Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Giới hạn và liên tục

 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 
GIỚI HẠN DÃY SỐ 
A. LÝ THUYẾT 
I. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0 . 
1. Định nghĩa 
Ta nói rằng dãy số  nu có giới hạn 0 ( hay có giới hạn là 0 ) nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho 
trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số 
dương đó. 
Kí hiệu: lim 0nu  . 
Nói một cách ngắn gọn, lim 0nu  nếu nu có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng 
nào đó trở đi. 
Từ định nghĩa suy ra rằng: 
a) lim 0 lim 0n nu u   . 
b) Dãy số không đổi  nu , với 0nu  , có giới hạn là 0 . 
c) Dãy số  nu có giới hạn là 0 nếu nu có thể gần 0 bao nhiêu cũng được, miễn là n đủ lớn. 
2. Một số dãy số có giới hạn 0 
Định lí 4.1 
Cho hai dãy số  nu và  nv . 
Nếu 
n nu v với mọi n và lim 0nv  thì lim 0nu  . 
Định lí 4.2 
Nếu 1q  thì lim 0nq  . 
Người ta chứng mình được rằng 
a)
1
lim 0
n
 . 
b)
3
1
lim 0
n
 
c)
1
lim 0
kn
 với mọi số nguyên dương k cho trước. 
Trường hợp đặc biệt : 
1
lim 0
n
 . 
d) lim 0
k
n
n
a
 với mọi *k và mọi 1a  cho trước. 
II. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN. 
1. Định nghĩa 
Ta nói rằng dãy số  nu có giới hạn là số thực L nếu  lim 0nu L  . 
Kí hiệu: lim nu L . 
Dãy số có giới hạn là một số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn. 
a) Dãy số không đổi  nu với nu c , có giới hạn là c . 
b) lim nu L khi và chỉ khi khoảng cách nu L trên trục số thực từ điểm nu đến L trở nên nhỏ 
bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn; nói một cách hình ảnh, khi n tăng thì các điểm nu “ 
chụm lại” quanh điểm L . 
 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 
c) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn. 
2. Một số định lí 
Định lí 4.3 
Giả sử lim nu L . Khi đó 
a) lim nu L và 
33lim nu L . 
b) Nếu 0nu  với mọi n thì 0L và lim nu L . 
Định lí 4.4 
Giả sử lim nu L , lim nv M và c là một hằng số. Khi đó 
a)  lim n nu v L M   . b)  lim n nu v L M   . 
c)  lim n nu v LM . D)  lim ncu cL . 
e) lim n
n
u L
v M
 (nếu 0M  ). 
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn 
Định nghĩa 
Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội q thỏa 1q  . 
Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: 
2 1
1 1 1 ...
1
u
S u u q u q
q
    

III. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC. 
1. Dãy số có giới hạn  
Ta nói rằng dãy số  nu có giới hạn  nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của 
dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó. 
Kí hiệu: lim nu   . 
Nói một cách ngắn gọn, lim nu  nếu nu có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng 
nào đó trở đi. 
Người ta chứng minh được rằng: 
a) lim nu   . 
b) 3lim nu   
c) lim kn  với một số nguyên dương k cho trước. 
Trường hợp đặc biệt : limn  . 
d) lim
nq   nếu 1q  . 
2. Dãy số có giới hạn  
Ta nói rằng dãy số  nu có giới hạn  nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy 
số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số âm đó. 
Kí hiệu: lim nu   . 
Nói một cách ngắn gọn, lim nu  nếu nu có thể nhỏ hơn một số âm nhỏ tùy ý, kể từ số hạng 
nào đó trở đi. 
Nhận xét: 
a)  lim limn nu u    . 
 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 
b) Nếu lim nu   thì nu trở nên lớn bao nhiêu cũng được miễn n đủ lớn. Đo đó 
1 1
n nu u
 trở 
nên nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn n đủ lớn. Nói cách khác, nếu lim nu   thì 
1
lim 0
nu
 . 
Định lí 4.5 
Nếu lim nu   thì 
1
lim 0
nu
 . 
3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực 
Quy tắc 1 
Nếu lim n  u và lim n  v thì  lim n nu v được cho trong bảng sau: 
lim nu lim nv  lim n nu v 
   
   
   
   
Quy tắc 2 
Nếu lim n  u và lim 0n L v thì  lim n nu v được cho trong bảng sau: 
lim nu Dấu của L  lim n nu v 
   
   
   
   
Quy tắc 3 
Nếu lim 0n L u và lim 0n v và 0nv  hoặc 0nv  kể từ một số hạng nào đó trở đi thì 
lim n
n
u
v
 được cho trong bảng sau: 
Dấu của L Dấu của nv lim n
n
u
v
   
   
   
   
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ 
DẠNG 1. TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC 
Câu 1:  3lim 2 1n n  bằng 
 A. 0 . B. 1. C.  . D.  . 
Đáp án D. 
Lời giải 
 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 
Ta có: 3 3
2 3
2 1
2 1 1n n n
n n
 
     
 
. 
Vì 3limn   và
2 3
2 1
lim 1 1 0
n n
 
    
 
 nên theo quy tắc 2,  3lim 2 1n n    
Câu 2:  2lim 5 1n n  bằng 
A. . B. . C. 5. D. 1. 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Ta có 2 2
2
5 1
5 1 1 .n n n
n n
 
      
 
Vì 2limn   và 
2
5 1
lim 1 1 0
n n
 
      
 
 nên  2lim 5 1n n    (theo quy tắc 2). 
Câu 3: lim nu , với 
2
2
5 3 7
n
n n
u
n
 
 bằng: 
A. 0. B. 5. C. 3. D. 7. 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Ta có: 
2
2 2 2 2
5 3 7 3 7
lim lim lim 5 5n
n n
u
n n n n n
   
         
  
. 
Câu 4: lim ,nu với 
3 2
3 2
2 3 5
7
n
n n n
u
n n
  

 
 bằng 
A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho 3n ( 3n là lũy thừa bậc cao nhất của n trong phân thức), ta 
được: 
2 3
3
3 1 5
2
1 7
1
n
n n nu
n n
  

 
. Vì 
2 3
3 1 5
lim 2 2
n n n
 
    
 
 và 
3
1 7
lim 1 1
n n
 
   
 
0 nên 
3 2
3 2
2 3 5 2
lim 2
7 1
n n n
n n
  
 
 
. 
Ví dụ 5: Giới hạn của dãy số  ,nu với 
3
4 3 2
2 1
3 5 6
n
n n
u
n n n
 

  
 bằng 
A. 1. B. 0. C. . D. 
1
.
3
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Chia cả tử và mẫu của phân thức cho 4n ( 4n là bậc cao nhất của n trong phân thức), ta được 
3 3 4
4 3 2
2 3
1 2 1
2 1 0
lim lim lim 0
3 5 63 5 6 1
1
n
n n n n nu
n n n
n n n
 
 
   
     
. 
Ví dụ 6: Giới hạn của dãy số  nu với 
3
2
3 2 1
2
n
n n
u
n n
 


, bằng 
 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 
A. 
3
.
2
 B. 0. C. . D. 1. 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Chia cả tử và mẫu cho 2n ( 2n là lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu thức), ta được 
3 2
2
2 1
3
3 2 1
.
12
2
n
n
n n n nu
n n
n
 
 
 
 
 Vậy 
3
lim lim
2
n
n
u
 
   
 
. 
Ví dụ 7: 
 
2
sin !
lim
1
n
n 
 bằng 
A. 0. B. 1. C. . D. 2. 
Hướng dẫn giải 
Chọn A. 
Ta có 
 
2 2
sin ! 1
1 1
n
n n

 
 mà 
2
1
lim 0
1n


 nên chọn đáp án A. 
Ví dụ 8: 
 
 
1
lim
1
n
n n


 bằng 
A. 1. B. 1. C. . D. 0. 
Hướng dẫn giải 
Chọn D. 
Ta có 
 
    2
1 1 1 1
1 1 .
n
n n n n n n n

  
 
 mà 
2
1
lim 0
n
 nên suy ra 
 
 
1
lim 0
1
n
n n



Ví dụ 9: Tính giới hạn  2lim 2 3I n n n    
A. 1.I  B. 1.I   C. 0.I  D. .I  
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Ta có  2lim 2 3I n n n   
  2 2
2
2 3 2 3
lim
2 3
n n n n n n
n n n
     

  
 2 2
2
2 3
lim
2 3
n n n
n n n
  

  
2
2 3
lim
2 3
n
n n n
 

  
2
3
2
2
lim 1.
2 3 1 1
1 1
n
n n
 

   

  
Ví dụ 10:  3 3lim 8 3 2n n n   bằng: 
A. . B. . C. 1. D. 0. 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
Ta có  3 3lim 8 3 2n n n   3 2 33 2lim 1 8 .n n n
 
     
 
Vì 33
2 3
3 2
lim ,lim 1 8 1 8 1 0n
n n
 
           
 
 nên  3 3lim 8 3 2n n n     . 
 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 
Ví dụ 11:  2lim 4 1n n n  bằng: 
A. 1. B. 3. C. . D. . 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Ta có 2 2
2
4 1
4 1 1 .n n n n
n n
 
      
 
Vì 2limn   và 
2
4 1
lim 1 1 0
n n
 
     
 
 nên theo quy tắc 2,  2lim 4 1 .n n n    
Ví dụ 12.  3 3 2lim 3 1n n n   bằng : 
A. 1 . B. 1. C.  . D.  . 
Hướng dẫn giải 
Chọn A. 
Ta tiến hành nhân chia với biểu thức liên hợp (bậc ba) của 3 3 23 1n n n  
   
 
3 3 2
3 3 2
2
32 3 2 3 23
3 1
lim 3 1 lim
3 1 3 1
n n n
n n n
n n n n n n
  
   
 
      
 
2
2
33
3 3
1
3
lim 1
3 1 3 1
1 1 1
n
n n n n
 
  
 
      
 
. 
Ví dụ 13.  32 3lim 1 3 2n n n n     bằng : 
A. 
1
2
. B. 0 . C.  . D.  . 
Hướng dẫn giải 
Chọn A. 
     3 32 3 2 3 1lim 1 3 2 lim 1 3 2
2
n n n n n n n n n n              
  
Ví dụ 14.  lim 5 2n n bằng : 
A.  . B. 3 . C.  . D. 
5
2
. 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Ta có 
2
5 2 5 1
5
n
n n n
  
       
Vì lim5n   và 
2
lim 1 1 0
5
n  
       
 nên theo quy tắc 2,  lim 5 2n n   
Ví dụ 15.  1lim 3.2 5.3 7n n n   bằng : 
A.  . B.  . C. 3 . D. 5 . 
Hướng dẫn giải 
Chọn A. 
 1
2
lim 3.2 5.3 7 3 5 6 7
3 3
n
n n n
n
n
n
  
            
 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 
Ví dụ 16. 
14.3 7
lim
2.5 7
n n
n n

 
bằng : 
A. 1. B. 7 . C. 
3
5
. D. 
7
5
. 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
1
3
4. 7
4.3 7 77
lim lim 7
2.5 7 15
2. 1
7
n
n n
nn n

 
     
  
 
 
. 
Ví dụ 17. 
1 24 6
lim
5 8
n n
n n
 
 
bằng : 
A. 0 . B. 
6
8
. C. 36 . D. 
4
5
. 
Hướng dẫn giải 
Chọn A. 
1 2
4 6
4. 36.
4 6 8 8
lim lim 0
5 8 5
1
8
n n
n n
nn n
 
   
        
  
 
 
. 
Ví dụ 18. 
2 3
lim
2 1
n n
n

 
bằng : 
A. 
3
2
 . B. 0 . C.  . D.  . 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Chia cả tử và mẫu cho 3n ta được 
2
1
2 3 3
2 1 2 1
3 3
n
n n
n nn
 
   
    
   
   
Mà 
2 2 1
lim 1 1 0, lim 0
3 3 3
n n n        
                        
 và 
2 1
0
3 3
n n
   
    
   
 với mọi n nên theo 
quy tắc 3, 
2 3
lim
2 1
n n
n

 

. 
Dạng 2. Tính giới hạn của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi. 
Ví dụ 19. Cho dãy số  nu được xác định bởi 
 
1 1
2 2 1
1, 
3
n
n
n
u
u u
u


 

 với mọi 1n  . Biết dãy số  nu có 
giới hạn hữu hạn, lim nu bằng: 
A. 1 . B. 2 . C. 4 . D. 
2
3
. 
Hướng dẫn giải 
Chọn B. 
 Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được 0nu  
với mọi n 
Đặt lim 0nu L  . Ta có 
 
1
2 2 1
lim lim
3
n
n
n
u
u
u




 hay 
 2 2 1
3
L
L
L


 
 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 
 2
2 ( )
2 0
1 ( )
L n
L L
L l

       
 Vậy lim 2nu  . 
Ví dụ 20. Cho dãy số  nu được xác định bởi 1 1
1 2
1, 
2
n n
n
u u u
u

 
   
 
 với mọi 1n  . Tìm giới hạn của 
 nu . 
A. lim 1nu  . B. lim 1nu   . C. lim 2nu  . D. lim 2nu   . 
Hướng dẫn giải 
Chọn C. 
Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được 0nu  với mọi n 
Đề bài không cho biết dãy số  nu có giới hạn hữu hạn hay không, tuy nhiên các đáp án đề bài 
cho đều là các giới hạn hữu hạn. D ... à b để hàm số 
 
2
1 1
 khi 0
4 5 khi 0
ax
x
f x x
x b x
  

 
  
 liên tục tại 0x  . 
A. 5a b . B. 10a b . C. a b . D. 2a b . 
Đáp án B. 
Lời giải 
Cách : Theo kết quả đã biết thì  
0 0
1 1
lim lim
2x x
ax a
f x
x 
 
  . Mặt khác  0 5f b . Để hàm 
số đã cho liên tục tại 0x  thì    
0
lim 0 5 10
2x
a
f x f b a b

     . Vậy đáp án đúng là B. 
Cách 2: Sử dụng MTCT. Chọn các giá trị cụ thể của a và b thỏa mãn từng hệ thức rồi tính 
toán cho đến khi được kết quả    
0
lim 0
x
f x f

 . Chẳng hạn với hệ thức ở đáp án A, chọn 
5; 1a b  ta tìm được  
0
5 1 1 5
lim ; 0 5
2x
x
f
x
 
  nên không thỏa mãn. Với hệ thức ở đáp 
án B, chọn 10; 1a b  ta được  
0
10 1 1
lim 5; 0 5
x
x
f
x
 
  nên thỏa mãn    
0
lim 0
x
f x f

 . 
Do đó đáp án là B. 
STUDY TIP 
0
1 1
lim
n
x
ax a
x n
 
 . 
Câu 9: Cho hàm số  
2
2 4 3 khi 2
1
 khi 2
2 3 2
x x
f x x
x
x mx m
   

  

  
. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để 
hàm số liên tục trên . 
A. 3m . B. 4m  . C. 5m . D. 6m . 
Đáp án C. 
Lời giải 
Cách : Hàm số xác định trên , liên tục trên khoảng  2; . 
Ta có      
2 2
2 3; lim lim 2 4 3 3
x x
f f x x
  
     . 
Nếu 6m thì   2
2 2
1
lim lim
12 20x x
x
f x
x x  

  
 
 nên hàm số không liên tục tại 2x  . 
Nếu 6m  thì ta có   2
2 2
1 3
lim lim
2 3 2 6x x
x
f x
x mx m m  

 
   
. 
Để hàm số liên tục tại 2x  thì 
3
3 6 1 5
6
m m
m
     

. 
Với 5m thì khi 2x  ,   2
1
10 17
x
f x
x x


 
 liên tục trên  ;2 . 
Tóm lại với 5m thì hàm số đã cho liên tục trên . 
Cách 2: Hàm số xác định trên , liên tục trên khoảng  2; . 
Ta có      
2 2
2 3; lim lim 2 4 3 3
x x
f f x x
  
     . 
Thử lần lượt các giá trị từ A dến C thấy 5m thỏa mãn  
2
lim 3
x
f x

 . Do đó chọn đáp án C. 
 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 
DẠNG 2. CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 
Phương pháp chung: 
Một phương pháp chứng minh phương trình   0f x  có nghiệm trên khoảng  ;a b : 
- Chứng minh hàm số  y f x liên tục trên đoạn  ;a b . 
- Chứng minh    . 0f a f b  . 
- Từ đó kết luận phương trình   0f x  có ít nhất một nghiệm trên khoảng  ;a b . 
Để chứng minh phương trình   0f x  có ít nhất một nghiệm ta cần tìm được hai số a và b sao cho hàm 
số liên tục trên đoạn  ;a b và    . 0f a f b  . 
Ví dụ 1. Cho hàm số  f x xác định trên đoạn  ;a b . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào 
đúng? 
A. Nếu hàm số  f x liên tục trên đoạn ;a b và    . 0f a f b  thì phương trình   0f x  
không có nghiệm trong khoảng  ;a b . 
B. Nếu    . 0f a f b  thì phương trình   0f x  có ít nhất một nghiệm trên khoảng  ;a b . 
C. Nếu phương trình   0f x  có nghiệm trong khoảng  ;a b thì hàm số  y f x phải liên 
tục trên khoảng  ;a b . 
D. Nếu hàm số  y f x liên tục, tăng trên đoạn  ;a b và    . 0f a f b  thì phương trình 
  0f x  không thể có nghiệm trong khoảng  ;a b . 
Đáp án D. 
Lời giải 
A sai. Chẳng hạn xét hàm số   2 5f x x  . Hàm số này xác định trên đoạn  3;3 và liên tục 
trên đó, đồng thời    3 . 3 4.4 16 0f f    nhưng lại có hai nghiệm 1 25; 5x x   thuộc 
vào khoảng  3;3 . 
B sai . vì thiếu điều kiện  f x liên tục trên đoạn  ;a b . 
C sai. Chẳng hạn xét hàm số  
1 khi x 0
2 khi 0
x
f x
x x
 
 
 
. Hàm số này xác định trên đoạn  3;3 , 
có nghiệm 1x   thuộc vào khoảng  3;3 nhưng gián đoạn tại điểm  0 3;3x    , tức là 
không liên tục trên  3;3 . 
Vậy D đúng. Thật vậy: 
- Vì hàm số  y f x liên tục, tăng trên đoạn  ;a b nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 
đoạn  ;a b là  f a , giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  ;a b là  f b . 
- Nếu   0f a  thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn  ;a b là một số dương nên 
không có giá trị nào của x trên khoảng  ;a b làm cho   0f x  . Do 
đó phương trình   0f x  không thể có nghiệm trong khoảng  ; .a b 
 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 
+ Nếu   0,f a  do    . 0f a f b  nên suy ra   0.f b  Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 
 ;a b là một số âm nên không có giá trị nào của x trên khoảng  ;a b làm cho   0f x  . Do đó phương 
trình   0f x  không thể có nghiệm trong khoảng  ;a b . 
Câu 10: Cho phương trình  3 2 0 1x ax bx c    trong đó , ,a b c là các tham số thực. Chọn khẳng 
định đúng trong các khẳng định sau 
A. Phương trình  1 vô nghiệm với mọi , ,a b c . 
B. Phương trình  1 có ít nhất một nghiệm với mọi , ,a b c . 
C. Phương trình  1 có ít nhất hai nghiệm với mọi , ,a b c . 
D. Phương trình  1 có ít nhất ba nghiệm với mọi , ,a b c . 
Lời giải 
Đáp án B. 
Dễ thấy 0a b c   thì phương trình  1 trở thành 3 0 0.x x   Vậy A, C, D sai. Do đó B 
đúng. 
Giải hí h h : Xét bài toán “Chứng minh rằng phương trình  3 2 0 1x ax bx c    luôn 
có ít nhất một nghiệm với mọi , ,a b c ”. Ta có lời giải cụ thể như sau: 
Đặt   3 2 .f x x ax bx c    Ta có: 
+  3 2lim
x
x ax bx c

     với mọi , ,a b c nên tồn tại một giá trị 1x x sao cho  1 0f x  . 
+  3 2lim
x
x ax bx c

     với mọi , ,a b c nên tồn tại một giá trị 2x x sao cho  2 0f x 
. 
Vậy    1 2. 0f x f x  mà  f x liên tục trên nên suy ra   0f x  có ít nhất một nghiệm 
trên khoảng  1 2;x x . Từ đó suy ra ĐPCM. 
STUDY TIP 
Phương trình đa thức bậc lẻ 
2 1 2
2 1 2 1 0... 0
n n
n na x a x a x a

      trong đó 2 1 0na   luôn có ít 
nhất một nghiệm với mọi giá trị của , 2 1,0.ia i n  
Câu 11: Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình:  2 33 2 3 1 0m m x x     có 
nghiệm. 
A.  1;2m . B. m . C.  \ 1;2m . D. m . 
Lời giải 
Đáp án B. 
Nếu 2 3 2 0m m   : Phương trình đã cho trở thành 
1
3 1 0 .
3
x x     
Nếu 2 3 2 0m m   : theo STUDY TIP vừa nêu thì phương trình đã cho luôn có nghiệm. 
Tóm lại với mọi m thì phương trình đã cho luôn có nghiệm. Do đó B đúng. 
Câu 12: Cho phương trình  4 3
1
3 0 1 .
8
x x x    Chọn khẳng định đúng: 
A. Phương trình  1 có đúng một nghiệm trên khoảng  1;3 . 
B. Phương trình  1 có đúng hai nghiệm trên khoảng  1;3 . 
 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 
C. Phương trình  1 có đúng ba nghiệm trên khoảng  1;3 . 
D. Phương trình  1 có đúng bốn nghiệm trên khoảng  1;3 . 
Lời giải 
Đáp án D. 
Cách 1: Sử dụng chức năng Table trên MTCT:   4 3
1
3 ,
8
f X X X X    Start: 1, End: 3, 
Step: 0.2 ta được kết quả như sau: 
Quan sát kết quả ta thấy giá trị của  f x tại các điểm trong khoảng  1;3 đổi dấu 4 lần. Mà 
phương trình bậc 4 thì có tối đa 4 nghiệm thực. Vậy phương trình  1 có đúng bốn nghiệm trên 
khoảng  1;3 . Do đó D là đáp án đúng. 
Cách 2: Sử dụng chức năng Shift Calc (Solve) của MTCT để tìm nghiệm xáp xỉ của phương 
trình trong khoảng  1;3 . Tuy nhiên cách này tiềm ẩn nhiều may rủi hơn cách sử dụng chức 
năng Table như trên. 
STUDY TIP 
Nếu  f x liên tục trên đoạn  ;a b và  f x đổi dấu khi x từ a qua b thì phương trình 
  0f x  có ít nhất một nghiệm trên khoảng  ;a b . 
Câu 13: Cho phương trình  4 22 5 1 0 1 .x x x    Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau: 
A. Phương trình  1 không có nghiệm trong khoảng  1;1 . 
B. Phương trình  1 không có nghiệm trong khoảng  2;0 . 
C. Phương trình  1 chỉ có một nghiệm trong khoảng  2;1 . 
D. Phương trình  1 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng  0;2 . 
Lời giải 
Đáp án D. 
Cách 1: Sử dụng chức năng Table trên MTCT:   4 22 5 1,f X X X X    Start: 2, End: 2, 
Step: 0.2 ta được kết quả như sau: 
 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 
Quan sát kết quả ta thấy trên khoảng  1;1 phương trình có ít nhất hai nghiệm, trên khoảng 
 2;0 phương trình có ít nhất hai nghiệm, trên khoảng  2;1 phương trình có ít nhất ba 
nghiệm, trên khoảng  0;2 phương trình có ít nhất hai nghiệm. Vậy D là đáp án đúng. 
C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG 
Câu 1. Cho hàm số  y f x có đồ thị như hình dưới đây: 
 Chọn khẳng định đúng: 
A. Hàm số liên tục trên . B. Hàm số liên tục trên  ;4 . 
C. Hàm số liên tục trên  1; . D. Hàm số liên tục trên  1;4 . 
Câu 2. Cho hàm số 
 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 
 
2
2
3 2
, 1
1
1
, 1
4
1
, 1.
7 6
x
x
x
f x x
x
x
x x
  



 

 

 
Chọn khẳng định đúng: 
A.  f x liên tục tại 6x  và không liên tục tại 1x  . 
B.  f x liên tục tại 6x  và tại 1x  . 
C.  f x không liên tục tại 6x  và liên tục tại 1x  . 
D.  f x liên tục tại 6x  và tại 1x  . 
Câu 3. Cho hàm số  
4 24
0
.
3 0
x x
khi x
f x x
m khi x
 
 
 
  
 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm 
số liên tục tại 0.x  
A. Không có giá trị nào của m thỏa mãn. B. 5m . 
C. 1m . D.  1;5m . 
Câu 4. Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số sau liên tục tại 
0.x  
 
31 1 1
0
.
0
ax bx
khi x
f x x
a b khi x
   

 
  
A. 0a b  . B. 2 0a b  . C. 3 4 0a b  . D. 3 2 0a b  . 
Câu 5. Cho hàm số   3
3
3 1
1
1 1 .
3 3 1
khi x
x xf x
m x m khi x
 
  
   
   
 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để 
hàm số liên tục trên . 
A.  1;2m . B.  1; 2m  . C.  1;2m  . D.  1; 2m   . 
Câu 6. Cho hàm số  
 3
6
3
.1 2
2 1 3
x a
khi x
f x x
x b x khi x
  

  
   
 Trong đó a và b là các tham số thực. Biết hàm 
số liên tục tại 3.x  Số nhỏ hơn trong hai số a và b là 
A. 2 . B. 3 . C. 4. D. 5 . 
Câu 7. Cho hàm số  
2
sin 0
.
cos 5 0
x khi x
f x x
a x khi x


 
  
 Tìm tất cả các giá trị của tham số thực a để 
hàm số liên tục trên . 
A. 5a  . B. 7a  . 
C. 
11
2
a  . D. Không có giá trị nào của a thỏa mãn. 
 Chuyên đề giới hạn và liên tục Hội toán Bắc Nam 
Câu 8. Cho phương trình  4 24 2 3 0 1 .x x x    Chọn khẳng định đúng: 
A. Phương trình  1 vô nghiệm trên khoảng  1;1 . 
B. Phương trình  1 có đúng một nghiệm trên khoảng  1;1 . 
C. Phương trình  1 có đúng hai nghiệm trên khoảng  1;1 . 
D. Phương trình  1 có ít nhất hai nghiệm trên khoảng  1;1 . 
Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình  2 5 25 4 2 1 0m m x x     
có nghiệm. 
A.  \ 1;4m . B.    ;1 4;m    . 
C.  1;4m . D. m . 
Câu 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho phương trình sau có nghiệm 
    20172 20182 5 2 1 2 2 3 0.m m x x x       
A. 
1
\ ;2
2
m
 
  
 
. B.  
1
; 2;
2
m
 
    
 
. 
C. 
1
;2
2
m
 
 
 
. D. m .