Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 11 - Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
4
CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
1. Hàm số y sin x
 Có tập xác định D   ;
 Là hàm số lẻ;
 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 ,  sin 2 sinx k x  ;
 Do hàm số siny x là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó
trên đoạn có độ dài 2 , chẳng hạn trên đoạn ;    .
Khi vẽ đồ thị của hàm số y sin x trên đoạn ;    ta nên để ý rằng : Hàm số siny x là hàm số
lẻ, do đó đồ thị của nó nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Vì vậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số
siny x trên đoạn 0;  
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số siny x trên đoạn 0;  
Lấy đối xứng phần đồ thị này qua gốc tọa độ lập thành đồ thị hàm số y sin x trên đoạn ;   
Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những
đoạn có độ dài 2 ,4 ,6 ,...   thì ta được toàn bộ
đồ thị hàm số siny x . Đồ thị đó được gọi là
một đường hình sin.
Hàm số siny x đồng biến trên khoảng
;
2 2
   
  và nghịch biến trên khoảng 3;
2 2
   
  .
8
6
4
2
2
4
6
8
5π 4π 3π 2π π π 2π 3π 4π 5π
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
5
Từ đó do tính tuần hoàn với chu kì 2 , hàm số siny x đồng biến trên khoảng
        
k2 ; k2
2 2
và nghịch biến trên khoảng 32 ; 2
2 2
k k
    
 
 
2. Hàm số y cosx
 Có tập xác định D   ;
 Là hàm số chẵn;
 Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2 ;
 Do hàm số osy c x là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2 nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó
trên đoạn có độ dài 2 , chẳng hạn trên đoạn ;    .
Khi vẽ đồ thị của hàm số osy c x trên đoạn ;    ta nên để ý rằng : Hàm số osy c x là hàm
số chẵn, do đó đồ thị của nó nhận trục Oy làm trục đối xứng. Vì vậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số
osy c x trên đoạn 0;  
Bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số osy c x trên đoạn   0;
Lấy đối xứng phần đồ thị này qua trục Oy lập thànhđồ thị hàm số osy c x trên đoạn ;   
Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ dài   2 ,4 ,6 ,... thì ta được toàn bộ đồ
thị hàm số osy c x . Đồ thị đó được gọi là một đường hình sin
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
6
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7π
2
3π 5π
2
2π 3π
2
π π
2
π
2
π 3π
2
2π 5π
2
3π 7π
2
Hàm số y cosx đồng biến trên khoảng  ;0 và nghịch biến trên khoảng  0; . Từ đó do tính
tuần hoàn với chu kì 2 , hàm số siny x đồng biến trên khoảng     k2 ; k2 và nghịch biến
trên khoảng  2 ; 2k k   .
3. Hàm số y tanx
 Có tập xác định là \ |
2
D k k
     

  ;
 Có tập giá trị là  ;
 Là hàm số lẻ;
 Hàm số tuần hoàn với chu kỳ  ,  tan tanx k x  ;
Do hàm số y tan x là hàm tuần hoàn với chu kỳ  nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên đoạn
có độ dài  , chẳng hạn trên đoạn ;
2 2
   
  .
Khi vẽ đồ thị của hàm số y tan x trên đoạn ;
2 2
   
  ta nên để ý rằng : Hàm số y tan x là hàm
số lẻ, do đó đồ thị của nó nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. Vì vậy, đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số
tany x trên đoạn    0; 2
Bảng biến thiên:
+∞
1
0
π
2
π
40
y=tanx
x
Đồ thị hàm số tany x trên 0;
2
   

Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
7
Lấy đối xứng phần đồ thị này qua gốc tọa độ lập thành đồ thị hàm số y tan x trên đoạn ;
2 2
   
 
Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ dài ,2 ,3 ,...   thì ta được toàn bộ
đồ thị hàm số tany x .
8
6
4
2
2
4
6
8
4π 7π
2
3π 5π
2
2π 3π
2
π π
2
π
2
π 3π
2
2π 5π
2
3π 7π
2
Hàm số tany x đồng biến trên khoảng ;
2 2
   
  . Từ đó do tính tuần hoàn với chu kỳ  nên
hàm số tany x đồng biến trên khoảng         k ; k2 2 .
Đồ thị hàm số tany x nhận mỗi đường thẳng
2
x k   làm một đường tiệm cận (đứng).
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
8
4. Hàm số y cot x
 Có tập xác định là    D \ k | k  ;
 Có tập giá trị là  ;
 Là hàm số lẻ;
 Hàm số tuần hoàn với chu kỳ  ,  cot cotx k x  ;
Do hàm số coty x là hàm tuần hoàn với chu kỳ  nên ta chỉ cần khảo sát hàm số đó trên đoạn
có độ dài  , chẳng hạn trên đoạn 0;   .
Bảng biến thiên:
-∞
+∞
0
π
π
20
y=cotx
x
Đồ thị hàm số y cot x trên 0;  
Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải những đoạn có độ dài   ,2 ,3 ,... thì ta được toàn bộ đồ
thị hàm số coty x .
8
6
4
2
2
4
6
8
5π
2
2π 3π
2
π π
2
π
2
π 3π
2
2π 5π
2
g x( ) =
1
tan x( )
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
9
Hàm số y cot x nghịch biến trên khoảng  0;  . Từ đó do tính tuần hoàn với chu kỳ  nên hàm
số y cot x đồng biến trên khoảng  ;k k   .
Đồ thị hàm số coty x nhận mỗi đường thẳng x k  làm một đường tiệm cận (đứng).
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số
Phương pháp: Để tìm tập xác định của hàm số ta cần lưu ý các điểm sau
  y u x có nghĩa khi và chỉ khi  u x xác định và u(x) 0 .
 u(x)y
v(x)
 có nghĩa khi và chỉ  u x ,  v x xác định và v(x) 0 .
 u(x)y
v(x)
 có nghĩa khi và chỉ  u x ,  v x xác định và v(x) 0 .
 Hàm số y sinx, y cosx  xác định trên  và tập giá trị của nó là:
     1 sin x 1 ; 1 cosx 1 .
Như vậy,    y sin u x , y cos u x        xác định khi và chỉ khi  u x xác định.
  y tan u x có nghĩa khi và chỉ khi  u x xác định và  u x k ,k
2
   
  y cot u x có nghĩa khi và chỉ khi  u x xác định và  u x k ,k   .
I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a)
2
5xy sin
x 1
    
; b) 2y cos 4 x ;  c) y sin x; d) y 2 sin x  .
Giải
a) Hàm số
2
5xy sin
x 1
    
xác định 2x 1 0 x 1.     
Vậy   D \ 1 .
b) Hàm số 2y cos x 4  xác định  2 24 x 0 x 4 2 x 2.       
Vậy  D x | 2 x 2 .    
c) Hàm số y sin x xác định s inx 0 k2 x k2 ,k .         
Vậy  D x | k2 x k2 ,k .         
d) Ta có: 1 sinx 1 2 sinx 0      .
Do đó, hàm só luôn luôn xác định hay D .
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y tan x
6
    
; b) y cot x ;
3
    
c) sin xy ;
cos(x )
   d)
1y .
tan x 1
 
Giải
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
10
a) Hàm số y tan x
6
    
xác định 2x k x k ,k .
6 2 3
          
Vậy       
2D \ k ,k .
3
 
b) Hàm số y cot x
3
    
xác định x k x k ,k .
3 3
         
Vậy D \ k ,k .
3
      
 
c) Hàm số   
sin xy
cos(x )
xác định   3cos x 0 x k x k ,k .
2 2
              
Vậy 3D \ k ,k .
2
      
 
d) Hàm số 1y
tan x 1
  xác định
x ktan x 1 4 ,k .
cosx 0 x k
2
            

Vậy D \ k , k ;k
4 2
         
 
Ví dụ 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)   1y cos2x ;
cosx
b) 3cos2xy .
sin3x cos3x

Giải
a) Hàm số   1y cos2x
cosx
xác định cosx 0 x k ,k .
2
      
Vậy       D \ k ,k .2 
b) Hàm số 3cos2xy
sin3x cos3x
 xác định 
1 ksin3x cos3x 0 sin6x 0 6x k x ,k .
2 6
       
Vậy kD \ ,k .
6
    
 
Ví dụ 4. Tìm mđể hàm số sau đây xác định trên : y 2m 3cosx. 
Giải
Hàm số đã cho xác định trên R khi và chỉ khi 2m2m 3cosx 0 cosx
3
   
Bất đẳng thức trên đúng với mọi x khi 2m 31 m .
3 2
  
II. Bài tập rèn luyện
BT 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
11
a) 2y 1 cos x  ; b)  
2 sin xy
1 cosx
.
Giải
a) Nhận thấy 20 cos x 1  nên 21 cos x 0, x .   
Vậy D .
b) Hàm số 2 sin xy
1 cosx
  xác định 1 cosx 0 x k2 ,k .        
Vậy      D \ k2 ,k . 
BT 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau
1a) y tan 3x ; b)y tan6x ;
3 cot3x
tan2x tan5xc)y cot 3x ; d)y .
sin x 1 6 sin 4x cos3x
      
       
Giải
a) Hàm số y tan 3x
3
    
xác định 53x k x k ,k .
3 2 18 3
          
Vậy 5 kD \ ,k .
18 3
      
 
b) Hàm số 1y tan6x
cot3x
  xác định
cos6x 0
cos6x 0 ksin3x 0 sin12x 0 x ,k .
2sin6x 0
cot3x 0
              

Vậy kD \ ,k .
12
    
 
c) Hàm số       
tan2xy cot 3x
sin x 1 6
xác định khi và chỉ khi
x k2
2sinx 1
kcos2x 0 x ,k .
4 2
ksin 3x 0 x6 18 3
                             

Vậy k kD \ k2 , , ;k .
2 4 2 18 3
              
 
d) Hàm số tan5xy
sin 4x cos3x
  xác định khi và chỉ khi
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
12
kx
10 55x k
cos5x 0 2 4x 3x k2
2sin 4x cos3x cos 4x cos3x
2 4x 3x k2
2
                              
k kx x
10 5 10 5
k27x k2 x ,k
2 14 7
x k2 x k2
2 2
                             

Vậy k k2D \ , , k2 ;k .
10 5 14 7 2
            
 
BT 3. Tìm mđể hàm số sau xác định trên  :
2
3xy .
2sin x msin x 1

 
Giải
Hàm số xác định trên R khi và chỉ khi: 22sin x msin x 1 0   với mọi t 1;1   
Ta có: 2m 8 
 TH 1: 20 m 8 0 2 2 m 2 2         . Khi đó  f t 0, t  (thỏa mãn)
 TH 2: 2 m 2 20 m 8 0
m 2 2
         
o Với m 2 2  thì    22f t 2t 2 2t 1 2t 1    
Ta thấy  f t 0 tại 1t 1;1
2
     (không thỏa mãn)
o Với m 2 2 thì    22f t 2t 2 2t 1 2t 1    
Ta thấy  f t 0 tại 1t 1;1
2
      (không thỏa mãn)
 TH 3: 2 m 2 20 m 8 0
m 2 2
         
khi đó tam thức  f t có hai nghiệm phân biệt 1 2t , t (giả
sử 1 2t t )
Ta có bảng xét dấu:
++ - 00
t2t1 +∞-∞
f(t)
t
Từ bảng xét dấu ta thấy:
  2 1f t 2t mt 1 0, t 1,1 t 1           hoặc 2t 1
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
13
Với  2 21 m 4m m 8t 1 1 m 8 m 4 Voâ nghieäm4 m 3           
Với  2 22 m 4m m 8t 11 1 m 8 m 4 Voâ nghieäm4 m 3                
Vậy giá trị m cần tìm là 2 2 m 2 2.  
Dạng 2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số
Phương pháp: Giả sử ta cần xét tính chẵn, lẻ của hàm số y f(x)
 Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số; kiểm chứng D là tập đối xứng qua số 0 tức là
x,x D x D     (1)
 Bước 2: Tính f( x) và so sánh f ...  5 2;
2 2 2
3f 3sin 2cos 5 8
2 2 2
                       
                    
Nhận thấy:    
20;
3
Do đó, hàm số đã cho không chẵn không lẻ.
b) TXĐ:  D \ k ,k .    Suy ra     x D x D
Ta có:
      
   
   
tan 3x cot 5x tan 3x cot 5x
f x f x
sin 3x sin 3x
      
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.
BT 4. Tìm tham số a,b để hàm số:
     
3a 1 sinx bcosx, khix 0
y f x
asin x 3 2b cosx, khi x 0
        
là hàm số lẻ.
Giải
TXĐ:  D \ k ,k .    Suy ra x D x D    
 TH 1: Với x 0 thì      f x 3a 1 sin x bcosx
Và          f x asin x 3 2b cos x asin x 3 2b cosx         
Vì hàm số lẻ nên      f x f x hay
   
   
asin x 3 2b cosx 3a 1 sin x bcosx, x 0
2a 1 sin x 3 b cosx 0, x 0
        
      
Đẳng thức trên đúng với mọi x 0 khi
12a 1 0 a .2
3 b 0 b 3
       
 TH 2: Với x 0 thì    f x asin x 3 2b cosx  
Và          f x 3a 1 sin x bcos x 3a 1 sin x bcosx         
Vì hàm số lẻ nên      f x f x hay
   3a 1 sin x bcosx asin x 3 2b cosx      
Đẳng thức trên đúng với mọi x 0 khi
12a 1 0 a .2
3 b 0 b 3
       
Vậy hàm số đã cho lẻ khi 1a ,b 3.
2
 
Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất và và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Phương pháp: Cho hàm số y f(x) xác định trên tập D
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
17
        D 0 0
f(x) M, x D
M max f(x)
x D : f(x ) M

D 0 0
f(x) m, x D
m min f(x)
x D : f(x ) m
       
Lưu ý:
 1 sinx 1; 1 cosx 1.     
 2 20 sin x 1; 0 cos x 1.   
 0 sin x 1; 0 cosx 1.   
I. Các ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) y 2sin x 1
4
      ; b) y 2 cosx 1 3   .
Giải
a) Ta có:
1 sin x 1 2 2sin x 2 1 2sin x 1 3
4 4 4
                               
Hay 1 y 3   . Suy ra:
Maxy 3 khi sin x 1 x k2 ,k .
4 4
          

Miny 1  khi 3sin x 1 x k2 ,k .
4 4
            

b) Ta có:
1 cosx 1 0 cosx 1 2 0 cosx 1 2
0 2 cosx 1 2 2 3 2 cosx 1 3 2 2 3
          
          
Hay    3 y 2 2 3 Suy ra
Maxy 2 2 3  khi cosx 1 x k2 ,k .    
Miny 3  khi cosx 0 x k ,k .
2
     
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a)  y sinx cosx ; b) y 3 sin2x cos2x  .
Giải
a) Ta có:       y sinx cosx 2 sin x 4 2 y 2   .
Suy ra:
Maxy 2 khi sin x 1 x k2 ,k .
4 4
          

Miny 2  khi             
3sin x 1 x k2 ,k .
4 4

Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
18
b) Ta có: 3 1y 3 sin2x cos2x 2 sin2x cos2x 2sin 2x
2 2 6
               
Suy ra:   2 y 2 . Do đó:
Maxy 2 khi sin 2x 1 2x k2 x k2 ,k .
6 6 2 3
                

Miny 2  khi                    sin 2x 1 2x k2 x k2 ,k .6 6 2 6 
Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) 2y cos x 2sin x 2   ; b) 4 2y sin x 2cos x 1   .
Giải
a) Ta có:
 
 
22 2
22
y cos x 2sin x 2 1 sin x 2sin x 2
sin x 2sin x 3 sin x 1 4
      
       
Vì  21 sinx 1 2 sin x 1 0 4 sin x 1 0           
   2 24 sin x 1 0 0 sin x 1 4 4          
Hay 0 y 4 
Do đó:
Maxy 4 khi sin x 1 x k2 ,k .
2
     
Miny 0 khi sin x 1 x k2 ,k .
2
       
Lưu ý:
Nếu đặt t sin x,t 1;1     . Ta có (P):   2y f t t 2t 3     xác định với mọi
t 1;1    , (P) có hoành độ đỉnh t 1 và trên đoạn 1;1   hàm số đồng biến
nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t 1 hay sin x 1    và đạt giá trị lớn
nhất khi t 1 hay sin x 1  .
b) Ta có
 
 
24 2 2 2
24 2 2
y sin x 2cos x 1 1 cos x 2cos x 1
cos x 4cos x 2 cos x 2 2
      
     
Vì  22 2 20 cos x 1 2 cos x 2 1 4 cos x 2 1           
 222 cos x 2 2 1 2 y 1         
Do đó:
Maxy 2 khi
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
19
2cos x 0 cosx 0 x k ,k .
2
       
Miny 1  khi
2cos x 1 sin x 0 x k ,k .      
Lưu ý:
Nếu đặt 2t cos x,t 0;1    . Ta có (P):   2y f t t 4t 2    xác định với mọi t 0;1   , (P) có hoành
độ đỉnh    t 2 0;1 và trên đoạn 0;1   hàm số nghịch biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại
t 1 và đạt giá trị lớn nhất khi t 0.
II. Bài tập rèn luyện
BT 1. Tìm GTLN và GTNN của hàm số
a) y 3 sin x 2  ; b) y sin x 3 cosx 3   .
Bài 2. Tìm GTLN và GTNN của hàm số
            
2
2
4a)y 1 3sin 2x ; b)y 3 2cos 3x; c)y 1 2 sin2x ; d)y .
4 1 2sin x
Bài 3. Tìm GTLN và GTNN của hàm số
   
2 2
22 2
a)y 6cos x cos 2x; b)y 3sinx 4cosx 1
c)y 2sin x 3sin2x 4cos x; c)y 4sin x 3cosx 4 4sin x 3cosx 1
    
       
Bài 4. Cho hai số x,y thỏa mãn
2 2x y 1
9 4
  . Tìm GTLN và GTNN (nếu có) của biểu thức
P x 2y 1  
Dạng 4. Chứng minh hàm số tuần hoàn và xác định chu kỳ của nó {Tham khảo}
Phương pháp
Muốn chứng minh hàm số tuần hoàn f(x) tuần hoàn ta thực hiện theo các bước sau:
 Xét hàm số y f(x) , tập xác định là D
 Với mọi x D , ta có  0x T D và 0x T D  (1) . Chỉ ra 0f(x T ) f(x)  (2)
Vậy hàm số y f(x) tuần hoàn
Chứng minh hàm tuần hoàn với chu kỳ 0T
Tiếp tục, ta đi chứng minh 0T là chu kỳ của hàm số tức chứng minh 0T là số dương nhỏ nhất thỏa
(1) và (2). Giả sử có T sao cho 00 T T  thỏa mãn tính chất (2) ...  mâu thuẫn với giả thiết
00 T T  . Mâu thuẫn này chứng tỏ 0T là số dương nhỏ nhất thỏa (2). Vậy hàm số tuần hoàn với
chu kỳ cơ sở 0T
Một số nhận xét:
- Hàm số y sin x,y cosx  tuần hoàn chu kỳ 2 . Từ đó    y sin ax b ,y cos ax b    có chu
kỳ 0 2T a
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
20
- Hàm số y tan x, y cot x  tuần hoàn chu kỳ  . Từ đó    y tan ax b ,y cot ax b    có chu kỳ
0T a

Chú ý:
1y f (x) có chu kỳ T1 ; 2y f (x) có chu kỳ T2
Thì hàm số 1 2y f (x) f (x)  có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.
Các dấu hiệu nhận biết hàm số không tuần hoàn
Hàm số y f(x) không tuần hoàn khi một trong các điều kiện sau vi phạm
 Tập xác định của hàm số là tập hữu hạn
 Tồn tại số a sao cho hàm số không xác định vớ i x a hoặc x a
 Phương trình f(x) k có vô số nghiệm hữu hạn
 Phương trình f(x) k có vô số nghiệm sắp thứ tự m m 1... x x ...   mà m m 1x x 0  hay 
I. Các ví dụ mẫu
Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau là những hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ sở 0T
0 0a)f(x) s inx, T 2 ; b)f(x) tan2x, T 2
    
Hướng dẫn:
a) Ta có : f(x 2 ) f(x), x     .
Giả sử có số thực dương T 2  thỏa        f(x T) f(x) sin x T sinx , x (*)
Cho x VT(*) sin T cosT 1; VP(*) sin 1
2 2 2
            
(*) không xảy ra với mọi x . Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 0T 2 
b) Ta có :    f(x ) f(x), x D
2
.
Giả sử có số thực dương T
2
 thỏa  f(x T) f(x) tan 2x 2T tan2x , x D (**)      
Cho x 0 VT(**) tan2T 0; VP(**) 0    
B (**) không xảy ra với mọi x D . Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ 0T 2

II. Bài tập rèn luyện
BT 1. Tìm chu kỳ của hàm số:
a/ y sin2x b/ xy cos
3
 c/ 2y sin x
d/ xy sin2x cos
2
  e/ y tan x cot3x  f/ 3x 2xy cos sin
5 7
 
g/ y 2sin x. cos3x h/ 2y cos 4x i/ y = tan(3x + 1)
BT 2. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ cơ sở (nếu có) của các hàm số sau
     23x xa) f(x) cos cos ; b)y cosx cos( 3x); c)f(x) sin x ; d)y tan x.2 2
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
21
Hướng dẫn
c)Hàm số  2f(x) sin x không tuần hoàn vì khoảng cách giữa các nghiệm (không điểm) liên tiếp
của nó dần tới 0
   k 1 k 0 khi kk 1 k
      
   
d) Hàm số f(x) tan x không tuần hoàn vì khoảng cách giữa các nghiệm (không điểm) liên tiếp
của nó dần tới 
 2 2 2k 1 k khi k    
BT 3. Cho hàm số y f(x) và y g(x) là hai hàm số tuần hoàn với chu kỳ lần lượt là 1 2T ,T . Chứng
minh rằng nếu 1
2
T
T
là số hữu tỉ thì các hàm số  f(x)f(x) g(x); f(x).g(x); g(x) 0
g(x)
  là những hàm
số tuần hoàn.
Dạng 5. Vẽ đồ thị hàm số lượng giác
Phương pháp
1/ Vẽ đồ thị hàm số lượng giác:
- Tìm tập xác định D.
- Tìm chu kỳ T0 của hàm số.
- Xác định tính chẵn – lẻ (nếu cần).
- Lập bảng biến thiên trên một đoạn có độ dài bằng chu kỳ T 0 có thể chọn:
0x 0, T    hoặc 0 0
T T
x ,
2 2
    
.
- Vẽ đồ thị trên đoạn có độ dài bằng chu kỳ.
- Rồi suy ra phần đồ thị còn lại bằng phép tịnh t iến theo véc tơ  0v k.T .i
  về bên trái và
phải song song với trục hoành Ox (với i là véc tơ đơn vị trên trục Ox).
2/ Một số phép biến đổi đồ thị:
a) Từđồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số y = f(x) + a bằng c ách tịnh tiến đồ thị y =
f(x) lên trên trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn
vị nếu a < 0.
b) Từđồ thị hàm số y = f(x), suy ra đồ thị hàm số  y f(x a) bằng cách tịnh tiến đồ thị y =
f(x) sang phải trục hoành a đơn vị nếu a > 0 và tịnh tiến sang trái trục hoành a đơn vị nếu
a < 0.
c) Từđồ thị y = f(x), suy ra đồ thị y = –f(x) bằng cách lấy đối xứngđồ thị y = f(x) qua trục
hoành.
d) Đồ thị f(x), neáu f(x) 0y f(x)
-f(x), neáu f(x) < 0
   
ñöôïc suy töø ñoà thò y = f(x) baèng caùch giöõ
nguyeân phaàn ñoà thò y = f(x) ôû phía treân truïc hoaønh vaø laáy ñoái xöùng phaàn
ñoà thò y = f(x) naèm ôû phía döôùi truïc hoaønh qua truïc hoaønh.
Mối liên hệ đồ thị giữa các hàm số
Trần Đình Cư. Gv THPT Gia Hội - Huế. SĐT: 01234332133. Nhận dạy kèm và luyện thi THPT Quốc Gia
22
Tịnh tiến theo
vec tơ v=(a;b)
Đối xứng qua gốc O
Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị
Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị
Tịnh tiến theo Oy, b đơn vị
Tịnh tiến theo Ox, a đơn vị
Đối xứng qua Oy
Đối xứng qua Ox
Đối xứng qua Ox
Đối xứng qua Oy
y=-f(x)
y=f(-x)
y=-f(-x) y=f(x+a)+b
y=f(x)+b
y=f(x+a)
y=f(x)
Ví dụ 1. Hãy xác định các giá trị của x trên đoạn 3;
2
   
để hàm số y tanx
a) Nhận giá trị bằng 0; b) Nhận giá trị bằng 1
c) Nhận giá trị dương; d) Nhận giá trị âm.
Ví dụ 2. Dựa vào đồ thị y sinx , hãy vẽ đồ thị hàm số y sinx
Ví dụ 3. Chứng minh rằng  sin2 x k sin2x   với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số
y sin2x .
Ví dụ 4. Vẽ đồ thị hàm số y cosx , tìm các giá trị của x để 1cosx .
2

Ví dụ 5. Dựa vào đồ thị hàm số y sinx , tìm các khoảng giá trị của x để hàm số nhận giá trị âm
Ví dụ 6. Dựa vào đồ thị hàm số y cosx , tìm các khoảng giá trị của x để hàm số nhận giá trị dương.