 1: Tính f(x0). 
Bước 2: Tính 

0
lim ( )
x x
f x , 

0
lim ( )
x x
f x . 
Bước 3: So sánh 

0
lim ( )
x x
f x , 

0
lim ( )
x x
f x với f(x0) và rút ra kết luận. 
Bước 4: Kết luận. 
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
  
 
   
 
2
2
2 7 5
1
( ) 1
3 2
1 1
x x
khi x
f x taïi x
x x
khi x
Giải: 
(1) 1f 
  
       
   
   
   
2
2
11 1 1
1 5 22 7 5 5 2
lim ( ) lim lim lim 1
1 2 22 xx x x
x xx x x
f x
x x xx x
  
 
1 1
lim ( ) lim 1 1
x x
f x 
Do: 
  
   
1 1
lim ( ) lim ( ) (1) 3
x x
f x f x f nên hàm số f(x) liên tục tại 
0
1x 
Vậy: Hàm số f(x) liên tục tại 
0
1x 
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
  
 
   
 
2
2
2 7 5
1
( ) 1
2
1 1
x x
khi x
f x taïi x
x x
khi x
Giải: 
 (1) 1f 
  
       
   
   
   
2
2
11 1 1
1 5 22 7 5 5 2
lim ( ) lim lim lim 1
1 2 22 xx x x
x xx x x
f x
x x xx x
  
   
1 1
lim ( ) lim ( 1) 1
x x
f x 
Do: 
  
   
1 1
lim ( ) lim ( ) (1) 3
x x
f x f x f nên hàm số f(x) gián đoạn tại 
0
1x 
Vậy: Hàm số f(x) gián đoạn tại 
0
1x 
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
  
 
   
  
2
2
2 7 5
1
( ) 1
2
3 1 1
x x
khi x
f x taïi x
x x
mx khi x
Giải: 
  (1) 3 .1 1f m 
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
  
       
   
   
   
2
2
11 1 1
1 5 22 7 5 5 2
lim ( ) lim lim lim 1
1 2 22 xx x x
x xx x x
f x
x x xx x
  
     
1 1
lim ( ) lim ( 3 1) 3 1
x x
f x mx m 
Do hàm số f(x) không liên tục tại 
0
1x
  
         
1 1
2
lim ( ) lim ( ) (1) 3 1 1
3x x
f x f x f m m 
Vậy: Giá trị m cần tìm là:  
2
3
m 
Bài tập vận dụng: 
Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: 
a) 
2
5
5
( ) 52 1 3
( 5) 3 5
x
khi x
f x taïi xx
x khi x
 

   
   
 b) 
1 cos 0
( ) 0
1 0
x khi x
f x taïi x
x khi x
  
 
 
c) 


   
 
1
1
( ) 12 1
2 1
x
khi x
f x taïi xx
x khi x
 d) 
  
  
 

1 2
1
1( ) 1
1
2
x
khi x
xf x taïi x
x
khi x
e) 
 
 
  
 
4
3
1
1
( ) 1
1
2 1
x
khi x
f x taïi x
x
x khi x
 f) 
   
 
  
 
3 2
2
3 3 1
1
( ) 1
1
2 1
x x x
khi x
f x taïi x
x
x khi x
g) 
  
 
   

 
2
2
2
1 1
0
( ) 0
4 16
1 2 0
x
khi x
f x tai x
x
x khi x
 h) 
   
  
 

3
3 2 2
1
1( ) 1
1
2
x x
khi x
xf x taïi x
x
khi x
Bài tập 2: Tìm m để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra: 
a) 
  
 
2
1
( ) 1
2 3 1
x khi x
f x taïi x
mx khi x
 b) 


  
   
2
5
5
( ) 52 1 3
( 5) 3 5
x
khi x
f x taïi xx
x m khi x
c) 
 
 
 
1 cos 0
( ) 0
1 0
m x khi x
f x taïi x
x khi x
 d) 


   
  
1
1
( ) 12 1
2 1 1
x
khi x
f x taïi xx
mx khi x
e) 
 
 
  
   
4
3
1
1
( ) 1
1
2( 1) 3 1
x
khi x
f x taïi x
x
m x khi x
 f) 
   
 
  
  
3 2
2
3 3 1
1
( ) 1
1
2 1
x x x
khi x
f x taïi x
x
m x khi x
Vấn đề 2: Hàm số liên tục trên tập xác định của nó: 
Dạng 1: 

  
0
0
0
( , )
( )
( , )
h x m khi x x
f x taïi x x
g x m khi x x
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
Phương pháp: 
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. 
Bước 2: Khi 
0
x x . Kiểm tra tính liên tục của hàm số ( )f x tại 
0
x x . 
Bước 3: Khi 
0
x x . 
 - Tính f(x0). 
 - Tính 
0
lim ( )
x x
f x

. 
 - So sánh 
0
lim ( )
x x
f x

 với f(x0) và rút ra kết luận tại điểm 0x . 
Bước 4: Kết luận tính liên tục trên tập xác định của chúng. 
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng:
  
   
 
2
2 7 5
1
( )
1
3 1
x x
khi x
f x
x
khi x
Giải: 
- Tập xác định: D R 
- Nếu 1x , thì hàm số 
 


2
2 7 5
( )
1
x x
f x
x
. 
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là      ;1 1; . 
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  ;1 và  1; 
- Nếu 1x 
 (1) 3f 
  
   
  
    
 
2
1 1 1 1
1 5 22 7 5
lim ( ) lim lim lim(5 2) 3
1 1x x x x
x xx x
f x x
x x
Do: 

 
1
lim ( ) (1) 3
x
f x f nên hàm số f(x) liên tục tại 
0
1x 
Suy ra hàm số f(x) liên tục tại 
0
1x 
- Vậy: Hàm số f(x) liên tục trên R. 
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng:
  
   
 
2
2 7 5
1
( )
1
1 1
x x
khi x
f x
x
khi x
Giải: 
- Tập xác định: D R 
- Nếu 1x , thì hàm số 
 


2
2 7 5
( )
1
x x
f x
x
. 
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là      ;1 1; . 
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  ;1 và  1; 
- Nếu 1x 
 (1) 1f 
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
  
   
  
    
 
2
1 1 1 1
1 5 22 7 5
lim ( ) lim lim lim(5 2) 3
1 1x x x x
x xx x
f x x
x x
Do: 


1
lim ( ) (1)
x
f x f nên hàm số f(x) không liên tục tại 
0
1x 
Suy ra hàm số f(x) không liên tục tại 
0
1x 
- Vậy: Hàm số f(x) liên tục trên mỗi khoảng  ;1 và  1; nhưng gián đoạn tại 0 1x 
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục trên tập xác định của chúng:
  
   
  
2
2 7 5
1
( ) 1
1
3 1 1
x x
khi x
f x taïi x
x
mx khi x
Giải: 
- Tập xác định: D R 
- Nếu 1x , thì hàm số 
 


2
2 7 5
( )
1
x x
f x
x
. 
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là      ;1 1; . 
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  ;1 và  1; 
- Nếu 1x 
  (1) 3 1f m 
  
   
  
    
 
2
1 1 1 1
1 5 22 7 5
lim ( ) lim lim lim(5 2) 3
1 1x x x x
x xx x
f x x
x x
Do hàm số f(x) không liên tục tại 
0
1x nên

       
1
4
lim ( ) (1) 3 1 3
3x
f x f m m . 
- Vậy: Giá trị m cần tìm là  
4
3
m 
Bài tập vận dụng: 
Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: 
a) 

 
  
 
3
1
( ) 1
1 1
x
khi x
f x x
khi x
 b) 
  
  
 

3 2
1
1( )
1
1
4
x
khi x
xf x
khi x
c) 
   
   
 
2 3
2 7 5
2
( )
2
1 2
x x x
khi x
f x
x
khi x
 d) 
3
3
2
1
1( )
4
1
3
x x
khi x
xf x
khi x
  
 
 
  

e) 
2
4
2
( )
2
4 2
x
khi x
f x
x
khi x
     
  
 f) 
2
2
2
( )
2
2 2 2
x
khi x
f x
x
khi x
 

  


Bài tập 2: Tìm m để hàm số liên tục tại trên tập xác định của chúng: 
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
a)
   
   
  
3 2
2 2
1
( )
1
3 1
x x x
khi x
f x
x
x m khi x
 b)

  
  


2
0
6
( ) 0, 3
( 3)
3
m khi x
x x
f x khi x x
x x
n khi x
c)
  
   
 
2
2
2
( )
2
2
x x
khi x
f x
x
m khi x
 d)
2
2
2
( )
2
2
x x
khi x
f x
x
m khi x
     
 
e)
   
   
  
3 2
2 2
1
( )
1
3 1
x x x
khi x
f x
x
x m khi x
 f) 
  
   
 
3
2
2
( )
2
2
x x
khi x
f x
x
m khi x
Dạng 2: 

  
0
0
0
( , )
( )
( , )
h x m khi x x
f x taïi x x
g x m khi x x
 hoặc 

  
0
0
0
( , )
( )
( , )
h x m khi x x
f x taïi x x
g x m khi x x
Phương pháp: 
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. 
Bước 2: Khi 
0
x x . Kiểm tra tính liên tục của hàm số ( )f x tại 
0
x x . 
Bước 3: Khi 
0
x x . 
 - Tính f(x0). 
 - Tính 

0
lim ( )
x x
f x , 

0
lim ( )
x x
f x .. 
 - So sánh 

0
lim ( )
x x
f x , 

0
lim ( )
x x
f x với f(x0) và rút ra kết luận tại điểm 0x . 
Bước 4: Kết luận tính liên tục trên tập xác định của chúng. 
Ví dụ 1: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng:
  
   
 
2
2 7 5
1
( )
1
3 1
x x
khi x
f x
x
khi x
Giải: 
- Tập xác định: D R . 
- Nếu 1x , thì hàm số 
 


2
2 7 5
( )
1
x x
f x
x
. 
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là      ;1 1; . 
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  1; . 
- Nếu 1x , thì hàm số ( ) 1f x . 
Đây là hàm đa thức có tập xác định là R. 
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  ;1 . 
- Nếu 1x 
(1) 3f 
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
  
      
  
    
 
2
2
11 1 1
1 5 22 7 5
lim ( ) lim lim lim(5 2) 3
12 xx x x
x xx x
f x x
xx x
  
 
1 1
lim ( ) lim 3 3
x x
f x 
Do: 
  
  
1 1
lim ( ) lim ( ) (1) 3
x x
f x f x f nên hàm số f(x) liên tục tại 
0
1x 
Vậy: Hàm số f(x) liên tục tại 
0
1x 
- Vậy: Hàm số f(x) liên tục trên R. 
Ví dụ 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng:
  
   
 
2
2 7 5
1
( )
1
1 1
x x
khi x
f x
x
khi x
Giải: 
- Tập xác định: D R 
- Nếu 1x , thì hàm số 
 


2
2 7 5
( )
1
x x
f x
x
. 
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là      ;1 1; . 
Vậy nó liên tục trên khoảng  1; . 
- Nếu 1x , thì hàm số ( ) 1f x . 
Đây là hàm đa thứccó tập xác định là R. 
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  ;1 . 
- Nếu 1x 
 (1) 1f 
  
      
  
    
 
2
2
11 1 1
1 5 22 7 5
lim ( ) lim lim lim(5 2) 3
12 xx x x
x xx x
f x x
xx x
  
   
1 1
lim ( ) lim 1 1
x x
f x 
Do: 
  
 
1 1
lim ( ) lim ( ) (1)
x x
f x f x f nên hàm số f(x) gián đoạn tại 
0
1x 
- Vậy: Hàm số f(x) liên tục trên      ;1 1; và gián đoạn tại 0 1x . 
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số liên tục trên tập xác định của chúng:
  
 
   
  
2
2
2 7 5
1
( )
2
3 1 1
x x
khi x
f x
x x
mx khi x
Giải: 
- Tập xác định: D R 
- Nếu 1x , thì hàm số 
 


2
2 7 5
( )
1
x x
f x
x
. 
Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là      ;1 1; . 
Vậy nó liên tục trên khoảng  1; . 
- Nếu 1x , thì hàm số   ( ) 3 1f x mx . 
Đây là hàm đa thứccó tập xác định là R. 
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
Vậy nó liên tục trên mỗi khoảng  ;1 . 
- Nếu 1x 
  (1) 3 1f m 
  
      
  
    
 
2
2
11 1 1
1 5 22 7 5
lim ( ) lim lim lim(5 2) 3
12 xx x x
x xx x
f x x
xx x
  
     
1 1
lim ( ) lim ( 3 1) 3 1
x x
f x mx m 
Để hàm số f(x) gián đoạn tại 
0
1x khi
  
    
1 1
4
lim ( ) lim ( ) (1)
3x x
f x f x f m 
- Vậy: Giá trị m cần tìm là  
4
3
m . 
Chú ý: 
Bài tập vận dụng: 
Bài tập 1: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của chúng: 
a) 

 
   

2
2
5
5
25
( )
1
( 5) 5
10
x
khi x
x
f x
x khi x
 b) 
 
 
 
1 cos 0
( )
1 0
x khi x
f x
x khi x
d)
x khi x
f x x x
khi x
x
2
1 3
( ) 2 3
3
2 6
  

   
 
 e) 
 
 
  
 
4
3
1
1
( )
1
2 1
x
khi x
f x
x
x khi x
f) 
   
   
 
3 2
3 3 1
1
( )
1
2 1
x x x
khi x
f x
x
x khi x
 e) 
2
3 4 2
( ) 5 2
2 1 2
x x khi x
f x khi x
x khi x
   
 
  
g) 
x
khi x
f x
x x
khi x
2
12 6
2
( )
7 10
2 2
 

   
 
Bài tập 2: Tìm m để hàm số liên tục trên tập xác định của chúng: 
a) 
  
 
2
1
( )
2 3 1
x khi x
f x
mx khi x
 b) 


 
   
2
2
5
5
( ) 25
( 5) 3 5
x
khi x
f x x
x m khi x
c) 
 

 

3
1 cos 0
( )
0
m x khi x
f x x x
khi x
x
 d) 


  
  
3
1
1
( )
1
2 1 1
x
khi x
f x x
mx khi x
e) 
 
 
  
   
4
3
1
1
( )
1
2( 1) 3 1
x
khi x
f x
x
m x khi x
 f) 
   
   
  
3 2
3 3 1
1
( )
1
2 1
x x x
khi x
f x
x
m x khi x
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
g) 
2
3 2
2 1 1
( ) 2 2
1
1
m khi x
f x x x x
khi x
x
 h) 
2
1
( ) 2 1
1 1
x x khi x
f x khi x
mx khi x
  
 
  
i) 
  
 
2
1
( )
2 3 1
x khi x
f x
mx khi x
 j) 
  
   
  
2
4 3
1
( )
1
2 1
x x
khi x
f x
x
mx khi x
Vấn đề 3: Chứng minh phương trình có nghiệm: 
Ví dụ 1: Chứng minh phương trình   33 2 2 0x x có nghiệm trong khoảng  0;1 
Giải: 
- Xét hàm số   3( ) 3 2 2f x x x là hàm đa thức, liên tục trên R tức liên tục trên khoảng  0;1 . 
- Ta có:     (0). (1) ( 2).(3) 6 0f f . 
- Do đó:   (0;1) : ( ) 0c f c , tức phương trình có nghiệm   0;1c . 
Ví dụ 2: Chứng minh phương trình   3 22 6 5 0x x có ba nghiệm trong khoảng  1;3 
Giải: 
- Xét hàm số   3 2( ) 2 6 5f x x x liên tục trên R nên   3 2( ) 2 6 5f x x x liên tục trên mọi đoạn. 
- Ta có:    ( 1) 3 0f ,  (0) 5 0f ,   (2) 3 0f ,  (3) 5 0f . Suy ra phương trình có nghiệm trong 
mỗi khoảng  1;0 ,  0;2 ,  2;3 . 
- Vậy: Phương trìn có ba nghiệm trên khoảng  1;3 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng phương trình: 2 0ax bx c   luôn có nghiệm x  
1
0;
3
 
 
 
 với a  0 và 2a + 6b + 
19c = 0. 
Giải: 
- Xét hàm số   2( )f x ax bx c liên tục trên R. 
Ta có: (0)f c ,   
1 1
( ) ( 3 9 )
3 9
f a b c 
Do đó:     
1
(0) 18 ( ) 2 6 19 0
3
f f a b c 
Như thế: 
- Nếu (0) 0f hay 
1
( ) 0
3
f phương trình ( ) 0f x hiển nhiên có nghiệm thuộc 
1
0;
3
 
 
 
. 
- Nếu (0) 0f và 
1
( ) 0
3
f ta thấy 
1
(0) ( ) 0
3
f f . 
Vậy: Phương trình ( ) 0f x có nghiệm trên 
1
0;
3
 
 
 
. 
Ví dụ 4: Với mọi , ,a b c R , chứng minh phương trình:         ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0a x b x c b x c x a c x a x b 
luôn luôn có nghiệm. 
Giải: 
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
- Xét hàm số         ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )f x a x b x c b x c x a c x a x b liên tục trên R. 
  ( ) ( )( )f a a a b a c ,   ( ) ( )( )f b b b c b a ,   ( ) ( )( )f c c c a c b 
Giả sử  a b c (tương tự các trường hợp sau) 
- Nếu  0a hoặc  0b hoặc  0c ta có (0) 0f do đó  0x là một nghiệm của phương trình. 
- Nếu  0b . Ít nhất có một trong hai trường hợp xảy ra: 
+Với         20 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0a b f a f b ab a b a c b c 
Suy ra phương trình có nghiệm trên đoạn  ;a b 
+Với         20 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0b c f b f c bc a b b a b c 
Suy ra phương trình có nghiệm trên đoạn  ;b c . 
Ví dụ 5: Chứng minh rằng nếu   2 3 6 0a b b thì phương trình   2atan tan 0x b x c có ít nhất một 
nghiệm trong khoảng 

 
 
 
 
;
4
k k với k Z 
Giải: 
- Xét hàm số  2f(x)=atan tanx b x c 
Đặt  

 
 
    
 
0
t=tanx, x ; 0;1
4
k k t . Khi đó ta có:  2f(t)=at bt c có ít nhất một nghiệm 
0
t (0;1) 
- Nếu  a 0, c 0 . Ta có: 
   
       
   
2
2 4 2
f(0)f =c 0
3 9 3 3
c
a b c . Vậy phương trình f(t)=0 có nghiện 
 
 
 
0
2
t 0;
3
. 
- Nếu c=0 , lúc đó phương trình f(t)=0 có nghiệm 
1
t 0 , 
2
2
t
3
 có nghĩa  
2
2
t (0;1)
3
. 
- Nếu a=0 . Ta có: bt+c=03(b+2c)=0 
+Với b=c=0 phương trình f(t)=0 có vô số nghiệm nên tất nhiên sẽ có một nghiệm thuộc 
0
t (0;1) . 
+Với    
c 1
b 0, t = - 0;1
b 2
. 
- Tóm lại:  , ,a b c thỏa mãn   2 3 6 0a b b thì phương trình f(t)=0 có ít nhất một nghiệm 
0
t (0;1) , tức là 
  2 3 6 0a b b thì phương trình   2atan tan 0x b x c có ít nhất một nghiệm trong khoảng 

 
 
 
 
;
4
k k 
với k Z 
Bài tập vận dụng: 
Bài tập 1: Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 
a) 3 3 1 0x x   b) 3 26 9 1 0x x x    c) 
3
2 6 1 3x x   
Bài tập 2: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: 
a) 5 3 3 0x x   b) 5 1 0x x   c) 4 3 23 1 0x x x x     
Bài tập 3: Chứng minh rằng phương trình: 5 35 4 1 0x x x    có 5 nghiệm trên (–2; 2). 
Bài tập 4: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số: 
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com
a) 3( 1) ( 2) 2 3 0m x x x     b) 4 2 2 2 0x mx mx    
c) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0a x b x c b x c x a c x a x b         d) 2 3 2(1 )( 1) 3 0m x x x      
e) cos cos2 0x m x  f) (2cos 2) 2sin5 1m x x   
Bài tập 5: Chứng minh rằng phương trình: 
a) x x x3 26 9 1 0    có 3 nghiệm phân biệt. 
b) m x x x
3 2 4
( 1) ( 4) 3 0     luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi giá trị của m. 
c) m x x2 4 3( 1) – –1 0  luôn có ít nhất 2 nghiệm nằm trong khoảng  1; 2 với mọi m. 
d) x mx3 2 1 0   luôn có 1 nghiệm dương. 
e) x x x4 23 5 –6 0   có nghiệm trong khoảng (1; 2). 
Bài tập 6: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm: 
a) 2 0ax bx c   với 2a + 3b + 6c = 0 b) 2 0ax bx c   với a + 2b + 5c = 0 
c) 3 2 0x ax bx c    
Bài tập 7: Cho m > 0 và a, b, c là 3 số thực thoả mãn: 
a b c
m m m
0
2 1
  
 
. Chứng minh rằng phương 
trình: f x ax bx c
2
( ) 0    có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; 1). 
HD: Xét 2 trường hợp c = 0; c  0. Với c  0 thì 
m c
f f
m m m
2
1
(0). 0
2 ( 2)
 
   
  
Tải tài liệu miễn phí https://vndoc.com