Tuyển tập Đại số tổ hợp

Tuyển tập Đại số tổ hợp

(ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)

 Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

 1. Có bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 1 và không chứa 2.

 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123.

2. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)

 Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu các cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau?

3. (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999)

 Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:

 1. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau.

 2. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.

 

doc 56 trang Người đăng ngohau89 Ngày đăng 26/08/2019 Lượt xem 103Lượt tải 0 Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập Đại số tổ hợp", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Phần 1. BÀI TOÁN ĐẾM
1.	(ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)
	Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
	1. Có bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 1 và không chứa 2.	
	2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123.
2.	(ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)
	Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu các cuốn sách cùng môn được xếp kề nhau?
3.	(ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999)
	Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp sau:
	1. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường với nhau.
	2. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.
4.	(ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)
	Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong mỗi trường hợp sau:
	1. n là số chẵn.
	2. Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.
5.	(ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)
	Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu?
6.	(ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)
	Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau.
	1. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau?
	2. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?
7.	(ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)
	Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng.
	1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?
	2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?
8.	(HV Ngân hàng TPHCM 1999)
	Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số còn là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu:
	1. Năm chữ số 1 được xếp kề nhau.
	2. Các chữ số được xếp tuỳ ý.
9.	(ĐH Hàng hải 1999)
	Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào một chiếc ghế dài sao cho:
	1. Bạn C ngồi chính giữa.
	2. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế.
10.	(HV BCVT 1999)
	Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1.
11.	(ĐHQG HN khối B 2000)
	Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5.
12.	(ĐHQG TPHCM khối A 2000)
	Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn sách Hoạ. Ông muốn lấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
	1. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng?
	2. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
13.	(ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)
	Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau nếu:
	1) phải có ít nhất là 2 nữ.
	2) chọn tuỳ ý.
14.	(ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)
	Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta có thể lập được:
	1. Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một.
	2. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một.
	3. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một.
15.	(ĐH Y HN 2000)
	Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách?
16.	(ĐH Cần Thơ khối D 2000)
	Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số trong đó các chữ số khác nhau từng đôi một. Hỏi
	1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2.
	2. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6.
17.	(ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)
	Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho:
	1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
	2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.
18.	(ĐH Thái Nguyên khối D 2000)
	Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên.
19.	(ĐH Thái Nguyên khối G 2000)
	Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ.
20.	(ĐH Cần Thơ khối AB 2000)
	Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một khác nhau.
	1. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ.
	2. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ.
21.	(ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)
	Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau.
22.	(ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)
	Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số khác có mặt 1 lần.
23.	(ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)
	Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số chẵn.
24.	(ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)
	Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
25.	(HV Kỹ thuật quân sự 2000)
	Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 người thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công?
26.	(ĐH GTVT 2000)
	Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp.
27. 	(HV Quân y 2000)
	Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau vào một dãy 7 ô trống. Hỏi:
	1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
	2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?
28.	(ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)
	Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9?
29.	(ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)
	Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000?
30.	(CĐSP Nha Trang 2000)
	Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0.
31.	(CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
	Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, trong đó có 9 em nam, 6 em nữ. Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn một nhóm 5 em để tham dự trò chơi gồm 3 em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
32.	(ĐH An ninh khối D 2001)
	Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số có bảy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, còn các chữ số khác có mạt đúng 1 lần.
33.	(ĐH Cần Thơ 2001)
	Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau.
34.	(HV Chính trị quốc gia 2001)
	Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam.
	1. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau.
	2. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam.
35.	(ĐH Giao thông vận tải 2001)
	Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
36.	(ĐH Huế khối ABV 2001)
	Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần?
37.	(ĐH Huế khối DHT 2001)	
	Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5 em tham dự lễ mittinh tại trường với yêu cầu có cả nam và nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
38.	(HV Kỹ thuật quân sự 2001)
	Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá.
39.	(ĐH Kinh tế quốc dân 2001)
	Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5.
40.	(HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)
	1. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một?
	2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?
41.	(ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)
	Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
42.	(ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
	Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học sinh nữ. (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách xếp mới).
43.	(HV Quan hệ quốc tế 2001)
	Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có 9 chữ số mà chữ số 9 đứng ở vị trí chính giữa?
44.	(ĐH Quốc gia TPHCM 2001)
	1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1.
	2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.
45.	(ĐH ... hoả mãn:
	xn = < 0	Û (n + 3).(n + 4) – < 0
	Û 4n2 + 28n – 95 < 0	Û 
	Vì n là số nguyên dương nên ta được n = 1, 2 Þ các số hạng âm của dãy là x1, x2.
21.	(ĐH An ninh nhân dân khối A 2001)
	Ta có: = n(n – 1) Þ 
	Thay n lần lượt bằng 2, 3,  ta được:
	= (đpcm)
22.	(ĐH Bách khoa HN khối AD 2001)
	Đặt u = ; v = Þ 
	Mà u = y!v Þ y! = 2 Þ y = 2
	Þ Û x2 – x – 20 = 0 Û 
	Vậy 
23.	(ĐH Dân lập Duy Tân khối A 2001)
	1. I = = 
	2. Ta có: 
 	 I 	= = 
	= 
	= 
	= = S
	Vậy: S = 
24.	(ĐH Đà Lạt khối D 2001)
	Đặt u = 2x – 1, ta được: 
	(*) Û Û (u + 1)nnnnn = . Đẳng thức đúng.
25.	(ĐH Đà Nẵng khối A 2001)
	Có 
	Þ S = 
	= = 
	= = 
26.	(ĐH Hàng hải 2001)	
	Ta có:	(1 + 3)2n = 
	(1 – 3)2n = 
	Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên, ta được:
	42n + 22n = 2
	Từ đó ta được: 
27.	(ĐH Luật TPHCM khối A 2001)
	Xét hàm số: f(x) = (x + 3)n = 
	Ta có: f¢(x) = n(x + 3)n–1 = 
	Cho x = 1, ta được:
	f¢(1) = n.4n–1 = (đpcm)
28.	(ĐHSP HN khối A 2001)
	Ta có: ak–1 ≤ ak Û Û 
	Û k ≤ 2(11 – k) Û k ≤ 
	Vậy hệ số a7 là lớn nhất: a7 = .
29.	(ĐH Vinh khối AB 2001)
	Ta có: = và = 	Þ .
	Do đó: > Û Û k < 
	Bảng biến thiên: 
	Þ lớn nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá .
30.	(ĐH Vinh khối DTM 2001)
	Ta có: 	(x + 1)2001 = 
	(–x + 1)2001 = 
	Cộng lại ta được:
	(x + 1)2001 + (–x + 1)2001 =
	= 2
	Cho x = 3 ta được: 
	42001 – 22001 = 2
	Þ 
31.	(ĐH Y Dược TPHCM 2001)
	Đặt ak = với 0 ≤ k ≤ n. Ta chứng minh rằng:
	a0 > a1 >  > an	(1)
	Thật vậy, ta có BĐT ak > ak+1 với 0 ≤ k ≤ n – 1	(2)
	Û 
	Û 	Û (2n – k)(n + k + 1) > (n – k)(2n + k + 1)
	Û 2nk + n > 0
	Ta được BĐT đúng Þ (2) đúng Þ (1) đúng.
	Do đó: ak = = a0
	Dấu “=” xảy ra Û k = 0.
32.	(ĐH khối A 2002)
	Từ ta có n ≥ 3 và Û Û
	Û n2 – 3n – 28 = 0 Û 
	Với n = 7 ta có:	 = 140 Û 35.22x–2.2–x = 140 
	Û 2x–2 = 4 Û x = 4.
	Vậy n = 7, x = 4.
33.	(ĐH khối B 2002)
	Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, , A2n là .
	Gọi đường chéo của đa giác đều A1A2A2n đi qua tâm đường tròn (O) là đường chéo lớn thì đa giác đã cho có n đường chéo lớn.
	Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1, A2, , A2n có các đường chéo là hai đường chéo lớn. Ngược lại, với mỗi cặp đường chéo lớn ta có các đầu mút của chúng là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Vậy số hình chữ nhật nói trên bằng số cặp đường chéo lớn của đa giác A1, A2, , A2n, tức .
	Theo giả thiết thì:
	Û Û 2n – 1 = 15 Û n = 8.
34.	(ĐH khối D 2002)
	Ta có: (x + 1)n = 
	Cho x = 2 ta được: 3n = Þ 3n = 243 Û n = 5.
35.	(ĐH dự bị 2 2002)
	BPT Û Û 
	Û 3 ≤ n ≤ 4 Û n = 3 hoặc n = 4.
36.	(ĐH dự bị 4 2002)
	Ta có: (1) (1 ≤ k ≤ n – 1)
	Û 
	Û 
	Û 2.(k – 1)!(n – k + 1)! = 9.k!(n – k)! = 24.(k + 1)!(n – k – 1)!
	Û 2.(n – k +1)(n – k) = 9.k(n – k) = 24.(k + 1)k
	Û Û 
	Để tồn tại k thoả mãn hệ thức (1), điều kiện ắt có và đủ là:
	3n – 8 = 2n + 2 Û n = 10.
37.	(ĐH dự bị 6 2002)
	Ta có: (x + 1)10 = x10 + 
	Þ (x + 1)10(x + 2) = x11 + + 
	+ 
	= x11 +
	+ + + 2
	= x11 + a1x10 + a2x9 +  + a11
	Vậy a5 = = 672.
38.	(ĐH khối A 2003)
	Ta có: Û 
	Û = 7(n + 3) 	Û n + 2 = 7.2! = 14 Û n = 12.
	Số hạng tổng quát của khai triển là:
	Ta có: = x8 Û = 8 Û k = 4.
	Do đó hệ số của số hạng chứa x8 là = 495.
39.	(ĐH khối B 2003)
	Ta có: (1 + x)n = 
	Þ 
	Û 
	Û = 
40.	(ĐH khối D 2003)
	Ta có: 	(x2 + 1)n = 
	(x + 2)n = 
	Dễ dàng kiểm tra n = 1, n = 2 không thoả mãn điều kiện bài toán.
	Với n ≥ 3 thì x3n–3 = x2nxn–3 = x2n–2xn–1
	Do đó hệ số của x3n–3 trong khai triển thành đa thức của: 
	(x2 + 1)n(x + 2)n 
	là: 	a3n–3 = 
	Þ a3n–3 = 26n Û Û 
	Vậy: n = 5.
41.	(ĐH khối D 2003 dự bị 2)
	Ta có: 	 = 100
	Û 	
	Û	Û 
	Û	
	Û 	3n(n – 1) + (n2 – n)(n – 2) = 60
	Û	(n2 – n)(n + 1) = 60
	Û 	(n – 1)n(n + 1) = 3.4.5
	Û	n = 4.
42.	(CĐ Xây dựng số 3 – 2002)
	Ta có khai triển:
	(x + 1)2n = 
	Cho x = –1 ta được:
	0 = 
	Û 
43.	(CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002)
	1. Điều kiện: 
	PT Û x + = 9x2 – 14x
	Û x + 3x(x – 1) + x(x – 1)(x – 2) = 9x2 – 14x
	Û x(x2 – 9x + 14) – 0 Û Û x = 2
	2. · Cách 1: 
	* Ta có: (1 – x)20 = 
	Cho x = 1 ta có: = 0
	Þ 
	Đặt:	A = ;	B = 
	Þ A = B	(1)
	* Ta có: (1 + x)20 = 
	Cho x = 1 ta có: = 220
	Þ A + B = 220	(2)
	Từ (1) và (2) suy ra A = = 219 (đpcm).
	· Cách 2: Áp dụng công thức và , ta được:
	 =
	= 
	= (1 + 1)19 = 219.
44.	(CĐ khối AD 2003)
	· Cách 1:
	Ta có: 	Pn+1 – [nPn + (n – 1)Pn–1 +  + 2P2 + P1] =
	= (n + 1)! – n.n! – (n – 1).(n – 1)! –  – 2.2! – 1!
	= n![(n + 1) – n] – (n – 1).(n – 1)! –  – 2.2! – 1!
	= n! – (n – 1).(n – 1)! –  – 2.2! – 1!
	= (n – 1)![n – (n – 1)] –  – 2.2! – 1!
	= (n – 1)! – (n – 2)(n – 2)! –  – 2.2! – 1!
	= ..
	= 2! – 1.1! = 1
	Vậy: P1 + 2P2 + 3P3 + + nPn = Pn+1 – 1.
	· Cách 2: Chứng minh bằng qui nạp:
	* Với n = 1, ta có P1 = P2 – 1 Û 1! = 2! – 1. Mệnh đề đúng.
	* Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k > 1), tức là ta có:
	P1 + 2P2 + 3P3 + + kPk = Pk+1 – 1
	* Ta cần ch. minh: P1 + 2P2 + 3P3 + + kPk + (k +1)Pk+1= Pk+2 – 1
	Thật vậy, P1 + 2P2 + 3P3 + + kPk + (k +1)Pk+1 = Pk+1 – 1 + (k +1)Pk+1 
	= (k + 2)Pk+1 – 1 = Pk+2 – 1. (đpcm)
45.	(CĐ Giao thông II 2003)
	Do nên ta có: 
	Áp dụng BĐT Côsi ta có:
	Áp dụng khai triển (a + b)n = với a = b = 1, ta có:
	 = 2n Þ = 2n – 2
	Suy ra: (đpcm).
46.	(CĐ Giao thông III 2003)
	1. Ta có: (1 + x)n = 
	Đạo hàm 2 vế, ta được:
	n(1 + x)n–1 = 
	Cho x = –1
	0 = 
	Vậy S = 0.
	2. Ta có: (1 + x)n = 
	Þ 
	Þ 
	Þ 
	Do đó: T = 
	Ta có: Û Û n = 12
	Vậy: T = .
47.	(CĐ Tài chính kế toán IV 2003)
	Vế trái = = = .
48.	 (CĐ Tài chính kế toán IV 2003 dự bị)
	Điều kiện: n Ỵ Z, n ≥ 0.
	BPT Û Û (3n)! ≤ 720
	Ta thấy (3n)! tăng theo n và mặt khác 6! = 720 ≥ (3n)!
	Do đó: BPT có nghiệm .
49.	(CĐ Công nghiệp HN 2003)
	P(x) 	= (16x – 15)2003 = 
	= 
	Các hệ số trong khai triển đa thức là: ak = 
	Vậy: S = = (16 – 15)2003 = 1
50.	(CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003)
	Điều kiện: n Ỵ N, n ≥ 3.
	PT Û Û n(n – 1)(n – 2) + n(n – 1) = 16n
	Û n2 – 2n – 15 = 0 Û 
	vậy: n = 5.
51.	(CĐ Nông Lâm 2003)
	Ta có: = 
	Gọi ak là hệ số của xk trong khai triển:
	ak = ; k = 0, 1, 2, , 15.
	Xét sự tăng giảm của dãy ak:
	ak–1 < ak Û Û 
	Û k < , k = 0, 1,.., 15
	Từ đó: a0 < a1 < a2 <  < a10
	Đảo dấu BĐT trên ta được:
	ak–1 > ak Û k > Þ a10 > a11 >  > a15.
	Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là: a10 = .
52.	(CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003)
	Ta có: 
	(1 – x)2n = 
	Đạo hàm 2 vế theo x, ta có:
	–2n(1 – x)2n–1 =
 	= 
	Thế x = 1 vào đẳng thức trên, ta có:
	0 = 
	Vậy: .
53.	(ĐH khối A 2004)
	Ta có: [1 + x2(1 – x)]8 = +
 +
	Bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8.
	Vậy x8 chỉ có trong các số hạng thư tư, thứ năm, với hệ số tương ứng là:	
	Suy ra: a8 = 168 + 70 = 238.
54.	(ĐH khối D 2004)
	Ta có: = = 
	Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng với k (k Ỵ Z, 0 ≤ k ≤ 7) thoả mãn:	 Û k = 4
	Vậy số hạng không chứa x cần tìm là: = 35.
55.	(ĐH khối A 2005)
	Ta có: (1 + x)2n+1 = 
	Đạo hàm 2 vế ta có:
	(2n + 1)(1 + x)2n = 
	Thay x = –2, ta có:
	 = 2n + 1
	Theo giả thiết ta có: 2n + 1 = 2005 Þ n = 1002.
56.	(ĐH khối D 2005)
	Điều kiện: n ≥ 3.
	Ta có: = 149
	Û 
	Û n2 + 4n – 45 = 0 Û 
	Vậy: n = 5.
57.	(ĐH khối A 2005 dự bị 2)
	Ta có: (1 + x)2n+1 = 
	Cho x = 1 ta có: 22n+1 = 	(1)
	Cho x = –1 ta có: 0 = 	(2)
	Lấy (1) – (2) Þ 22n+1 = 
	Þ 22n = = 1024 Þ 2n = 10
	Ta có: (2 – 3x)10 = 
	Suy ra hệ số của x7 là 
58.	(ĐH khối D 2005 dự bị 1)
	 lớn nhất Û 
	Û Û 
	Û Û 1002 ≤ k ≤ 1003, k Ỵ N.
	Û k = 1002 hoặc k = 1003.
59.	(ĐH khối D 2005 dự bị 2)
	Ta có: 2Pn + 6 = 12 (n Ỵ N, n > 1)
	Û 2n! + Û 
	Û Û Û 
	Û 
	Vậy: n = 2 hoặc n = 3.
60.	(ĐH khối A 2006)
	· Từ giả thiết suy ra: 	(1)
	Vì , "k, 0 ≤ k ≤ 2n + 1 nên:
 (2)
	Từ khai triển nhị thức Newton của (1 + 1)2n+1 suy ra:
	(3)
	từ (1), (2), (3) suy ra: 22n = 220 Û n = 10.
	· Ta có: 
	Hệ số của x26 là với k thoả mãn: 11k–40 = 26 Û k = 6
	Vậy hệ số của x26 là = 210.
61.	(ĐH khối B 2006)
	Số tập con k phần tử của tập hợp A bằng . Từ giả thiết suy ra: 
	 Û n2 – 5n – 234 = 0 Û n = 18 (vì n ≥ 4)
	Do Û k < 9, nên: 
	Þ 
	Vậy số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất khi và chỉ khi k = 9.
62.	(CĐ Bán công Hoa Sen khối A 2006)
	ĐK: x Ỵ N, y Ỵ N*, x ≤ y.
	Từ phương trình thứ hai suy ra x = 4
	Thay vào phương trình thứ nhất ta được: 
	y2 – 9y + 8 = 0 Û .	Vậy: x = 4; y = 8.
63.	(CĐ KT–KT Cần Thơ khối AB 2006)
	ĐK: n Ỵ N, n ≤ 4
	 Û 
	Û n2 – 17n + 30 = 0 Û 
	Vậy: n = 2.
64.	(CĐ Sư phạm TPHCM khối A 2006)
	· Û 
	Û Û n = 20
	· (k = 1, 2, , n)
	Do đó: với n = 20 ta có: S = = 220.
65.	(CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006)
	Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (1 – 2x)n là: Tk+1 = 
	Từ đó ta có: a0 + a1 + a2 = 71 Û 
	Û Û Û n = 7
	Với n = 7, ta có hệ số của x5 trong khai triển (1 – 2x)n là: 
	a5 = = – 672.
66.	(CĐ Điện lực TPHCM 2006)
	Ta có: Û 
	Û n2 – 3n – 70 Û 
	Số hạng tổng quát của khai triển nhị thức là: 
	Tk+1 = 
	Tk+1 không chứa x Û 20 – 5k = 0 Û k = 4
	Vậy số hạng không chứa x là: T5 = = 210.
67.	(CĐ Kinh tế TPHCM 2006)
	· Cách 1:	Ta có:	
	Vậy có: 24n = 256 Û n = 2
	· Cách 2: Đặt Sn = 
	Thì Sn+1 = 
	Vì (0 ≤ k ≤ n) nên Sn+1 > Sn Þ dãy (Sn) tăng.
	Khi n = 2 thì S2 = = 256
	Vậy Sn = 256 Û n = 2.
68.	(CĐ Kinh tế đối ngoại khối AD 2006)
	A = 
	= 
	= 
	Xét trường hợp 20 – 3k = 30 – 4n Û 10 – n = 3(n – k)
	Vì 0 ≤ n ≤ 10 và 10 – n phải là bội số của 3 nên n = 4 hay n= 7 hay n= 10
	Þ có 3 số hạng trong hai khai triển trên có luỹ thừa của x giống nhau.
	Vậy sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm:
 	21 + 11 – 3 = 29 số hạng.
69.	(CĐ KT Y tế I 2006)
	Ta có: 42n = (1 + 3)2n = 
	 22n = (1 – 3)2n = 
	Þ 	42n + 22n = 
	Þ	42n + 22n = 2.215(216 + 1)
	Þ	(22n – 216)(22n + 216 + 1) = 0
	Þ 	22n = 216 	Þ n = 8.
70.	(CĐ Xây dựng số 2 2006)
	Theo khai triển nhị thức Newton ta có:
	(a + b)n = 
	· Với a = 3, b = – 1 Þ 2n = (3 – 1)n = 
	· Với a = 1, b = 1 Þ 2n = (1 + 1)n = 
	Vậy: 
71.	(CĐ KT Y tế 1 2005)
	ĐK: x Ỵ N, x ≥ 2
	BPT Û 
	Û x(x + 1) + 3x(x – 1) – 20 < 0 Û 2x2 – x – 10 < 0 Û – 2 < x < 
	Kết hợp điều kiện Þ x = 2.
72.	(CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
	Số hạng tổng quát: 
	Þ Û k = 8
	Vậy hệ số của x29y8 là: = 6435.
73.	(CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006)
	Số hạng thứ k + 1 trong khai triển (1 – 2x)n là:	Tk+1 = 
	Từ đó ta có: a0 + a1 + a2 = 71 Û = 71
	Û Û Û n = 7.

Tài liệu đính kèm:

  • doctuyen_tohop.doc