Bài ôn tập Hình học Lớp 11 - Chủ đề: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

CHỦ ĐỀ: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 
VÀ GIẢI TAM GIÁC. (5 tiết)
I. Mục tiêu. Qua bài học này học sinh phải đạt được những kiến thức tối thiểu sau.
1. Kiến thức. Học sinh hiểu được
- Các hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lí hàm số cosin, định lí hàm số sin, các công thức tính diện tích của tam giác, từ đó biết áp dụng vào giải tam giác và ứng dụng vào thực tế đo đạc.
2. Kỹ năng. Học sinh biết
- Áp dụng định lí côsin, định lí sin, công thức về độ dài đường trung tuyến, các công thức tính diện tích để giải một số bài toán liên quan đến tam giác.
- Giải tam giác trong một số trường hợp đơn giản. Biết vận dụng giải tam giác vào các bài toán có nội dung thực tiễn. Kết hợp với việc sử dụng máy tính bỏ túi khi giải toán.
3. Về thái độ. Học sinh nắm công thức từ đó biết liên hệ toán học vào thực tế.
4. Định hướng phát triển năng lực.
(Năng lực tự học, năng lực hợp tác, năng lực giao tiếp, năng lực quan sát, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực tính toán, năng lực vận dụng kiến thức vào cuộc sống ...)
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh.
1. Giáo viên.
- Giáo án, phấn màu, thước.
- Phiếu học tập.
2. Học sinh.
- Xem lại các hệ thức lượng đã học.
Tiết 1+2
III. Chuỗi các hoạt động học.
1. Giới thiệu. (5 phút)
Câu 1. Người ta muốn đo chiều cao của tháp Eiffel (ở hình 1) mà không thể trèo lên đỉnh của nó mà kéo thước dây để đo trực tiếp được. Em hãy giúp họ đo chiều cao của tháp Eiffel ?
Câu 2. Làm sao để đo chiều cao của cây ( ở hình 2) mà ta không thể trèo lên đến đỉnh của nó để đo trực tiếp được ?
Câu 3. Tính khoảng cách từ vị trí A đến vị trí C ở giữa hồ Gươm ( ở hình 3) mà ta không thể trực tiếp đến để đo được .
Câu 4. Khi khai quật một ngôi mộ cổ, người ta tìm được một mảnh của 1 chiếc đĩa phẳng hình tròn bị vỡ ( hình 4). Dựa vào các tài liệu đã có, các nhà khảo cổ đã biết hình vẽ trên phần còn lại của chiếc đĩa. Họ muốn làm một chiếc đĩa mới phỏng theo chiếc đĩa này. Em hãy giúp họ tìm bán kính chiếc đĩa. 
Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.
2. Nội dung bài học.
2.1.1. Định lí côsin.( 30 phút)
Tiếp cận định lí.
Hoạt động 1. 
Giải.
Ta có: 
Bài toán. Trong tam giác cho biết hai cạnh và góc . Hãy tính cạnh .
 A
 B C
	b) Hình thành
	c) Củng cố
	2.2 Đơn vị kiến thức 2 (thời gian)
	2.k Đơn vị kiến thức k (thời gian)
 3. LUYỆN TẬP (thời gian)
 4. VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG
Định lí côsin.
Trong tam giác bất kì với ta có: 	 
Củng cố định lí.
Ví dụ 1. Cho tam giác có cạnh , cạnh và góc . Tính độ dài cạnh 
Gợi ý.
Ta có: 
Vậy 
2.1.2. Hệ quả.( 15 phút)
Từ định lí côsin suy ra 
Củng cố hệ quả.
Ví dụ 2. Cho tam giác có cạnh , cạnh và cạnh . Tính số đo các góc , và .
Gợi ý.
Các góc và học sinh tính tương tự.
2.2.3. Áp dụng. (25 phút)
Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác.
Tiếp cận công thức tính độ dài đường trung tuyến.
Hoạt động 2. 
Áp dụng định lí côsin trong ta có:
mà 
Vậy : 
Bài toán . Cho tam giác có cạnh , cạnh và cạnh . Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác theo . ( Với là trung điểm của )
Gợi ý: 
Công thức độ dài đường trung tuyến.
Gọi , lần lượt là độ dài các đường trung tuyến của vẽ từ các đỉnh của tam giác .
Khi đó : 
Củng cố.
Gợi ý: Áp dụng công thức đường trung tuyến
Ví dụ 3. Cho tam giác có cạnh , cạnh và cạnh . Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác 
3. Luyện tập.(20 phút)
Gợi ý.
Ta có: 
Mặt khác :
Vậy:
Câu 1. Tam giác có các cạnh thỏa mãn điều kiện . 
Tính số đo của góc .
A.	B.
C.	D.
Gợi ý.
Ta có: 
Vậy:
Câu 2. Cho tam giác có , và . Tính 
A.	B.
C.	D.
Gợi ý:
Áp dụng định lí côsin trong ta có:
Vậy: Khoảng cách Khoảng cách từ đến xấp xỉ bằng 
Câu 3. Khoảng cách từ đến không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định một điểm mà từ đó có thể nhìn được và dưới một góc , biết ,
Khoảng cách AB xấp xỉ bằng bao nhiêu?
A.	B.
C.	D.
2.2 Định lí sin trong tam giác. (30 phút)
Tiết 2+3
a) Tiếp cận: (7 phút)
Hoạt động của GV
Dự kiến Hoạt động của HS
Nội dung
Nêu các bài toán:
+ Bài toán 1: Làm thế nào có thể đo được khoảng cách từ 1 vị trí A ở trên bờ đến vị trí B ở giữa một hồ nước mà không thể đi đến vị trí B được?
+ Để giải quyết bài toán 1, chúng ta phải giải được bài toán sau: (Bài toán 2): Trong một tam giác, nếu biết được hai góc và một cạnh của tam giác làm sao có thể tính được các cạnh còn lại? Nếu chỉ dựa vào định lí cos và các công thức đã học các em có thể giải được bài toán này không?
Chúng ta cần có một công thức có thể phục vụ để giải bài toán trên đó là công thức của định lí sin.
+ Tiếp cận bài toán 1 và 2.
+ Không thể giải được bài toán 2 một cách nhanh chóng nếu chỉ dựa vào định lí cos
.B
 .A 
b) Hình thành định lí: (10’)
Hoạt động của GV
Dự kiến Hoạt động của HS
Nội dung
- Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b, BC = a. Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. A
 c b
B C
 a
+ Hãy nêu lại các hệ thức lượng liên quan đến sin các góc trong tam giác ABC?
+ Từ đó hãy chứng tỏ a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC.
Tổng quát thành định lí (Có thể hướng dẫn thêm để HS về tự chứng minh định lí)
+ Thảo luận theo nhóm hoàn thành câu hỏi GV đưa ra.
+ Vì a = 2R nên từ các công thức trên ta có được các đẳng thức a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC.
+ Ghi nhận định lí.
2. Định lí sin trong tam giác.
Với mọi tam giác ABC, ta có:
trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
c) Củng cố: (13’)
Hoạt động của GV
Dự kiến Hoạt động của HS
Nội dung
Treo bảng phụ có câu hỏi TNKQ. (từng câu 1)
Yêu cầu HS ghi đáp án vào bảng con và đưa đáp án.
Nhận xét và giải thích đáp án (có thể gọi HS nêu cách tìm đáp án đúng)
Yêu cầu HS thảo luận theo nhóm để giải quyết bài toán 1 đã nêu ở đầu tiết học.
Giải bài tập TNKQ vào bảng con và giải thích.
Thảo luận nhóm hoàn thành bài toán 1:
.B
 A . .C
+ Lấy một điểm C trên bờ mà từ đó có thể thấy được B và A. Tính khoảng cách AC, dùng giác kế đo các góc và . Từ đó vận dụng định lí sin để tính AB.
Câu hỏi TNKQ:
Câu 1. Tam giác ABC có BC = 10, góc A = 300. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng bao nhiêu?
5.
10.
.
Câu 2. Tam giác ABC có góc B = 600, góc C = 450, Ab = 5. Hỏi cạnh AC bằng bao nhiêu?
.
.
.
10.
2.3 Diện tích tam giác (30 phút)
a)Tiếp cận: (5’)
Hoạt động của GV
Dự kiến hoạt động của HS
Nội dung
PV: Nhắc lại công thức tính diện tích tam giác đã học ở lớp dưới?
3. Diện tích tam giác
b) Hình thành kiến thức: (15’)
Hoạt động của GV
Dự kiến hoạt động của HS
Nội dung
+YC1: Từ công thức (1), vận dụng kiến thức đã học hãy rút ra công thức (2) và (3)?
A
B
H
C
A
H
B
C
+YC2: Tính diện tích tam giác ABC thông qua việc tính diện tích các tam giác IAB, IAC, IBC
+ Thảo luận nhóm rút ra công thức (2) và (3).
+ Tính 
3. Diện tích tam giác
+ Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, p là nữa chu vi và r là bán kính đường tròn nội tiếp.
(5) gọi là công thức Hê – rông.
c) Củng cố: (10’)
Hoạt động của GV
Dự kiến hoạt động của HS
Nội dung
Treo bảng phụ có câu hỏi TNKQ. (từng câu 1)
Yêu cầu HS ghi đáp án vào bảng con và đưa đáp án.
Nhận xét và giải thích đáp án (có thể gọi HS nêu cách tìm đáp án đúng)
Giải bài tập TNKQ vào bảng con và giải thích.
Câu 1. Tam giác có ba cạnh là 5, 12, 13. Diện tích tam giác bằng bao nhiêu?
30.
.
.
20.
Câu 2. Tam giác ABC có ba cạnh là 6, 10, 8. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu?
.
4.
2.
1.
Câu 3. Hình bình hành ABCD có AB = ; BC = , góc BAD bằng 450. Diện tích của hình bình hành ABCD bằng bào nhiêu?
.
.
.
.
Câu 4. Tam giác ABC có BC = a, AC = b. Diện tích tam giác đạt giác trị lớn nhất khi góc C bằng:
600.
900.
1200.
1500. 
2.4 Giải tam giác và ứng dụng thực tế (30 phút).
a) Tiếp cận: (3’)
Hoạt động của GV
Dự kiến hoạt động của HS
Nội dung
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ vận dụng các hệ thức lượng trong tam giác để tính các cạnh và góc trong tam giác khi biết một số yếu tố xác định gọi là giải tam giác và vận dụng vào giải quyết một số bài toán đo đạt trong thực tiễn
Nghe giáo viên giới thiệu
b) Hình thành kiến thức: (20’)
Hoạt động của GV
Dự kiến hoạt động của HS
Nội dung
+ Chia học sinh thành 6 nhóm và giao nhiệm vụ cho các nhóm:
1, 2, 3: giải VD1.
4, 5, 6: giải VD2.
+ Gọi đại diện 2 nhóm trình bày sản phẩm và giải thích.
+ Yêu cầu các nhóm thảo luận hoàn thành ví dụ 3
.
+ Gọi đại diện 2 nhóm trình bày sản phẩm và giải thích.
+ Thảo luận nhóm hoàn thành VD 1 và 2
+ Thảo luận nhóm hoàn thành VD 3
4. Giải tam giác và vận dụng thực tế.
* VD1: Cho tam giác ABC. Biết a = 17,4. ; . Tính góc A và các cạnh b, c của tam giác.
ĐS: ;
.
*VD2: Cho tam giác ABC. Biết . Tính hai góc A, B và cạnh c.
ĐS: 
*VD3: Đường dây cao thế nối thẳng từ vị trí A đến vị trí B dài 10km, từ vị trí A đến vị trí C dài 8km, góc tạo bởi hai đường dây bằng 750. Tính khoảng cách từ vị trí B đến vị trí C.
ĐS: xấp xỉ 11km.
c) Củng cố: (7’)
Qua chuỗi các hoạt động trong bài học cũng như ví dụ trên, các em thầy rằng các hệ thức lượng trong tam giác là một mảng kiến thức khá quan trong và có nhiếu ứng dụng vào thực tế. Hi vọng các em có thể vận dụng được những kiến thức chúng ta đã lĩnh hội được trong bài học để giải quyết những bài toán đo đạt trong thực tiễn.
BÀI TẬP HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC (tiết 5)
III. Chuỗi các hoạt động học
Tiếp cận bài học: 
* Hoạt động 1: (ghi trong 2 bảng phụ) 
Định lí côsin trong tam giác:
A
c
b
a
B
C
a2 = ............................
b2 = .............................
c2 = ............................
Hệ quả: 
Định lí sin trong tam giác
Công thức tính diện tích:
Định lí côsin trong tam giác:
A
Cho lần lượt học sinh 2 nhóm (mỗi em 1 công thức) lên bảng hoàn thành trong thời gian 5 phút.
c
b
a
B
C
a2 = b2 + c2 - 2bccosA
b2 = a2 + c2 - 2accosB
c2 = a2 + b2 - 2abcosC.
Hệ quả: 
Định lí sin trong tam giác
Công thức tính diện tích:
* Hoạt động 2: 
 Muốn đo chiều cao của tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận (h.2.23), người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế (h.2.24). Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1, B1 cùng thẳng  hàng với C1 thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được góc DA1C1 = 49o và góc DB1C1 = 35o . Tính chiều cao của CD của tháp đó.
2. Nội dung bài học
 2.1 Sử dụng các công thức tính diện tích để xác định các yếu tố trong tam giác 
Tiếp cận đề bài 
Cho tam giác ABC có , b = 7, . Tính ha và R.
+ Xác định được công thức tính độ dài đường cao. 
+ Xác định công thức tính diện tích.
+ Xác định công thức tính R.
+ Xác định công thức tính độ dài cạnh c.
+ Cho học sinh nhận xét về cách tính độ dài đường cao của tam giác?
+ Tính diện tích bằng công thức nào?
+ Tính bán kính R bằng công thức nào?
+ Tính độ dài cạnh c?
Nội dung bài giải
+ Diện tích tam giác ABC: .
+ Độ dài đường cao xuất phát từ A của tam giác ABC: .
+ Độ dài cạnh c: .
+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: .
Nhận xét: 
- Khi có độ dài cạnh c, ta có thể dùng định lý Sin để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R.
- Nếu giả thiết trên không cho số đo góc C mà cho độ dài cạnh c thì việc tính diện tích tam giác có thay đổi nhưng cách tính độ dài đường cao và bán kính đường tròn ngoại tiếp R không thay đổi. 
Củng cố 
Như vậy để tính độ dài đường cao của tam giác thường phải tính diện tích tam giác.
Để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác thường có 2 cách tính: dùng định lý Sin hoặc thông qua công thức tính diện tích.
 2.2 Dùng định lí côsin để tính các yếu tố trong tam giác. 
 Tiếp cận bài tập 2:
Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = 8. Điểm M thuộc cạnh AB sao cho AM = 3. Tính CM.
+ Dựa vào tam giác ACM hoặc tam giác BCM.
+ Thảo luận tìm câu trả lời
+ Thảo luận rút ra lời giải, đại diện 2 nhóm lên bảng trình bày.
+ Dựa vào hình vẽ, nhận xét CM là cạnh của tam giác nào?
+ Nếu dựa vào tam giác ACM thì cần tính thêm góc nào?
Nội dung bài giải 
+ Áp dụng hệ quả định lí côsin cho tam giác ABC ta có 
+ Áp dụng định lí côsin cho tam giác AMC ta có 
.
Củng cố bài tập 2. 
1/ Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, CA = 8. Gọi N là điểm trên cạnh AC sao cho AN = 3. Tính độ dài đoạn BN?
2/ Cho tam giác ABC có AB = 5, góc . Điểm M thuộc cạnh AB sao cho AM = 3. Tính CM.
3. Luyện tập 
A. TRẮC NGHIỆM 
1/ Cho tam giác ABC có AC = b, BC = a, AB = c. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. Nếu thì B là góc nhọn.	B. Nếu thì B là góc tù.
 C. Nếu thì B là góc vuông.	 D. Nếu thì B là góc tù.
2/ Cho tam giác có và . Khẳng định nào sau đây là đúng ?
	A. .	B. 
	C. 	D. Các câu trên đều đúng.
3/ Cho tam giác có diện tích . Nếu tăng độ dài mỗi cạnh lên hai lần và giữ nguyên độ lớn của góc thì diện tích của tam giác mới sẽ là :
A. 	B. 	C. 	D.
 B. TỰ LUẬN 
Bài 1. Cho có . Tính độ dài cạnh a, c bán kính đường tròn ngoại tiếp và diện tích tam giác.
Bài 2. Cho AC = 7, AB = 5 và . Tính BC, S, , R.
Bài 3. Cho có AB = 3, AC = 4 và diện tích . Tính cạnh BC.
4. VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG 
 4.1. Vận dụng vào thực tế 
Bài 1. 2 vị trí A và B cách nhau 500m ở bên này bờ sông từ vị trí C ở bên kia bờ sông. Biết . Hãy tính khoảng cách AC và BC.
Bài 2. Để lắp đường dây cao thế từ vị trí A đến vị trí B phái tránh 1 ngọn núi , do đó người ta phại nối thẳng đường dây từ vị trí A đến vị trí C dài 10km, rồi nối từ vị trí C đến vị trí B dài 8km. Biết góc tạo bời 2 đoạn dây AC và CB là . Hỏi so với việc nối thẳng từ A đến B phải tốn thê bao nhiêu m dây ?
Bài 3. Muốn đo chiều cao của tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận (h.2.23), người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế (h.2.24). Chân của giác kế có chiều cao h = 1,3m. Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1, B1 cùng thẳng  hàng với C1 thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được góc DA1C1 = 49o và góc DB1C1 = 35o . Tính chiều cao của CD của tháp đó.
 4.2. Mở rộng, tìm tòi
Bài 1. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có: a = b.cosC + c.cosB.
Bài 2. Cho có b + c =2a. CMR: a/ b/
Bài 3. Cho tam giác ABC có BC = a, và hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau. Tính .