Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 11 - Chuyên đề: Đại số tổ hợp

Chuyên đề 
đại số tổ hợp.
NỘI DUNG
Đ1: Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và ứng dụng .
 ê Lý thuyết: * Qui tắc cộng, qui tắc nhân. 	 
 * Hoán vị, chỉnh hợp; tổ hợp. 	 
 êCác dạng toán ứng dụng.
 1.1. Dạng 1: Rút gọn biểu thức đại số tổ hợp. 
 1.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp. 
 1.3. Dạng 3: Giải phương trình; bất phương trình đại số tổ hợp. 
 1.4. Dạng 4: Các bài toán đếm số phương án. 
 Đ2: Nhị thức Newtơn và ứng dụng.
 ê Lý thuyết: Nhị thức Newtơn. 
 ê Các dạng toán ứng dụng.
 2.1. Dạng 1: Tính tổng tổ hợp.
 2.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp. 
 2.3. Dạng 3: Xác định hệ số của số hạng trong khai triển nhị thức Newtơn.
 Đ1: hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và ứng dụng.
ê Lý thuyết: 
I. Qui tắc cộng, qui tắc nhân.
Quy tắc cộng: Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, có m2 cách chọn đối tượng x2,... mn cách chọn đối tượng xn và nếu cách chọn đối tượng xi không trùng với đối tượng xj nào( i khác j; i, j = 1,2,....,n) thì có m1 + m2 +....+ mn cách chọn một trong các đối tượng đã cho.
Quy tắc nhân: Nếu một phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp, bước 1 có m1 cách, bước 2 có m2 cách,.... bước n có mn cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m1.m2...mn cách khác nhau.
II. Hoán vị, chỉnh hợp; tổ hợp. 
Hoán vị: * ĐN: Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n1). Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
 * Số hoán vị của n phần tử : 
 Pn = n! = 1.2.3.4.5.n ; Qui ước .
Chỉnh hợp: * ĐN: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k (1 k n) phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A. 
 * Số chỉnh hợp chập k của n phần tử : 
 (1 k n)
 (1 k n)
Tổ hợp: * ĐN: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (0 k n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
 * Số tổ hợp chập k của n phần tử :
 (0 k n) 
ê Các dạng toán thường gặp:
 1.1. Dạng 1: Rút gọn biểu thức đại số tổ hợp. 
 1.2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức; bất đẳng thức đại số tổ hợp. 
 1.3. Dạng 3: Giải phương trình; bất phương trình đại số tổ hợp. 
 1.4. Dạng 4: Các bài toán đếm số phương án. 
 1- Dạng 1: rút gọn biểu thức đại số tổ hợp.
Phương pháp: 
 Sử dụng các công thức sau để rút gọn biểu thức đại số tổ hợp:
 * ( )
 * (1 k n)
 * (0 k n)
 2. Một số ví dụ:
 VÍ DỤ 1 Rút gọn biểu thức:
Bài giải
Ta có nhận xét: 
 Suy ra 
 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
Bài giải
 Ta có 
 Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức: 
Bài giải:
 Ta lần lượt có: 
 3. Bài tập tự luyện: 
 Rút gọn biểu thức: 
Rút gọn biểu thức: 
 Rút gọn biểu thức: 
 2-Dạng 2: chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 
 đại số tổ hợp.
Phương pháp: Thực hiện các bước sau:
 · Sử dụng các công thức:
 * ( )
 * (1 k n)
 * (0 k n)
 * 
 đưa đẳng thức, bất đẳng thức đại số tổ hợp thành đẳng thức, bất đẳng thức đại
 số thông thường.
 · Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đại số thông thường suy ra đpcm.
2. Một số ví dụ:
 Ví dụ 1: CMR với k, n Î N, 3£ k £ n ta có:
Bài giải
 Ví dụ 2: Chứng minh rằng: (1)
Bài giải
 Biến đổi BĐT (1) về dạng:
 (2)
a.Ta có đánh giá: do đúng 
 áp dụng BĐT (*) với k = 2,, n -1 ta được
 bất đẳng thức.
 b. Sử dụng BĐT Côsi tacó :
 (**) 
 áp dụng BĐT (**) với k =1,2,, n ta được 
Suy ra b)	
Từ a) và b) suy ra (2) được chứng minh , suy ra (1) được chứng minh..
 Ví dụ 3: CMR 
 a. 
 b. 
 c. 
 Bài giải
 a. Ta có :
 b. Ta có: 
 Nên:
 c. 
 Ví dụ 4: CMR: 
 	 	 Bài giải
 Ta có:
 Theo BĐT Cauchy ta có 
	i = 
	Cho ta được BĐT (*)
	Vậy BĐT (*) đúng Þ (1) được chứng minh.
3. Bài tập tương tự
Bài 1: Bài 2: 
Bài 3: Bài 4:	 
Bài 5: Bài 6*: 
Bài 7:ta có Bài 8: CMR: 
Bài 9: CMR: Bài 10: CMR: 
Bài 11: CMR: Bài 12: CMR: 
Bài 13: CMR: 
Bài 14: CMR: 
Bài 15: CMR: 
Bài 16: CMR: 
Bài 17: CMR: ( ĐHQGHN – A –99- 00 )
Bài 18: CMR: 
 3- Dạng 3: Phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp.
 * Định nghĩa: 
 Phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp là phương trình, bất phương trình có chứa ẩn dưới các kí hiệu: ,, , . 
 * Cách giải:
 · Bước 1: Đặt điều kiện của ẩn. Nhớ rằng: 
 - có nghĩa N
 - có nghĩa N*
 - có nghĩaN; 
 - có nghĩa N; 
 · Bước 2: Chuyển phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp sang phương 
 trình, bất phương trình đại số thông thường nhờ các công thức tổ hợp:
 - với mọi (nhớ: 0! = 1)
 - với mọi N*
 - với mọi 
 - với mọi N; 
 - ( N; )
 - (N; )
 · Bước 3: Giải phương trình, bất phương trình đại số thông thường để tìm ẩn.
 · Bước 4: Đối chiếu với tập xác định, kết luận.
* Một số ví dụ
 Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
 Lời giải
 + Điều kiện của x; y: (*)
 + Biến đổi phương trình về dạng: 
 Đối chiếu với điều kiện ( * ) suy ra nghiệm của phương trình là . .
 ( ĐHBK – 2000- 2001 ): Giải bất phương trình sau:
 Ví dụ 2: 
 Lời giải
 + Điều kiện của x: 
 + Biến đổi bất phương trình về dạng: 
 + Kết hợp với Điều kiện (*) 
	 + Vậy nghiệm của bất phương trình là 
 ( HVBCVT- 98- + TNTHPT 02- 03):
 Ví dụ 3: Giải hệ: 
 + Điều kiện của x, y 
 + Ta có: 
Vậy nghiệm của hệ là x = 8; y = 3
* Bài Tập Tương Tự:
 Giải các phương trình, bất phương trình sau:
 6. 	 (TNTHPT - 98 - 99)
 7. (ĐHNN - 99- 00)
 8. 	 (ĐHQGHN - 98- 99)
 9. ( ĐHHH – 1999 )
5. 10. 
 15. (TNTHPT – 03 – 04 ) 16. (TNTHPT – 04 – 05 ) 
 Tìm các số âm trong dãy số với , n = 1,2,3,,n.
 Giải các hệ phương trình sau: a. b. 
c. 
 Cho khai triển nhị thức: 
( n là số nguyên dương ). Biết trong khai triển đó và số hạng thứ tư bằng 20n, tìm n và x. ( ĐHCĐ -A- 2002 ) 
 Tìm số nguyên dương n sao cho:
 ( ĐHCĐ -A- 2005 )
 Tính giá trị của biểu thức: 
 biết rằng ( ĐHCĐ -D- 2005 )
 IV- Dạng 4: Bài Toán Đếm Số Phương Án
 1. Ghi nhớ : 1. Đối với loại toán đếm số phương án, ta cần chú ý
- Đọc kỹ đầu bài, phân tích câu văn cặn kẽ, nắm chắc bản chất của hành động, đối tượng để thấy được các khả năng có thể. 
- Sử dụng phép mô hình hoá cùng các quy tắc đếm cơ bản. 
- Trong một số bài toán, có thể ta phải sử dụng đến phần bù. 
Nguyên lý bù trừ: Khi hai công việc có thể được làm đồng thời, chúng ta không thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc. Cộng số cách làm mỗi việc sẽ dẫn đến sự trùng lặp, vì những cách làm cả 2 việc sẽ được tính 2 lần. Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ này ta cộng số cách làm mỗi một trong 2 việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả 2 việc. Đó là nguyên lý bù trừ. 
 2. Sử dụng qui tắc nhân để thực hiện bài toán đếm số phương án:
 Thực hiện các bước:
 · Bước 1: Phân tách công việc H thành k công việc nhỏ liên tiếp:
 · Bước 2: Nếu ta có:
 	 - cách khác nhau để thực hiện . 
	 - ứng với mỗi cách thực hiện xong ,ta có cách thực hiện 
ứng với mỗi cách thực hiện xong , ta có cách thực hiện 
 · Bước 3: Khi đó ta có tât cả cách để thực hiện hành động H
 3. Sử dụng quy tắc cộng để thực hiện bài toán đếm số phương án:
 Ta thực hiện theo các bước:
 · Bước 1: Phân tách các phương án thành k nhóm độc lập với nhau:
 · Bước 2: Nếu ta có:
 	 - cách khác nhau để thực hiện . 
	 - cách khác nhau thực hiện 
 - cách khác nhau thực hiện 
 · Bước 3: Khi đó ta có tât cả n1 + n2 + ... + nk cách để thực hiện hành động H
 4. Sử dụng hoán vị thực hiện bài toán đếm:
 Để nhận dạng một bài toán đếm có sử dụng hoán vị của n phần tử, chúng ta thường dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau:
Tất cả n phần tử đều có mặt. 
Mỗi phần tử chỉ xuất hiện một lần. 
Có sự phân biệt thứ tự giữa các phần tử. 
Gọi Pn là số hoán vị của n phần tử, ta có Pn = n!
 5. Sử dụng chỉnh hợp để giải bài toán đếm:
Để nhận dạng bài toán đếm có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa trên các dấu hiệu đặc trưng sau:
Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước
Có sự phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn
Gọi Ank là số phần tử chập k của n phần tử, ta có .
 6. Sử dụng tổ hợp để giải bài toán đếm:
Để nhận dạng 1 bài toán đếm có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử, chúng ta thường dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau:
Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước
Không phân biệt thứ tự giữa k phần tử được chọn
 Bài tập: (Ba bài toán chọn cơ bản)
 A/ Bài toán đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế
 B/ Bài toán đếm số phương án có liên quan đến hình học. 
 C/ Bài toán đếm số phương án có liên quan đến số tự nhiên.
Bài tập 
 I) Bài Toán Đếm Số Phương Án Có Liên Quan Đến Thực Tế.
 Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem như đôi một khác nhau ), ta chọn ra một bó gồm 7 bông.
a. Có bao nhiêu cách chọn ra bó hoa trong đó có đúng một bông hồng đỏ ?
b. Có bao nhiêu cách chọn ra bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ ?
 ( HVKTQS –2000 ): Một lớp có 20 em h/s trong đó có 14 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội gồm 4 h/s trong đó:
	a. Số nam nữ bằng nhau.
	b. Có ít nhất 1 nữ.
 (ĐHYHN - 2000): Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý
nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách?
 (ĐHĐN - 2000): Một tổ có 5 h/s nam và 5 h/s nữ xếp thành một hàng dọc
	a. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ?
	b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có h/s cùng giới đứng cạnh nhau ?
 (ĐHHuế - 2000): Một lớp có 30 h/s nam và 15 h/s nữ. Có 6 h/s được chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách lập khác nhau :
	a. Nếu phải có ít nhất 1 nữ ?
	b. Nếu chọn tuý ý ?
 (ĐHThái Nguyên – 2000 ): Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 người sao cho:
	a. Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
	b. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1nữ trong 5 người đó .
 (HVKTQS - 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người làm nhiệm vụ ở địa điểm B, 4 người ở lại trực đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công?
 (ĐHGTVT – 2000): Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị sinh viên của trường sao cho trong3 người có ít nhất một cán bộ lớp?
 (HVCTQGHCM – 01 - 02): Một đội văn nghệ có 10 người trong đó có 6 nữ và 4 nam. 
	a. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành 2 nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau ?
	b. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó có không quá 1 nam ?
 (ĐHCần Thơ - 01 - 02): Một nhóm gồm 10 h/s trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 h/s trên thành một hàng dọc sao cho 7 h/s nam phải đứng liền nhau ?
	a. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ?
	b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có h/s cùng giới đứng cạnh nhau ?
 > (ĐHHHHCM– 99- 2000): Có bao nhiêu cách xếp 5 h/s A, B, C, D, E vào một cái ghế dài sao cho:
	a. Bạn C ngồi chính giữa ?
	b. Hai bạn A, E ngồi ở 2 đầu ghế ?
 (ĐHHuế – 99- 2000): Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không đủ cả 3 mầu ?
 (HVQY – 99- 2000): Xếp 3 bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống. 
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp khác nhau?
Hỏi có  ... ng thức của số hạng tổng quát: Số hạng thứ k+1: 
 3. Một số dạng đặc biệt:
* Thay a = 1; b = x ta được: 
 (2)
* Thay a = 1; b = - x ta được: 
 (3)
 * Trong (2) ; (3) cho x = 1 ta được: 
 · (4)
 · (5)
 ê Các dạng toán ứng dụng nhị thức NewTơn 
 Các dạng toán thường gặp là:
 1- Dạng 1: Tính tổng tổ hợp
 2- Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp 
 3 - Dạng 3: Tìm Giá trị của hệ số trong khai triển 
 nhị thức NewTơn: 
. 1- Dạng 1: Tính tổng tổ hợp
 1. Phương pháp:
Sử dụng khai triển Newtơn, kết hợp với việc:
Lựa chọn giá trị thực phù hợp.
Các phép biến đổi đại số.
Phép tính đạo hàm và tích phân.
2. Một số ví dụ:
 Ví dụ 1: Khai triển 
 Tính: a.	Hệ số 
 b. Tổng T = S = P = 
Lời giải:
 Biến f(x) thành tích: f(x) = 
Hệ số là hệ số của 
+ Trong khai triển số hạng tổng quát ( số hạng thứ ) là:
	 ( ) 
Và:	= 
+ Ta có: = 
Suy ra hệ số của số hạng của f(x) là: 
 ( do ) = 1.1 + 50 + 50 = 101
T = = f(1) = 
S = = f(-1)= (1- 1+ 1- 1)5 = 0
	 P = = 
	 = 2f(0) - f(1) = 
	Ví dụ 2: 	 Khai triển: 
	 a. Tính hệ số 	 b. T =
	 c. S = 
Lời giải:
a. Ta có là hệ số của 
 Công thức SHTQ của khai triển là 
 chứa 100 - k = 97 k = 3
 Hệ số của là : =-1293600
 b. Ta có = 
 c. Ta có : 
 = 
 Ví dụ 3: Khai triển:
 Tính: a. Hệ số 
 b. Tính 
Lời giải:
 a/ Có: 
b/ S = f(1) = (1 + 2 + 3)10 =610
Chú ý: TQ: Khai triển ( x + 2x + 3x2)n = a0 + a1x + a2x2 + + a2nx2n 
	 Ví dụ 4: Tìm tổng T = a0 + a1 + a2 +a3 +  + a2n 
 (CĐCNHN- 03- 04) Cho đa thức P(x) = (16x - 15)2003. Khai triển đa thức đó thành dạng : P(x) = a0 + a1x + a2x2 +a3x3 + a4x4 +  + a2003x2003 
 Tính tổng S ’ = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 +  + a2003 
 Lời giải:
 Có ngay S’ = a0 + a1 + a2 +a3 + a4 +  + a2003 = P(1) = (16 - 15)2003 = 1 = P(1)
 (HVKTQS –1997)
 Ví dụ 5: Viết lại P(x) = (1 + x) + 2(1 + x)2 +  + 20(1 + x)20 dưới dạng 
	 P(x) = a0 + a1x + a2x2 +a3x3 + a4x4 +  + a20x20
	 Tìm .
Lời giải:
 Ta có 
	Do đó hệ số 
 Ví dụ 6: Khai triển (1+ x + x2)1996 = a0 + a1x + a2x2 + + a3992x3992 .Tính:
	 a/ Tính: 
	 b/ Tính: 
	 c/ CMR = a0 + 2a1 + 22 a2 + + 23992 a3992 chia hết cho 2401
 Lời giải:
 Đặt f(x) = (1 + x + x2)1996 
	a/ Ta có = f(1) = (1+ 1 + 12)1996 = (3)1996 
	b/ Ta có = f(-1) = (1- 1+12)1996 = (1)1996=1
	c/ Ta có = a0 + 2a1 + 22 a2 + + 23992 a3992 = f(2) = (1 + 2 + 4)1996 = 
 = (7)1996 =(7)1992 .74 = 2401. (7)1992 
	Vậy S3 chia hết cho 2401.
3. Bài tập tương tự
 Cho n Î Z + , Tính ( ĐHSPHCM 2000 - D – E )
	Tính tổng ( ĐHBK- A- 99-2000 )
	1/ Tính I = 
	2/ Rút gọn ( ĐHNN- I- 99 – 00)
 Tính tổng ( CĐSPKT Vinh- D- 03- 04)
 Tính tổng 
	Biết n Î Z+ Thoả mãn điều kiện : ( CĐGT- 02- 03)
 Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:
 ( ĐHCĐ- B- 03 - 04)
 Viết khai triển Niu tơn của biểu thức : (3x - 1)16
 Từ đó CMR: ( ĐHBKHN- 98-99-)
Tính Giá trị của biểu thức :
Tính tổng 
Tính các tổng sau 
 Tính 
 Tính
 a.	 ĐS: 
 b.	. ĐS 
 c, ĐS 
 d. ĐS 
 e.	 ĐS 
 g.	 ĐS : 
 h.	 ĐS :
 i.	 ĐS : 
 k.	 ĐS : 
 m.	 ĐS :
 n.	 ĐS: 
 Lời giải BT phần tính tổng
 Cho n Î Z + Tính ( ĐHSPHCM 2000 D – E )
	 Giải 
Ta có : 
Mặt khác Vậy 
	Tính tổng 
 (ĐHBK A 99-2000)
Giải
 Ta có 
 chọn x = -1 được 	
 Vậy S = 0
	1/ Tính I = 
	2/ Rút gọn 
Giải
	1/ 
 Đặt t = 1- x Þ dt = - dx 
	 x = 0 Þ t = 1
	 x = 1 Þ t = 0
	2/ Ta có: 
 Tính tổng 
Giải
 Ta có: 
 Cho x = 1 ta được: 
 Tính tổng 
	Biết n Î Z+ T/m điều kiện :
Giải
 	Biết 
Þ
Û
Û
Mà giải ra n=12
Vậy 
 Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:
Giải
	Ta có 
Þ 
 Viết khai triển Niu tơn của biểu thức : (3x - 1)16
 Từ đó CMR: 
Giải
Cho x =1 ta được 
Tính Giá trị của biểu thức :
 Giải	
 Suy ra 
Tính tổng 
Giải
Ta có:
Tính các tổng sau 
 Tính 
Giải :
 Mọi x, n ta có: 
 Tính
 a.	 ĐS: 
 b.	. ĐS 
 c, ĐS 
 d. ĐS 
 e.	 ĐS 
 g.	 ĐS : 
 h.	 ĐS :
 i.	 ĐS : 
 k.	 ĐS : 
 m.	 ĐS :
 n.	 ĐS: 
 2- Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức tổ hợp . 
 1. Phương pháp giải:
Sử dụng khai triển Newtơn, kết hợp với việc:
Lựa chọn giá trị thực phù hợp.
Các phép biến đổi đại số.
Phép tính đạo hàm và tích phân.
Phép đánh giá cho bất đẳng thức cùng với các phương pháp chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức đơn.
2. Một số ví dụ:
 Ví dụ 1: CMR: Con - C1n + C2n - C3n + .(-1)kCkn + .(-1)nCnn = 0.
	 Lời giải: 
 * Xét khai triển: (1 - x )n = Con - C1nx + C2nx +  +(-1)kCknxk +  +(-1)nCnnxn
 * Thay x = 1 ta có: 0 = C0n - C1n + C2n + (-1)kCkn + +(-1)nCnn ( Đpcm )
 Ví dụ 2: CMR: 
 Lời giải: 
 * Xét khai triển:
 * Thay x = 1 ta có 
 ( Đpcm )
 Ví dụ 3: CMR 
 Lời giải: 
 * Xét khai triển: 
 * Lấy đạo hàm hai vế ta có: 
 * Lấy đạo hàm hai vế một lần nữa, ta có:
 * Thay x =1 ta có:
 ( Đpcm )
 Ví dụ 4: CMR :
	 Lời giải
 * Ta có: 
	 * Cộng (1), (2) ta được:
	 * Trừ (1), (2) ta được:
 * Từ (3) và (4) suy ra điều phải chứng minh.
 Ví dụ 5 CMR: 
 3. Bài Tập Tương Tự:
 CMR: ( CĐSP bến tre –A- 02 – 03 )
 Hd: khai triển: ( 1+ x)20 cho x =1, x = -1 
 CMR: 
Hd: + Dùng khai triển: ,Lấy đạo hàm hai vế + Cho x = 1/2
 CMR: Hd: + Dùng khai triển: + Cho x = 1.
 CMR: Hd: Khai triển: ( 3x + 4)17, cho x =1
 CMR:	 Hd: Khai triển: ( 1 + x)n, cho x =6
 CMR:	
 CMR:	
 CMR:	
 Tính I = 
 Từ đó chứng minh:
 ( ĐHCSND – A- 00- 01)
 Tính: I = Từ đó chứng minh: 
 Tính: 
 Suy ra rằng: 
 III -Dạng 3: Tìm Giá Trị Của Hệ Số Trong Khai Triển 
 nhị thức NewTơn: 
 * Chú ý: Câu hỏi thường gặp: Trong khai triển , tìm:
Số hạng không chứa biến.
Số hạng chính giữa.	
Số hạng thứ n0 (n0 n)
Số hạng có hệ số lớn nhất.
 - Số hạng hũư tỷ, số hạng nguyên 
 * Phương Pháp Giải:
 * Viết công thức của số hạng tổng quát: 
 Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: ()	trong bài cần xác định đúng a,b à hệ số của số hạng thứ k +1 là 
 * Từ gỉa thiết số hạng cần tìm là số hạng không chứa biến, hoặc là số hạng thứ n0
 hay số hạng chính giữa à k.
	 * Thay k ta có số hạng( hoặc hệ số) phải tìm.
* Một số ví dụ:
 Ví dụ 1: Tìm các hạng tử đứng giữa trong khai triển: 
 	 Lời giải
 * Số hạng tổng quát trong khai triển ( x3 - xy)15 là:
* Trong khai triển trên có n = 15 do đó có 16 số hạng nên ssố hạng đứng giữa là số hạng thứ 8 và thứ 9:
 Ví dụ 2: Trong khai triển nhị thức: hãy tìm số hạng không phụ thuộc x.
 Lời giải
* Số hạng tổng quát trong khai triển là: 
* không phụ thuộc thuộc x .
* Vậy số hạng không phụ thuộc x là số hạng thứ 7 ứng với k = 6: 
 Ví dụ 3: Tìm số hạng hữu tỷ của khai triển 
 Lời giải
 * Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: 
 ( )
 * là số hạng hữu tỷ là một số tự nhiên chia hết cho 2
 ( vì )
 * Vậy trong khai triển các số hạng hữu tỷ x là số hạng thứ 1; 3; 5; 7:
 Ví dụ 4: Trong khai triển đa thứcthành dạng:
 Tìm hệ số ) lớn nhất. ( Học viện kỹ thuật QS –A- 2000 –2001 )
 Lời giải
* Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: 
 ( )
* Hệ số của số hạng chứa xk là ( )
* Để tìm max ta so sánh và 
 + Ta có 
 Do đó: 
 Tức là khi k tăng từ 1 đến 12 thì: 
 giảm khi k tăng và 
 tăng khi k tăng và 
Vậy đạt giá trị lớn nhất tại k = 8 và có giá trị bằng: 
 Ví dụ 5: Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển thành đa thức của ( Đại học cao đẳng –A- 2003 –2004 )
Lời giải
 * Ta có: =
 * Khai triển trên có 9 số hạng nhưng chỉ có số hạng thứ 4 và thứ 5 là chứa : 
 Suy hệ số số hạng chứa trong là ; trong là 
 * Vậy hệ số số hạng chứa trong khai triển là + 
 Bài tập tương tự:
 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu Tơn:
	1. 	(TNTH - 00 – 01)
	2. 	3. 
 Trong khai triển nhị thức: hãy tìm số hạng không phụ thuộc thuộc x biết rằng: ( ĐHSPHN – 2000 – 2001 )
 Tìm các hạng tử đứng giữa trong khai triển: 
(10	3. ()12
( x3 - xy)15	4. (a3 + ab)31
 Cho biết hệ số thứ 3 trong khai triển bằng 5. Tìm số hạng tử đứng giữa trong khai triển trên.
 1. Trong khai triển , tìm hệ số của số hạng chứa .
Trong khai triển , tìm hệ số của . 
 ( Đại học Đà Lạt – 99 –2000 ) 
Tìm hệ số của số hạng chứa x31 trong khai triển 
 ( Đại học nông nghiệp I – A - 2000 –2001 )
Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức NiuTơn của , 
 biết rằng (n là số nguyên dương, x > 0 )
 ( ĐHCĐ - A - 2002 –2003 )
5. Với n là số nguyên dương, gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của . Tìm n để 
	 ( ĐHCĐ - D - 2002 –2003 )
 1. Trong khai triển theo nhị thức 
 Newtơn. Tìm hệ số của số hạng chứa .
Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niu Tơn của: biết 
 ( Đại học CĐ- dự bị –A- 2003 –2004 )
 1. Trong khai triển thành đa thức: 
 Tìm max . 
 2. Trong khai triển P(x) = thành đa thức: 
 P(x) = . Tìm max . 
 1. Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỷ 
 ( Học viện kỹ thuật QS –A- 2000 –2001 )
 2. Tìm hạng tử của khai triểnlà một số nguyên. 
Ôn Tập Chủ Đề 3: Đại Số Tổ Hợp.
Dạng 1: Giải phương trình; bất phương trình đại số tổ hợp. . 
 Giải các phương trình, bất phương trình sau:
 1. 6. 	 (TNTHPT - 98 - 99)
 2. 7. (ĐHNN - 99- 00)
 8. 	 (ĐHQGHN - 98- 99)
 9. ( ĐHHH – 1999 )
 5. 10. 
 11. (TNTHPT – 03 – 04 )
 12. (TNTHPT – 04 – 05 ) 
 Giải các hệ phương trình sau: a. 
 b. (ĐHBK HN A/ 2001 )
 c. 
Dạng 2: Bài toán đếm số phương án
 Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông hoa xem như đôi một khác nhau ), ta chọn ra một bó gồm 7 bông.
a. Có bao nhiêu cách chọn ra bó hoa trong đó có đúng một bông hồng đỏ ?
b. Có bao nhiêu cách chọn ra bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và 3 bông hồng đỏ ?
 ( HVKTQS –2000 ): Một lớp có 20 em h/s trong đó có 14 nam và 6 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một đội gồm 4 h/s trong đó:
	a. Số nam nữ bằng nhau.
	b. Có ít nhất 1 nữ.
 (ĐHYHN - 2000): Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý
nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lý. Hỏi có bao nhiêu cách?
 (ĐHĐN - 2000): Một tổ có 5 h/s nam và 5 h/s nữ xếp thành một hàng dọc
	a. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau ?
	b. Có bao nhiêu cách xếp sao cho không có h/s cùng giới đứng cạnh nhau ?
(HVKTQS - 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người làm nhiệm vụ ở địa điểm B, 4 người ở lại trực đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công?
Dạng 3: Xác định hệ số của số hạng trong khai triển nhị thức Newtơn.
 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu Tơn:
	1. 	(TNTH - 00 – 01)
	2. 	3. 
 Trong khai triển nhị thức: hãy tìm số hạng không phụ thuộc thuộc x biết rằng: ( ĐHSPHN – 2000 – 2001 )
 Tìm các hạng tử đứng giữa trong khai triển: 
(10	3. ()12
( x3 - xy)15	4. (a3 + ab)31
 Cho biết hệ số thứ 3 trong khai triển bằng 5. Tìm số hạng tử đứng giữa trong khai triển trên.
 1. Trong khai triển , tìm hệ số của số hạng chứa .
Trong khai triển , tìm hệ số của . 
 ( Đại học Đà Lạt – 99 –2000 ) 
Tìm hệ số của số hạng chứa x31 trong khai triển 
 ( Đại học nông nghiệp I – A - 2000 –2001 )
Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức NiuTơn của , 
 biết rằng ( n là số nguyên dương, x > 0 )
 ( ĐHCĐ - A - 2002 –2003 )
5. Với n là số nguyên dương, gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của . Tìm n để 
	 ( ĐHCĐ - D - 2002 –2003 )