Áp dụng mệnh đề vào phép suy luận toán học chứng minh phản chứng – Quy nạp

ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO PHÉP SUY LUẬN TOÁN HỌC 
CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG – QUY NẠP
A. Tóm tắt lý thuyết
 1. Trong toán học định lý là 1 mệnh đề đúng 
	 Nhiều định lý được phát biểu dưới dạng “"xÎX , P(x) Þ Q(x)”
2. Cho định lý “"xÎX , P(x) Þ Q(x)” . Khi đó 
	P(x) là điều kiện đủ để có Q(x)
	Q(x) là điều kiện cần để có P(x)
3. Chứng minh phản chứng đinh lý “"xÎX , P(x) Þ Q(x)”:
Giả sử Q(x) sai, Dùng suy luận và các kiến thức toán học để đi đến P(x) sai (mâu thuẫn gt)
4: Cho định lý “"xÎX , P(x) Û Q(x)”. Khi đó P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x)
Ví dụ:
1. Phát biểu các mệnh đề sau với thuật ngữ “Điều kiện cần”, “Điều kiện đủ ”
a) Hình thoi là tứ giác có hai đường chéo vuông góc
b) Số tự nhiên có chữ số tận cùng bằng 5 thì chia hết cho 5
c) Nếu thì ít nhất một trong 2 số a, b là số dương
2. Dùng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh :
 a) Cho n là số nguyên dương. Nếu n2 chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3
	b) Với n là số nguyên dương , nếu n2 là số lẻ thì n là số lẻ 
	c) Nếu bỏ 25 quả bóng vào 6 cái rổ thì có ít nhất 1 cái rổ đựng nhiều hơn 4 quả bóng
HD: 	a) Giả sử n không chia hết cho 3không chia hết cho 3(!)
	b) Giả sử là số chẳn(!)
	c) Giả sử không có rổ nào chứa nhiều hơn 4 quả bóng cả 6 rổ chứa tối đa 24 quả bóng (!)
3. Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm “Điều kiện đủ ”
a)Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau
b) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau
c) Nếu số nguyên dương a tận cùng bằng 5 thì chia hết cho 5
d) Nếu tứ giác là hình thoi thì 2 đường chéo vuông góc với nhau
B. Chứng minh quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với . Gồm các bước:
	1. Chứng tỏ mệnh đề đúng với 
	2. Giả sử mệnh đề đúng (ta được xemlà giả thiết trong quá trình chứng minh )
	3. Cần chứng minh mệnh đề đúng
Ví dụ: 
1. Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương n ta có:
a) chia hết cho 6	b)
2. Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương ta có:
a) 	b) 
HD: 1.a) Đặt 
- Khi , ta thấy 
- Giả sử đúng, tức là hay (*)
- Cần chứng minh đúng, tức là cần chứng minh
Thật vậy 
Mà nên 
1.b) - Khi , ta thấy 
- Giả sử (*) đúng với , tức là 
- Cần cm (*) đúng với đúng, tức là cần cm: 
Thật vậy 
2.a) - Khi , ta thấy 
- Giả sử (*) đúng với , tức là 
- Cần cm (*) đúng với đúng, tức là cần cm: 
Thật vậy 
2.b) - Khi , ta thấy 
- Giả sử (*) đúng với , tức là 
- Cần cm (*) đúng với đúng, tức là cần cm: 
Thật vậy (do 1)
BÀI TẬP
1. Phát biểu các định lý sau đây bằng cách sử dụng khái niệm“Điều kiện cần ”
a) Nếu trong mặt phẳng, hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ 3 thì hai đường thẳng đó song song với nhau
b) Nếu 2 tam giác bằng nhau thì chúng có các góc tương ứng bằng nhau 
c) số nguyên dương a chia hết cho 24 thì chia hết cho 4 và 6
d) Nếu tứ giác ABCD là hình vuông thì 4 cạnh bằng nhau
2. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng 
a) Nếu a¹b¹c thì a2 +b2 + c2 > ab + bc + ca
b) Nếu a.b chia hết cho 7 thì a hoặc b chia hết cho 7
c) Nếu x2 + y2 = 0 thì x = 0 và y = 0
d) Nếu hai số nguyên dương có tổng bình phương chia hết cho 3 thì cả hai số đó đều chia hết cho 3
e) Nếu thì ít nhất trong 3 số a, b, c có một số dương
f) Trong 16 số nguyên tùy ý phân biệt luôn có ít nhất 2 số sao cho hiệu của chúng chia hết cho 15 
g) Chứng minh bằng phương pháp phản chứng định lý : Với mọi số tự nhiên n, nếu 3n2+5 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5 .
3. Cho các đinh lý sau, định lý nào có định lý đảo, khi đó phát biểu dưới dạng điều kiện cần và đủ :
a) “Nếu 1 số tự nhiên chia hết cho 3 và 4 thì chia hết cho 12”
b) “Một tam giác vuông thì có trung tuyến tương ứng bằng nửa cạnh huyền ”
c) “Hai tam giác đồng dạng và có 1 cạnh bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”
d) “Nếu 1 số tự nhiên n không chia hết cho 3 thì n2 chia 3 dư 1”
4. Chứng minh rằng, với mọi số nguyên dương n ta có:
a) 	b)
c) 	d) 
e) chia hết cho 3	f) chia hết cho 8
g) chia hết cho 9	h) Tổng lập phương 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
i) 	j)
HD: 	
2.a) Giả sử: a2 +b2 + c2 ab + bc + ca 
2.b) Giả sử cả a, b đều không chia hết cho 7 , với 
Ta thấy , trong đó nên a.b không chia hết cho 7(!)
2.d) TH1: Giả sử có ít nhất 1 số không chia hết cho 3 
(!)
TH2: Giả sử cả 2 số a, b đều không chia hết cho 3 thì đều có dạng nên (!)
	2.f) NX: Ta thấy nếu 2 số nguyên khi chia cho 15 có số dư bằng nhau thì hiệu của chúng chia hết cho 15. Thật vậy: Nếu
Giả sử không có 2 số nguyên nào mà hiệu của chúng chia hết cho 15, có nghĩa là trong 16 số nguyên đó không có 2 số nào có số dư bằng nhau khi chia cho 15
Mà một số chia cho 15 có số dư có thể là: 0, 1, ..., 14 nên có 15 số dư khác nhau (trái gt do ta có 16 số)
Vậy phải có ít nhất 2 số nguyên có số dư bằng nhau khi chia cho 15