Bài tập phương pháp Toán Lí

Bài tập phương pháp toán lí 
chương 1: Giải tích véc tơ trong các hệ toạ độ
Bài tập 1: Trong hệ toạ độ Đề các vuông góc hãy xác định:	
	1) Véc tơ đơn vị song song với vectơ .
	2) Véc tơ đơn vị của đường thẳng nối điểm P(1,0,3) với Q(0,2,1)
Bài tập 2: Chứng minh rằng véc tơ vuông góc với mặt cho bởi phương trình: ax + by + cz = l
Bài tập 3: Giả thiết rằng véc tơ là véc tơ xuất phát từ gốc đến một điểm tuỳ ý P(x, y, z) còn là một véc tơ không đổi nào đấy. Chứng minh rằng là phương trình mặt cầu.
 Bài tập 4: Chứng minh rằng
Bài tập 5: Chứng minh rằng = 0 nếu , và phụ thuộc tuyến tính. Kiểm tra sự độc lập tuyến tính của ba véc tơ sau
Bài tập 6: Nghiệm lại rằng tích hỗn tạp của ba véc tơ , , () có thể biểu diễn như sau: l = = ijk.ai.bj.ck
i, j, k = 1, 2, 3 với cách ký hiệu ax = a1, ay = a2, az = a3
ijk là ký hiệu ten xơ Levi - chivita
 + ijk = 0 nếu có hai chỉ số trùng nhau.
 + ijk = 1 nếu i ạ j ạ k và có số lần hoán vị chẵn để về thứ tự 1,2,3
 + ijk = -1 nếu i ạ j ạ k và có số lần hoán vị lẻ để về thứ tự 1,2,3 các chỉ số lặp lại có nghĩa là lấy tổng theo các chỉ số đó.
Bài tập 7: Cho và là tuỳ ý . Chứng minh rằng
	l = (a.b)2
Bài tập 8: Cho ; 	
Chứng minh rằng 
Bài tập 9: Tính Grad với là véc tơ không đổi
Bài tập 10: CM hệ thức sau:	Grad(j.y) = j.Grady + y.Gradj
Bài tập 11: Tính Grad()	( là véc tơ không đổi)
Bài tập 12: Chứng minh các hệ thức sau
(các đại lượng vô hướng và véc tơ đều là những hàm của toạ độ)
1) Div(j.) = j.Div + .Gradj
2) Rot(j.) = j.Rot - [, Gradj]
3) Div[,] = .Rot-.Rot
4) Grad(.) = [, Rot] + [, Rot] + (.) + (.)
5) Rot[,] = .Div - .Div + (.). - (.).
6) .Grad(.) = .(.). + .(.).
7) (.)[,] = [,(.)] - [,(.)]
8) (.). = (.). + .Div
9) [,].Rot = .(.). - .(.).
10) [ [,], ] = (.). + [,Rot] - .Div
Bài tập 13: Dùng hệ toạ độ Đề các, tính:
	* Div()	* Rot()	* (.).
Trong đó là bán kính véc tơ, là véc tơ không đổi
Bài tập 14: Dùng hệ toạ độ Đề các, tính:
	* Grad j(r)	* Div (j(r).)
	* Rot (j(r).)	* (.).j(r).
Bài tập 15: Với là véc tơ không đổi, tính 
	* Div[,]	* Rot[,]
y
x
z
h
r
o
Bài tập 16: Tính lưu thông ( lưu số) của véc tơ [,] theo vòng tròn bán kính r0 nằm trong mặt phẳng vuông góc với véc tơ không đổi. Biết tâm vòng tròn trùng với gốc toạ độ.
Bài tập 17: Tính thông lượng của bán kính véc tơ qua mặt trụ như hình vẽ bên
Bài tập 18: Chứng minh rằng các tích phân sau đây bằng nhau: 
 và 
Trong đó là véc tơ không đổi, là véc tơ pháp tuyến của mặt tích phân.
	Bài tâp 19: Chứng minh hệ thức sau
	 = = 
Với S là diện tích bao quanh thể tích V, là véc tơ pháp tuyến đơn vị hướng ra ngoài thể tích V, trường véc tơ liên tục trong miền V
Bài tập 20: Chứng minh hệ thức sau 
L là công tua bao quanh diện tích S, là véc tơ pháp tuyến đơn vị có chiều làm với chiều dương trên L 1 hệ đinh ốc thuận, j là trường vô hướng liên tục trong miền S.
Bài tập 21: Cho trường vectơ 
	Dùng công thức Xtốc để tính tích phân đường 
Trong đó C là đường tròn	C: 
chạy ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ phía dương của trục x. 
Bài tập 22: Tính hệ số Lame hi trong các hệ toạ độ cong:
	1) Hệ toạ độ cực: x = r.cosq
	y = r.sinq
	2) Hệ toạ độ trụ: x = r.cosj
	y = r.sinj
	z = z
	3) Hệ toạ độ cầu: x = r.sinq.cosj
	y = r.sinq.sinj
	z = r.cosq
Bài tập 23 Chứng minh rằng hệ toạ độ trụ và hệ toạ độ cầu là những hệ toạ cong trực giao.
Bài tập 24: * Viết biểu thức dive trong hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ trụ
	 * Viết biểu thức rote trong hệ tọa độ cầu, hệ tọa độ trụ
	 * Viết biểu thức trong hệ tọa độ cầu, trụ, cực.
Bài tập 25: Cho hệ toạ độ cong: 	q1 = 
	q2 = 
	q3 = z
Khảo sát tính trực giao của hệ tọa độ cong này và tính các hệ số Lame hi
Bài tập 26: Cho hệ toạ độ cong:	l = 
	m = 
	h = arctg
Khảo sát tính trực giao của hệ tọa độ cong này và tính các hệ số Lame hi
Bài tập 27: Cho hệ toạ độ cầu tổng quát:	x = a.u.sinw.cosv
	y = b.u.sinw.sinv
	z = c.u.cosw
	với 
Khảo sát tính trực giao của hệ tọa độ cong này và tính các hệ số Lame hi
Chương 2: Phương trình dao động
 Bài tập 1(6): Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại x = 0 và x = L nếu dạng ban đầu của sợi dây là cung parabol và vận tốc ban đầu 
Bài tập 2(7): ở thời điểm t = 0, ta truyền cho các điểm của sợi dâynằm trong khoảng (c - , c + ) một vận tốc ban đầu không đổi V0 . Hãy xác định dao động của sợi dây nếu ban đầu nó có dạng 
Bài tập 3(42): Tìm dao động của sợi dây ở bài một với giả thiết g(x,t) = g, trong đó g là hằng số dương đủ nhỏ.
Khi x < 1
Khi 12
Khi 2 < x < 3
Khi x 3
Bài tập 4: Một sợi dây vô hạn có dạng ban đầu là:
Hãy vẽ dạng của sợi dây ở các thời điểm t0 = 0 ; t1 = 0,5 ; t2 = 1 ; t3 = 2,5. Xét dao động của các điểm x = 0, x = 1, x = -1, biết vận tốc truyền sóng a = 2.
Bài tập 5(41): Hãy xác định dao động tự do của sợi dây hữu hạn được gắn chặt ở các đầu mút x = 0 và x = L, dao động với vận tốc ban đầu bằng không, sợi dây có dạng ban đầu là:
Khi 
Khi 
Bài tập 6(8): Xác định dao động tự do của một sợi dây hữu hạn được gắn chặt ở các đầu mút x = 0 và x = L, sợi dây có độ lệch ban đầu bằng không, dao động với vận tốc dạng ban đầu là:
Trong đó V0 > 0, p/2 < c < L - p/2.
Bài tập 7: Tìm tần số dao động của sợi dây dài 10cm, có tiết diện chữ nhật 0,2x0,4mm2, có = 7,8 g.cm-3 và sức căng T = 10 N
Bài tập 8(52): Một sợi dây đồng chất, hữu hạn được gắn chặt ở các đầu mút x = 0 và x = L. ở thời điểm ban đầu t = 0, sợi dây được căng lên độ cao h tại điểm x = x0 và sau đó buông ra không vận tốc ban đầu. Hãy tính năng lượng của dao động tử thứ n của sợi dây dao động.
Bài tập 9(40): Tìm nghiệm của phương trình:
Thoả mãn các điều kiện ban đầu bằng không và các điều kiện biên:
	U(0,t) = 0
	U(L,t) = 0
Bài tập 10: Tìm nghiệm của phương trình:
Thoả mãn các điều kiện ban đầu bằng không và các điều kiện biên:
	U(0,t) = 0
	U(L,t) = 0
Bài tập 11(38): Xác định dao động của một sợi dây gắn chặt ở mút x = 0, còn mút x = L chuyển động theo quy luật U(L,t) = Asin. Biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không.
Bài tập 12: Tìm nghiệm của phương trình:
Thoả mãn các điều kiện ban đầu: 	U(x,0) = 0
và các điều kiện biên:	U(0,t) = 0
	U(L,t) = 0
Bài tập 13: Hãy xét dao động của một dây gắn chặt ở các mút x = 0 và x = L trong một môi trường có sức cản tỉ lệ với vận tốc, cho biết các điều kiện ban đầu: 	U(x,0)= f(x)	
Bài tập 14(39): Hãy xác định dao động tự do của một dây gắn chặt ở các mút x= 0 và x = L cho biết các hình dạng ban đầu của sợi dây:
Khi 
Khi 
	 	và	
Bài tập 15(9): Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L, thoả mãn phương trình:	U''tt - a2U''xx = 0	(a= const)
Thoả mãn các điều kiện ban đầu: 	U(x,0)= x
và các điều kiện biên:	
Bài tập 16: Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L, hai biên gắn chặt, thoả mãn phương trình: 	U''tt - U''xx = - h. cosx 	
Với các điều kiện ban đầu: 	U(x,0)= Lx
Bài tập 17: Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L, thoả mãn phương trình:	U''tt - a2U''xx = -Mx	(a= const)
Thoả mãn các điều kiện ban đầu: 	U(x,0)= x(L-x)
và các điều kiện biên:	
Bài tập 18(10): Lúc ban đầu, một màng vuông cạnh L có dạng U(x,y,0) = Axy(L- x)(L - y) (A = const). Màng dao động với vận tốc ban đầu bằng không. Hãy nghiên cứu dao động tự do của màng gắn chặt theo chu tuyến. 
Bài tập 19: Tìm nghiệm phương trình sau bằng phương pháp tách biến.
Thoả mãn điều kiện ban đầu:
	U(x,0) = Ax(L - x) 	Ut'(x,0) = 0
và điều kiện biên
	U(0,t) = U(L,t) = 0	 	U''xx(0,t) = U''xx(L,t) = 0
Bài tập 20: Chứng minh rằng J1(x) = -J'0(x).	 Dựng đồ thị của J1(x).
Bài tập 21: Chứng minh rằng:	 = x.J1(x)
Bài tập bổ xung
Bài 1(4): Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại x = 0 và x = L nếu dạng ban đầu của sợi dây là cung Parabol
U(x,0) = f(x) = 
và vận tốc ban đầu U't(x,0) = F(x) = 0
Bài 2(11): Xác định dao động của một sợi dây gắn chặt ở mút x = 0, còn mút x = L chuyển động theo quy luật U(L,t) = B.cos. Biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không.
Bài 3(12): Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại x = 0 và x = L nếu ban đầu sợi dây nằm ở vị trí cân bằng f(x) = 0 và vận tốc ban đầu có dạng 
Bài 4(13): Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L, thoả mãn phương trình:	U''tt - a2U''xx = 0	( a = const)
Thoả mãn các điều kiện ban đầu: 	U(x,0) = x
và các điều kiện biên:	
Bài 5: Tìm nghiệm của phương trình: 
Thoả mãn các điều kiện ban đầu và các điều kiện biên bằng không.
Bài 6: Một sợi dây đồng chất, hữu hạn được gắn chặt ở các đầu mút x = 0 và x = L. ở thời điểm ban đầu t = 0, sợi dây được căng lên độ cao h tại điểm x = x0 và sau đó buông ra vận tốc ban đầu . Hãy xác định dao động tự do của sợi dây.
Bài 7: Tìm dao động của sợi dây gắn chặt tại x = 0 và x = L nếu dạng ban đầu của sợi dây là cung parabol và vận tốc ban đầu , với giả thiết g(x,t) = Mx2.
Bài 8:	Tìm nghiệm phương trình
	(a = const; ; t > 0 )
Thoả mãn các điều kiện ban đầu:	U(x,0) = U’t (x,0) = 0 
 và các điều kiện biên:	U(0,t) = M.sint
	U(L,t) = 0	
Bài 9:	Tìm nghiệm phương trình
	(a = const; ; t > 0 )
Thoả mãn các điều kiện ban đầu: 	U(x,0) = A.
	U’t (x,0) = B	 
và các điều kiện biên:	 	U(0,t) = 0
	 	U(L,t) = A.cost + Bsint
Bài 10: Hãy xác định hình dạng tại thời điểm t của một sợi dây có độ dài L, đầu mút x = 0 và x = L luôn được gắn chặt. Biết rằng g(x, t) = const = g (g là hằng số dương đủ nhỏ), hình dạng ban đầu của sợi dây là cung parabol U(x, 0) = f(x) = và sợi dây dao động với vận tốc ban đầu bằng không. Hãy nhận xét kết quả thu được.
Bài 11(51): Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L, thoả mãn phương trình:	U''tt - a2U''xx = - A.sinwt	(a = const)
thoả mãn các điều kiện ban đầu: 	U(x,0) = L, 	 
và các điều kiện biên:	,	
Bài 12(54): Hãy xác định dao động của một dây có chiều dài L, thoả mãn phương trình:	U''tt - a2U''xx = 0	( a = const)
thoả mãn các điều kiện biên:	
và các điều kiện ban đầu: 	U(x,0) =