Chuyên đề: Đạo hàm nguyên hàm tích phân

Chuyên đề 2 :
PHẦN 1 : ĐẠO HÀM
TÓM TẮT LÝ THUYẾT: 
Định nghĩa:
Các quy tắc tính đạo hàm:
Đạo hàm một tổng, hiệu: 
Đạo hàm một tích: 
* Trường hợp đặc biệt: (là hằng số) ta được: 
Đạo hàm một thương: 
* Trường hợp đặc biệt: ta được: 
Các công thức tính đạo hàm: 
BÀI TẬP:
	­ Ghi nhớ: Để làm các bài toán về giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức trong đó có chứa biểu thức , với là hàm số cho trước, ta thực hiện các bước sau:
Tìm tập xác định của hàm số 
Tính (có khi ta phải rút gọn hàm số trước, sau đó mới tính đạo hàm).
Thay vừa tìm được vào biểu thức , tiếp theo thực hiện theo yêu cầu của từng bài toán.
Bài 1: Cho hàm số . Giải phương trình .
	Bài 2: Cho hàm số . Chứng minh đẳng thức: .
	Bài 3: Cho hàm số . Chứng minh đẳng thức: .
	Bài 4: Cho hàm số . Chứng minh rằng: .
	Bài 5: Cho hàm số . 
Hãy tìm các giá trị của sao cho: 
	Bài 6: Cho hàm số .
a. Chứng minh rằng: .
b. Giải phương trình .
	Bài 7: Cho hàm số . Giải bất phương trình 
	Bài 8: Cho hàm số . 
Tìm các giá trị của sao cho: 
	Bài 9: Cho hàm số .
a. Giải phương trình .
b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của .
	Bài 10: Cho hàm số . 
Chứng minh bất đẳng thức sau: .
	Bài 11: Cho hai hàm số: ; .
a. Tính , .
b. Chứng minh rằng: .
	Bài 12: Cho hàm số . 
Chứng minh rằng: .
PHẦN 2 :	NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN
§1. NGUYÊN HÀM:
Định nghĩa : 
Hàm số gọi là nguyên hàm của hàm số trên nếu .
­Ghi nhớ : Nếu là nguyên hàm của thì mọi hàm số có dạng (là hằng số) cũng là nguyên hàm của và chỉ những hàm số có dạng mới là nguyên hàm của . Ta gọi là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số và ký hiệu là.
Như vậy: 
Tính chất: 
	a.TC1: 	
	b.TC2: 	
	c.TC3:	Nếu thì . 
Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ : 
Bài tập:
­Ghi nhớ: 
Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần.
Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm.
Bài 1: Cho hai hàm số ; .
a. Chứng minh rằng là nguyên hàm của .
b. Tìm nguyên hàm biết rằng .
Bài 2: Cho hàm số . 
Tìm nguyên hàm của hàm số biết rằng .
Bài 3: Cho hàm số . Tìm hàm số biết rằng và .
Bài 4: Cho hàm số .
a. Giải phương trình .
b. Tìm nguyên hàm của hàm số biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm .
Bài 5: Biết rằng hàm số là nguyên hàm của . Hãy tìm các giá trị của sao cho .
Bài 6: Cho hàm số .
a. Tính và .
b. Tìm nguyên hàm của hàm số .
Bài 7: Cho hàm số . Chứng minh rằng hàm số là nguyên hàm của hàm số .
Bài 8: Tìm nguyên hàm của hàm số ,biết rằng . (Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003)
§2. TÍCH PHÂN : 
Định nghĩa: 
Tính chất:
a. TC1: 	
b. TC2:	 	
c. TC3: 	
d. TC4: 	
e. TC5: 	Nếu thì 
f. TC6: 	Nếu thì 
g. TC7:	Nếu thì 
Bài tập:
­ Ghi nhớ: 
Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm.
Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu.
Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a. 
b. 	 
c. 	 
d. 
	Bài 2: Cho hàm số và hàm số .
a. Chứng minh rằng là nguyên hàm của .
b. Áp dụng câu a. tính .
	Bài 3: Cho hàm số .
a. Tính .
b. Áp dụng câu a. tính .
	Bài 4: Biết hàm số là một nguyên hàm của . Hãy tính : .
§3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
Công thức tổng quát: 
Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của (hàm số theo biến là ) với đạo hàm của hàm . Áp dụng công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau:
TH1: . 
Đặt 
hoặc 
hoặc nếu như biểu thức nằm trong .
	TH2: . 
Đặt 
hoặc 
hoặc nếu như biểu thức nằm trong .
	TH3: . 
Đặt 
hoặc 
hoặc nếu như biểu thức nằm trong dấu .
TH4: . 
Đặt 
hoặc 
hoặc nếu như biểu thức nằm trong dấu .
TH5: . 
Đặt 
hoặc 
hoặc nếu như biểu thức nằm trong .
Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a. 	
b. 	
c. 
d. 
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a. 	
b. 
c. 
d. 
	Bài 3: Tính các tích phân sau đây:
a. 
b. 	
c. 	
d.
Bài 4: Tính các tích phân sau đây:
a. 
b. 	
c. 
d. 
§4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN:
Công thức tổng quát: 
hay (1)
Các bước thực hiện:
Bước 1: 	
Bước 2: 	Thế vào công thức (1).
Bước 3: 	Tính và suy nghĩ tìm cách tính tiếp 
(tích phân này có thể tính bằng định nghĩa hoặc đổi biến số hoặc tích phân từng phần tùy từng bài toán cụ thể mà ta phải xem xét).
Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần:
Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có dạng như sau:
Dạng 1: 
Trong đó là hàm số đa thức, còn là hàm hoặc . 
Trong trường hợp này ta đặt: 
	­ Ghi nhớ : Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì khi thế vào công thức ta được phức tạp hơn ban đầu.
Dạng 2: 
Trong đó là hàm số đa thức, còn là hàm logarit.
Trong trường hợp này ta đặt: 
	­Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn khi suy ra từ .
Bài tập:
	Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a. 
b. 	
c. 
d. 
e. 	
f. 
g. 	
h. 
	Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a. 	
b. 	
c. 
d. 
§5. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN:
	Tính các tích phân sau đây:
a. 	
b. 	
c. 
d.	
e. 
f. 
g. 	
h. 
§6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
(trong đó hai đường thẳng có thể thiếu một hoặc cả hai).
Công thức: (2)
Các bước thực hiện:
Bước1: Nếu hai đường đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình (PTHĐGĐ của và ) để tìm.
Bước 2: Áp dụng công thức (2).
Bước 3: Rút gọn biểu thức , sau đó xét dấu của hiệu này.
Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
Chú ý: 
Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ sẽ dễ dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ, nằm trên thì hiệu , và nằm dưới thì hiệu .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường không rơi vào trường hợp 1:
Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát).
Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tích bằng công thức (2).
Bước 3: Dùng công thức (2) tính diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất cả các hình nhỏ.
Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox:
(trong đó hai đường thẳng có thể thiếu một hoặc cả hai).
Công thức: (3)
Các bước thực hiện:
Bước 1: Nếu hai đường đề bài cho thiếu một hoặc cả hai thì giải phương trình (PTHĐGĐ của và trục Ox) để tìm.
Bước 2: Áp dụng công thức (3).
Bài tập:
Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục Ox.
Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục Ox.
Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và trục Ox.
Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong và đường thẳng .
Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: ; đường tiệm cận xiên của ; Ox; .
Bài 6: Cho đường cong . Viết phương trình tiếp tuyến của tại gốc tọa độ O. Từ đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi và .
Bài 7: Cho parabol .
a. Viết phương trình các tiếp tuyến của tại các giao điểm của với trục Ox.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi và các tiếp tuyến nói ở câu a.
Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: ; và trục Ox.
Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng .
Bài 10: Cho parabol .
	a. Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm tung độ bằng 4.
	b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: , trục Ox và tiếp tuyến nói ở câu a.
Bài 11: Cho đường cong . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: . Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.
Bài 12: Cho đường cong . Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởivà trục Ox. Tính thể tích của hình tròn xoay được sinh ra khi quay (H) xung quanh trục Ox.